HARA投资者的学习和投资组合决策

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英文标题：
《Learning and Portfolio Decisions for HARA Investors》
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作者：
Michele Longo and Alessandra Mainini
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We maximize the expected utility from terminal wealth for an HARA investor when the market price of risk is an unobservable random variable. We compute the optimal portfolio explicitly and explore the effects of learning by comparing it with the corresponding myopic policy. In particular, we show that, for a market price of risk constant in sign, the ratio between the portfolio under partial observation and its myopic counterpart increases with respect to risk tolerance. As a consequence, the absolute value of the partial observation case is larger (smaller) than the myopic one if the investor is more (less) risk tolerant than the logarithmic investor. Moreover, our explicit computations enable to study in details the so called hedging demand induced by learning about market price of risk.
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中文摘要：
当风险的市场价格是一个不可观测的随机变量时，我们使HARA投资者的终端财富的预期效用最大化。我们显式地计算最优投资组合，并通过将其与相应的近视策略进行比较来探索学习的效果。特别是，我们表明，对于符号为风险常数的市场价格，部分观察下的投资组合与其近视对应投资组合之间的比率随着风险承受能力的增加而增加。因此，如果投资者比对数投资者的风险容忍度更高（更低），则部分观察案例的绝对值比近视案例的绝对值大（更小）。此外，我们的显式计算能够详细研究通过了解风险的市场价格而产生的所谓对冲需求。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Learning_and_Portfolio_Decisions_for_HARA_Investors.pdf (231.83 KB)

2022-5-7 14:34:20 上传

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关键词：投资组合 投资者 Unobservable Optimization computations

HARA Investors Michele Longo的学习和投资组合决策*+Alessandra Mainini——2015年2月11日摘要当风险的市场价格是一个不可观测的随机变量时，我们将终端财富对anHARA投资者的预期效用最大化。我们明确计算最优投资组合，并通过与相应的短视政策进行比较，探索学习的效果。特别是，我们表明，对于符号为风险常数的市场价格，部分观察下的投资组合与其短视对应投资组合之间的比率随着风险承受能力的增加而增加。因此，如果投资者比对数投资者的风险承受能力更强（更低），则部分观察案例的绝对值比近视案例的绝对值更大（更小）。此外，我们的显式计算能够详细研究通过了解风险的市场价格而产生的所谓的享乐需求。关键词：投资模型，学习，贝叶斯控制，哈密顿-雅可比-贝尔曼方程，似然比阶。数学学科分类（2010）：93E20。JEL分类：G11、G14、C61。*意大利米兰市拉戈·杰梅利市萨克罗科雷大学，20123年1月。电子邮件地址：米歇尔。longo@unicatt.it+通讯作者Universit ` a Ca tto lica del Sacro Cuore，Largo Gemelli，120123，意大利米兰。电子邮件地址：亚历山德拉。mainini@unicatt.it1引言本文是对部分观测下的连续时间投资组合选择问题的贡献。关于金融环境中部分观测的开创性工作可追溯到[7]、[8]和[9]，其中，在平衡框架内，在线性高斯环境中引入了不确定性。从那时起，越来越多的论文对部分观测的财务模型进行了广泛研究。

在[15]中，作者利用鞅方法，在一个相当普遍的框架内研究了最优投资和消费策略，并在贝叶斯规范中为对数和幂投资者提供了不可观测平均收益率的明确结果。[16]中应用了相同的方法，进一步探索终端财富最大化器的线性高斯设置。通过使用动态规划方法，在[19]和[3]中还研究了升值率的线性高斯差异。特别是，在后一项工作中，作者假设了未观测过程的高斯均值-r翻转过程和代理人的幂/指数偏好——从而将[13]中的模型扩展到部分观测设置——并通过一个有序微分方程组表征了价值函数和最优投资政策，然后用于研究由于部分观测而导致的效用损失。[4]和[22]中还使用了动态规划设置，通过数值模拟，分析了当风险资产的平均回报率是一个具有高斯先验的随机变量时，学习对powerinvestor的portfo lio配置的定性和定量影响。[4]中的模型在[20]中得到了明确的解决，并用于比较不确定性成本与仅在离散时间内被限制改变投资组合分配的成本。在[6]中，使用了一个平均收益率为常数但为r和OM的模型来分析专业分析师建议的价值。也许，与我们的工作最接近的论文是[12]和[18]。在第一篇论文中，作者通过使用鞅方法和动态编程技术，详细研究了一大类终端富裕投资者风险市场价格的一般情况。

