基于广义Gamma卷积的多元隶属度

特别是，如果≥ 2，然后bkd/2不再是完全单调的，并且a V Gd与d一起处理≥ 2，u=0和可逆∑不能是GGCdL过程。提供一份关于vggd，k（k）的详细研究是很有意思的∈ {1，d}）-类和ΓdL GCCdL类，但这超出了本文的范围。2.4指数矩和埃舍尔变换我们使用符号，因此所有t>0，DY={λ∈ Rd:Eehλ，Y（t）i<∞} = {λ ∈ Rd:Zkyk>1ehλ，yi∏Y（dy）<∞}.（2.37）DY是Rd的凸子集，包含原点（见[52]，第165页），类似地，我们引入了DT。此外，我们需要引入λ：={x∈ [0, ∞)D*: kxk>hλ，xi}，λ∈ Rd，（2.38）和a变换λ（x）=kxk-hλ，xikxkx，x∈ 研发部*. （2.39）我们提供了关于Thorin度量的条件，以确保相关GGC/V GG模型的指数矩的完整性（参见第4.5小节）。提议2.3。设t>0，k∈ {1，d}，λ∈ Rd，T~ GGCD（a，T）安迪~ vggd，ka，u，∑，T）。然后：（a）{0}∪ ([0, ∞)D*\\Oλ）是Rd的凸紧子集，Sλ是从Oλ到[0]的连续函数，∞)D*.（b） λ∈ DT<=> 同时，T（[0，∞)D*\\Oλ=0和zoλ对数-kSλ（x）kT（dx）=ZOλlog-kxk-hλ，xikxkT（dx）<∞. （2.40）（c）对于λ∈ dtt约束的图像度量Oλ（·）：=T（Oλ∩ ·)在映射Sλ下，用Tλ表示：=（TOλ）o s-1λ是[0]上的一个很好的托林度量，∞)D*.（d） 不限制（a，u，∑，T）：λ∈ DY<=> qλ，k∈ DT，其中qλ，k=hλ，ui+kλk∑，如果k=1，λ u +Σ(λ  λ） ，如果k=d。（2.41）假设Y~ Ld（γY，∑Y，∏Y）是一个关于底层随机基的L′evy过程(Ohm, F、 {Ft}，P）。fty上关于Y的埃舍尔变换由dqyλ，tdP=exp hλ，Y（t）iEPexp hλ，Y（t）i，t给出≥ 0 , λ ∈ DY.（2.42）代表t≥ 0和λ∈ DYin（2.37）众所周知，QYλ，t:Ft→ [0,1]定义了一个概率度量，相当于P:Ft→ [0, 1].

除此之外，{Y（s）：0≤ s≤ t} 在新的量度QYλ，t下仍然是一个L’evy过程。接下来，我们证明了两个V GG类在Esscher变换下是不变的（有关证明，请参见第4.5小节）。我们在本文的剩余部分提供了更多具体示例，更具体地请参见定理2.4、第2.6小节和第3节。定理2.3。让我们≥0，k∈{1，d}。如果~ 带λ的vggd，k（a，u，∑，T）∈ DYthen q:=qλ，k∈ DTand{Y（s）：0≤s≤t} |QYλ，t~ 带qλ，k的vggd，k（a，u+λ，∑，Tq）∈ RK和TQA在命题2.3.2.5 V MΓd-类中，在本小节中，我们仅限于严格支持的Thorin度量，并考虑V GGd的相应子类d.MΓd-从属。让n∈ N={1，2，…}，B*= （b，…，bn）∈ (0, ∞)n、 M=（mkl）1≤K≤d、 一,≤L≤N∈ Rd×nhaving柱M，锰∈ [0, ∞)D*还有letG~ ΓS（b），Gn~ ΓS（bn）是独立的标准伽马过程。我们把一个d维的从属函数T称为参数为n，b的MΓd-从属函数*, M、 布里弗莱特~ MΓdS（b*, M） ，providedTD=M（G，…，Gn）=nXl=1GlMl。（2.43）接下来，我们证明了MΓd-从属是GGCd从属，但具有零漂移a=0，并且具有严格支持的Thorin测度：引理2.1。让我们~ MΓdS（b*, M） n=dim b*. 