基于广义Gamma卷积的多元隶属度

对于该模型的参数，我们假设为u∈ Rd，b>0和∑∈ Rd×d，∑为对称非负定义。让B~ BMd（u，∑）是d维布朗运动，G~ ΓS（b）独立于b。当YD=b时，L′evy过程Y是一个参数为b，u，∑的d维方差伽马（V Gd）-过程oG、 这很容易~ vGd（b，u，∑）：=BMd（u，∑）o ΓS（b）。（2.8）（a）注意，V-Gd过程具有零漂移，且变化有限。（b） Y的拉普拉斯变换有一个明确的形式，直接来自条件作用：对于t≥0, λ∈rdkλk∑-hu，λi<b，E exp{-hλ，Y（t）i}=nb。（b+hu，λi）-kλk∑obt。（2.9）（c）如果∑是可逆的，对于t>0，Y（t）的分布相对于勒贝格测度是绝对连续的，密度如下：fY（t）（Y）=（2）-d） /2bbtexp{h∑-1u，yi}πd/2（det∑）1/2Γ（bt）kyk∑-12b+kuk∑-1.（2吨）-d） /4×K|2bt-d |/2q（2b+kuk∑）-1） kyk∑-1., Y∈Rd.（2.10）此外，在det∑6=0的情况下，Y的标准L’evy测度相对于勒贝格测度和满足度是绝对连续的：d∏Ydy（Y）=B2（2-d） /2exp{h∑-1u，yi}πd/2（det∑）1/22b+kuk∑-1kyk∑-1.d/4×Kd/2q（2b+kuk∑）-1） kyk∑-1., Y∈ Rd.（2.11）这里Kν是第二类修正贝塞尔函数（见[23]），它们的方程（3.471）–9和（8.469）–3；还有[15]，他们的附录）。关于第二类修正贝塞尔函数Kν，可以方便地修正以下事实：对于δ，γ>0，ν∈ R2（δ/γ）ν/2K |ν|pδγ=Z∞rν-1exp- （δ/r）- γr博士（2.12）对于较大的x值（见[23]，其方程式（8.451）–6），Kν（x）~ K1/2（x）=√πe-x/√2x，x→ ∞. （2.13）我们使用一个由bkν（r）定义的Kν变体：=rνKν（r），r，ν>0。（2.14）备注2.2。我们从（2.7）中得到，位移伽马过程eg（t）=at+G（t），t≥ 0，带G~ ΓS（α，β）对λ有拉普拉斯变换≥ 0-日志Ee-λeG（t）=λat+αt logβ+λβ=λat+tZ（0，∞)log（1+（λ/y））αδβ（dy）。对于独立过程G。

，gngk=ΓS（αk，βk），1≤ K≤ n、 通过Egk（t）=akt+Gk（t），t介绍相关的移位伽马过程≥ 0, 1≤K≤n、 从λ的独立性出发≥ 0-日志Ee-λPni=1eGi（t）=-nXk=1log Ee-λeGi（t）=tλa+tZ（0，∞)log（1+（λ/y））Tn（dy），其中a=Pnk=1，Tn=Pnk=1αkδβkis是与递增函数Un（y）=Pnk=1αk[βk]相关的离散度量，∞)（y） ，y>0。利用上一次显示中的显示，并在分布中采取适当的限制，我们可以在广义伽马卷积类中进行分析。在第2.5–2.6小节中的多变量设置中，我们将在MΓd类的背景下采用完全支持的权限度量，如上述TN。2广义伽马卷积子（GGC）。这类伽马分布在卷积下是不封闭的。为了扩展MadanSeneta V Gd类，可以方便地使用对应于广义伽马卷积（GGC）的Horin类[58,59]的从属函数。这是包含所有伽马分布的最小分布类，但在卷积和弱收敛下是闭合的（参见[10,11,24,30,53,56]；多元扩展参见[5,11,49]）。GGC分布类是自分解分布的一个子类，因此分布是完全可分的。d维Thorin测度T是[0]上的Borel测度，∞)D*z[0，∞)D*1+对数-kxk∧kxkT（dx）<∞. （2.15）（整个x=x+- 十、-表示扩展实数x的分解∈ R分为正负两部分。）从属子T是带有参数A和T的GGCd从属子，inbrief T~ GGCdS（a，T），当T是d维托林测度时，a∈[0, ∞)丹德，无论如何≥ 0, λ ∈ [0, ∞)D- 日志E exp{-hλ，T（T）i}=T ha，λi+tZ[0，∞)D*日志kxk+hλ，xikxkT（dx）。（2.16）Thorin从属项的分布由a和T决定。

