条件分析与委托代理问题

我们已经展示了如何将动态约束问题简化为一个周期条件优化问题的递归序列。利用条件分析技术，我们建立了代理人和委托人问题的一般可达性结果，并推导了[20]中在马尔可夫PRP假设下，基于基本偏好和一般成本的最优契约的表示。有几个问题仍然悬而未决。首先，对线性合同的限制是不可取的。不幸的是，我们的方法并没有明显地延续到非线性合同中。第二，在PRP框架中，我们假设委托人观察驱动过程w。虽然这种假设在文献中似乎很常见，但更自然的假设是委托人只观察价格增量。如果一个人将代理人的传统信息解释为他的类型，这将在我们的模型中增加一个额外的逆向选择组件，从而导致非常复杂的优化问题。最后，分析有限责任下的投资组合委托模型会很有趣。如果一个人先验地将自己局限于某一特定类别的薪酬福利，比如看涨期权，那么我们的方法可能仍然可以用来确定最优合同的存在（在预先指定的类别内）。在没有任何先验限制的情况下，分析有限责任模型是一个开放的问题。附录A.条件分析本附录回顾了分析动态合同问题所需的条件分析结果。我们还将建立新的结果，这是解决PA问题的关键。有关有限维条件分析的详细讨论，请参考[7]及其参考文献；对于LPS空间的条件分析的彻底处理，我们参考[15]。A.1。有限维条件分析。

在给定的概率空间上(Ohm, F、 P）我们分别表示所有a.s.有限随机变量的byL和L集合。我们在这个集合上应用几乎确定的识别和排序，并计算：={X∈ L:X>- ∞ } L:={X∈ L:X<∞} 用N（F）表示，l中的变量集取N中的值∈ N和视图E:=[L（F）]是环L（F）上的有限维拓扑L（F）-模。在E上，我们定义了条件normkXk=（XX）（注意这是一个随机变量），其中乘积是欧几里德的。定义A.1。A集C E被称为：o如果1AX+1AcY稳定∈ C、 每X，Y∈ C、 A∈ Foσ-s表ifPn∈NAnXn∈ C、 对于每个s等式（Xn） C与划分（An） F ofOhmo L-凸ifλX+（1）- λ） Y∈ C、 每X，Y∈ C和λ∈ L值在[0,1]中，如果包含其a.s.收敛序列的所有极限，则顺序闭合L-如果ess supX有界∈CkXk∈ L.稳定的序列闭集是σ-稳定的我们定义了M∈ N（F）和（Xn） E元素xm=Pn∈NM=nXn∈ 注意，如果前一个序列属于σ-稳定设置，那么后者也会这样做。以下结果是经典Bolzano-Weierstrass定理的推广。引理A.2。Let（Xn） E be L-有界。然后就有了X∈ E和a序列（Nn）∈ N（F）使得Nn+1>Nnand X=limn→∞XNna。s、 此外，如果（xn） 使x:=lim sup xn∈ 五十、 然后存在一个序列（Nn）∈ N（F）使得Nn+1>Nnand x=limn→∞xNna。s、 条件分析和委托代理问题。关于第一个陈述，请参考[7，定理3.8]。对于第二种情况，定义N=0和Nn=min{m>Nn-1:xm≥ 十、- 1/n}。那么Nn∈ N（F）和Nn+1>Nn，其中Nn≥ n紧随其后。现在，注意这一点≥nxm≥ 卸荷点法≥Nnxm≥ xNn≥ 十、- 1/n a.s.，其中x=limn→∞xNna。s