然后是T~ Sd（0，T）=GGCdS（0，TT），其中同时∏T=nXl=1blZ（0，∞)δrMlexp{-blr}drr，（2.44）TT=nXl=1blδblMl/kMlk，（2.45）DT=n\\l=1{λ∈ Rd:hMl，λi<bl}（2.46），对于t≥ 0, λ ∈ DT，- logeehλ，T（T）i=tnXl=1blog（基本法）- hMl，λi）bl. （2.47）证据。由（2.16），（2.47）直接从（2.45）开始。命题（4.1）的（a）部分适用于（2.43）给出∏T=Pnl=1∏GlMl，对于tta和DT分别有类似的叠加和交集。仍需验证（2.44）-（2.46）中的公式，但n=1，M=M，b=G=G~ ΓS（b）。带∏：=bR（0，∞)δrMe-brdr/r和λ∈ rdhλ，Mi<b*(1-ehλ，xi）π（dx）=bZ∞1.- 呃λ，miE-单元格边框颜色R

（2.48）另一方面，E exp hλ，G（t）Mi=E exp{hλ，MiG（t）}，其中我们可以用（2.7）代替G的特征指数。通过（2.48），结果表达式与（2.44）-（2.45）中的表达式匹配。2对于剩下的部分，我们将回顾伽马分布的一些性质。引理2.2。设c，α，β，α，αn，β，βn>0。让Z~ Γ(α, β). 让我，zn可以独立于Zk~ Γ（αk，βk）为1≤ K≤ n、 然后我们有了CZ~ Γ（α，β/c）及其等价性（i）<=>（ii）式中：（i）Pnk=1Zk~Γ（a，b）对于某些a，b>0；（ii）β=···=βn.如果（i）或（ii）满足，则b=β，a=Pnk=1αk.证明。注aδb=Pnk=1αkδβkholds当且仅当b=β=…=βnand a=Pnk=1αk，以及等价物（i）<=>（ii）根据伽马分布的描述。我们在（2.36）中引入了ΓdS（α，β），它与GGC类的联系是ΓdS（α，β）=GGCD（0，α）在单变量情况下（d=1），pΔβ（·））与单位ΓS（αδ，β）=ΓS（α，β（1））相同。正如我们接下来所阐明的，给定的MΓdS从属词不需要有gamma marginals，也不需要是ΓdS从属词。引理2.3。设T=（T，…，Td）~ MΓdS（b*, M） n=dim b*.（a） 然后（i）<=> （ii），其中（i）Tk~ ΓS（pk，qk）表示某些pk，qk∈ (0, ∞);（ii）存在1≤L≤n对于mk，l>0，使得blmk，l=blmk，lf对于所有1≤L≤n和mk，l6=0。（b） （一）<=> （ii\'），其中（i\'）T~ ΓdS（α，β）对于某些α，β；（ii）所有1≤k、 l≤n、 以下含义为holdskMlkMk=kMkkMl=> kMlkbk=kMkkbl。（2.49）此外，如果（i）或（ii）中的一个成立，那么我们有qk=bl/mk，land pk=Pmk，l6=0bl。此外，如果满足（i\'）或（ii\'）中的一个，则α=Pnl=1blδMl/kMlk和β（Ml/kMlk）=bl/kMlk（1≤L≤n） 。证据

（a） 根据引理2.2，我们可以将T在（2.43）中的第k个分量分解为n个单变量伽马子的和。（b） \"(ii)=>(i):~ ΓdS（α，β）和x∈ [0, ∞)在欧几里德范数kxke=hx，xi=1的情况下，引入一个单变量从属函数SxbySx（t）：=X0<s≤t{αx:α>0}(S（S））hx，S（S）i，t≥ 0 . （2.50）为了确定L’evy测度∏xof Sx，让A (0, ∞) 是一个Borel集，注意∏x（a）=E[#{0≤ T≤ 1 : S（t）∈ {αx:α>0}和hx，S（t）i∈ A} ]=πS（{τ）∈ [0, ∞)D*: τ ∈ {αx:α>0}和hx，τi∈ A} ）。