条件分析与委托代理问题

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英文标题：
《Conditional Analysis and a Principal-Agent problem》
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作者：
Julio Backhoff, Ulrich Horst
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We analyze conditional optimization problems arising in discrete time Principal-Agent problems of delegated portfolio optimization with linear contracts. Applying tools from Conditional Analysis we show that some results known in the literature for very specific instances of the problem carry over to translation invariant and time-consistent utility functions in very general probabilistic settings. However, we find that optimal contracts must in general make use of derivatives for compensation.
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中文摘要：
分析了线性契约委托组合优化中离散时间委托代理问题中的条件优化问题。应用条件分析的工具，我们表明，文献中已知的一些关于该问题非常具体的实例的结果，在非常一般的概率设置下，会转化为平移不变和时间一致的效用函数。然而，我们发现，最优合约通常必须利用衍生品进行补偿。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Conditional_Analysis_and_a_Principal-Agent_problem.pdf (400.54 KB)

2022-5-7 14:05:46 上传

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关键词：代理问题 委托代理 Optimization Quantitative Mathematical

条件分析和委托代理问题Julio BACKH of AND ULRICH HORSTAbstract。分析了线性契约委托组合优化中离散时间委托代理问题中的条件优化问题。应用条件分析中的ols，我们展示了文献中已知的关于该问题的特定实例的一些结果，在非常一般的概率设置下，传递到翻译不变和时间一致的效用函数。然而，我们发现，最优合约通常必须利用衍生品进行补偿。关键词：委托代理问题，条件分析，组合委托，变分效用。MSC 2010:91G10,91G80,91A25,46S10,90C39。杰尔：G110，C610，C650，D860。1.引言本文分析了委托证券组合管理的动态委托代理问题中的条件优化问题。在这些模型中，属于道德风险下的收缩问题，投资者（委托人）将其投资组合选择外包给经理（代理人），投资者不能或不想监督经理（代理人）的投资决策。[17,18]首次在静态环境和[24,23]动态环境中研究了道德风险问题。近年来，这些问题在经济学和金融数学文献中再次受到关注。这项开创性的贡献[22]分析了连续时间内的动态道德风险问题，其中输出是一个扩散过程，其漂移由代理人的影响力决定。基于代理的连续值作为状态变量，使用复杂的随机控制和PDE方法计算最优契约。

使用类似的工具，[3]研究了一个PA模型，在该模型中，有限责任的arisk中立代理人必须施加不可观察的影响，以降低发生较大但不频繁损失的可能性。[25]将随机最大值原理应用于动态PA模型，以确定最优性的一阶条件。在最一般的情况下，随机最大值原理通过一个完全耦合的前向-后向随机微分方程组来描述最优契约，该方程组不存在一般的存在性理论。这些方程通常只有在分析局限于由布朗运动驱动的模型、特定偏好（通常为线性、预期指数或幂效用函数）以及信息对称（即双方观察驱动布朗运动）时才能显式求解。我们参考专著[11]对动态PA模型的数学文献进行了系统的调查，并参考[10]对不完全信息下的投资组合授权的最新模型进行了研究，这将导致更复杂的动态。我们的工作是由欧阳在[20]中的工作推动的，这在某种意义上是在[6]中推广的，其中分析了连续时间内的委托投资组合管理问题。在他的模型中，来自韦德纳·豪普斯特尔（Wiedner Hauptstr）经济统计与数学方法研究所的AgentVienna理工大学。8/E105-7 MSTOCH 1040维也纳，奥地利。电子邮件：胡里奥。backhoff@tuwien.ac.at作者感谢欧洲研究理事会（ERC）的FA506041和奥地利科学基金（FWF）在Y00782拨款项下以及柏林数学学院提供的资金支持。柏林洪堡大学数学研究所。

电子邮件：horst@mathematik.hu-柏林。感谢通过SFB 649经济风险部提供的非财务支持。条件分析和委托代理问题2观察价格（几何布朗运动），而委托人观察价格和代理人投资策略产生的财富波动；投资决策不为委托人所知，仅为代理人所知。在指数效用假设下，通过HJB方法解决了收缩问题，发现最优契约的形式为“现金加上产生的财富和基准投资组合的凸组合”；衍生品不是最优合约的一部分。我们的目标是阐明最优契约问题的数学结构，并分析委托人和代理人偏好下的条件。均衡契约的主要结构导致[20]结转至更一般的概率设置。为此，我们考虑离散时间下的PortfolioEdegation模型，保留了对契约空间和信息结构的假设，但考虑了相当一般的效用函数和价格动态。我们对偏好的主要假设是时间一致性和翻译不变性；这种偏好在数学金融文献中得到了广泛研究；参见[1,2,8,9,15]。通过对偏好的选择，我们证明了动态契约设计问题可以归结为一系列约束条件下的风险分担型单周期条件优化问题，最优契约可以通过后推法计算。为此，我们采用了通常的方法，将代理在任何时间点的延续效用视为委托人的决策变量，委托人的决策受到激励相容约束的限制。

