条件分析与委托代理问题

利用A，β是Ft-可测的，且柯西-施瓦兹逐点应用，我们从集合（16）中最后两项之和的上方开始，在集合中A不消失：n | A |β| E[Z~P |英尺]|- ct（nA）≤ n|A||β| | E[Z~P |英尺]|-ct（nA）n|A|.自从Z∈ L∞英尺（英尺+1）和| E[| P | Ft]|是a.s。通过假设，我们发现主要术语倾向于-∞ 关于一个不可忽略的集n→ ∞ gt（nA）也是如此。因为gt（0）=Uat（X）- ct（0）>-∞ 通过假设，我们得到了一个矛盾，因此定理a.3表明∧是L（Ft）-有界的。因此，理论。6适用于ess supA∈∧gt（A），因为映射A为7→ gt（A）是L-上半连续的。9.这是对可实现性的小报。下面是前面引理的直接推论。推论3.2。假设Ht+1∈ dom（Uat）和lim | a|→∞ct（a）| a |=+∞. 然后，如（8）所示，在时间t时，代理的一步条件优化问题得到了解决。3.2. 校长的问题。在这一节中，我们将证明定理2.18，它使命题2.16更加尖锐。在时间t中，委托人的问题在于最大化vt（A，Γ）：=Uat（Γ）- ct（A）+Uptht+1+A■Pt+1- Γ.从备注2.14中回想，委托人的偏好函数可能会被认为是从L（FT）到L（FT）的映射，满足定理2.18的美国假设w.r.t.F.Pro。让我们介绍一下集合：={（A，Γ）∈ L（Ft）N×Q:V（A，Γ）≥ V（0，0）}，其中Q:=Γ ∈ LFt（Ft+1）：E[Γ| Ft]=0. 在最大化V时，即在计算∑时，我们可以假设Γ∈ LFt（Ft+1），因为对于候选optima，Γ和-Γ必须分别位于ua和uprespective的域中，并且假设这会产生Γ-, Γ+∈ LFt（英尺+1）。因此，我们可以进一步假设（A，Γ）属于S，因为Γ的Ft可测量分量在V中抵消，即∑=ess sup（A，Γ）∈SV（A，Γ）。在第一步中，我们将展示setSA:={a∈ L（Ft）N：存在Γ∈ Q以至于（A，Γ）∈ S} 是L（英尺）-有界。

为此，我们首先注意到V（0，0）=-c（0）+Upt（ht+1）∈ L（英尺）。取Z∈ dom（αp）∩ dom（αa）∩ W∩ L（Ft）（例如Z=1）并使用偏好函数的变分表示，我们得到：Uat（Γ）≤ αa（+Z）+ZE[Γ| Ft]Upt（h+a~P- Γ) ≤ αp（Z）+ZE[h | Ft]-~ZE[Γ| Ft]+~ZE[A]~Pt+1 |英尺]。为了Γ∈ Q术语E[Γ| Ft]消失，henceV（0，0）≤ αp（~Z）+αa（~Z）+~ZE[h | Ft]+|a | |ZE[~Pt+1 | Ft]|- c（A）。由于sai是σ-稳定的，我们可以使用引理A.5得出结论。实际上，如果SAwere不是L（Ft）-有界的，那么就存在一个不可忽略的集合√Ohm 和序列{An} 萨苏那|安|≥ n on√Ohm. 类似的论证条件分析和引理3.1中的委托代理问题13将建立V（0，0）=-∞ 在一个不容忽视的背景下，与我们的假设相矛盾。因此，sam必须是L（Ft）有界的。接下来，我们证明了集合Γ：={Γ∈ 问：存在一个问题∈ L（Ft）n表示（A，Γ）∈ S} 以LFt（英尺）为基础。让我们选择∈ L（英尺）∩ （0,1]如该定理所述，fixΓ∈ SΓ和deΓneZa:=1+[1Γ≤0- P（Γ）≤ 0 |英尺）]∈ L∞（英国《金融时报》）∩ [1 - ，1+]Zp:=1+[1Γ>0- P（Γ>0 | Ft）]∈ L∞（英国《金融时报》）∩ [1 - ，1+]自从Γ∈ Q我们看到了[ZaΓ|Ft]=-E[（Γ）-|[Zp|Ft]=E[（Γ）+|Ft]。此外，E[Za | Ft]=E[Zp | Ft]=1，这意味着Za，p∈ WTP和αp（Zp）≤ kP和αa（Za）≤ 灵魂。因此，我们获得了这一点（Γ）≤ -E[（Γ）-|Ft]+Ka，向上（h+A）~P- Γ) ≤ E[Zp（h+A）~P）|英尺]- E[Γ+|Ft]+Kp≤ 2E[h | | | Ft]+2 | A | E[|~P | |英尺]- E[Γ+|Ft]+Kp≤ N- E[Γ+| Ft]，对于某些N∈ L（Ft），其中后一个不等式由假设和一个事实所遵循，即已经证明了作用力水平是L（Ft）-有界的。因此对于（A，Γ）∈ 我们有（0，0）≤ V（A，Γ）≤ N+Ka- E[（Γ）-|[Ft]- E[Γ+|英尺]- ct（A）≤~K- E[|| | Ft]，对于一些| K∈ L（英尺）。这意味着SΓ在LFt（FT）中有界，因为>0a.S。接下来，我们注意到存在一个序列（An，Γn）∈ V（An，Γn）↑ ∑s因为s是向上的。