当r>0时，1{αx:α>0}（rs）=1{αx:α>0}（s）=1{x/kxk}（s）∈ S+d，我们从（2.35）得到，最后一个显示中的RHS与∏x（A）=ZSd+Z匹配∞A（rhx，si）1{x/kxk}（s）e-β（s）rdrrα（ds）=α（{x/kxk}）Z∞A（r/kxk）e-β（x/kxk）rdrR在最后一个显示屏的右侧替换r=rkxk，则从（2.7）得出Sx=0或Sx~ ΓS（α（{x/kxk}），kxkβ（x/kxk））。就这样准备好了，让我们~ MΓdS（b*, M） 在（2.43）中，对于独立的标准伽马从属函数G，格恩。让Txbe定义为（2.50），但S替换为T。特别是，TMk/kMkkED=XkMlkMk=kMkkMlGlhMk，Mli/kMkkE，1≤ K≤ N另外，假设T~ ΓdS（α，β）。那么TMk/kMkkEmust要么是退化的，要么是单变量伽马从属。因此，根据引理2.2，对于1，我们必须有blkMkkE=bkhMk，Mli≤ L≤ n，其中kMlkMk=kMkkMl。后者相当于（ii\'），完成了（ii\'）的证明=>(i)\"。（i）的预防=>（ii）与之类似。2方差–MΓ（V MΓd）。参数为b*= （b，…，bn）∈ (0, ∞)nand M∈ 为MΓd-从属函数设置Rd×nas，此外，取u=（u，…，ud）∈ Rd和一个对角矩阵∑=具有非负项的diag（∑，…，∑dd）。无论何时YD=BodT，其中B，T是独立的，B~ BMd（u，∑）是布朗运动，而T~ MΓdS（b*, M） ，我们称Y为方差MΓ（VMΓd）-过程，用下面的asY编写~ V MΓd（b*, M、 u，∑）：=BMd（u，∑）odMΓdS（b*, M） 。

（2.51）对于一般情况，当det∑6=0时，我们给出了规范L’evy度量∏Y的公式。对于每一列，我们都关联一个维度1≤dl≤d bydl:=#{1≤ K≤ d:mkl>0}，1≤ L≤ n，以及σ-有限Borel测度`*l:=Ndk=1`*l、 作为一种产品，kon RDA的衡量标准如下：`*l、 k:=1（0，∞)（mkl）`+1{0}（mkl）δ，1≤K≤d、 一,≤L≤N（2.52）对于1≤ L≤ n、 我们设置βl:=2bl+Xmk，l6=0mkluk∑kk=2bl+u  Ml，∑-1u,αl：=(2-dl）/2π-dl/2blβdl/4lYmkl6=0∑1/2kkm1/2kl。（2.53）下一个定理给出了Y的L’evy测度和拉普拉斯指数的公式，其具有有限的变化（回忆（2.3）），并且在Esscher变换下形式不变。定理2.4。假设是Y~ V MΓd（b*, M、 u，∑），n=dim b*. 然后：（a）我们有Y~ V GGd，d0，u，∑，TT=Pnl=1blδblMl/kMlk。（b） 总是这样~ F Vd（0，Y∏）。此外，当det（∑）>0时，则对于allBorel，A 研发部*,πY（A）=nXl=1αlZAKdl/2qβlPmkl6=0yk/mklPmkl6=0yk/∑kkmkl）dl/4expXmkl6=0ukyk/平方公里∑kk`*l（dy）。（c） 我们有=λ ∈ Rd:hu Ml，λi+kλk∑Ml<bl，1≤ L≤ N,对于t≥0和λ∈ 迪，- logeehλ，Y（t）i=tnXl=1blognbl-hu Ml，λi-kλk∑毫升/blo，（2.54）和{Y（s）：0≤s≤t} |QYλ，t~ V MΓd（b*, Mλ，μλ，∑）。