期权定价傅里叶方法的误差分析

首先观察H1和H2意味着函数w（z）=e-伊克斯+ω/2^fα（τ，z+ω/2）在Aa中是解析的。H3允许我们使用支配收敛定理来证明| | w | | HAais fine并与Mα，a（τ，x）重合。应用引理3。2.证明已完成。关于定理3.1的假设，接下来的命题提供了更简单的条件，分别表示H1和H2。提议3.3。如果α，a和ν是（33）Zy>1e（α+a）yν（dy）<∞ 安齐<-1e（α）-a） yν（dy）<∞然后，定理3.1中的H1被填满。证据通过φ（·）表示X的特征函数，我们想证明z7→ψ（z+αi）在Aa中是解析的。考虑到ψ（z+αi）=eψ（iz-α） 证明的唯一重要部分是验证（34）z 7→Zp（z，y）ν（dy）在Aa中是解析的，其中p:Aa×R→ C由p（z，y）=ey（iz）给出-α)- 1.- （哎- 1） （伊兹）- α） 为了证明这一事实，我们证明了我们可以应用主要结果和唯一的定理Emin Mattner（2001），在给定测度空间的情况下(Ohm, A、 u）和开子集G C、 确保f（·ω）du（ω）的分析性，前提是f:G×Ohm → C满意度：f（z，·）是所有z的A-可测量值∈ Gf（·ω）是所有ω的全息图∈ Ohm; andR | f（·ω）| du（ω）是局部有界的。在我们的例子中，我们认为测度空间是R，具有Borelσ-代数和Lebesgue测度，G=Aa和f=p。很明显，p（x，·）是Borel可测的，p（·，y）是全纯的。还有待验证Z 7→锆*|p（z，y）|ν（dy）是局部有界的。

为此，我们假设Re[z]<b（并且，由于z∈ Aa，Im[z]<a），并在|y |>1和0<|y |中拆分积分域≤ 1证明两个积分一致有界。关于| y |>1中的积分，我们观察到（35）| p（z，y）|≤ y<y时的ey（α+Im[z]）+1+（ey+1）（α+a+b）-1我们有ey（α+Im[z]）<ey（α-a） 而对于y>1，我们有ey（α+Im[z]）<ey（α+a）。利用前面的边界和假设，以及（1）和（3），我们得到了需要的边界。对于0<| y |中的积分≤ 1，注意，表示f（z，y）=| p（z，y）|，对于每个z，我们有，f（z，0）=0，yf（z，0）=每z为0，且|yyf（z，y）|<c代表z∈ Aa，Re[z]<FFT和PIDES 9b，|y |<1。从这些观察结果中，我们得到了y7的一次麦克劳林多项式→ f（z，y）对于每个z都是空的，我们可以用余项约束f（z，y），在我们感兴趣的区域中，余项以cy为界，得到（36）Z0<| y|≤1 | p（z，y）|ν（dy）≤cZ0<| y|≤1yν（dy），这是由关于ν的假设确定的，它完成了证明。提议3.4。如果对于所有b<a，函数x7→ eb | x | gα（x）在L（R）中，然后在OREM 3.1中充满H2。证据该证明直接应用了里德和西蒙（1975）的定理IX.13我们现在将注意力转向一类更受限制的征税程序。也就是说，使得σ>0或存在λ的过程∈ （0,2）使得（37）中定义的C（λ）严格为正。对于这类过程，我们可以用特征三元组来明确说明我们的主要结果。给定λ∈ （0,2），定义C（λ）为（37）C（λ）=infκ>1（κλZ0<y |<κyν（dy）），观察C（λ）≥ 0，根据我们对跳跃度量的假设，C（λ）是有限的。此外，如果λ∈ （0，2）是这样的：（38）lim inf↓0λZ0<| y|<yν（dy）>0，然后C（λ）>0。