与欧几里德的情况一样，凸性为有界性的必要和有效表征开辟了道路（见[7，定理3.13]）：定理a.3。设C是一个序列闭的L-E的凸子集，其中包含0。然后是C岛-有界的当且仅当对于任意X∈ 存在一个k∈ N这样kX/∈ C.现在让我们介绍定义在ofE子集上的函数的连续性、凸性和稳定性的概念，并在一组随机变量中取值。定义A.4。让C E.函数f:C→ L被称为：oL-X下半连续∈ 如果f（X），则为C≤ 每个序列（Xn）的lim inf f（Xn） C和A。s、 极限X.oL-在X处连续∈ 如果f（X）=lim f（Xn）无论何时（Xn） C有a.s.极限X.oL-凸if f（λX+（1）- λ） Y）≤ λf（X）+（1）- λ） f（Y），每X，Y∈ C和λ∈ l如果f（1AX+1AcY）=1Af（X）+1Acf（Y），则每X，Y中的值稳定∈ C、 A∈ F.对于最后两项，假设C为L-凸的，分别是稳定的。严格的L-凸性定义为严格的不等式。最后，如果f是C上的每一点，则f在C上称为（上/下半）连续。如果f在σ上是连续且稳定的-稳定序列闭集，则它也满足可数划分的稳定性。如果f是L-凸的还是L-凹的，则它是局部的（每当1AX=1AY时，意味着1Af（X）=1Af（Y），这本身直接意味着它还具有可数分区的稳定性。[7，定理4.13]的证明暗示了以下结果，因为作者真正使用的是σ-所考虑集合的稳定性（这是由它们更强的假设所暗示的）。我们在这里提供了充分的证据。引理A.5。如果一个非空集合C E是σ-稳定，不是我-有界，那么就有一个集合Ohm 用p（）Ohm) > 0和序列{Xn} 这样，每n∈ N、 |Xn |≥ n超过√Ohm证据

我们定义Un:={B∈ F:十、∈ C、 |X|≥ B}上的n是非空的，因为C是无界的，引入递减集族An：=ess supB∈UnB=1然后放一个：=TnAn。假设P（A）=0，或相当于P(∪nAcn）=1，则每X∈ C:|X |=XnX1{Acn∩一-1}≤Xn | X | 1{Acn∩一-1}≤Xnn1{Acn∩一-1}∈ L（F）。自从X∈ C是任意的，这意味着C是L（F）-有界。因此P（A）>0必须保持。根据ess sup的定义，我们知道存在{Bl，n}l∈ 取消那个ess supB∈UnB=suplBl，不适用。s、 这意味着An=SlBl，na。s、 以Xl为例，确认| Xl，n |≥ n在Bl上，n在X上*∈ C任意，让usde定义：X（n）：=X*{（SlBl，n）c}+XlXl，n{Bl，n∩(∪m<lBm，n）c}+X0，nB0，n，由于σ而属于c-稳定性显然| X（n）|≥ n1{SlBl，n}+|X*|1{（SlBl，n）c}，条件分析和一个委托代理问题，因此A.s.| 1AX（n）|≥ n1A。因此我们有| X（n）|≥ n在A上代表每n。下面的条件优化定理被用来证明Agent问题的可达性。关于证明，我们参考[7，定理4.4]。定理A.6。设C是E和f的一个序列闭且稳定的子集：C→我是一个L-连续性低，功能稳定。假设存在一个X∈ C使得集合{X∈ C:f（X）≤f（X）}是L-有界。然后存在一个^X∈ C如此^X= ess infX∈Cf（X）。如果f和C是L-凸的那么“arg min”集也是L-凸的，如果f是严格的-然后凸^X是唯一的（a.s.）优化器。最后，我们对条件有界随机变量采用Komlos型引理（如[12，引理A1.1]），我们用它来证明我们的一般可达性结果（定理2.18）。我们感谢裁判暗示我们现在给出的证据。引理A.7。