这里，μλ=u+σλ，和Mλ∈ [0, ∞)d×nhas为以下列Mλ，Mλn:Mλl=blbl- hu Ml，λi-kλk∑MlMl，1≤ L≤ N（2.55）证据。（a） 遵循引理2.1和（2.51）。MΓd-从属项没有零漂移。此外，R0<kxk≤1kxk1/2∏T（dx）是MΓd-从属T的定义。因此，Y~ 由引理4.2的（c）部分得到的fv（0，Y）。（命题2.2的（A）部分给出了一个更强的结果。）鉴于（a）部分，其余（b）（c）部分遵循定理2.2-2.3以及命题2.3。2标记2.7。如果~ V MΓd（b*, M、 u，∑），n=dim b*thenYD=nXl=1Yl，（2.56）作为（2.54）的含义。这里是Y，YnYl是独立的过程~ V-Gd（bl，u） Ml，∑ Ml）1分钟≤ L≤ N

因此，可以通过叠加独立的Madan Seneta V GD过程来构造V MΓd过程。Wang[61]得出了类似的结论，并通过叠加合适的V-Gd过程，构造了带有V-G分量的多元L′evy过程，就像（2.56）的右侧一样。2跃迁密度。对于MΓd-类的一个子类，可以获得跃迁密度的公式，如我们接下来所示。让b*= （b，…，bd+1）∈ (0, ∞)d+1和M∈ [0, ∞)d×（d+1）使得同时M=（mkl）1≤K≤d、 一,≤L≤d+1=诊断（m，…，mdd），Md+1anddYk=1mkkmk（d+1）6=0。（2.57）t>0定义*t:=C*t（b）*, M） ：=nbtbd+1d+1Γ（待定+1）odYk=1btbkkΓ（tbk）mtbkk，k, (2.58)β*:= β*（b）*, M） ：=-bd+1+dXk=1bkmk，d+1mkk。（2.59）下一个结果的证明来自[36]第48.3.1节中的类似分析。（我们无法通过积分d+1独立伽马随机变量的联合密度，对积分（2.60）进行实质性简化。然而，使用[48]中的结果，可以根据劳里切拉函数展开积分。）引理2.4。设t>0和t~ MΓdS（b*, M） 我满意（2.57）。然后T（T）允许勒贝格密度fT：对于τ=（τ，…，τd）∈ Rd，fT（t）（τ）=C*t（0，∞)d（τ）exp-dXk=1bkτkmkk×Zmin1≤K≤dτk/mk，d+1eβ*sstbd+1-1dYk=1（τk）-mk（d+1）s）待定-1ds。（2.60）接下来，我们为相关的V MΓd模型说明这些公式。设u=（u，…，ud）和∑=diag（∑，…，∑dd）为基础布朗运动的参数。为了确保V MΓd过程存在Lebesgue跃迁密度，我们需要额外假设∑是可逆的，即。

所有∑kk>0。借助于（2.58）和（2.59）定义：=1（2mk（d+1）∑kk，bak:=mk（d+1）（bk/mkk）+（uk/（2∑kk）），ck:=2bk+mkkuk/∑kk，bck:=pck/∑kkmkk）。此外，对于t>0，我们设置ct:=C*t（b）*, M） （2dπddet∑）-1/2dYk=1mtbk-k（d+1）=nbtbd+1d+1d/2πd/2Γ（待定+1）odYk=1BTBKMTBK-k（d+1）∑1/2kkΓ（tbk）MTBKK,cd+1:=2bd+1+dXk=1mk（d+1）uk∑kk，Dt:=2π-dc（d）-2bd+1t）/4d+1d+1Yk=1bbktkΓ（bkt）××dYk=1nc（1-2bkt）/4k∑-（3+2bkt）/4Km-（1+2bkt）/4Km-1/2k（d+1）o。定理2.5。假设是Y~ V MΓd（b*, M、 u，∑），其中det∑6=0和（2.57）。