条件分析与委托代理问题

从为有界随机变量定义的一步实用程序开始，可以在Las上建立满足通常条件的族[8，示例2]。对于每一个t，让Ut:L∞（Gt+1）→ L∞（Gt）成为一个标准化的Gt-平移不变泛函，其扩展（3）X 7→ 画→+∞林姆→-∞~Ut（[X∧ n]∨ m） ，再次表示为Ut，在L（Gt+1）和L（Gt）之间有很好的定义。不难看出粘贴器（X）：=Uto~Ut+1o ··· o~UT（X）形成了一个时间一致且平移不变的族。示例2.4（优化的确定性等价物）。考虑Ht（·）一个满足H的凸、闭和递增函数*t（1）：=sups[s-Ht（s）]=0，并定义一步泛函Ut:X∈ L∞（Gt+1）7→ 女服务员：谢谢∈R{s-E[Ht（s-十） |Gt]}，然后进行归一化、平移不变和单调。这种族在文献中称为优化确定性等价（OCE）；见[2]。例2.2的熵效用对应于h（l）=γ-1exp（γl）- 1). 引理B.1表明，如果∈ int（dom（H）*t） ）和Ht，从下面开始，延伸（3）被很好地定义。因此，我们通过粘贴获得满足通常条件的族；参见备注B.2。这填补了[8]中的一个小缺口。示例2.5（尾部-风险价值效用）。根据引理B.1，满足示例2.4所有要求的族由所谓的风险尾值（TVAR）实用程序给出，为每个λ定义∈ （0,1）乘（4）~Ut（X）=ess supss-λ-1E（[s]-十] +| Gt）.TVAR（或风险平均值）在[21]中有描述，后来在数学金融文献中进行了广泛分析。表示法（4）比等效表示法更方便：~Ut（X）=-λZ1-λV@Rα(-X | Gt）dα.2.2.2。条件框架。现在，我们将在我们的偏好泛函上引入额外的条件可积性和连续性条件（更多细节，请参阅附录A）。

我们定义了两西格玛代数G~G条件LspaceLG（~G）：=nZ∈ L（~G）：E[|Z | G]∈ L（G）o.代表p<∞ 它的Lpvariant是ev ident，我们注意到LG（~G）=L（G）L（~G）作为集合。打电话给阿尔索尔∞G（~G）：={Z∈ L（~G）：|Z |≤ Y、 有一段时间∈ L（G）}。在我们的条件框架中，可以将以下连续性属性视为Fatou属性。条件分析和委托代理问题6定义2.6。为了p∈ [1, ∞) a功能U:LpG（~G）→ L（G）叫做L-LpG（~G）中每个序列{Xn}的Lpupper半连续iff（即supnE[|Xn | p | G]∈ L（G））使Xn→ X a.s.它支持lim sup U（Xn）≤ U（X）。即使U的定义范围大于LpG（~G），我们也会使用这个术语。我们现在陈述一个关于偏好的长期假设。假设2.7。U代表Uaor，UPG代表F或FA。然后U满足关于G的通常条件。此外，Utis L-每个t和{X的卢珀半连续-: 十、∈ dom（Ut）} LGt（GT）。下面的表述结果是命题A.9的直接结果。它将用于证明代理的一步优化问题有解。提议2.8。在假设2.7下，以下变分表示成立：Upt（X）=ess infZ∈沃特E[ZX | FAt]+αpt（Z）为了X∈ LFAt（FAt+1），（5）Uat（X）=ess infZ∈X的Wt{E[ZX | Ft]+αat（Z）}∈ LFt（Ft+1），（6）式中αpt:L∞脂肪（脂肪+1）→L（脂肪）αat:L∞英尺（英尺+1）→L（Ft）是效用泛函upt和Uat的各自共轭项，而wat:=nZ∈ L∞脂肪（脂肪+1）：Z≥ 0，E[Z | FAt]=1重量：=Z∈ L∞英尺（英尺+1）：Z≥ 0，E[Z | Ft]=1.下一个示例显示了许多OCE的熵族和粘贴，例如TVAR族，完全符合假设2.7以及通常的条件。因此，第2.4节中的主要结果适用于这些规范实用程序。例2.9。例2.2中的熵族显然完全符合假设2.7。