设{ξn}nbe[0+∞)-公共概率空间上定义的有值随机变量(Ohm, G、 P），取F a次西格玛代数，并假设集合C:=conv{ξn:n∈ N} 满足以下条件有界条件： ∈ L+（F），A.∈ L（F）使H∈ C、 P（h）≥ a | F）≤ .然后存在一个[0+∞)-有值随机变量X和一个s等式{xn}，其中xn等于{ξn，ξn+1，…}的凸壳这样xn→ 几乎可以肯定。证据[12，引理A1.1]证明了C在概率上是有界的。通过假设，我们得到pn:=ess-suph∈CP（h）≥ n | F）→ 0，作为n→ ∞ 和P-a、 自那以后，美国也有pn∈ [0,1]a.s.我们得出结论：E[pn]→ 0，这当然比suph强∈CP[h≥ n]→ 0，所以我们得出结论。A.2。Lp的条件分析。设F是G的次西格玛代数∈ [1, +∞ ] 我们定义：| | X | | p=E[|X | p | F]如果p∈ [1, +∞)ess inf{Y∈ L+（F）s.t.Y≥ |如果p=+∞.这是为每个X定义的∈ L（G）。我们进一步定义了条件Lp空间lpf（G）：={X∈ L（G）st.| | X | | p∈ L（F）}。[15]证明了LpF（G）是拓扑L（F）-拓扑环L（F）上的模和| |·| | | pis an L（F）-在LpF（G）上导出模拓扑的范数。A函数U:LpF（G）→ Lis呼叫：oL（F）-凹：如果U（λX+（1- λ） X′）≥ λU（X）+（1）- λ） 每λ的U（X′）∈ L（F）∩ [0,1]和每个X，X′∈ LpF（G）o适当：如果十、∈ LpF（G）使得U（X）>-∞ 和X′∈ LpF（G）它持有U（X）<∞o LpF（G）-上半连续：对于每个网络{Xα} LpF（G）收敛到条件范数中的某个X，它认为ess-infβess-supα≥βU（Xα）≤ U（X）o单调：如果U（X）≥ U（X′）每当X≥ X′o平移不变量：如果每X的U（X+Y）=U（X）+Y∈ LpF（G）和Y∈ L（F）以下表示结果重新表述了[15，推论3.14]：条件分析和委托代理问题定理A.8。让p∈ [1, ∞) U:LpF（G）→ L（F）满足上述条件。

设q是p和defi neW的霍尔共轭：={Z∈ LqF（G）：Z≥ 0，E[Z | F]=1}，α（Z）：=ess s upX∈LpF（G）{U（X）- E[ZX | F]}。然后U满足以下变分表示：U（X）=ess infZ∈W{E[ZX | F]+α（Z）}。在下一个命题中，我们证明了LpF（G）-上半连续性是L- LPA半连续性（见定义2.6）。这当然意味着命题2.8。提案A.9。设U:LpF（G）→ L（F）是L-半连续的。那么U也是LpF（G）-半连续的。此外，如果U也是真的、单调的、平移不变的和L（F）-凹的，那么U允许变分表示，并且对于任何N∈ N和 ∈ [LpF（G）]n函数（26）A∈ [L（F）]N7→ U（A）)在定义A.4的意义上是L-上半连续的。在同样的假设下，如果∈ [L（F）]N→A.s.和{n}nis LpF（G）-有界使得→ Γa.s.thenlim supnU（安 + Γn）≤ U（A） + Γ）证据。对于第一部分，通过[14，引理3.10]，足以证明s ets Kk:={X∈ LpF（G）：U（X）≥ k} 每k有条件地关闭∈ L（F）。我们将证明它们的补语是有条件开放的。为此，我们定义了这样一个k，并假设（Kk）CI不开放。因此我们取X，使得U（X）<k在一个不可忽略的集合上，并且对于每N∈ N（F）我们有Kk∩B（X，1/N）6=, 其中B（X，1/N）={Z:E（|Z）-X | p | F）≤ 1/N}。这意味着我们可以发现，对于每一个N∈ N（F），元素XN∈ B（X，1/N）使得U（XN）≥ k a.s.对马尔可夫不等式yieldsP（|XN）的直接改编- X |≥ | F）≤E（|XN）- X|p|F）p每∈ L（F）++。由此我们可以找到元素Mn中的每一个自然数∈ N（F）这样：o每N∈ N（F）圣·N≥ Mnit认为P（|XN）- X|≥ 1/n | F）≤ 1/na。s、 o对于每n:Mn+1>Mna。s、 现在，我们将使用“Borel-Cantelli引理”类型的推理来证明序列{XMn}几乎肯定收敛到X。