要了解这一点，请注意（38）意味着如此≤(λZ0<| y|<yν（dy））>0If< 1.注意这一点≤≤1(λZ0<| y|<yν（dy））≥Z0<| y|<yν（dy）>0对于第一个不等式，考虑到λ≥ 积分随着. 结合之前的两项研究并考虑|κ|=我们得到C（λ）>0。此外，我们注意到，对于跳跃强度有限的L’evy模型，如满足我们第一个假设的Black-Scholes和Merton模型，所有λ的C（λ）=0∈ (0, 2).定理3.5。假设：α和a是（33）成立的；^gα∈ L∞Aa；对于某些λ，σ>0或C（λ）>0∈ (0, 2). 然后，正交误差以等式为界≤ eαx~Mα，a（τ，x）2πe2πa/ω- 1.10法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波涅，其中（39）Mα，A（τ，x）=Xc∈{-1,1}ecaxeτψ（ca）|^gα（ca）|ZRe-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω此外，如果σ>0，我们有（40）~Mα，a（τ，x）≤√2πσ√τXc∈{-1,1}ecaxeτψ（ca）| gα（ca）|证明。考虑hα，由（41）hα定义的a（τ，x，ω），a（τ，x，ω）=Xc∈{-1,1}E-i（ω+ica）x^fα（τ，ω+ica）对于β，我们有mα，a（τ，x）=ZRhα，a（τ，x，ω）dω∈ (-a、 a:（42）E-i（ω+iβ）x^fα（τ，ω+iβ）= eβx^fα（τ，ω+iβ）= eβxeτψ（α+β）-iω）| ^gα（ω+iβ）|对于包含特征指数的因子，我们有（43）eτψ（α+β）-iω）= eτRe[ψ（α+β）-现在，观察re[ψ（α+β- iω）＝（α+β）R-σ+σ(α + β)- ω+ZR\\{0}e（α+β）ycos(-yω）- 1.- （α+β）（ey）- 1)ν（dy）（44）If |ω|≤ 1.我们去了cos(-yω）乘以1，gettingRe[ψ（α+β- iω）]≤ (α + β)R-σ+σ(α + β)- ω+ZR\\{0}e（α+β）y- 1.- （α+β）（ey）- 1)ν（dy）=ψ（α+β）-σω（45）FFT和PIDES 11假设|ω|>1。

用它来表示|x |<1，它认为cos（x）<1-x/4，我们可以用以下方式限定积分的第一项：ZR\\{0}e（α+β）ycos（yω）ν（dy）≤Z0<|y |<1/|ω| e（α+β）y1.- ωy/4ν（dy）+Z|y|≥1/|ω| e（α+β）yν（dy）≤ZR\\{0}e（α+β）yν（dy）-|ω|2-λ|ω|λZ0<|y |<1/|ω| yν（dy）≤ZR\\{0}e（α+β）yν（dy）-|ω|2-λC（λ）（46）将（46）插入到（44）中，我们得到[ψ（α+β- iω）]≤ (α + β)R-σ+σ(α + β)- ω+ZR\\{0}e（α+β）y- 1.- （α+β）（ey）- 1)ν（dy）-|ω|2-λC（λ）=ψ（α+β）-σω-|ω|2-λC（λ）考虑到前面的考虑，在R中对ω积分，我们得到（39）。最后，观察C（λ）≥ 0并以0为界，通过计算积分得到界（40）。备注3.6。在看涨期权的情况下，假设H2暗示了条带宽度参数a和阻尼参数α之间的依赖关系。我们知道，当且仅当α>1时，看涨期权的阻尼收益在L（R）中，因此，适当的裂缝宽度参数选择由0<a<a给出- 1.对于看跌期权的情况，一个类似的论点成立，对于看跌期权，傅里叶变换的阻尼付息与看跌期权相同，区别在于α<0。在这种情况下，我们需要-α.二元期权的支付具有有限支持（G（x）=1[x-,我们可以设置任何∈ R（即，根本不需要阻尼，即使选择了这种阻尼，也不会影响a的适当选择）。备注3.7。我们为正交误差提供的界自然是正的，并且在ω. 它以光谱速率衰减为零ω减小到0.3.2。频率截断误差。

频率截断误差由ef=eαx给出ωπ∞Xk=nReE-i（k+）ωx^fατ,k+ω12 FABI’AN CROCCE、JUHO H¨APP¨OL¨A、JONAS KIESSLING和RA’UL TEMPONEIf A函数c:（ω，∞) → (0, ∞) 满意度（47）重新E-i（k+）ωx^fατ,k+ω≤ Ck+ω对于每一个自然数k，我们就有了它≤eαxωπ∞Xk=n重新E-i（k+）ωx^fατ,k+ω≤eαxωπ∞Xk=nck+ω此外，如果c是一个非增凹可积函数，我们得到（48）EF≤eαxπZ∞Nωc（ω）dω当^gα∈ L∞[ω,∞)σ>0或C（λ）>0，那么（47）中的函数C可以变成（49）C（ω）=k^gαkL∞[ω,∞)eτψ（α）e-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1为了证明这个函数满足（47），我们可以使用我们在定理3.5的顶部发现的相同界限，β=0，得到[ψ（α- iω）]≤ Ψ (α) -σω-|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1从这里得到的结果很简单。3.3. 注定会犯完全错误。在本节中，我们总结了在不同假设下获得的误差范围，并分析了它们的中心性质。一般来说，本文给出的界的形式为（50）E=Eαxπ\'Me2πa/ω- 1+Z∞Nωc（ω）dω其中M是Mα的上界，a（τ，x）定义在（27）中，c是非递增的、可积的和可满足的（47）。M和c可能取决于模型参数和艺术参数，但它们独立于ω和n。通常可以消除某些参数的依赖性，简化表达式，但获得不太紧的界限。在分析束缚态的行为时，我们可以观察到，当ω变为0。

