基于广义Gamma卷积的多元隶属度

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英文标题：
《Multivariate Subordination using Generalised Gamma Convolutions with
  Applications to V.G. Processes and Option Pricing》
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作者：
Boris Buchmann, Benjamin Kaehler, Ross Maller, Alexander Szimayer
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We unify and extend a number of approaches related to constructing multivariate Variance-Gamma (V.G.) models for option pricing. An overarching model is derived by subordinating multivariate Brownian motion to a subordinator from the Thorin (1977) class of generalised Gamma convolution subordinators. A class of models due to Grigelionis (2007), which contains the well-known Madan-Seneta V.G. model, is of this type, but our multivariate generalization is considerably wider, allowing in particular for processes with infinite variation and a variety of dependencies between the underlying processes. Multivariate classes developed by P\\\'erez-Abreu and Stelzer (2012) and Semeraro (2008) and Guillaume (2013) are also submodels. The new models are shown to be invariant under Esscher transforms, and quite explicit expressions for canonical measures (and transition densities in some cases) are obtained, which permit applications such as option pricing using PIDEs or tree based methodologies. We illustrate with best-of and worst-of European and American options on two assets.
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中文摘要：
我们统一并扩展了许多与构建期权定价的多元方差伽马（V.G.）模型相关的方法。通过将多元布朗运动从属于Thorin（1977）类广义伽马卷积从属性，导出了一个总体模型。Grigelionis（2007）提出的一类模型，其中包含著名的Madan Seneta V.G.模型，属于这种类型，但我们的多元泛化要广泛得多，特别是考虑到具有无限变化的过程以及基础过程之间的各种依赖性。Pèrez-Abreu和Stelzer（2012年）、Semeraro（2008年）和Guillaume（2013年）开发的多变量类也是子模型。新模型在Esscher变换下是不变性的，并且获得了规范测度（在某些情况下是转移密度）的非常明确的表达式，这允许使用PIDE或基于树的方法进行期权定价等应用。我们用欧洲和美国两种资产的最佳和最差选择来说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Multivariate_Subordination_using_Generalised_Gamma_Convolutions_with_Application.pdf (1.08 MB)

2022-5-7 15:05:16 上传

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关键词：gamma GAM Multivariate Applications Mathematical

广义伽马卷积的多元隶属度及其在方差伽马过程和期权定价中的应用*Boris Buchmann+Benjamin KaehlerRoss Maller§Alexander Szimayer*2021年6月28日摘要我们统一并扩展了与构建多元Madan Seneta方差伽马期权定价模型相关的许多方法。作为Grigelionis（2007）类的补充，通过将多元布朗运动从属于Thorin（1977）类广义伽马卷积的从属子，导出了一个总体模型。P’errez Abreu和Stelzer（2014）、Semeraro（2008）和Guillaume（2013）开发的多变量类是子模型。这些类在Esscher变换下是不变的，并且非常明确*该研究得到了ARC基金DP1092502、DP0988483和DP160104037的部分支持。+澳大利亚国立大学金融、精算研究与统计研究学院，澳大利亚ACT 0200，电话（61-2）61257296，传真（61-2）61250087，电子邮件：Boris。Buchmann@anu.edu.au——澳大利亚国立大学约翰·柯廷医学研究院，澳大利亚ACT 0200，电子邮件：Benjamin。Kaehler@anu.edu.au§澳大利亚国立大学金融、精算研究与统计研究学院，堪培拉，ACT，澳大利亚，电子邮件：Ross。Maller@anu.edu.au¨大学工商管理系-汉堡，20146德国汉堡，电子邮件：Alexander。Szimayer@wiso.uni-汉堡。得到了规范测度的解表达式，它允许使用PIDE或基于树的方法进行期权定价等应用。