AnyThorin测度T允许极性表示T=αpK相对toSd+：={x∈ [0, ∞)d:kxk=1}（见下面的引理4.1）。这允许我们指定相应的L’evy度量。对于T~ T=α的GGCdS（a，T）pK我们没有~ 带d∏T=ZSd+Z的Sd（a，∏T）∞δrsk（s，r）drrα（ds），（2.17）k（s，r）=Z（0，∞)E-rτK（s，dτ），r>0，s∈ Sd+，（2.18）分别参见[5,49]，他们的定理F和命题4.3。方差——单变量GGC（vGGD，1）。作为GDV模型的首次扩展，我们将回顾Grigelionis[24]的课程。格里格里奥尼斯使用单变量隶属度o 以及带有一元GGC子序数的从属布朗运动。对于他的模型参数，我们采用u∈ Rd，a>0和∑∈ Rd×d，∑是对称的非负定义。此外，这可能是一个单变量的托林测度。让B~ BMd（u，∑）是d维布朗运动，T~ GGCS（a，T），独立于B。给定这样的B和T，我们称之为形式为YD=B的L’evy过程o T参数为a，u，∑，T的一维方差单变量广义伽马卷积（vggd，1）过程。我们写这封信~ vggd，1（a，u，∑，T）：=BMd（u，∑）o GGCS（a，T）。（2.19）下一个定理给出了特征函数和L’evy密度。第（a）部分（我们的方程式（2.21））在第4.3小节中得到了证明。（b）部分出现在[24]中（见他的命题3）。（在（2.20）中，log:C\\(-∞, 0] → C表示对数的主分支。）定理2.1。让我来~ vggd，1（a，u，∑，T）。（a） 对于所有θ∈ Rd，t≥ 0，我们有E exp{i hθ，Y（t）i=exp{tψY（θ）}，其中ψY（θ）=ia hu，θi- （a/2）kθk∑-Z（0，∞)对数τ-i hu，θi+kθk∑τT（dτ）。（2.20）（b）假设det∑6=0，t6=0。

那么∏i对于Rd上的d维勒贝格测度是绝对连续的*, 在哪里，为了你∈ 研发部*,d∏Ydy（y）=2（2）-d） /2π-d/2（det∑）-1/2kyk-d/2∑-1exp{Σ-1u，y} ×（2.21）×Z（0，∞)（2τ+kuk∑）-1） d/4Kd/2q（2τ+kuk∑）-1） kyk∑-1.T（dτ）。除此之外，我们还有∏Y=RSdER∞δrsgY（s，r）dr/rαd，E（ds）在欧几里德极坐标系中，Lebesgue曲面测度αd，Eon SdE（对于d=1的Weinterpetαd，Eas为计数测度），对于r>0，s∈ SE，gY（s，r）=2（2）-d） /2π-d/2（det∑）-1/2ksk-d∑-1exp{rΣ-1u，s} ×（2.22）×Z（0，∞)bKd/2（2τ+kuk∑）-1） 1/2rksk∑-1.T（dτ）。备注2.3。在这两个类中，vgd和vggd，1，我们用一个单变量的从属变量来从属布朗运动。因此，这些过程的组成部分必须同时跳跃。为了让这些分量彼此独立地跳跃，我们必须使用布朗运动的多元从属关系。这激发了我们的下一步，引入我们的GGd，d-class。2方差——多元GGC（V GGd，d）。接下来，我们给出了V-Gd模型的另一种修正，该模型由多元隶属关系构建od、 对于该模型的参数，我们假设一个d维钍测量，u∈ Rd，a∈ [0, ∞)dand∑∈ Rd×d，其中∑=diag（∑，…，∑dd）具有非负项。（我们对布朗运动施加了独立分量的要求，以便保持在L’evy过程类中，见备注2.1。）让B~ BMd（u，∑）是布朗运动。让我们~ GGCdS（a，T）独立于B。给定这样的B和T，我们称之为formYD=B的L′evy过程odT a d维方差多元广义伽马进化（vggd，d）-参数为a，u，∑，T的过程。我们写这封信~ vggd，d（a，u，∑，T）：=BMd（u，∑）odGGCdS（a，T）。（2.23）为了说明该工艺特征的公式，定义外部-y=（y，…，yd），z=（z，…，zd）的乘积∈ Rdand∑∈ Rd×dasy z:=（yz，yz。