的确，如果V（Ai，Γi）≥ V（0，0）表示i=1，2，如果我们定义ξ={V（A，Γ）≥ V（A，Γ）}和（A，Γ）=（A，Γ）1ξ+（A，Γ）1ξc，然后V（A，Γ）=max{V（A，Γ），V（A，Γ）}≥ V（0，0），因为V中的术语是Ft-稳定与ξ∈ 通过SAbeing L（Ft）-有界，我们可以以迭代嵌套的方式，将通常的Komlos引理（或引理A.7）应用于序列{An}的每个分量的正负部分，即取凸组合的凸组合等等。另一方面，SΓ的LFt（FT）-有界性意味着，根据Jensen不等式，Emma A.7中的技术条件适用于序列{Γn}n的正负部分，因此我们可以再次采用凸组合的凸组合。总之，我们找到了一个带π的非负实数序列{λni}≥nλni=1，随机变量Γ*∈ L（英尺+1）和A*∈ L（Ft）n表示Γn=Pi≥nλniΓi→ Γ*和An=Pi≥nλniAi→ A.*a、 s.（对于每个组件）。还有（~An，~n）∈ Sby凸性。此外，∑=limnV（An，Γn）=limnXi≥nλniV（Ai，Γi）≤ lim supnV（~An，~Γn），因为（a.s.）收敛的实数序列在其尾部的凸组合下保持收敛，而V是凹的。V中的成本项是u.s.c.，由于sΓ是LFt（FT）-有界的，我们得到V thatlim supnUa中的audermΓn≤ Ua（Γ）*). 最后，对于V中的上升项，我们从命题A.9中的最后一个断言中得出：ht+1+~An■Pt+1-Γn≤ 上升（ht+1+A）*■Pt+1- Γ*). 因此，我们得到了条件分析和委托代理问题14∑≤ V（A）*, Γ*) 因此我们有了平等。这表明∑<∞ 因为偏好泛函是正确的。最后，通过命题2.16，我们得出结论：β=1是最优的，并得到了Principal的一步问题。我们现在开始定理2.19的证明。定理2.19的Pro。