我们用欧洲和美国关于两种资产的最佳选择和最差选择来说明。2000年理学硕士学科分类：主要：60G51、60F15、60F17、60F05次要：60J65、60J75关键词：列维过程、方差伽马、多元隶属度、广义伽马卷积、托林测度、埃舍尔变换、埃舍尔不变性、叠加、期权定价。1简介Madan和Seneta[44]介绍了单变量“方差伽马”（VG）过程，作为金融资产价格过程的一个模型，特别着眼于在标准几何布朗运动（GBM）模型之外，对资产进行更准确的期权定价。事实证明，V G模型在该应用中非常成功，许多金融机构普遍使用它作为GBM模型的替代品，尽管它未能适应随机波动性或杠杆效应，或允许绝对值和/或对数回报平方的时间依赖性。尽管如此，马达南和塞内塔还是将V G模型[44]扩展到了多资产版本，再次着眼于金融领域的重要应用（“彩虹期权”），方法是将多变量布朗运动与单变量Gammaprocess相关联（另见[19,20,21,55]）。这种构造将边缘过程保留为单变量方差伽马过程。但是，组件依赖于常见的时间变化。Semeraro[54]概括了Madan和Seneta[44]的多资产版本，以考虑多元从属关系。这使得资产价格之间的依赖结构能够以更灵活的方式建模。多元从属关系背后的经济推论是，每项资产都可能有其自身的活动时间和一个共同的风险因素的非同步风险，所有资产都有一个共同的活动时间。

在特定情况下，可以为每个单一资产维护V gprocess，参见Luciano和Semeraro[40,41,42]中的[54]和相关应用，尽管这可能是为了更灵活的相关性建模，如Guillaume[25]。巴洛塔和邦菲格利奥尼[3]给出了基于L’evy财务流程的建模的最新描述。综上所述，基于布朗运动的单变量或多变量伽马从属关系，已经提出了各种各样的多资产模型。然而，当一类过程被要求是稳定的次内敛解时，关于这类过程的一般刻画，文献中仍然存在空白。此外，还需要理论结果，如特征函数公式、L’evy测度，以及在可能的情况下，过渡密度，以全面描述关键特性。作为现实世界与风险中性测度之间的一个重要联系，我们提倡Esscher变换，以获得一个等价的鞅测度。Kallsen和Shiryaev[33]以及Eberlein、Papapantoleon和Shiryaev[17]的开创性论文对这种方法进行了严格的研究。Esche和Schweizer[18]表明，多元L’evy过程的最小熵鞅测度保持了L’evy性质，因为它对应于Esscher变换。R¨uschendorf和Wolf[51]为多元L’evy过程的Esscher参数的存在提供了明确的必要条件，并进一步证明了多元Esscher参数存在时是唯一的。

Tankov[57]介绍了指数L’evy过程中的定价理论。本文的目的是通过提出一类一般的Rd值随机过程来填补上述空白，这类随机过程是由一类合适的多元从属函数构成的从属多元布朗运动。我们的目的是设计一个适合未来发展的系统配方。对于新的过程，我们提供了上一段中提到的公式，并通过计算Esscher变换将现实世界与定价措施联系起来。为了说明实际可能性，我们展示了如何使用显式公式为美国和欧洲多资产期权定价。我们考虑的最一般的从属类是Thorin[58,59]的广义Gamma卷积类。我们把它称为GGC类的从属函数，并把布朗运动的从属过程称为方差广义伽马卷积（V GG）过程。Grigelionis[24]构造了这样一个VGG类，我们在本文中称之为V GGd。V GGd，1类包含Madan-Seneta\'sV G以及特殊情况下的多元广义双曲分布[4]。作为对Grigelionis的V GGd，1类的补充，我们介绍了V GGd，L’evy过程的D类。我们的vggd，dclass包括各种先前衍生的模型，如Semeraro的α过程[54]和Guillaume的过程[26]。一般的vgg=vggd，1∪ vggd，dclass以多种方式扩展vgclass。特别是，V GG类允许有限的变化和重尾。图1描述了各个下属类之间的连接。V Gd--我和GGd，1。。。。。。ΓdL--I GGCdLVαΓd--I V GΓd--我是VΓdS--我vggd，d--IV MΓdS--图1：多元L’evy过程类之间的关系。

