条件分析与委托代理问题

定理2.15的证明首先我们将注意力转向代理的递归。让“a”成为一个通用的工作序列。从方程（7）中，我们可以看出-1） ：=UatΘ（P0:T）+Xs≥TβsW\'as+1- cs+1（as+1）-ct（\'at），我们得到递归ht（\'at，\'at，\'-1） =Θ（P0:T），Ht（\'at，\'at，\'at-1） =UatHt+1（\'at+1，…，\'at\'-1） +βt′at■Pt+1- ct（`at）。然后，在Ht方面：=ess supat，。。。，在-1Ht（在…，在-1） ，我们得到：Ht（\'at，\'at，\'-1) ≤ -c（\'at）+无节仰卧位+1，。。。，在-1Ht+1（在+1，…，在-1） +βt′at~Pt+1！。这就产生了Ht≤ ess苏帕特-c（at）+UatHt+1+βtat■Pt+1o、 对于t=t-1这是一个等式，假设值为HT-1在某些情况下实现-1.假设在前面的条件分析中等式成立，并且t+1的委托代理问题等式成立，T- 1，Ht+1在（^at+1，…，^at）达到-1). 这意味着：Ht≤ ess苏帕特-c（at）+UatHt+1（^at+1，…，^at-1） +β-tat■Pt+1o≤ 艾丝·厄帕特，。。。，在-1n-c（at）+UatHt+1（在+1，…，在-1） +β-tat■Pt+1o=ess supAt，。。。，在-1Ht（在…，在-1） =:Ht。所以实际上在时间t也就是Ht=ess supatn-c（at）+UatHt+1+βtat■Pt+1根据假设，最后一项是在某个点上得到的，从这个点上可以得到（点，…，点）-1). 这将关闭感应步，因此所需的递归保持不变。现在我们将严格地建立递归（11）（等价于（9））。为此，我们用β=（βt）ta表示主体的通用决策变量，a=（at）t表示主体的通用决策变量∈ L（Ft）N，对应于该药剂的最佳效果。LetN:=Xs≥t+1h（1- βs）as■Ps+1- Hs+1i。然后使用刚刚证明的Ht表达式（即。

（8） ），并设置Γ=βtat~Pt+1+Ht+1，我们得到：UptXs≥th（1）- βs）as■Ps+1- Hs+1i=Upt(1 - βt）at■Pt+1- Ht+1- ct（at）+N+UatHt+1+βtat■Pt+1,=Upt在■Pt+1- Γ+Uat（Γ）- ct（at）+N,=Uat（Γ）- ct（at）+Upt在■Pt+1- Γ+N.现在，在上面的最后一项中应用时间一致性和平移不变性，我们得到：UptXs≥th（1）- βs）as■Ps+1- Hs+1i= Uat（Γ）- ct（at）+Upt在■Pt+1- Γ+Upt+1（N）.因此调用ht+1（a，Γ）=Upt+1（N），我们得到递归（11）。也就是说，如果（a，Γ）不能满足这个递归，那么它们将不会被主体选择。同样地，我们得出（a，β）和（9）的结论。对于已经建立的ht（·）的递归，我们可以继续证明（12）我们证明H的递归的方法。首先回想一下，实际上ht（a，Γ）是ht（（as，Γs+1）s的缩写≥t） 。从这个和（11）我们有：ht（\'as，\'Γs+1）s≥（t）≤ 向上仰卧，Γht+1（A，Γ）+at■Pt+1-Γt+1！+Uat（Γt+1）- ct（`at）。这个庄园≤ ess sup（at，Γt+1）∈Ct（βt）Uptht+1+at■Pt+1-Γt+1+ Uat（Γt+1）- ct（at）。对于t=t-1这是一个等式（我们定义了hT=0），假设值为hT-1实现了。使用诱导，就像我们为H所做的一样，我们得到了（12）个结果。变量βtat变化的有效性■Pt+1+Ht+1→ Γt+1和C（β）作为诱导激励相容性的菌株的引入现在是显而易见的。这意味着h代表委托人未来的财富前景。因此，在时间t=0时，我们得到了整个委托人问题的解，并证明了委托人的最优财富为W- R+h.条件分析和委托代理问题26我们现在继续证明，委托人递归的解决方案确实提供了一个最优（动态）契约，并且代理的行为符合预期。调用（βt，At，Γt+1）t达到hin（12）的最佳数量。定义Θ和合同，如本定理所述。

然后：UaT-1.Θ+βT-1aT-1.~PT- 计算机断层扫描-1（在-1） =X0≤t<t-1hΓt+1- βtAt■Pt+1- Uat（Γt+1）+ct（At）iR+[ct-1（在-1) - 计算机断层扫描-1（在-1)] - UaT-1（ΓT）+UaT-1.ΓT- βT-1AT-1.~PT+βT-1aT-1.~PT.根据C（β）的定义，最后几项之和小于或等于0，在-1=至少-1.无需仰卧起坐-1nUaT-1.Θ+βT-1aT-1.~PT- 计算机断层扫描-1（在-1） o=R+X0≤t<t-1[Γt+1- βtAt■Pt+1+ct（At）- Uat（Γt+1）]。这表明在时间T-1.代理人选择-1当呈现（Θ，β）时。如果我们定义HT=Θ，我们因此有权将HT称为上述等式中的值（左侧或右侧）。通过使用反向归纳法（正如我们经常做的，因此省略），我们已经证明了合同S（定义自（Θ，β））对于委托人和激励相容（注意，自动H=R）是最优的，并且代理人确实根据本合同选择了A。参考文献[1]P.Barrieu和N.El-Karoui。风险度量和最优风险转移的Inf卷积。金融斯托赫。，9(2):269–298,2005.[2] 阿哈龙·本·塔尔和马克·特波尔。凸风险度量的一个新旧概念：优化确定性等价物。数学《金融》，17（3）：449-4762007。[3] B.比亚斯、T.马里奥蒂、J.C.罗切特和S.维伦纽夫。大风险、有限责任和动态道德风险。《计量经济学》2010年第78期。[4] J·F·邦南斯和A·夏皮罗。带扰动的优化问题：导览。暹罗版本。，40(2):228–264,1998.[5] K.博奇。互惠再保险条约被视为两人合作博弈。斯坎德。Aktuarietidskr。，1960:29–58（1961），1960年。[6] A.卡德尼拉斯、J.卡维塔尼奇和F.萨帕特罗。通过提供服务和项目选择实现最佳风险分担。J.经济。《理论》，133（1）：403–4402007。[7] P.切里迪托、M.库珀和N.沃格尔波特。Rd的条件分析。

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