基于广义Gamma卷积的多元隶属度

然后我们有：（a）XokT~ Ld（γX）okT，∑XokT∏XokT）与γXokT=γXkDT+Z[0，∞)K*Z0<kxk≤1个P（X（s）∈ dx）∏T（ds），∑XokT=∑XkDT∏XokT（dx）=（πX）kDT（dx）+Z[0，∞)K*P（X（s）∈ dx）∏T（ds）。（b） 尽管如此，t≥ 0P（十）okT）（t）∈ dx=Z[0，∞)kP（X（s）∈ dx）P（T（T）∈ ds）。（c） 如果，另外，DT=0和r[0,1]k*ktk1/2d∏T（T）<∞ 然后XokT~F Vd（0，πX）okT）。在引理4.2的（a）部分中，T的依赖性以线性方式进入公式。因此，如果一个过程X是独立的从属过程的叠加，那么它可以写成（不分布）独立过程的总和：命题4.1。让n≥ 1，k∈ {1，d}和X~ Ld，k（γX，∑X，∏X）。让X，T。，与Tl保持独立~ 1的Sk（DTl，∏Tl）≤L≤n、 LetT:=Pnl=1，Y:=XokT。然后我们有：（a）T~ 带DT=Pnl=1DTland∏T=Pnl=1∏Tl.（b）Y的Sk（DT，πT）~ Ld（γY，∑Y，∏Y），γY=Pnl=1γXokTl，∑Y=Pnl=1∑XokTland∏Y=Pnl=1∏XokTl。（c） 如果X，Xnare是X的独立副本，也是独立的，Tn，然后YD=Pnl=1XlokTl。（d） 此外，如果两个HPNL=1R[0,1]k*ktk1/2d∏Tl（t）<∞ 和pnl=1DTl=0，然后Y~ F Vd（0，Y∏）和XokTl~ F Vd（0，πX）okTl）适用于所有1人≤ L≤ d、 证据。（a） 这是众所周知的，但也可以从拉普拉斯变换推导出来。（b） 根据引理4.2的第（a）部分，从第（a）部分开始。（c） 以下是第（二）部分。（d） 作为引理4.2第（c）部分的含义，从（a）部分开始。24.3定理2.1第2.1小节的证明。（a） 让YD=Bo T~ vggd，1（a，u，∑，T），其中T，B与T独立~ GCC（a，T）和B~ 骨密度（u，∑）。观测值（2.16）延伸到λ∈ 小于λ的C≥ 0.这源于施瓦兹的反射原理：[52]中定理24.11的证明可以适应我们的情况。让θ∈ Rd和集合λθ：=kθk∑-i hu，θi，使得Eeihθ，B（t）i=exp(-tλθ）。

现在（2.20）通过T（T）上的条件从（2.16）得到：E[exp（IHθ，Yti）]=E[E-Ttλθ]=exp-taλθ-tZ（0，∞)对数[（x+λθ）/x]T（dx）.在这里，右边与（2.20）中的公式相匹配。（b） （2.21）如[24]所示（他的命题3.3），而（2.22）与（2.22）中的gy（s，r）=rdd∏Ydy（rs）一样成立（r>0，s）∈ Sd）和任何Borel集 R*（见[24]，他的方程式（4））我们有∏Y（A）=ZAd∏Ydy（Y）dy=ZSdEZ∞A（rs）d∏Ydy（rs）路-1dr-ds。定理2.2的证明。（a） 我们省略了这个证明，因为它类似于定理2.1第（a）部分的证明。（b） 我们将T分解为独立的从属项T=PJ的叠加{1，…，d}tjt其中:= aI和Tjt:=X0<s≤tCJ(Ts）t，t≥ 0 ,  6=J {1，…，d}，（4.1）和（2.25）中的CJA。在这里T（T）=T（T）-T（T-) 对于t>0。还有，I:[0，∞) →[0, ∞)) 表示身份。根据命题4.1，我们得到YD=PJ{1，…，d}yjj，其中（YJ）是一类独立的L′evy过程D=Bod（aI）和YJD=BodTJ~ Ld（γJ，0，πJ）与TJ~ J6的Sd（0，∏JT=. 对于J6=我们有T（CJ）=0<=> TJ≡ 0=> YJ=0<=> πJ≡ 0.若要查看（2.28），假设det∑>0且J6= T（CJ）>0。NoteTJ~ Sd（0，πJT），使用其极性表示，d∏JT=1CJ∩Sd+（s）1（0，∞)（r） k（s，r）α（ds）drr，其中k（s，r）是（2.17）-（2.18）中的数量。