马丹塞内塔的VG[44]是格里戈里奥尼斯[24]V GGd的一个子类，1类；ΓdL GGCdLGamma过程及其基于P’errez Abreu和Stelzer[49]的相关广义卷积过程；Semeraro[54]的VαΓd-类，Guillaume的V GΓd-类[26]，VΓdS=基于P’errez-Abreu和Stelzer[49]的多元伽马从属函数的方差伽马过程，V GGd，基于P’errez-Abreu和Stelzer[49]的GGCd从属函数的dclass；V MΓd=方差矩阵伽马（完全支持的托林度量）。--我指向概括的方向；··表示包含在特殊情况下。Thorin[58,59]广义伽马卷积提供了一个非常自然的分布类，我们的多元VG推广基于该分布。正如我们将要展示的那样，它们有助于构造一类非常一般的从属函数和相应的多元L’evy过程，这些过程是作为从属维布朗运动得到的。我们的新类补充了[24]，包含了目前已知的多变量VG过程的许多版本，并以多种重要方式对其进行了显著扩展。虽然在外观上相当技术化，但我们的方法在很大程度上是针对该方法的实际使用。特征函数或拉普拉斯变换的显式表达式，以及L′evy测度或密度，都是我们所有过程的推导和展示。

正如我们通过一个例子所展示的那样，这使得期权定价程序的编程变得简单，特别关注二元基础上美式期权的定价；这是一个不常在这种情况下解决的棘手问题。V GG类及其一些子类在Esscher变换下被证明是不变的，因此，作为特定成员的Schcher变换构造的风险中性分布也在V GG类中，其实际含义是，可以在风险中性测度下计算价格，并通过校准市场数据来估计模型参数。利用这些概念，我们建立了一个市场模型，并展示了基于多种资产的期权是如何定价的。为了说明这一点，我们将自己限制在V GG类的另一个子类中，它是V MΓd过程的术语。这个类中的模型的优点是允许坐标过程之间存在一般的依赖结构。例如，我们使用基于树的算法对欧洲和美国看跌期权中的最佳和最差进行定价。本文的组织结构如下。第二部分是理论。在2.1小节中，我们修改了Madan Seneta V G模型，并给出了两个主要扩展：方差单变量GGC和方差多变量GGC类。这就需要首先回顾伽马从属函数的一些基本事实，然后概述索林的GGC类。第2.2小节给出了一些关于新过程的矩和样本路径的结果，包括Blumenthal-Getoor指数的计算。在第2.3小节中，我们调查了我们的V GG类和不可完全整除分布的各种多元类之间的关系，如P’errez Abreu和Stelzer[49]中介绍的，我们称之为ΓdL GGCdL课程。第2.4小节计算Esscher变换，说明两个V GG类保持不变的事实。

第2.5小节介绍了Variance-MΓd-子类，我们在第3节中建立了期权定价模型。最后，第2.6小节收集了我们的从属类的进一步属性，包括与文献中发生的属性的比较。第3节包含应用程序。这里介绍了市场模型，讨论了风险中性估值，在第3.3小节中，我们对一些欧洲和美国类型的交叉依赖敏感期权进行了定价。这里还提供了一些模型允许的依赖类型的示例。第2.1-2.4小节的证明和必要的方法学工具被归入第4节，其中简要介绍了度量的极性分解和从属关系。2.理论2。1方差广义伽马卷积（V GG）初步研究。RDI是d维欧氏空间；Rdarecolumn向量x=（x，…，xd）的元素。设hx，yi表示欧氏乘积，k·kE：=hx，xi为欧氏范数，并将kxk∑：=hx，∑xi设为x，y∈ Rdand∑∈ Rd×d.一年 让A*= A\\{0}。1表示指示器功能。总质量为x的狄拉克量度∈ Rdisδx.I:R→ R表示恒等式函数。X=（X，…，Xd）=（X（t））t≥0是一个d维L’evy过程，如果X是独立的、平稳的增量，X（0）=0，样本路径为7→ X（t）∈ RDL是c`adl`ag函数。L′evy过程X的规律是由其特征函数决定的，其特征函数为Eeihθ，X（t）i=exp{tψX（θ）}，L′evy指数为t≥ 0, θ ∈ Rd，ψX（θ）=i hγX，θi-kθk∑X+ZRd*eihθ，xi-1.-i hθ，xi1kxk≤1.πX（dx）。（2.1）这里是γX∈ Rd，∑X∈ Rd×dis是一个对称的非负有限矩阵，∏Xisa是Rd上的一个非负Borel测度*令人满意的*kxk∧ 1∏X（dx）<∞, （2.2）k·k是Rd上的一个给定范数。