首先请注意，对于固定的∈ N:Xn∈NP（|XMn）- X |≥ 1/l | F）≤Xn≤lP（|XMn）- X |≥ 1/l | F）+Xn>lP（|XMn）- X |≥ 1/n | F），并且由于最后一项的范围大于byPn>l1/n，所以原始和属于L（F）（a.s.有限也是如此）。现在定义i.o.{XM·- X |≥ 1/l}:=Tm∈NSn≥m{| XMn- X |≥ 1/l}。然后：P（i.o.{| XM）·- X |≥ 1/l}|F）≤ P[n]≥m{| XMn-X |≥ 1/l}|F≤Xn≥mP（|XMn）- X |≥ 1/l | F），因此左侧不依赖于m，而右侧随着m的增加，a.s.趋于0。这表明P（i.o.{| XM·- X |≥ 1/l}|F）=0 a.s.接受期望，P（i.o.{|XM）·- X |≥ 1/l}=0。因为这对每一个l都成立，所以我们得出结论：{XMn}确实几乎肯定会收敛到X。条件分析和委托代理问题22最后我们得到了l-LPK上半连续假设≤ lim supnU（XMn）≤ 定义为XMn的U（X）a.s.自∈ B（X，1），但U（X）<k在一个不可忽略的集合上，这是一个矛盾。这就完成了对第一个陈述的证明。根据定理A.8和第一个定理，我们知道U有一个变分表示。那是7→ U（A）)is L-上半连续是命题中最后一个断言的结果（取Γn=0）。因此，要确定最后一项主张并完成证据，就必须强制执行 + Γn | p | F]1/p≤ C supi=1，。。。，N|Ain|E[||p | F]1/p+E[|n | p | F]1/p，并观察到r.h.s.由L（F）中的一些r.v.从上到下，由Γ的条件Lp有界性和自Anconverge a.s.All in All{ + Γn}nis LpF（G）-有界且收敛于a.s + Γ，因此我们通过L得出结论- 上半连续假设。附录B.优化确定性等价物和定理2.21的证明我们从第2.2节示例的一些技术结果开始。引理B.1。

下面是一个例子。（i） （3）中的扩展适用于TVAR，更一般地，适用于优化的确定等价族，1∈ ∩色调（dom（H）*t） ）并且每一个Ht从下面开始有界（相当于0）∈ dom（H）*t） ）。（ii）取F=Ft，G=Ft+1固定。对于任何γ>0和λ∈ （0,1），熵函数lx∈ LF（G）7→ -γ测井（E（exp(-γX）|F），以及风险函数lx的尾值∈ LF（G）7→ 女服务员：谢谢s- λ-1E（[s]- 十] +| F）,是吗-鲁。s、 c.更一般地说，优化的确定性等价物∈ int（dom（H）*)) 阿雷尔- 鲁。s、 c.（iii）TVAR家族，以及更普遍的OCE家族∈ ∩色调（dom（H）*t） ）且每个HTI从下方有界，粘贴后均满足假设2.7。证据对于TVAR，我们有H（l）=λ-1[l]+和H*（x） =ψ[0，λ]-1] （x）[0，λ]的凸指示符-1]. 特别是，1∈ int（dom（H）*)) H是下界的。在下文中，我们将使用后一种条件适用的抽象OCE。i） 必须证明（3）定义的扩展产生了一个永远达不到其值的函数+∞. 让U代表满足所述属性的任何OCE（与H相关），并让Xbe代表未达到的r.v+∞. 1+∈ int（dom（H）*)) 我们定义：=∞Xn=1n1P（X≤n | F）>[1+n]-1，P（X）≤N-1 | F）≤[1+]-1=inf{n∈ N:P（X）≤ n | F）>[1+n]-1} ，它是有限的，属于N（F）。受[8，证明（12）]的启发，我们引入了一个分区a:={P（X）≤ NF）>0}和An:={P（X）≤ N+N|F）>0，P（X）≤ N+N- 1 | F）=0}forn≥ 1，所以我们定义ξ=Xn≥0AnX≤N+nP（X）≤ N+N|F）。条件分析和委托代理问题23那么很容易看出E[ξ| F]=1和ξ∈ [0，1+]，所以a.s.ξ∈ dom（H）*). 我们得出结论∧ k） =ess sups{s- E[H（s- 十、∧ k） ]}≤ ess sups{s- sE[ξ| F]+E[ξ（X）∧k） +H*（ξ） |F]}≤ E[ξX | F]+E[H*（ξ） | F]≤Xn≥0An[N+N]+E[H*（ξ） |F]<+∞,从H*必须将[0，1+]发送到一个有界集合中。