让我们首先确定一个A级的效果，并将x:=h+A~Pt+1和^γ：=γaγpγa+γp。偏好函数产率的凹性：ess supΓ{Uat（Γ）+Upt（x- Γ）}=ess supΓ^γγaUt（γaΓ）+γpUt（γp[x- Γ])≤γUt（γx）。另一方面，服用Γ*=γpγa+γpx可以得出γaUt（γaΓ*)+γpUt（γp[x-Γ*]) =γUt（γx）。因此Γ*达到上面的基本上限。因此，校长的问题归结为：（17）ess supΓ-ct（A）+γUt^γ[ht+1+A~Pt+1].如果这个问题是在一个特定的时间内解决的*, 那么前面的论证表明Γ*=γpγa+γp（ht+1+a）*~Pt+1）等时。问题（17）的形式与引理3.1中分析的相同，只是用^γUt（^γ·）代替ua，调用X=h，取β=1。特别地，我们得到了优化器A的存在性*. 因为一步无约束问题已经实现，命题2.16表明，取β=1，A*Γ*此时t会产生一个最佳的一步决策。备注3.3。在本文中，我们选择在Lp类型的最大条件（loc.凸）空间中工作，这就是条件Lspace。原因有两个。一方面，如果我们与smallersubspaces合作，原则上我们手头会有更多工具来证明Principal的单步问题的可实现性。然而，我们选择了不限制效用函数的范围，根据它们的领域，这一理论将适用于。另一方面，即使承认我们的- Lupper半连续性要求并不是一个温和的要求，替代方案是从一开始就对我们的泛函（更准确地说，是它们的进化）施加某种“超紧性”，或者再次使用比条件L更小的空间；理想情况下，有条件地反映现实。

在我们看来，我们的s意味着顺序的（更确切地说是点式的）L-Lupper Semiconductinuity的优点是，与其他非常有效的要求相比，它更易于处理，技术要求更少。4.可预测代表下的最优合同到目前为止，我们的概率空间和价格过程是相当一般的。在本节中，我们为问题添加更多结构，以获得更明确的解决方案。特别是，我们确定了波动率矩阵σ∈ 具有线性独立行（d）的RN、d≥ N） ，假设信息流是由d维过程“w=（w，…，wd）产生的，其演变过程由双方观察，价格动态如下：（18）Pt+1=diag（Pt）[u+σ “-wt+1]此外，我们将在以下“可预测表示属性”下工作，并假设我们的效用泛函满足马尔可夫条件。假设4。1.可预测表示属性（PRP）适用于：对于某些D∈ N∪ {0}存在进程wd+1。。。，wd适用于过程w生成的过滤{Ft}，因此扩展过程w=（\'w，…，\'wd，wd+1，…，wd）具有独立于过去的不相关增量，具有零均值、非平凡的有限秒矩，以及（19）L（Ft+1）=x+Zwt+1:x∈ L（英尺），Z∈ [L（Ft）]D.条件分析和委托代理问题15我们强调，如果最初驱动价格的d维“w”过程没有享受PRP，那么假设4.1简单地说，我们可以以这样的方式完成前一个过程，即扩大的过程确实享受PRP，而不改变模型的信息结构。以下示例阐明了我们的PRP假设。例4.2（伯努利步行）。考虑在Rd，d独立伯努利步行街w，在时间网格{0，h，2h，…，T}上，从0开始，这样P(机智=√h） =P(机智=-√h） =。

除非d=1，否则无需填写完整（19）。然而众所周知，对于D=2d- 1，存在一个适应的族WD+1，··，wDof同样分布的随机游动，这样整个扩展族w，Wdhas增量彼此不相关且独立于过去，因此（19）成立。我们进一步将自己局限于满足以下马尔可夫性质的偏好泛函。假设4.3。发电机gl（l=a，p）由Z定义∈ [L（英尺）]D7→ glt（Z）：=Ult（Z）wt+1）是马尔可夫的，即ga、gpmap到RDR。如果功能U的偏好满足通常条件且PRP成立，则UTI的所有相关信息由其生成器汇总。很明显，GT继承了UT在原点和凹面处为空。在P可能只取有限个值的情况下，根据“局部性质”，Z（·）=zgt（Z）（·）=1Z（·）=zgt（Z）（·）=1Z（·）=zgt（Z）（·）。例4。4.对于优化的确定性等价物，生成器g（x）：=Ut（xwt）=sups{s-E（H（s）-十、显然满足了PRP下的马尔可夫假设。备注4.5。在假设4.1下，可以直接将代理人和委托人的递归重写为后向随机差分方程。在这样做时，我们将用γ代替Γ在原则的问题上，这作为副产品有很大的优势。首先，你可以放下L-Lupper半连续性假设，并简单地处理效用泛函的变分表示。事实上，根据命题A.9的（26），这意味着变量（A，γ）中V的Lupper半连续性（如Principal的一步无约束问题），这就是我们所需要的。因此，前一节的结果扩展到例如PRP情况下的每个优化确定性等效效用。