从引理4.2来看，∏J（dx）=ZCJPu  t+（∑） t） 1/2Z∈ dxπJT（dt），其中Z是d维标准法向量。由于∑>0和∏JT（CJ）>0，因此∏jy必须绝对连续于`J，允许y具有以下密度：∈ VJ，d∏Jd`J（y）=ZCJ∩Sd+Z∞Z∞经验-rτ-基尼-ru skJ，rsr（2πr）#J/2Qj∈J∑1/2jjs1/2jdr K（s，dτ）α（ds）。这里我们设置kxkJ，c:=Pj∈c的Jxj/（c∑jj）∈ CJ，x∈ 在指数yieldsky中展开一个平方-ru skJ，rs=2rkykkJ，s-Xj∈Jyjuj∑jj+rku skJ，s，以便使用第二类修改贝塞尔函数K的恒等式（2.12）计算内部dr积分。

为了你∈ 研发部*我们得到了∏Jd`J（y）=2（2）-#J） /2π-#J/2expXj∈Jujyj/σjj×（4.2）×ZCJ∩Sd+Z（0，∞){2τ+Xj∈Jsjuj∑jj}/kykJ，s#J/4×K#J/22τ+Xj∈Jsjuj/σjj1/2kykJ，sK（s，dτ）α（ds）Qj∈J∑1/2jjs1/2j，其中（4.2）的RHS匹配（2.28）。在（2.28）中，观察者#J（d∏JY/d`J）（rs）=gJ（s，r），r>0，s∈ SdE∩ RHS匹配的VJ（2.29）。这就完成了（b）部分的证明。24.4第2.2小节命题2.1的证明。（a） 设0<q<1。选择ε>0，这样，对于所有τ>0，ετ-qτ>1≤ ετ-qZτrq-1e-rdr≤ 1.∧ τ-q、 （4.3）通过（2.17）-（2.18），我们从Fubini定理和一个简单的替换得到z0<kzk≤1kzkq∏T（dz）=ZSd+Z0<r≤1Z（0，∞)rqkskqe-rτK（s，dτ）drrα（ds）=Z[0，∞)D*Zrq-1e-kxkrdr T（dx）=Z[0，∞)D*kxk-qZkxkrq-1e-rdr T（dx）。（4.4）鉴于（2.15）和（4.3）–（4.4），Rkxk>1T（dx）/kxkqis有限当且仅当ifR0<kzk≤1kzkq∏T（dz）为，完成（a）的证明。（b） 设p，t>0。选择ε>0，这样，对于所有τ>0，ετ-p0<τ≤1.≤ ετ-pZ∞τrp-1e-rdr≤ 10<τ≤1τ-p+1τ>1e-τ. （4.5）使用（a）部分证明中类似的论点，我们从（2.17）-（2.18）中得到，Fubini定理和一个简单的替换thatZkzk≥1kzkp∏T（dz）=Z[0，∞)D*kxk-pZ∞kxkrp-1e-rdr T（dx）。（4.6）鉴于（2.15）和（4.5）-（4.6），我们看到了thatRkzk≥1kzkp∏T（dz）在且仅在ifR0<kxk时是有限的≤1T（dx）/kxkpi，完成（b）的证明。2.提案2.2的否决。让k=d~ BMd（u，∑），其中∑为绝热矩阵。设Z=（Z…，Zd）∈ RDB可以是标准法向量，也就是具有独立标准法向量分量的向量。对于s∈[0, ∞)D介绍B*（s） ：=（∑） s） 1/2Z。B的自相似性- uI我们可以写B（s）D=us+B*（s） =us+（∑）s） 1/2Z适用于所有（但固定的）s∈ [0, ∞)d、 对于x=（xk）1≤K≤D∈ rdm=（mkl）1≤k、 l≤D∈ Rd×d最大范数用kxk表示∞= maxk | xk |和kMk∞= 分别为maxk、l | mkl |。设k·kopbe为k·k的算子范数。