在引理B.1中，我们证明了示例2.5中的TVAR族，以及更普遍的示例2.4中的OCE族∈ int（dom（H）*t） ）和HTI从下方限定，粘贴后的完整假设为2.7。在Remark 4.5中，我们将证明，如果可预测表示属性成立，则任何OCE满足假设2.7。偏好的变分表示通过为双方指定“条件可接受模型”族，可以方便地定义满足假设2.7的偏好函数。例2.10。为了过滤{Gt}让我们 L∞Gt（Gt+1）是一个凸集（条件可接受模型），让χAt成为相关的凸指示函数。然后，偏好函数定义为（X）：=ess infZ∈Wt{E[ZX|Gt]- χAt（X）}粘贴后满足假设2.7，其中Wt：=Z∈ L∞Gt（Gt+1）：Z≥ 0，E[Z|Gt]=12.3. 契约和最佳行动。委托人可能向代理人提供的最简单的合同包括固定的可计量（一次性）付款，我们可以将其解释为仅取决于价格过程路径的金融衍生工具，加上恒定的β乘以WAT。此类合同（或更准确地说，付款菜单）的形式为：=A 7→\'S（A）：=Θ（P0:T）+βWAT.条件分析和委托代理问题7由于委托人逐步观察财富和价格过程，我们实际上将考虑一个形式更广泛的合同族：S=（A 7→ S（A）：=Θ（P0:T）+Xt<TβTWAt+1），其中βt∈ L（FAt）和Θ与以前一样，它们更好地利用了她的可用信息。这个契约空间相当大，包含可复制的路径依赖型财富过程衍生工具。然而，正如[20]中所述，我们将发现，一个与激励相容的最优合同确实是“S”型的。

这是我们隐式建模假设的一个序列，即委托人不寻求通过观察P和WA来推断关于TA的任何信息，我们可以证明这对委托人来说太昂贵或太耗时。我们将根据上下文方便地将合同称为S，（Θ，β）或（Θ，{βt}），并用R表示∈ R代理人的预订效用，即代理人承诺合同2.1所需的最小效用。如果一个契约（Θ，{βt}）在时间0时从它获得的最优效用至少为R，则该契约（Θ，{βt}）是单独理性的。在续集中，我们展示了如何获得代理和委托人效用的递推表示，以及如何将最优动态契约设计问题简化为一系列静态问题。2.3.1. 探员的问题。让我们假设代理人在呈现A类药物时选择A类药物（·）。他的工作总成本为C（A）：=PT-1t=0ct（At）和从时间t isUat（S（A）看他的效用- C（A））。我们使用平移不变性计算：UatS（A）-Xtct（At）！=UatΘ（P0:T）+Xs≥Tβs是+1- cs+1（As+1）- ct（At）+Xs<tβs是+1- cs（As）.（7） 这表明，在给定合同s（·）的情况下，代理人寻找最佳服务水平A的优化问题简化为以下递归（为了简单起见，我们省略了s中H的依赖性）：HT=Θ（P0:T）HT=ess supA∈L（英尺）NnUatHt+1+βtA■Pt+1- ct（A）o.（8）备注2.12。前面的分析表明，从时间t开始，HTC被解释为代理可以获得的最大效用。自从加入英国《金融时报》-可测量项Θ将可加性转化为Ht，并保持效率水平的最优性，我们看到个体理性条件约束（H=R）f或任何对委托人来说是最优的契约。定义2.13。一个契约（Θ，{βt}）被称为激励相容的，如果（8）区域中的本质上主为每个t∈ T.2.3.2。

校长的问题。委托人的问题是设计一个最优的激励相容的个体理性契约。为此，再次假设代理人选择了一个条件分析和一个委托-代理问题，该问题与合同S（·）有关，并且委托人知道这一点。从时间t来看，她的效用是：UptWAT- Θ -Xs<Tβs是+1！=华盛顿州- Ht+Xs<t（1- βs）As■Ps+1+UptXs≥th（1）- βs）As■Ps+1- Hs+1i,其中，恒等式Θ=Ht+Ps≥T使用Hs+1和平移不变性。如果我们用ht（A，β）表示她未来收入的效用，那么时间一致性和翻译不变性y ields:ht（A，β）：=UptXs≥th（1）- βs）As■Ps+1- Hs+1i= UatHt+1+βtAt■Pt+1- ct（At）+Uptht+1（A，β）+（1- βt）At■Pt+1- Ht+1.（9） 执行变量（10）Γt+1:=βtAt的变化■Pt+1+Ht+1∈ L（Ft+1），用ht（A，Γ）代替ht（A，β），我们得到：（11）ht（A，Γ）=Uat（Γt+1）- ct（At）+Uptht+1（A，Γ）+At■Pt+1- Γt+1.如果（Θ，{βt}）是激励相容的，那么由于我们对代理人效用和成本函数的凹性假设，代理人存在唯一的最优福利水平f。每一次∈ 因此，我们可以构造随机变量ΓT+1，并且At将达到本质上确界：ess supahUatΓt+1+βt[a]- 在]■Pt+1- ct（a）i.我们说（{a}，{Γ}）是激励相容的，无论何时，对于每个t，这一点都是上确界。setCt的中间值（β）：=（（A，Γ）∈ [L（Ft）]N×L（Ft+1）s.t.每‘A∈ [L（Ft）]N:Uat（Γ）- ct（A）≥ UatΓ+β[\'A- A]■Pt+1- 激励相容性等于（At，Γt+1）∈ 每t的Ct（βt）∈ 特别是，我们可以为委托人的未来最优财富引入如下递归：hT=0，hT=ess sup（β，A，Γ）（A，Γ）∈Ct（β）Uat（Γ）- ct（A）+Uptht+1+A■Pt+1- Γ.（12） 备注2.14。