然后Y（t）定律允许t>0时的勒贝格密度fY（t）：fY（t）（Y）=CtexpdXk=1ukyk∑kk×（2.61）Z∞eβ*党卫军-d+2-tPd+1k=1bkdYk=1Zexp-阿库克斯-巴克苏(1-u） tbk-1utbk+du ds=DtexpdXk=1ukyk∑kk×（2.62）ZRdK | 2bd+1t-d |/2qcd+1Pdk=1zk（∑kkmk（d+1））Pdk=1zk（∑kkmk（d+1））（d）-2bd+1t）/4dYk=1K | 2bkt-1 |/2（bck | yk）- zk |）dzk | yk- zk |（1）-2bkt）/2对于y=（y，…，yd）∈ 研发证明。因为我们有YD=Bo独立B的dT~ 骨密度（u，∑）和T~ MΓd（b）*M） ，（2.61）是引理2.4的引理，通过将Y（t）=B（t（t））条件化为t（t）的值（参见引理4.2的（B）部分）。鉴于备注2.7，我们可以将YD=Y+Y写为独立过程Yan和Y。这里，d维过程yh是独立的组件，其中kTh组件是一个VG（bk，ukmkk，∑kmkk）-过程（1≤K≤d） 。此外，Ys是V Gd（bd+1，u Md+1，∑ Md+1）-过程。（2.62）中的公式通过卷积从（2.10）中导出。22.6 GGC次类在本小节中，我们回顾了文献中出现的次类，并将其与我们的公式联系起来。GGCd、Γd和MΓd子排序器类分别在2.1和2.5小节中介绍，其中一个连接是ΓdS（α，β）=GGCd（0，αpΔβ（·））。根据定义（2.43），在引理2.1中，MΓd-类被确定为漂移a=0的GCD从属子类，具有完全支持的Thorin测度T。

正如我们在引理2.3的（b）部分所阐明的，给定的MΓd-从属不需要是Γd-从属。另外两个类别，如塞梅拉罗[54]和纪尧姆[26]提出的类别，如图2所示与它们相关。（比较图2和图1。）在单变量情况下，d=1，注意αΓS=ΓS=ΓS.αΓdS--I GΓdS--IMΓdS--我--IΓdS--IGGCD图2：箭头指向文本中描述的不同Bordinator类的概括方向表示包含在特殊情况中。佩雷斯·阿布雷乌和斯特尔泽的Γd-从属。基于[49]的ΓdS从属类别在（2.36）中定义。在单变量情况下，我们观察到ΓS（αδ，β）=ΓS（α，β（1））。与我们的GGC类的联系是ΓdS（α，β）=GGCdS（0，α）pΔβ（·））。让我们~ ΓdS（α，β），λ∈ Rd，q=qλ∈ DTA（2.41）。我们从命题2.3的（a）部分得到，同时，α{β（·）≤ hq，·i}）=0和（2.34）保持不变，β替换为βλ（·）：=β（·）-hq，·i.在命题2.3的（c）部分中，观察（αpΔβ（·））λ=αpΔβλ。因此，在定理2.3的解释中，在埃舍尔变换下，附属布朗运动的相关VΓdS类是封闭的。塞梅拉罗的α-从属。Semeraro[54]介绍了另一种多元伽马从属函数的方法（另见[40,41,42]）。该模型的参数如下：设a，b∈ (0, ∞), α*= （α，…，αd）∈ (0, ∞)同时，对于所有1≤ K≤ d、 让我们，Sd+1独立，如SK~ ΓSbαk- a、 bαk, 1.≤ K≤ d，Sd+1~ ΓS（a，b）。我们把T称为α从属，简而言之就是T~ αΓdS（a，b，α*), 提供Tk=Sk+αkSd+1的Td=（T，…，Td）。（2.63）任何αΓd-从属T都允许标准伽马边际分布：Tk~ ΓS（b/αk）。因此，相关的VαΓdS过程（在[54]中称为αvg）具有vg-边际分布。我们在（2.63）中给出了T的另一种表示形式。