我们减少了读者重复证明上述观点的工作，转而对最优契约进行更明确的描述。从替换Γt+1-E[Γt+1 |Ft+1]=γ某些γ的wt+1∈ [L（Ft）]d根据PRP假设，我们可以将一个元组（a，β，γ）称为契约，而不存在混淆的危险（我们将始终在PRP下使用这些变量）。Principal’s recursion（12）和激励相容集Ct（β）可以通过这种元组以明显的方式重新定义。备注4.6。从等式（12）可以明显看出，在PRP和马尔可夫假设下，t为所有t的实数。事实上，当在非随机输入下进行评估时，一步优化问题（g和C）中的所有问题都是非随机的，从中可以考虑（a，β，γ）∈RN×R×Rd，逐点最大化。这当然表明，在这种情况下，如果存在最优契约，那么优化器（A，β，γ）是非随机的。4.1. 计算最优契约和必要的最优性条件。从最初的公式（12）开始，我们解决可达到性问题，而不立即求助于无约束变量。因此，我们将看到，事实上，解决这个无约束问题不仅是有效的，而且在某种意义上是必要的。此外，在我们目前的框架中，我们将能够把传统分析和委托代理问题明确地写下最优契约。我们首先推导了代理人和委托人一步问题的一阶条件：引理4.7。假设gptis一次和gat，ctare两次连续可区分，对于t∈ T.然后：（20）（A，γ）∈ Ct（β）当且仅当βu- ct（A）+βσgat（γ）=0。此外，给出了一个最优合同{（At，βt，γt）}，并假设每一次t∈ t对于r.h.s.中出现的相应约束，隐含的一步契约形成一个规则点。

（20）-这是矩阵Hu+σgat（γt）|βtσgat（γt）|- ct（At）i∈ RN×（1+D+N）具有全范围-存在拉格朗日乘子λt∈ RNs。t、 以下系统允许一种解决方案：0=[βtu- ct（At）]+βtσgat（γt）（21）0=[u- ct（At）]+σgp（σ′At-γt）- ct（At）λt（22）0=gat（γt）- gpt（σ′At- γt）+βtgat（γt）σ′λt（23）0=λt[u+σgat（γt）]。（24）证据。为了简单起见，我们省略了时间索引。恒等式（20）之后是微分，并注意到Ct（β）中的优化问题在A变量中是凹的。也很容易看出矩阵xhu+σga（γ）|βσga（γ）|- c（A）i∈ RN×（N+d+1）以βu组分的梯度作为行- ct（A）+βσgat（γ）。通过[4，第3章]我们证明了拉格朗日乘子λ的存在性。形成拉格朗日函数=[Au- ct（A）]+gat（γ）+gpt（A·σ）- γ) + λ · {[βu - ct（A）]+βσga（γ）}并取偏导数w.r.t.λ，A，γ，β得到所需的体系。再次删除时间索引，注意将（21）乘以λ得到λc（A）=0。因此，将（23）乘以λ′σ，（22）乘以λ，将它们相加，然后乘以β得到：βλ′[βσga（γ）σ′- c（A）]λ=0。因此，只要我们搜索aβ>0，以及c或gaare分别严格凸或凹，那么必然λ=0。这表明，问题的合理最优解必须同时解决FOC:0=[βu]的“无约束”问题- ct（A）]+βσga（γ）0=[u- ct（A）]+σgp（σ′A）- γ)0 = ga（γ）- gp（σ′A）- γ).我们从前面的章节中了解到，在更一般的情况下，解决无约束问题有助于构造原始约束问题的解决方案。