我们得出了一个众所周知的结果，即在构造最优契约时，委托人应将代理人的延续效用作为其决策变量。这也解决了信息不对称的问题：假设主k知道{Ps}s的映射或函数≤t表示（9）和（11）中的所有随机变量都适应了价格。如果最佳效果不是唯一的，那么必须指定代理实施的效果级别{At}（委托人建议），以便执行上述递归。这就是为什么在PA的文献中，有十种要求中有一种是建议的福利水平和三（Θ，{βt}，{At}）激励相容的。我们再次强调，这是一种假设的结果，即委托人没有试图从代理人的行为中学习/推断某些东西。条件分析与委托代理问题92.4。主要结果。在这一部分中，我们总结了本文的主要结果。我们从下面的定理开始，它使我们对代理人和委托人的最优财富的形式推导变得精确。它指出，如果委托人和代理人的条件一步优化问题有解，那么动态契约问题有一个可以从中获得的解。附录C定理2.15给出了证明。假设递归（8）和（12）在每个时间t都允许一个本质上有界的解。那么在时间t=0时主体的最优效用等于W- R+h.进一步调用（βt，At，Γt+1）t∈T最大化子在（12）中达到h，且定义Θ=Θ（P0:T）：=X0≤t<t[Γt+1- Uat（Γt+1）+ct（At）]，合同=n\'A 7→ R+Θ（P0:T）+XβthW在+1处-在对于满足激励相容性和个人理性约束的委托人来说，Pt+1io是最佳选择。

代理的相关最优效用为A，其最优财富为R。我们现在在（12）中定义了优化问题的一个辅助无约束版本，并证明如果这样的问题是适定的，它在时间t A上产生原始一步问题的解，相应的βt=1是最优的。这为我们的主要结果，定理2.2.1打开了道路。这在技术上的重要性在于，我们可以省去非凸集Ct，使激励相容性约束变得更容易处理。从经济角度来看，这表明，如果存在第一个最佳解决方案，则该解决方案是最优的：在任何时间点t∈ T双方分享委托人未来收益ht+1加交易A所得收益的“总捐赠”■Pt+1so，以最大化总效用。提议2.16。假设以下问题是确定且可实现的：（13）∑：=ess sup（A，Γ）∈[L（Ft）]N×L（Ft+1）Uat（Γ）- ct（A）+Uptht+1+A■Pt+1- Γ.然后是任何最大化者^A，^属于集合Ct（1），因此∑=ess sup（β，A，Γ）（A，Γ）∈Ct（β）Uat（Γ）- ct（A）+Uptht+1+A■Pt+1- Γ.证据让（A，A）成为（13）的最大化者。对于任意A，定义Γ=^Γ+（A-^A）~P。对于（13）来说，（A，^Γ）比（A，Γ）好，我们看到涉及Upcancel out的术语，因此：（14）Uat（^Γ）- ct（^A）≥ Uat（^Γ+（A）-^A）§P）- ct（A）。这意味着^A，^∈ Ct（1）所以约束问题和无约束问题的值是一致的。备注2.17。前面的证明主要依赖于这样一个事实，即合同在财富增量中是线性的。实际上，通过改变形式（A）的方向-^A）~P和合同的线性关系，涉及委托人效用的目标函数中的术语相互抵消，从而可以比较代理人效用的值。因此，在第3节中，我们将把注意力转向无约束问题的可实现性问题。