本文通过比较部分可观测环境下的间接效用与相应的完全观测量（即风险的市场价格为完全可观测随机变量时的间接效用），给出了显式解，并分析了不确定性成本。然而，这项工作并没有探讨不确定性对最优投资组合策略的影响。在[18]中，作者研究了不可观测的股票漂移率由连续时间不确定性马尔可夫链描述，投资者对终端财富的偏好为幂或对数类型的情况。通过使用动态规划方法，他们首先证明了一般情况下的验证定理，然后明确地解决了恒定有限状态随机变量的特殊贝叶斯情况。此外，他们将部分观察下的最优策略与短视投资组合进行了比较，短视投资组合是通过考虑风险系数的市场价格，首先解决投资者的最大化问题，然后用其条件期望值替换后者而获得的投资组合。在[10]和[21]中，还使用鞅方法、Malliavin演算和Montecarlo模拟研究了连续时间马尔可夫链模型，其中仅针对风险规避参数的精确值给出了关于最优策略的更多细节。所引用的著作考虑了资产价格的经典差异设置，并对不可观察的漂移进行了若干规定。[5]和[1]中介绍了两种不同的方法，其中第一种情况下资产价格由纯跳跃过程驱动，第二种情况下由跳跃-扩散过程驱动。

这两项工作都假设不可观测的跳跃强度，第二篇论文也研究了一些细节，获得了与[18]中类似的结果，即不确定性对最优投资组合策略的影响。在资产价格的维纳设置中，很少有工作——据我们所知，唯一的例外是[4]、[10]、[18]和[6]在给出部分（通常依赖数值模拟）结果的情况下——通过将部分观察下的投资组合分配与相应的短视结果进行比较，分析不确定性对投资决策的影响。本文研究了部分观测下的连续时间投资组合选择问题，其中投资者以双曲绝对风险规避（HARA）效用函数为特征，不观察股票升值率，也不观察驱动价格过程的布朗运动，通过基于股价观察选择投资组合策略，最大限度地提高终端财富的预期收益。我们选择贝叶斯方法，将风险的市场价格描述为一个不可观测的随机变量，独立于驱动布朗运动，且具有已知的先验分布。通过基本的滤波技术，该问题被简化为一个完整的观测（和马尔可夫）设置，并通过动态规划方法显式解决。然后，我们研究了部分观察下最优投资组合的一些性质，以及由于风险不确定性的市场价格而产生的对冲需求，定义为部分观察下的投资组合与相应的短视策略之间的差异。

在我们的主要结果（定理6）中，我们通过使用随机顺序参数证明了，如果风险的市场价格是康斯坦丁符号（无论是正还是负），在部分观察和近视的情况下，最优投资组合之间的比率随着绝对风险容限的程度而增加。这个结果的一个直接结果是，如果投资者对宽容的风险大于（小于）对数投资者，则在部分观察情况下，最优投资组合的绝对值大于（小于）近视情况。这将[18]第7节和第8节中的结果扩展到了风险表示的市场价格的一般情况。此外，在这种一般情况下，我们还研究了投资组合以及对冲需求在风险容忍度方面的单调性，并回答了[18]提出的猜测。事实上，在代理偏好和正风险市场价格的恒定相对r iskaversion规范中，我们表明，根据推测，部分观察下的投资组合相对于风险容忍度是增加的，但与之相反，对冲需求在风险容忍度上并没有增加。最后，我们详细考虑了未观测到的风险市场价格的高斯情形，并证明了风险市场价格符号的恒常性只是最优投资组合和套期保值需求具有上述性质的一个有效条件。我们还引用了[4]中的一句话。论文的结构如下。在第2节中，我们设定了模型，并提供了分析的主要步骤。在第3节中，我们以多种方式研究了最优投资组合，并将我们的结果与现有文献进行了比较。第3.1小节考虑了高斯情况。