引入参数b*= （b，…，bd+1）∈ (0, ∞)d+1和独立的标准GammasSubordinator G，Gd+1，Gk~ ΓS（bk）为1≤K≤d+1，通过设置bk:=bαk- a，1≤ K≤ d，bd+1:=a，和S，Sd+1as以上，Gk:=bb-aαkSk，1≤ K≤ d，Gd+1:=baSd+1。对于（2.63）中的T，我们得出结论：~ MΓdS（b*, M（a，b，α）*)), 在我们的符号M中（a，b，α*) :=诊断（b）-aα，B-aαd），aα*B∈ [0, ∞)d×（d+1）*. （2.64）通过考虑以下二元例子，我们证明了VαΓdSprocess在Esscher变换下不是封闭的。在定理2.4的（c）部分，我们有λ：=（1，0）∈ 对于u=（0,0），∑：=diag（1,1）和t~ αΓS（1,2，（1,1））=MΓS(1, 1, 1),1/2 0 1/20 1/2 1/2,而且，回忆（2.55），M（1,0）=（M（1,0），M（1,0），M（1,0））=2/3 0 2/30 1/2 2/3.在埃舍尔变换下，T的第一个分量读取TD=（2/3）G+（2/3）gf表示独立的G，G~ ΓS（1）by（2.43）。然而，正如Emma 2.2所暗示的，（2/3）G+（2/3）G~ ΓS（2，3/2）和t不能是标准的伽马过程。因此，在定理2.3的解释中，在埃舍尔变换下，附属布朗运动的相关VαΓdS类不是封闭的。纪尧姆的下属。纪尧姆[26]将塞梅拉罗的αΓd-类扩展如下：让α*= （α，…，αd），a*= （a，…，ad），β*= （β，…，βd）∈(0, ∞)d、 c，c>0。让我们，Sd+1独立，如SK~ ΓS（ak，βk），1≤ K≤ d，Sd+1~ ΓS（c，c）。我们把T称为GΓd从属，简而言之就是T~ GΓdS（α）*, A.*, β*, c、 c），假设TD=（T，…，TD）与Tk:=Sk+αkSd+1。有了S，Sd+1以上，引入独立的标准伽马从属函数G~ ΓS（a），Gd~ ΓS（ad），Gd+1~ ΓS（c）通过设置gk:=βkakSk，1≤ K≤ d，Gd+1:=ccSd+1。我们的结论是~ MΓdS（b*, M（α）*, A.*, β*, c、 c），在我们的符号中，b*= （a，…，ad，c）∈ (0, ∞)d+1和m（α*, A.*, β*, c、 c）：=诊断（a/β。

，ad/βd），（c/c）α*∈ [0, ∞)d×（d+1）*.（2.65）进一步观察{GΓdS（α*, A.*, β*, c、 c）：α*, A.*, β*∈ (0, ∞)d、 c，c>0}={MΓdS（b*, diag（x）*), Y*)) : 十、*, Y*∈ (0, ∞)d、 b*∈ (0, ∞)d+1}。根据定理2.4的（c）部分，在定理2.3中的埃舍尔变换下，从属布朗运动的VGΓd-类是封闭的。与αΓd-次元不同，给定的GΓd-次元不需要有伽马边缘，我们在引理2.3的（a）部分中对此进行了说明。引理2.3的第（b）部分，考虑到（2.65），一个GΓd-从属，因此，任何αΓd-从属也是一个ΓdS-从属，结束了图2中我们图表的解决，也回顾了包含链αΓd GΓdS MΓdS。3应用我们主要关注的是演示我们的V MΓd子条款如何应用，尤其是如何为多资产期权定价。正如我们所展示的，vmΓdsubclass包含其他流行的模型，如多元VG[44]、SemeraroαVG[54]和Guillaume的扩展[26]。在第3.1小节中，介绍了一个使用V MΓd过程的市场模型，我们给出了k维L-price过程及其协方差矩阵的期望值以及价格过程本身的期望值的显式公式。这使我们能够将这些数量的值制成表格，用于特定参数集，我们将使用该参数集来说明结果。使用定理2.2（2.27）中给出的特征函数公式计算相应的密度，如图3所示。第3.2小节的建议3.2中推导了使埃舍尔变换成为联系现实世界和风险中性动力学的等效鞅测度所需的参数。