有限维规范的等价性适用于Rd和Rd×d：我们找到了一个共同的常数∞∈ [1, ∞) 这样k·k∞≤ C∞k·k和k·科普≤ C∞k·k∞. 此外，k·Ke表示RDCE上的欧几里德范数，因此存在∈ (0, ∞) 这样的k·k≤ 切克。（a） 设0<q<2，引入函数h:[0，∞)D*→ [0,1]byh（s）：=E[kB（s）kq（0,1]（kB（s）k）]，s∈ [0, ∞)D*.‘(2.30)=>（2.31）“：我们从B的自相似性中得到- uI thath（s）≤ E[kB（s）kq]=Eu  s+（∑） s） 1/2ZQ, s∈ [0, ∞)因此，当C=2q时∨1C2q∞kukq+E[k∑1/2Zkq],h（s）≤ 第二季度∨1.k·skqopkukq+k·s1/2kqopE[k∑1/2Zkq]≤ 第二季度∨1Cq∞k·skq∞kukq+k·s1/2kq∞E[k∑1/2Zkq]= 第二季度∨1Cq∞kskq∞kukq+kskq/2∞E[k∑1/2Zkq]≤ C0<ksk≤1kskq/2+1ksk>1kskq, s∈ [0, ∞)D*.由于h的全局边界为1，因此存在C∈ (0, ∞) 这样的话≤ C（kskq/2）∧1） 对于s∈ [0, ∞)D*. （2.31）由此和0<ksk的完整性得出≤1kskq/2∏T（ds）。（回忆∏Y（dy）=P（B（s）∈ dy）T（ds）byLemma 4.2.）该证明由命题2.1的（a）部分完成。”(2.31)=>（2.30）\'：假设det∑6=0。对于s∈ [0, ∞)D*观察k∑sk∞=maxk∑kksk>0和P（Z）∈ 研发部*) = P∑1/2Z∈ 研发部*) = P（B）*（s）∈ 研发部*) = 1这样，自从kZkE~ χd=Γ（d/2，1/2），对于任何ρ∈ R、 Pexp{ρkB*（s） 凯}B*（s）q0<kB*（s） k<1）=0= P{kB*（s） k≥ 1}≤ P{kZkE≥ （CEk∑sk）∞)-1} < 1 . （4.7）对于λ：-Σ-1u和s∈ [0, ∞)D*我们从Girsanov定理得到*（s）-u s=B*（s） +（∑）s） λ~ LB*（s）经验hλ，B*（s） 我-kλk∑sP,通过B的自相似性- uI，h（s）=Eku s+B*（s） kq0<kus+B*（s） k≤1.= 经验- kλk∑s/2E经验{-hλ，B*（s） i}kB*（s） kq0<kB*（s） k≤1.≥ kskq/2exp{-ksk∞kλk∑/2}h（s/ksk）≥ kskq/2exp{-C∞kλk∑/2}h（s/ksk），（4.8）对于s∈ [0, ∞)D*当ksk<1时。

（注ksk）∞≤ C∞ksk≤ C∞为了ksk≤ 1.）这里是h:Sd+→ [0, ∞) 定义为H（s）：=E经验{-kλkEkB*（s） kE}kB*（s） kq0<kB*（s） k<1.当P（Q∑1/2kkZk6=0）=1，s7→ 1（0,1）（kB）*（s） k）在Sd+上是下半连续的，几乎可以肯定（开集的指示函数是下半连续的）。因此，他的下半连续由Fatou引理和紧域Sd+构成。特别是，它在某些情况下保持其全局最小值∈ Sd+。注h（s）>0乘以（4.7）。总之，我们从（4.8）中得到h（s）≥Ckskq/20<ksk<1适用于s∈ [0, ∞)D*C:=h（s）exp{-C∞kλk∑/2}∈(0, ∞). 该证明通过应用命题2.1（a）部分完成，使用了与证明（2.30）中类似的论点=>(2.31)’.（b） t，p>0。回忆YD=Bo独立B和T的dT(2.32)=>（2.33）\'：集C:=2p∨1C2p∞. 如第（a）部分的证据注释[kB（s）kp]≤ Ckskpkukp+kskp/2E[k∑1/2Zkp](4.9)≤ CE[k∑1/2Zkp]+kskp（kukp+E[k∑1/2Zkp]）（4.10）对于s∈ [0, ∞)d、 如果u=0，则根据（4.9）得出E[kY（t）kp]=E[E[kB（t（t））kp | t（t）]]≤ CE[k∑1/2Zkp]E[kT（t）kp/2]，并且LHS是有限的，E[kT（t）kp/2]是有限的。否则，如果u6=0，我们得到（4.10）thatE[kY（t）kp]≤ CE[k∑1/2Zkp]+E[kT（t）kp]kukp+E[k∑1/2Zkp]},如果E[kT（t）kp]为，则LHS是有限的。鉴于命题2.1的（b）部分，这就完成了（2.30）的证明=>(2.31)’.‘(2.33)=>（2.32）\'：假设u=0。定义g:Sd+→ [0, ∞) 由g（s）：=E[kB*（s） kpkB*（s） k>1]。