亨塞尔→+∞U（X）∧ k） <+∞ 我们得出结论。ii）取LF（G）中的Xn边界，这样Xn→ X a.s.适用于任何C∈ L（F）我们想证明如果ess支持- E（H（s）- Xn）| F）}≥ C然后也是ess sups{s- E（H（s）- 十） |F）}≥ C.的确，让我们先看看sn∈ L（F）这样- E（H（sn）- Xn）| F）≥ C- N-1.因为H是凸的，下半连续的，并且是真的，所以我们得到了H（sn）-E（Xn | F））≥ R[sn-E（Xn | F）]- H*（R） 对于每个R，尤其是n[1]- R]≥ C-N-1.- H*（R）- RE（Xn | F），每R∈ dom（H）*). 如果我们能找到∈ dom（H）*) ∩ (1, ∞) 那么对于这样的元素，我们就有了≤C- N-1.- H*（R）- RE（Xn | F）1- R.同样，如果R∈ dom（H）*) ∩ (-∞, 1） 那时我们就已经存在了≥C- N-1.- H*（r）- rE（Xn | F）1- r、 总之，我们可以得出这样的结论：由于随机变量xn在LF（G）中有界，所以这些量是L（F）有界的。通过引理A.2，我们可以找到Nn∈ N（F）增加到+∞这样sNn→ “对一些人来说是a.s.”∈ L（F），显然是XNn→ X自动售货机。按地点我们会有- E（H（sNn）- XNn）| F）≥ C- Nn-1.以lim su pn为例，利用H下面有一个函数和条件Alfatou引理的事实，我们可以得到- E（H）s- 十） | F）≥ C.这很容易暗示我们想要证明的东西。最后，观察条件dom（H*)∩(1, ∞) 6=  和dom（H*) ∩ (- ∞ , 1) 6=  加起来等于1∈ int（dom（H）*)) 在我们的情况下，从1∈ dom（H）*) 根据定义和H*它是凸的。iii）已处理上半连续性。在规定的条件下，粘贴也已被调整，因此只需在Ut域上显示条件。如果X∈ dom（Ut），那么肯定有一些∈ R使得E[H（s-十） |Ft]<∞. 但由于H是从下方有界的，这意味着E[H（s+X-)|Ft]<∞ , 通过H的归一化性质（意味着H（l）≥ l） 我们依次得到E[X]-|Ft]<∞ 如你所愿。备注B.2。

在前面的证明的第一部分中，我们必须重新证明[8，证明（12）]的原因是我们想要包括dom（H）的情况*) 6= [0, ∞), 以涵盖TVAR家族等。这就产生了同时满足E[ξ| F]=1，ξ的ξ的困难∈ [0,1+]和E[ξX|F]<∞ .条件分析和委托代理问题24B.3。如果UAT是一个优化的确定性等价物（见例2.4），我们可以通过LemmaB知道。1和命题A.9，它有一个变分表示。注意，然后通过杨不等式，αt（Z）≤ ess supXess sups{s- E[Ht（s- 十） |英尺]- E[ZX | F]}≤ E[H*t（Z）| Ft]，当Z∈ L∞Ft（Ft+1）是s.t.E[Z | Ft]=1。在[8]和[9]中，证明了在给定条件下，存在（Z）以上的质量∈ Wt）。在任何情况下，我们都可以看到关于Ka的定理2.18中的条件，如果这些效用函数为1∈ int（dom（H）*t） ）；实际上，我们可以取>0，这样[1- , 1 +  ]  dom（H）*t） 。利用前面的结果，我们证明了最优契约的普遍存在性。定理2.21的Pro。我们可以称之为sume F=FA。在H的给定条件下，K的条件（见定理2.18）满足，这要归功于R emark B.3。根据命题2.20，仍然需要证明ht+1∈ 每个t的dom（Upt）。使用杨氏不等式或引用备注B.3，我们知道Uat（X），Upt（X）≤ E[X |英尺]。从这里我们可以看到（A，Γ）≤ -c（A）+AE[~P |英尺]+E[ht+1 |英尺]≤ -ct（A）|A|-2p+p-|A |+E[ht+1 |英尺]≤ Kt+E[ht+1 | Ft]，我们在这里使用它|~Pt+1 |=| diag（Pt）-1.Pt+1|≤2p+p-以及Kt的存在∈ R是CTA增长及其连续性的结果。从这里我们可以了解到≤ Kt+E[ht+1 | Ft]和反向感应的ht=0，则hpt+1≤ 对于某些常数和所有t，up的单调性意味着ht+1∈ dom（Upt）。附录C。