，ydzd）∈ Rd，（2.24）∑ z:=diag（z，…，zd）∑∈ 我们可以分解[0，∞)D*=s6=J{1，…，d}cj为半锥，其中cj:=nXj∈Jxjej:xj>0表示所有j∈ 乔， 6=J {1，…，d}，（2.25）和Ei是单位坐标向量。类似地，我们可以分解Rd*=s6=J{1，…，d}VJinto VJ:={Pj∈Jxjej:xj6=0表示所有j∈ J对于 6=J{1，…，d}。设#J为J的基数。我们需要一系列参考度量。用`表示单变量Telebsgue测度定义`J:=Ndk=1`J，kas表示具有以下因子的乘积测度：`J，k:=1J（k）`+1{1，…，d}\\J（k）δ，1≤ K≤ D（2.26）观察“J（Rd*-VJ）=0。最后，为了在欧几里德极坐标中提供（2.22）的模拟，让αJ，Edenote在SdE上测量勒贝格曲面∩ VJJ 6=. （在离散情况下，我们解释αJ，Eas计数度量）。下一个定理给出了Y的特征函数及其L′evy测度的表达式。第4.3小节对此进行了证明。定理2.2。让我来~ vggd，d（a，u，∑，T）。（a） 对于所有θ∈ Rd，t≥ 0，我们有E exp{i hθ，Y（t）i}=exp{tψY（θ）}，其中ψY（θ）=i hu a、 θi-kθk∑A.-Z[0，∞)D*logkxk- 我是hu x、 θi+kθk∑xkxkT（dx）。（2.27）（b）始终∏Y=P6=J{1，…，d}∏J，带∏J（Rd）*- VJ）=0表示 6=J{1，…，d}。如果T（CJ）=0，则∏J≡ 否则，如果T（CJ）>0且det∑>0，则∏Jis相对于`Jand绝对连续，对于y∈ VJ，d∏Jd`J（y）=2（2）-#J） /2π-#J/2exp{Σ-1u，y} ×（2.28）ZCJT（dx）Qj∈J∑1/2jjx1/2j（2kxk+hu x、 ∑-1uiPj∈Jyj/（xj∑jj））#J/4×K#J/22kxk+u  x、 ∑-1uXj∈Jyj/（xj∑jj）1/2!,而in∏J=RSdE∩VJ（R）∞δrsgJ（s，r）dr/r）αJ，E（ds），对于r>0，s∈ SdE∩VJ，gJ（s，r）=2（2）-#J） /2π-#J/2exp{rΣ-1u，s} ×（2.29）ZCJT（dx）Qj∈J∑1/2jjx1/2jnXj∈Jsj/（xj∑jj）o-#J/2×bK#J/2r×n2kxk+u  x、 ∑-1uXj∈Jsj/（xj∑jj）o1/2.2.2矩和样本路径在2.6小节中，我们看到两个V GG类都支持具有有限变化和有限矩的纯跳跃过程。

在命题2.1–2.2中，我们提供了关于Thorin测度的条件，可用于检查∏和∏Yas的局部可识别性以及力矩的存在性（证明见第4.4小节）。设置k·k:=|·|和k·kd:=k·k.命题2.1。设t>0，0<q<1，p>0，t~ GGCD（a，T）。然后：（a）R0<kzk≤1kzkq∏T（dz）<∞ <=>Rkxk>1T（dx）/kxkq<∞.（b） E[kT（t）kp]<∞ <=>R0<kxk≤1T（dx）/kxkp<∞.提议2.2。让k∈{1，d}和Y~vggd，k（a，u，∑，T）。然后我们有：（a）设0<q<2。如果zkxkk>1T（dx）/kxkq/2k<∞ （2.30）然后z0<kyk≤1kykq∏Y（dy）<∞. （2.31）此外，如果det∑>0，则（2.30）和（2.31）是等效的。（b） 设p，t>0。If（R[0,1]d*T（dx）/kxkp/2k<∞ 当u=0R[0,1]d时*T（dx）/kxkpk<∞ 当u6=0（2.32）时，则烯[kY（t）kp]<∞. （2.33）此外，如果qdk=1uk6=0，或u=0且det∑>0，则（2.32）和（2.33）是等效的。备注2.4。从广义逆高斯（GIG）的从属布朗运动中得到一类广义双曲L’evy过程（详细说明[4,7,16]）。Halgren[27]将单变量GIG分布识别为广义伽马卷积，这意味着相关的超字母L’evy过程[4]构成了V GGd的一个子类，1-类（参见[10]和[24]，他的示例1）。由于命题2.2，我们可以将分析局限于从属阶级。对于（α，β，γ）∈ R×（0，∞)∪ (0, ∞)× {0} ∪ (-∞, 0) × {0} × (0, ∞)GIG（α，β，γ）-分布在（0，∞)GIG（α，β，γ）（dx）=Cα，β，γxα-1e-βx-（γ/x）dx，x>0。这里Cα，β，γ是一个归一化常数。对于γ=0，恒等式GIG（α，β，0）=Γ（α，β）成立，对于λ<β，指数矩E[EλT（1）]是有限的，只要β>0，它就扩展到其他参数α，β，γ。