采用（a）部分证明中的类似论点，我们发现∈ 使infSd+g=minSd+g=g（s）>0，因此E[kB（s）kp]=E[kB*（s） kp]=kskp/2E[kB*（s/ksk）kp]≥ g（s）kskp/2，代表s∈ [0, ∞)D*. 这扩展到了E[kB（s）kp]≥ g（s）kskp/2用于s∈ [0, ∞)d、 包括起源。特别是，这意味着不等式E[kY（s）kp]≥g（s）E[kT（t）kp/2]通过在t（t）上调节。鉴于命题2.1的（b）部分，这就完成了u=0的证明。假设kkuk6=0。

通过范数的等价性，我们得到了k·k≤ Ck·k∞为了一些C∈ (0, ∞) 这样，对于∈ [0, ∞)d、 ksk≤ Cmink |uk |貂皮|uk | ksk∞≤ Ck1/微克∞ku sk∞≤ C∞Ck1/微克∞ku sk，和，带C:=（C∞Ck1/微克∞)p1∨p、 利用B的自相似性- uI，kskp≤ （C）∞Ck1/微克∞)pE[ku s+B*（s）- B*（s） [kp]≤ CE[kB（s）kp]+CE[kB*（s） [kp]≤ CE[kB（s）kp]+Ckskp/2其中C:=C2p∞CE[k∑1/2Zkp]。因此，我们可以找到∈ (0, ∞) 这样的话[kB（s）kp]≥ kskp- Ckskp/2≥ kskp/2适用于s∈ [0, ∞)dwith ksk>r。总结一下，我们有kskp≤ 2CE[kB（s）kp]+RPS∈ [0, ∞)因此，EkT（t）kp≤ 2CE[kY（s）kp]+rp，通过条件作用，完成证明（2.33）=>(2.32)’.（我们省略了k=1相似但更简单的证明。）24.5提案2.3第2.4小节的证明。（a） 设Cλ：={0}∪ ([0, ∞)D*\\Oλ）。直接检验了Cλ在取凸组合下是封闭的。福尔克斯∈ Cλ我们有kxk≤ hλ，xi≤ CkλkEkxk，因此，kxk≤ CkλkEby the Cauchy-Schwarz不等式（k·Ke表示欧氏范数，C∈ (0, ∞)k·kE有常数吗≤ 因此，Cλ是Rd的一个有界子集。特别是，Cλ是Rd的一个紧子集，因为它也是Rd的一个闭子集。Sλ的连续性是明显的。为了x∈ Oλ我们有kxk- hλ，xi>0，Sλ（x）∈ [0, ∞)D*, 如你所愿。（b） 让λ∈ Rd.我们从Fubini定理和（2.17）得出，zkxk>1ehλ，xi∏T（dx）=ZSd+Z（0，∞)Z∞er（hλ，si）-τ）drrK（s，dτ）α（ds）=Z[0，∞)D*Z∞扩展- rkxk- hλ，xikxkodrrT（dx）。（4.11）因此，如果T（[0，∞)D*\\Oλ）>0则λ/∈ DT。对于剩下的部分，假设T（[0，∞)D*\\Oλ）=0，并选择ε>0，以便对于所有τ>0εlog-(τ) ≤ εZ∞τe-rdrr≤ 日志-（τ） +e-τ. （4.12）注意zoλexp{（hλ，xi- kxk）/kxk}T（dx）≤ 小吃∈Sd+ehλ，si×ZOλe-kxkT（dx）。（4.13）在（4.13）中，从（2.15）的角度看，右侧是固定的。第（a）部分的证明通过组合（4.11）、（4.12）和（4.13）完成。（c） 假设λ∈ DT。

（b）我们有T（[0，∞)D*\\Oλ=0。）从第（a）部分来看，Sλ：Oλ→ [0, ∞)D*波雷尔是可测量的。特别是imagemeasure，由Tλ=（TOλ）o s-λ下T到Oλ的限制值的1λ是Rd上定义良好的Borel测度*对于（2.39）中的Sλ，注意有一个常数C∈ (1, ∞) 这样，对于x∈ Oλ与kSλ（x）k≥ 1，kxkkSλ（x）k=1+hλ，xikxk- hλ，xi≤ 1+| hλ，xi | kxk- hλ，xi≤ 1+| hλ，xi | kxk≤ C（4.14）因此，根据变换定理Z[0，∞)D*（1+对数）-kxk）∧kxkTλ（dx）=ZOλ（1+log-kSλ（x）k）∧kSλ（x）kT（dx），≤ CZOλ（1+log）-kxk）∧kxkT（dx）+ZOλ对数-kSλ（x）kT（dx）。