第4节讨论了未来研究的可能问题，并得出结论。2投资问题时间是连续的，不确定性用完全概率空间描述(Ohm, F、 P）配备过滤器F:={Ft，0≤ T≤ T}，T<∞,满足右连续和P-零集增广的一般条件，并得到标准布朗运动W:={Wt，0≤ T≤ T}。金融市场由两种可交易资产组成：一种无风险资产，利率不变≥ 0和风险资产，其收益率由随机微分方程Dst=St（bdt+σdWt）控制，（1）其中σ为正常数，b为预期收益率，为实随机变量。在这个框架中，如果在时间t∈ [0，T]投资者拥有初始财富x，并选择交易策略π：={πs，T≤ s≤ T}，其中πs∈ R代表有时投资于风险资产的财富量，然后他/她的财富根据todXs=rXsds+σπs（Θds+dWs），Xt=x，t演变≤ s≤ T、 （2）其中风险的市场价格Θ：=（b）-r） 假设/σ独立于已知先验分布u（a）：=P（Θ∈ A） ，A∈ B（R），（3）满足R|θ|u（dθ）<∞. 投资者不观察Θ或布朗运动W，而她/他持续观察S，目标是最大化期望值[u（XT）]（4）根据当时的可用信息选择投资策略π，其中u属于以下双曲绝对风险规避（HARA）效用函数类别之一：1。电力设施：uγ（x）=1- γγβx1- γ+ ηγ; γ<1，γ6=0，β>0，x∈ Dγ，（5）其中Dγ：={x |βx/（1）- γ） +η>0}（η=0的情况对应于恒定相对风险规避（CRRA）家族）。对数算术实用程序：ulog（x）=ln（βx+η）；β>0，x∈ 其中Dlog:={x |βx+η>0}。

指数效用：uexp（x）=-经验(-βx）；β>0，x∈ Dexp，（7），其中Dexp=R（这是常数绝对风险规避（CARA）家族）。请注意，对数hmic和指数效用可分别视为极限情况γ→ 0和γ→ -∞ 电力公司的。特别是，对数效用是极限，即sγ→ uγ（x）的0- (1 - γ） /γ是uγ（x）的一种转换，代表后者的相同偏好；而指数效用是极限，如γ→ -∞, η=1.2.1的uγ（x）的分析该分析主要与电力设施有关，对于其他两类，我们必须提供主要结果。LetFS：=FSt，0≤ T≤ T（8） 是由S生成的P-aug过滤，然后，对于具有效用函数ui（带有i）特征的偏好的代理∈ {γ，lo g，exp}，分别参见，（5），（6）和（7）），投资策略π在初始财富x的时间t是可容许的，我们写下π∈ 在，如果它是FS渐进可测量的，则E[RTtπsds]<∞, （2）允许一个唯一的强解{Xs，t≤ s≤ T}这样P(Xser（T-（s）∈ 迪特≤ s≤ T) = 1（其中DII是实用功能ui的域，i∈ {γ，log，exp}）。现在，由此产生的投资组合问题不属于完全观测类型（正马尔可夫），可以通过标准过滤技术（例如，参见[12]或[18]中的第6节）在完整观测环境中减少。设ut（A）：=P[Θ∈ A | FSt]，A∈ B（R），0≤ T≤ T、 （9）和^ΘT:=E[ΘFSt]=ZRθuT（dθ），0≤ T≤ T、 （10）be，分别是Θ的条件概率和期望值。我们将把Xtin（2）和^Θtin（10）（或相当于utin（9））表示为由FS布朗运动驱动的随机微分方程的解。