对于β=0和α<0，观察GIG（α，0，γ）=invΓ(-α、 γ）是反γ分布，只有p阶的有限p-矩<|α|。我们将Blumenthal Getoor指数[9]确定为相关GIG下级活动的指标，有关潜在应用，请参见[1,60]。在（2.7）中，noteR（0,1]xq∏G（dx）=αRxq-1e-βxdx对于所有0<q<1的情况都是有限的，这迫使GIG（α，β，0）=Γ（α，β）的Blumenthal-Getoor指数退化为零。对于剩余参数，其中γ>0，我们计算λ>0时GIG（α，β，γ）的拉普拉斯变换{-λα，β，γ（λ）}=Z∞E-λxGIG（α，β，γ）（dx）=Cα，β，γCα，β+λ，γ=2γα/2Cα，β，γK |α|（2pγ（β+λ））（β+λ）α/2~√πCα，β，γγ（2α-1） /4exp{-2pγ（β+λ）}（β+λ）（2α+1）/4，λ→ ∞,如下（2.12）-（2.13）。观察∧α，β，γ（λ）~ 2.√γλasλ→ ∞ 安塔斯√π∏α，β，γ（（x，∞)) ~ ∧α，β，γ（1/x）~ 2pγ/x as x↓ 0，由Tauberiantherom（见[8]，第75页）和相关的Blumenthal Getoor指数1/2。2标记2.5。VG类的其他可能扩展包括一系列可能的样本路径行为。在[45]中，单变量CGMY-过程被确定为从属布朗运动，并且也知道相关的从属子是GGC从属子（参见[31]，其示例8.2）。如[13]所述，CGMY过程的Blumenthal-Getoor指数耗尽了整个时间间隔（0,2）。特别是对于任何给定的q∈ （0,1）存在具有Blumenthal-Getoor indexq的GGC从属函数，后者由命题2.2（a）部分确定（多元CGMY模型见[40]）2标记2.6。通过（2.15）的直接验证∞是（0，∞), 哪里∞（dx）：=1（0,1/e）（x）dxx对数（1/x）+1（e，∞)（x） dxlog（x）。AsRx>1T∞（dx）/xq=R0<x≤1T∞（dx）/xp=∞ 对于0<q<1和p>0，我们分别从命题2.1得到，任何相关的GGC（a，T∞)从属函数具有有限的p-矩，Blumenthal-Getoor指数等于1。