（4.15）（为了表示不等式，将Oλ分解为{x∈ Oλ：kSλ（x）k<1}∪ {x∈ Oλ：kSλ（x）k≥ 1} 回忆一下（4.14）中的C>1。）鉴于（2.15）和（2.40），第（4.15）条中的条款已确定，完成证明。（d） 让λ∈ Rd，t>0。如果k=d，那么我们有TD=Bo独立和B的dT~ 骨密度（u，∑）。条件作用于T（T）yieldsE exp hλ，Y（T）i=E exp hλ，B（T（T））i=E exp{hu T（T），λi+kλk∑T（T）}=E exp hqλ，d，T（T）i.（4.16）否则，如果k=1，则E exp hλ，Y（T）i=E exp{qλ，1T（T）}。无论哪种方式，这都完成了（d）部分的证明。2.定理2.3的证明。设k=d，t>0，λ∈ DY.设q:=qλ，d∈ Rdasin（2.41）。Asλ∈ DY，我们必须有q∈ 根据提案2.3的（d）部分。设a=0。根据[52]中定理25.17的证明改编论点，例如，我们从（2.16）中得到∈干熄焦- <Z∈ [0, ∞)d、 E exp hz，T（T）i=expn- tZ[0，∞)D*logkxk- hz，xikxkT（dx）o.（4.17）让Oqas进入（2.38），但用λ替换q。观察T（[0，∞)D*\\Oq）=0，命题2.3第（b）部分中的后者。注意Sq（x）/kSq（x）k=x/（kxk）-总部，xi）代表x∈ Oq。

设置μλ=u+σλ。由于（4.16）也扩展了，我们从（4.17）中得到，仍然是a=0，Eehλ+iθ，Y（t）iEehλ，Y（t）i=expn- tZOqlogkxk- xi总部- i hλ x、 θi+kθk∑xkxk- hq，xiT（dx）o=expn- tZOqlogkSq（x）k- i hλ Sq（x），θi+kθk∑Sq（x）kSq（x）kT（dx）o。接下来，将变换定理应用于TOq和Sq:Oq→ [0, ∞)D*观察最后一次显示的RHS匹配（2.27），但分别用a，u，T替换为0，uλ，Tq，其中Tq是命题2.3第（c）部分中定义良好的托林度量，但λ替换为q。根据（2.27），如果a 6=0，则可以分解YD=B+yinto独立B，Ywhere B~ 骨密度（u）a、 ∑a） 还有Y~ vggd，d（0，u，∑，T）。利用独立性，通过注意E exp hλ+iθ，B（t）i/E exp hλ，B（t）i=exp，完成了k=d的证明ti hθ，μλ 人工智能-tkθk∑A., θ ∈ Rd.其余情况的证明，其中k=1，是类似的，但更简单。这就完成了定理的证明。2感谢编辑、助理编辑和两位推荐人仔细阅读了本文，并提出了许多有益的建议。此外，我们很高兴地感谢克里斯蒂安·劳对本手稿早期版本的评论。参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.和Jacod，J.（2012）确定了离散观测过程的连续BlumenthalGetoor指数。安。统计学家。40, 1430–1464.[2] Applebaum，D.（2004）列维过程和随机演算。剑桥高等数学研究93。剑桥大学出版社。[3] Ballotta，L.，Bonfiglioni E.（2014）使用L’evy过程和应用的多元资产模型。即将到来的欧洲J.金融。[4] Barndorff Nielsen，O.E.（1977）粒径对数的指数递减分布。过程。R.Soc。隆德。A.353、401–419。[5] Barndorff Nielsen，O.E.，Maejima，M.和Sato，K。