据我们所知，这一观点最初是在[24]中提出的，后来又在[23]中提出。我们将动态契约问题简化为一系列条件单期问题的方法类似于[8]中使用的方法，其中分析了不完全市场中的均衡定价模型。不过，其中的优化更简单，因为风险交换是通过可交易资产所跨越的线性子空间进行的，而在我们的模型中并非如此。我们的优化问题可以被视为[1,5,8]中分析的问题的条件扩展，其中风险的交换通过（条件）LPS空间进行。条件分析——参见[15,14,7]——为解决条件优化问题提供了一个框架，同时避免了技术上可测量的选择因素。由于激励相容约束，我们的条件单周期优化问题不是凸的。然而，通过合同的选择，委托人和代理人的问题可以合并成无约束的问题，如果可以解决，就会产生一个最优合同。从经济学的角度来看，将问题简化为无约束问题意味着，如果存在道德风险，那么第一个最佳解决方案是可以实施的：如果委托人和代理人拥有相同的信息，并且必须分享他们之间交易的收益和损失，从而使总效用最大化，那么他们所获得的合同是相同的。直觉是，在计算最优契约时，委托人计算代理人的最优行为作为股价的函数。

这解决了信息不对称问题，并最终导致我们的主要结果，即最优合约（如果存在的话）的形式是“现金加上产生的财富和基准投资组合的凸组合，再加上股价过程中的路径依赖型衍生工具”。特别是，在最优合同下，委托人将通过交易获得的财富全部交给代理人，以换取基准投资组合加上（通常不可复制的）衍生工具。在[eff]的基准中，最优投资组合与[eff]相关。不相似[20]衍生品通常是最佳补偿方案的一部分。在马尔可夫模型中，在可预测表示性质（PRP）下不需要导数。后者包括[20]中模型的离散时间版本，以及对称条件下的许多标准动态风险分担问题。从可预测的表示性质来看，不确定性由许多随机因素跨越。条件分析和委托代理问题作为特例。只有在这种（受限的）设置中，我们才能在命题4.8中证明，只要代理人和委托人的偏好源自一个共同的基本偏好函数（例如指数效用），合同的结构会导致[20]结转到更普遍的偏好。主要的挑战是解决无约束优化问题。我们遵循的方法是证明潜在优化器集在适当的意义上是有界的。最普遍的情况是，我们使用的是条件形式的L空间，条件效用函数在球上具有一定的顺序upp er半连续性，这特别是按照[13,16,19]的精神产生了参考泛函的变分表示。

从有界到最优性的转换使用了一种形式的us-ual-Komlos论证。由此，我们在定理2.21中完全解决了一类最优确定性等价（OCE）效用的PA问题，包括风险平均值和有界价格。在PRP下的马尔可夫框架中，我们的静态条件问题归结为欧几里德空间中的确定性问题。对于这种设置，我们通过拉格朗日乘子法为一般过程找到最佳契约。在PRP下，我们的收缩问题的解也可以通过一个耦合的倒向随机微分方程组的解来获得。如[8]中所述，拥有离散模型的好处在于，此类系统可以通过反向归纳法求解，而连续时间等价物通常难以解决。这一点，以及连续时间模型不太可能比离散时间模型更深入地了解最优合同的结构这一事实，激发了我们的离散时间框架。本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们介绍了建模框架，包括偏好和契约空间。我们展示了如何将动态问题简化为一系列静态问题，并给出了我们的主要结果以及这些结果可以应用的示例（OCE）。在第三节中，我们证明了代理人和委托人问题的一般可达性结果。第4节我们专门分析假设马尔可夫性和PRP，这使我们能够明确地获得最优合同。在附录A中，我们调查了现有的条件分析结果，并证明了我们在整个工作过程中需要的新的条件分析结果。附录B和C分别证明了OCEs的结果和本文的主要结果之一。符号我们采用向量被视为列向量的约定。