因此，这些最后的方程表明，至少在目前的情况下，通过无约束公式实际上也是必要的，至少对于β>0的合同。从上述第一个方程式中减去第二个方程式，然后使用第三个方程式，我们得到：（β- 1)[u + σga（γ）]=0。因此，要么β=1是最优的，要么u+σga（γ）=0。最后一种情况可以称为退化，因为在这种情况下，我们从（21）中得出，对于代理来说，施加最小的影响是最佳的：c（A）=0。由于必要条件给出的潜在最优点集比实际最优点集更大，我们倾向于说这种退化情况是次优的。条件分析与委托代理问题174.2。基本偏好。在本节结束时，我们对基准案例进行了分析，其中双方的偏好源自一个共同的基本偏好函数：Ul（·）=γlU（γl·）对于l=a，p。就生成器而言，这意味着gl（·）=γlg（γl·）。我们假设 g是内射的。然后（A）*, γ*, β*) 满足引理4.7中的系统，λ=0，其中*求解（25）0=[u- ct（A）*)] + σGγaγpγa+γpσ′a*,γ*=γpγa+γpσ′a*和β*= 1.以下命题的最后部分显示了[20，定理1]中最优契约的结构可以恢复到什么程度。提案4.8。在马尔可夫性和PRP假设下，最优合同（解释为策略与支付之间的映射）的形式为：A 7→\'S（A）=κ+Xγ*Twt+1+[WAT-~WT]，其中WAT=W+PAt~Pt+1，~W=WA*, 和κ∈ 这里是*γ*（向量/标量值确定性过程）都是主体的最优过程。

此外，如果实用程序源于一个公共基函数，那么我们可以将最优契约写成：a7→\'S（A）=\'k+γpγp+γaWAT+γAγp+γA[WAT]-■WT]，其形式为现金加上代理人产生的财富和从基准投资组合中获得的业绩（收益/损失）的凸组合，如[20，定理1]。证据根据定理2.15，我们得到：Θ=R+Xhγ*Twt+1+ct（A*（t）- A.*T■Pt+1- gat（γ）*t） i=κ+Xγ*Twt+1-~WT，我们使用γ的地方*还有*是最优的（引理4.7），β=1是最优的，κ：=R+Pc（A*（t）-gat（Zat+σ′A）*t） 是一个常数，这要归功于假设4.3*tandγ*皮重（备注4.6）。同样，根据定理2.15，这表明合同A为7→ κ+Pγ*Tw+WAT-~WTisoptimal。如果效用函数是彼此的重定标，我们知道γ*t=γpγp+γaσ′a*t、 将此插入到最优契约的前面表达式中，我们得出结论。示例4.9（1d伯努利设置，熵效用）。假设代理人和委托人的效用函数分别为uat（X）=-γ-alogEE-γaX | Ft和Upt（X）=-γ-plogEE-γpX | Ft,当γa，γp>0时，该代理的成本函数为c（a）=ha。假设一个由简单的伯努利步行环境驱动的一维市场（即N=d=1：一种资产，一种随机性来源）；参见示例4.2。我们首先观察到gt（x）=-日志E√hx+e-√hx= -日志o 科什(√hx），其中gt（x）=-√哈坦(√hx）。从这里，通过操纵（25），我们得到了最佳动作A*tat timet是方程的解：-γaγpγa+γp√hσA*t=对数σ√h+A*th- uσ√H- A.*th+u！。条件分析和委托代理问题185。结论本文阐明了当双方偏好满足翻译不变性、时间一致性和一定的正则性条件时，投资组合委托动态模型中最优线性契约的结构。