（2006）允许随机积分表示的几类多元不完全可分分布。伯努利12，1-33。[6] Barndorff Nielsen，O.E.，Pedersen，J.和Sato，K.（2001）多元从属、自分解和稳定性。Adv.在应用中。Probab。33, 160–187.[7] Barndorff Nielsen，O.&Shephard，N.（2001）金融计量经济学L’evyprocess建模。列维过程：理论与应用。波士顿伯赫奥瑟波士顿，283-318。[8] Bertoin，J.（1996）Levy过程。剑桥大学出版社，剑桥。[9] Blumenthal，R.M.和Getoor，R.K.（1961）具有平稳独立增量的随机过程的样本函数。J.数学。机修工。10, 493–516.[10] Bondesson，L.（1992）广义伽马卷积以及分布和密度的相关类。《统计学76》课堂讲稿，纽约斯普林格。[11] Bondesson，L.（2009）关于单变量和二变量广义Gammacon进化。J.统计学家。普兰。推论1393759-3765。[12] Cariboni，J.和Schoutens，W.（2009）L’evy信用风险流程。威利，尼约克。[13] Carr，P.，Geman，H，Madan，D.B.和Yor，M.（2002）资产回报的精细结构：实证研究。J.巴士。75,305–332.[14] Carr，P.和Madan，D.B.（1999）使用快速傅立叶变换的期权估值。J.计算机。财务部26173。[15] Cont，R.和Tankov，P.（2004）带跳跃过程的金融建模。查普曼与霍尔酒店。伦敦，纽约，华盛顿特区[16]Eberlein，E.（2001）广义双曲L’evy运动在金融中的应用。列维过程：理论与应用。波士顿伯赫-奥斯伯顿，319-336。[17] Eberlein，E.Papapantoleon，A.和Shiryaev，A.N.（2008）Esscher变换和多维半鞅的对偶原理。安。阿普尔。Probab。19, 1944–1971.[18] Esche，F.和Schweizer，M.（2005）最小熵保持theL’evy属性：如何和为什么。

随机过程。阿普尔。115, 299–327.[19] Finlay，E.和Seneta，E.（2008）平稳增量方差Gamma和t模型：模拟和参数估计。《国际统计评论》76167–186。[20] Fung，T.和Seneta，E.（2010）双变量财务回报的建模和估计。《国际统计评论》78117–133。[21]Fung，T.和Seneta，E.（2010）扩展了多元广义DT和广义VG分布。多变量分析杂志101154-164。[22]Gerber，H.和Shiu，E.（1994）Esscher transforms的期权定价。精算师学会的交易46，99–140。[23]Gradshteˇin，I.S.和Ryzhik，I.M.（1995）积分、级数和乘积表。第五版，学术出版社，纽约。[24]Grigelionis，B.（2007）关于从属多元高斯L’evy过程。应用学报。数学96, 233–246.[25]Guillaume，F.（2012）多元期权定价的Sato双因素模型。J.计算金融15，159–192。[26]Guillaume，F.（2013）多元资产定价的α-VG模型：校准和扩展。牧师。德里夫。第16、25至52号决议。[27]Halgreen，C.（1979）广义逆高斯分布和双曲分布的自分解性。华尔希。没错。格比特47,13-17。[28]Hilber，N.，Reich，N.，Schwab，C.，和Winter，C.（2009）L’evy过程的数值方法。金融斯托奇。13, 471-500.[29]Hoffmann-Jorgensen，J.（1994）面向统计学的概率。第一卷，查普曼与霍尔，纽约。[30]James，L.F.，Roynette，B.和Yor，M.（2008）广义gammaconvolutions，Dirichlet means，Thorin测度，带有明确的例子。Probab。苏尔夫。5, 346–415.[31]James，L.F.和Zhang，Z.（2011）分位数时钟。安。阿普尔。Probab。21, 1627–1662.[32]凯勒，B.D.（2009）。替代风险资产定价模型的期权定价，以及模型验证结果。哲学博士论文。