向量xis的转置表示为x′，除非另有必要，否则两个向量x，y的内积表示为xy。通常，（·）+和（·）-表示取正的和负的部分。2.模型和主要结果我们考虑了一个离散时间模型，对于某些确定的终端时间T<∞.不确定性由概率空间建模(Ohm, F、 P）。概率空间包含一个N维、严格正的贴现股价过程P={Pt}，我们用F={Ft}表示它的过滤。在整个过程中，E[Pt+1 | Ft]是有限的。我们把Pt+1:=Pt+1-普坦德~Pt+1:=diag（Pt）-1.Pt+1，其中diag（·）表示与其参数中的向量相关联的对角矩阵。同一符号适用于与P不同的其他过程。我们写P0:to表示价格过程从时间0到t的路径。对于σ-代数G，我们用L（G）表示实值G-可测函数集。L（G）和L（G）表示取R值的G-可测函数集∪ {-∞}, 分别是R∪{+∞}.2.1. 福利水平和财富动态。每次∈ T:={0，1，…，T- 1} 根据委托代理文献，代理人（he）选择一个我们称之为效率水平的N维Ft可测量随机变量。对于委托的投资组合，所有的平等和不平等都应理解为P-a.s.意义上的平等和不平等。条件分析和委托代理问题4优化应用我们记住向量At代表每项资产的投资金额。选择ATI的相关成本由ct（At）给出。我们做出以下长期假设：假设2.1。成本函数ct（·）：RN→ R对于每个t都是严格凸的∈ 只有代理商知道T.E.F.水平。

当时的财富∈ 与作用水平a={At}的s等式相关的T由以下公式给出：（1）WAt=W+WA+··+WAt=W+Xs<tAs■Ps+1。委托人（她）逐步观察股票价格和财富水平，并根据其可用信息向代理人提供合同。[20]之后，一份合同将由一个线性组合组成，即根据价格过程的演变支付费用，以及根据财富增量线性支付报酬。这包括终端财富上的可复制衍生品。2.2. 偏好。付款根据一系列时间一致和平移不变的效用函数进行评估。为了与现有文献相联系，我们首先定义了几乎无限随机变量空间上的偏好泛函（“一般框架”）。随后，我们引入一个附加的条件可积性和连续性条件（“条件L框架”），从中我们推断出偏好泛函的变分表示。时间一致性和平移不变性允许我们将动态契约问题简化为一系列条件一步问题，而变分表示允许我们陈述委托人和代理人的条件最优一步支付和行为在任何时间存在的充分条件。2.2.1. 总体框架。为了介绍我们的偏好函数，我们用FA表示，对于给定的a级选择，由一对过程（P，WA）产生的过滤。对于代理人而言，则为过滤和FAcoincide；对委托人来说，除非她知道代理人的行为，否则他们会有所不同。然后用一系列效用函数对各自的偏好进行编码：（2）Uat:L（FT）→ L（英尺）和Upt:L（脂肪）→ L（脂肪）（t）∈ T） 。我们使用ua和Upwhen表示代理人和委托人的偏好。

对于过滤{Gt}和族U:={Ut}的效用函数Ut:L（Gt）7→ L（Gt）我们说U是：o如果Ut（0）=0，则为范数，o如果存在X′，则为真∈ L（GT）s.t.Ut（X′）>-∞ 和Ut（X）<∞ 为了所有的X∈ L（GT）o如果Ut（X），则为mon otone≥ 当X，Y∈ L（GT）和X≥ YoFt如果Ut（λX+（1）条件凹-λ） Y）≥ λUt（X）+（1）-λ） Ut（Y）λ∈ L（Gt）∩[0,1]和X,Y∈ L（GT），o当Ut（X+Y）=Ut（X）+Y时，Ft平移不变量∈ L（GT）和Y∈ L（Gt），oUt+1（X）时的时间一致性≥ Ut+1（Y）表示Ut（X）≥ 尽管如此∈ T.我们将这些公理作为通常的条件/假设，并表示bydom（Ut）：={X∈ L（GT）：Ut（X）∈ L（Gt）}，为简单起见，我们假设利率为零。委托人观察价格和财富动态的事实并不一定意味着她可以直接观察代理人的决定。对于最优合同，委托人确实知道代理人的决策是价格的函数。然而，这并不是真正的“效果平衡”。因此，此时我们需要区分代理人和委托人的信息。Ut领域的条件分析和委托代理问题。关于常用条件及其对效用优化和均衡定价的影响的详细讨论，请参考[8]及其参考文献。例如，众所周知，它们暗示了塔的属性，即当X∈ dom（Ut+1）以及局部属性，表示每当X，Y∈ L（GT），A∈ GT和1AX=1AY。我们始终假设UAT和UPT满足通常条件w.r.t.各过滤。如以下示例所示，它们满足广泛的偏好类别。例2.2（熵效用）。给定一个常数γ>0，则熵族由ut（X）=-γ对数E[exp(-γX）| Gt]，显然满足通常条件。示例2.3（粘贴）。