为此，定义（P，FΘ，W）-指数市场密度过程zt:=exp-ΘWt-Θt, 0≤ T≤ T、 （11）式中FΘ，W:={FΘ，Wt，0≤ T≤ T}是由W和Θ生成的P-增强过滤比n（注意，FSt比FΘ“小”，这意味着FStFΘ，WT0≤ T≤ T：部分观察）。然后，根据Girsanov定理，过程W:={Yt，0≤ T≤ T}，其中y:=ΘT+Wt，0≤ T≤ T、 （12）观察可能需要额外的参数条件和/或Θ的先验条件，以确保明确的问题（例如，参见[12]中的假设3.1或[19]中的第8节）。然而，在这里，我们并不关心这个问题。是一个FΘ，W-布朗运动，其概率测度P由theRadon Nikodym导数PdP=ZT定义。（13） 进程{St，0≤ T≤ T}和{Yt，0≤ T≤ T}产生相同的过滤；因此，ΘW也是独立于ΘP和ΘP[Θ]下的FS布朗运动∈ A] =P[Θ∈ A] =u（A），对于所有A∈ B（R）。此外，Z-1t=expΘYt-Θt, 0≤ T≤ T、 （14）是a（~P，FΘ，W）-鞅a和~E[Z]-1T | FSt]=F（t，Yt），0<t≤ T、 1，T=0，（15），其中f（T，y）：=ZRexpθy-θtu（dθ），（t，y）∈ （0，T]×R.（16）此外，~E[Z-1TA（Θ）FSt]=RAeθy-θt/2u（dθ）|y=Yt，0<t≤ T、 u（A），T=0，（17），其中1a是A的指示函数∈ B（R），根据贝叶斯规则（见[11]，引理5.3，第193页），ut（A）=E[Z-1TA（Θ）FSt]~E[Z-1T | FSt]，A∈ B（R）。（18） 然后，对^Θt的以下表示（见（10））成立：^Θ=RRθu（dθ）和^Θt=ZRθp（t，y，θ）u（dθ）y=Yt=F′y（t，Yt）F（t，Yt），0<t≤ T、 其中p（T，y，θ）：=eθy-θt/2F（t，y），（t，y，θ）∈ （0，T]×R×R.（20）在后半部分中，对于给定的函数ψ（x，x，x），ψ′xidenotes是第一偏导数ew。r、 t.xindψ′xixjdenotes二阶偏导数w.r.t.xi，xj（i，j=1，2，3）。因此，p（t，y，·）和^Θ（t，y）：=ZRθp（t，y，θ）u（dθ），（t，y）∈ （0，T]×R，（21）分别表示Θ的条件密度w.R.T。

如果在t时刻我们观察到t=y，则主要度量u（dθ）和Θ的条件期望值。此外，表示^Θt=^Θ（t，Yt）意味着过程{Yt，0≤ T≤ T}，其区别只不过是观察到的风险市场价格，因为T=σdStSt- rdt, （22）表示估算Θ的有效统计数据，根据其^o规则，d^Θt=^VΘ（t）戴特-^Θtdt, （23）式中^VΘ（t）：=EΘ -^Θt| FSt（24）是Θ的条件方差。也就是说，贝叶斯估计量随时间的变化与观测误差成反比，其系数等于条件变量- 戴特。（25）在其他情况下，Θ的估计遵循自适应学习过程。此外，表示n^pt（θ）：=p（t，Yt，θ）（参见（20））表示Θ的条件密度和它的规则屈服d^pt（θ）=^pt（θ）（θ）-^Θt）（dYt）-^Θtdt），（26）流程Yt-Rt^Θsds，即过滤理论中的创新过程，是原始概率测度P下的FS布朗运动∈ {γ，exp，log}和（t，x，y）∈ [0，T]×R×R，使得xer（T-（t）∈ Di（见（5）、（6）和（7）），最初的投资问题（2）-（4）等价于以下马尔可夫问题：最大化∧Et，x，y[F（T，YT）ui（XT）]，（27）在所有π上∈ 在，服从（dXs=rXsds+πsσd＠Ws，Xt=xdYs=d＠Ws，Yt=y，（28）其中＠Et，x，yde注意到条件期望，w.r.t.＠P，给定Xt=x和Yt=y。值函数为^Vi（t，x，y）：=supπ∈在∧Et，x，y[F（T，YT）ui（XT）]，（29），并且在适当的正则性条件下，动态规划原理为^Vi产生以下Hamilton-Ja-cobi-Bellman方程：F′T+supπ∈Rσπf′xx+σπf′xy+f′y+rxf′x= 0，（30）表示所有（t，x，y）∈ [0，T）×R×rst.xer（T）-（t）∈ Di，带边界条件F（T，x，y）=F（T，y）ui（x），（x，y）∈ Di×R，（31）i∈ {γ，exp，log}。