我们写X~ Ld（γX，∑X，∏X），当X是具有正则三重态（γX，∑X，∏X）的d维L′evy过程时；BMd（γ，∑）：=Ld（γ，∑，0）指漂移γ和协方差矩阵∑的布朗运动。当∑X=0且z0<kxk时，X的路径具有（局部）有限变化（F Vd）≤1kxk∏X（dx）<∞. （2.3）在这种情况下，我们写X~ F Vd（DX，πX），其中DX表示X:DX:=γX的漂移-R0<kxk≤1x∏X（dx）∈ d.具有非减量分量的d维L’evy过程称为d维从属过程，可能带有漂移DT，写为T~ Sd（DT，πT）。一个一般的L’evy过程~ Ld（γX，∑X，∏X）是具有漂移DXif且仅当X的从属函数~F Vd（DX，πX）与DX∈ [0, ∞)d∏x集中在[0，∞)D*.我们写XD=Y和X~ 当L（X）=L（Y）和L（X）=Q时，L（X）分别表示随机变量或随机过程X的规律。在完全可除分布和Lèevy过程X之间存在对应关系：对于所有t≥ 0 X（t），P（X（t）定律∈ dx）是完全可分的。反之亦然，RDM上的任何完全可除的Borel概率测度Q唯一地确定了L’evy过程viaX（1）的分布~ 问：本文通篇使用了这种联系。例如，我们写T~ qs表示T是T（1）的从属项~ Q.参见[2,8,12,15,39,52]了解列维过程的基本性质及其在金融中的应用。从属关系。[6]中介绍了各种从属关系（详见第4.2小节）。在本文中，我们将使用两种极端情况：单变量和（严格）多变量从属。LetX=（X，…，Xd）是一个d维的L′evy过程。X是下属。给定一个独立于X的单变量从属变量T，定义一个d维L’evy过程，表示为Xo T，通过设置（Xo T）（T）：=（X（T（T）），Xd（T（T）），T≥ 0 .

（2.4）在续集中，我们表示X定律o T乘L（X）o L（T）。我们将这种类型称为单变量从属（参见[52]第6节）。假设X有独立的分量X，除息的。设T=（T，…，Td）是一个d维从属函数，独立于X，并通过设置X定义一个d维全维过程odT:=（X）o T除息的o Td）。（2.5）X定律odT用L（X）表示odL（T）。备注2.1。在处理严格的多元从属关系时，我们必须将可容许的从属类X限制为具有独立成分的L’evy过程。这是必要的，如果我们要留在L’evy过程的类别中。例如，让B~ BM（0，1）是一个单变量标准BM。那么X=（B，B）是一个L′evy过程，但t7→ （B（t），B（2t））不是。2.主从。用Γ（α，β）表示参数α，β>0的伽马分布，即R上的Borel概率测度，相对于Lebesgue测度绝对连续，由Γ（α，β）（dx）=1（0，∞)（x） βαΓ（α）xα-1e-βxdx，x∈ R（2.6）我们写G~ γ过程G=（G（t））t的ΓS（α，β）≥参数α，β>0的0，也就是说，G是一个具有边际分布G（t）的单变量从属变量~ Γ（αt，β），t>0。此外，对于λ>-β、 t>0，记得吗-λG（t）=(β(β + λ)αt=expn- tZ∞1.- E-λrαe-βrdrro（2.7）（第一个公式是众所周知的，第二个恒等式是弗鲁拉尼积分，见[8]中的第16页和第73页）。特别是，伽马过程具有零漂移，其L’evy度量允许Lebesgue密度∏G（dr）=1（0，∞)（r） αe-βrdrr、 对于α=β，我们有E[G（1）]=1。G也被称为标准Gammaprocess，brie fly G~ ΓS（α）：=ΓS（α，α）。马丹·塞内塔诉GDV。Madan和Seneta[44]（对于广泛的调查和评论，参见[19,20,21,37,38,43,55]）建议，布朗运动服从伽马过程。