根据命题2.2，也可以是任何vggd，1（0，0，0，∑，T∞)-det∑>0的过程具有有限的p-矩，其Blumenthal-Getoor指数等于2。22.3通过极性分解的L’evy过程类基于L’evy测度的极性分解（见引理4.1），P’errez Abreu和Stelzer[49]在锥上构造自分解分布类，生成有限变化（F Vd）的L’evy过程类，超越从属过程，包括伽马和GGC过程的版本。多元伽马过程。我们复制了[49]中的模型（第3节）。回忆Sd:={x∈ Rd:kxk=1}，设β：Sd→ (0, ∞) be aBorel函数，以及SDS上的αa有限Borel度量，使得zSDLog1+β（s）β（s）α（ds）<∞. （2.34）我们将d维L’evy过程X称为参数α和β为X的Γd过程~ ΓdL（α，β），当X~ F Vd（0，∏X）和∏X=ZSdZ∞δrse-β（s）rdrrα（ds）。（2.35）假设α、β满足（2.34），[49]中显示，（2.35）中的RHS定义了一个L’evy度量（见其命题3.3）。ΓdL类在很大程度上遵循了我们第2.2小节的精神，它包含了具有有限时刻的过程，以及其他内容（参见[49]，示例3.14、3.15和3.16）。多元伽马从属。回忆Sd+：=[0，∞)D∩ Sd，让β：Sd+→ (0, ∞) 是一个Borel函数，在Sd+上的α有限Borel度量（2.34）是满意的，但用Sd+代替了SDR。我们把一个d维的从属子T称为参数为α和β的Γd-从属子，写为T~ ΓdS（α，β），无论何时，对于所有λ∈ [0, ∞)D- 日志Ee-hλ，T（T）i=tZSd+logβ（s）+hλ，siβ（s）α（ds）。

（2.36）如（2.7）中的弗鲁拉尼恒等式所示，（2.36）中的RHS匹配ZSd+logβ（s）+hλ，siβ（s）α（ds）=ZSd+Z∞1.- E-rhλ，siE-rβ（s）drrα（ds），因此~ ΓdS（α，β）成立的充要条件是T~ Sd（0，∏T）与∏Tasin（2.35），但分别用Sd+和∏T取代了SDA和∏X。很明显，一个ΓdS从属是一个ΓdL过程，包含不减损的组件：Sd∩ΓdL=ΓdS。在单变量情况下，我们有ΓS（αδ，β）=ΓS（α，β（1））。与我们的GGC类的联系是ΓdS（α，β）=GGCdS（0，α）pΔβ（·））。因此，相关的VΓdS类是我们的V GGd，d类的一个子类。作为补充，可以将VΓdS类设计为一类与[49]的矩阵伽马正态类相关的LΓevy过程（见第5.3.2小节）。多元伽马卷积过程。在[49]中（见其定义4.4和第4.4小节），还展示了如何描述与锥体相关的多元广义伽马卷积的相关类别。有可能引入GGCdL类F Vd工艺，将极性分解从[0，∞)D*到*, 正如我们在包含ΓdS的上下文中所示 ΓdL。特别是，我们有Sd∩ GGCdL=GGCdS。我们通过在图1中确定进一步的内容来结束本小节，将此类进一步调查推迟到第2.6小节。方差伽马（VG）再访。假设是Y~ V Gd（b，u，∑）这样~ vggd，1（0，u，∑，T），T=bδbin（2.19）。

如果d=1，∑6=0，则（2.22）退化为，对于r>0，s∈ SE={±1}，gY（s，r）=b expnrsu- （2b∑+u）1/2 | s|/∑o.| s |，在（2.35）中我们有~ ΓLb（δ）-1+ δ), ±1 7→（2b∑+u）1/2 u/Σ,可与[43]中作为独立伽马从属函数差异的单变量VG过程的表示相比较。对于d>1和可逆∑，我们从（2.13）和（2.22）得到，对于s∈ SdE，作为r→ ∞,gY（s，r）=2b（2π）d/2exp{r h∑-1u，si}（det∑）1/2kskd∑-1×bKd/2（2b+kuk∑）-1） 1/2rksk∑-1.~b（2b+kuk∑）-1） （d）-1） /4（2π）（d）-1） /2（det∑）1/2×r（d）-1） /2ksk（d+1）/2∑-1×expnrΣ-1u，s- （2b+kuk∑）-1） 1/2ksk∑-1.o、 最后一次显示的渐近等价性不匹配（2.35），消除了Y是ΓdL过程的可能性。在他的vggd中，一级格里戈里奥尼斯（见[24]，他的命题3）表明，只要d=1或d，任何vggd，1（0，u，∑，T）-过程都是自分解的≥ 2和u=0。假设一个可逆的∑并对T施加进一步的力矩条件，这些条件在T=bδb等度量中得到充分满足，他表明他的结果是尖锐的：如果u6=0和d≥ 那么vggd，1（0，u，∑，T）-过程不能自分解。因此，V-Gd（b，u，∑）工艺与d≥ 2，u6=0，可逆∑不能自分解，更不用说是ΓdL的一个元素了 GGCDL类。显然，bK1/2是完全单调的。通过在整数符号下微分（2.12），我们发现BKD/2（0+）<0。