为了方便读者，我们在本节中陈述了我们的主要结果，并展示了它们如何应用于特定类别的示例。第3.2节给出了以下结果的证明。示例2.9中列出的实用功能很容易满足技术条件。条件分析与委托代理问题10定理2.18。假设时间t∈ T thatKpt:=ess supZ∈Wt∩[1-，1+]αpt（Z）∈ L（英尺）和Kat:=ess supZ∈Wt∩[1-，1+]αat（Z）∈ L（英尺），对于某些人来说∈ L（英尺）∩ （0，1）。那么，如果ht+1∈ dom（Upt）和lim | a|→∞ct（a）| a |=+∞, （13）中定义的随机变量∑属于L（Ft），满足∑=ess sup（A，Γ）∈[L（Ft）]N×LFt（Ft+1）Uat（Γ）- ct（A）+Uptht+1+A■Pt+1- Γ,达到了本质上确界。尤其是βt=1在时间t时是最佳的∈ T.众所周知，如果效用泛函起源于一个公共基泛函，则可以对均衡/风险分担问题进行更明确的处理（如[1,5,8]）。同样，我们得到了以下结果，即在这种情况下，委托人和代理人根据他们的风险态度分享“总报酬”。第3.2节给出了证明。定理2.19（基本偏好）。假设存在非负数γa，γ和基偏好泛函{Ut}，使得ult（·）：=γlUtγl·（l=a，p）。进一步假设γaγpγa+γpht+1∈ dom（Ut）和lim | a|→∞ct（a）| a |=+∞.然后，校长的一步问题（在时间t）有一个解：β=1和Γ*=γpγa+γp（ht+1+a）*■Pt+1），对于最佳动作A*代理人的名字：ess supA(-ct（A）+γA+γpγAγpUt{γAγp}[ht+1+A~Pt+1]γa+γp！）。根据定理2.15，前面的两个结果给出了动力学问题的一个解，如下命题所述。提案2.20。

如果定理2.18或定理2.19的假设适用于每t∈ T、 然后，相应的一步问题有了一个解，将它们粘在一起就得到了相应动力学问题的解，其中每T的βT=1∈ T是最优的。上述命题的证明是显而易见的。在应用这个结果时，需要先检查几个技术条件。如以下定理所示，在温和条件下，这些条件对于熵和TVAR族以及OCE实用程序（例2.9）是满足的。证明见附录B定理2.21。假设价格是有界的（0<p-≤ 矿井≤ p+a.s.）以及通过粘贴优化的确定性等价函数来构造ua和upa:X∈ LFt（英尺+1）7→ Uat（X）=ess sups∈R{s- E[帽子]- 十） |Ft]}X∈ LFAt（脂肪+1）7→ Upt（X）=ess sups∈R{s- E[Hpt（s- 十） |FAt]}，对于每个t，以下条件成立：条件分析和委托代理问题11o1∈ int（dom（Hat））∩ int（dom（Hpt）），ohat和Hptare下界。最后假设lim | a|→∞ct（a）| a |=∞ 对于每一个t，我们的动态委托代理问题都有一个解决方案，即代理人保持输出财富，并且委托人被赋予一个可能依赖于路径的导数。备注2.22。结合定理2.15，前面的结果给出了导言中提到的经济解释：最优合约的形式是“现金加上股票价格过程中的路径依赖导数，再加上绩效w.r.t.基准投资组合”。由于导数可能不可复性，这表明[20，定理1]中的结构不必成立。下面第4.1节给出了一系列例子，其中我们可以明确提供最优合同的形式，在连续情况下恢复[20]的结果。

不过，它需要额外的符号，所以我们将结果声明推迟到第4节。备注2.23。为了简单易懂，我们采用了零利率和ct=ct（At）。非零利率和/或c（A，W）=Pt[ct（At）+γ行波管的情况-1] 可以用同样的方法精确求解，唯一的区别是βtwill不再是常数（但仍然是确定性的）。然而，合同的定性结构及其解释保持不变。3.一般可达性结果我们在本节中证明了代理人和委托人的一步问题的可达性，从而证明了动态问题的可达性。3.1. 探员的问题。我们从一个抽象的条件优化问题开始，其中代理的一步优化问题是特例。对于给定的一对随机变量（X，β）∈ L（Ft+1）×L（Ft），letG（t，X，β）：=ess supA∈L（Ft）Nn-ct（A）+UatX+βA■Pt+1o=：ess supA∈L（Ft）Ngt（A）。（15） 在通常情况下，gtis Ft-凹面，因此稳定（参见定义A.4）。上述优化问题的关键是将其简化为L（Ft）-有界集。引理3.1。在下列条件下，得到（15）中的本质上确界：∈ dom（Uat）和lim | a|→∞ct（a）| a |=+∞.证据我们打算应用定理A.6。显然是苏帕∈[L（F）]Ngt（A）=ess supA∈∧gt（A），其中∧={A:gt（A）≥ gt（0）}。集合∧是L-凸的，包含原点且为σ-这是桌子。∧issequentially closed是命题A.9的一个应用。暂时∈ [L（Ft）]并非完全无效，我们使用命题2中建立的变量表示法。8-结合：gt（nA）=Uat（X+nβA§P）- ct（nA）≤ K+E[ZX+|Ft]+nE[βZA~P |英尺]- ct（nA），（16）条件分析和一个委托代理问题12z∈ Wt。