如果n，第二项为零ω发散，但如果没有进一步的假设，我们无法确定收敛速度。一旦获得了误差界的表达式，就出现了如何选择数值方法的参数来最小化误差界的问题，假设一个人愿意使用一个约束条件。数值方法的计算效果仅取决于n。因此，我们旨在找到FFT和PIDES 13使固定n的界限最小化的参数。以下结果表明，所获得的界限，作为ω、 具有唯一的局部最小值，即全局最小值。提案3.8。固定α、a、n和λ，并将界E视为ω.存在一个最优解ω*∈ [ωn，∞) 使得E在（ωn）中减少，ω*) 并不断增加(ω*, ∞); 因此，E的全局最小值在ω*.此外，最佳的ω是ω 7→ p（n）ω、 b）-c（n）ω） ，带有（51）中定义的p，改变符号，或ω=ωnif p（ω，b）- c（ω）>0。证据让我们通过调用y=n来简化表示法ω、 b=2πanE=πE-αxE。我们想证明y的存在*: Y*≥ ω使得ω<y<y时，E（y）减小*并且随着y>y而增加*. 我们有)E（y）=Meb/y- 1+Z∞yc（ω）dω。第一项相对于y是可区分的，如果y的话，则为0→ 0+. 这允许我们将其表示为其导数的积分。然后，我们可以将E（y）表示为E（y）=E（ω）+Zyωb′Meb/ωeb/ω- 1.ω- c（ω）！d（ω）上一个等式右侧的第一项是常数。现在我们继续证明被积函数随着y的增加而增加，如果y大，则为正。

用（51）p（y，b）=b’Meb/y表示eb/y- 1.考虑到c是可积的，我们可以计算c中被积函数的极限∞, 获得利米→+∞p（y，b）- c（y）=Mb>0让我们证明，对于所有的b>0，p（y，b）都随着y增加，这使得p（y，b）- c（y）也随y增加。p对y的导数如下所示：yp（y，b）=b’Meb/y（b/y）eb/y- 2eb/y+b/y+2Yeb/y- 1.其中分母和分子中的第一个因子明显为正。为了证明剩余因子也是正的，观察xex- 如果x>0，则2ex+x+2>0。3.4. 明确的错误界限。对于某些λ，当σ>0或C（λ）>0时∈ （0，2）我们可以给出（50）的一个显式版本。用（49）中给出的函数替换定理3.5和c中定义的M，我们得到=EQ+EF（52）14 FABI’AN CROCCE、JUHO H¨APP¨OL¨A、JONAS KIESSLING和RA¨UL TEMPONEwhereEQ=Xc∈{-1,1}eαxecaxeτψ（ca）|^gα（ca）|πe2πaω- 1.ZRe-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω（53）EF=eαxπk^gαkL∞Reτψ（α）Z∞Nωe-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω（54）这再现了Feng和Linetsky（2008）中定理6.6的基本特征，可以通过替换k^gαkL进一步改进界（54）∞Rby k^gαkL∞[n]ω,∞).备注3.9。观察正交误差和截断误差的界限由一个完全取决于支付的因素和另一个取决于资产动态的因素的乘积给出。这一特性使得在不同的资产价格动态下评估特定期权的界限变得容易。在第4小节。4.我们分析了与支付函数有关的条件，这些条件适用于所有期权的特定情况。备注3.10。从（53）中可以明显看出，解析函数的梯形规则的指数收敛速度由被转换函数为解析函数的条带的宽度决定。

因此，在小误差公差的限制下，希望设置尽可能大的误差，以获得最佳速率。然而，非交感误差公差通常与实际相关，在这些情况下，最优速率和常数项| gα|之间的权衡变得非常重要。作为一个例子，对于默顿模型的特殊情况，我们知道a的任何有限值都可以。然而，这种谱收敛速度的提高被常数项中的发散所补偿。在某些情况下，（53）和（54）中的积分可以用解析法计算，也可以用一个封闭形式的表达式从上面限定。例如，考虑具有有限跳跃强度的耗散模型。这些模型的特点是σ>0，C（λ）=0。因此，积分可以用累积正态分布Φ：ZRe表示-τσωdω=r2πτσ，（55）Z∞e-τσωdω=r2πτσ1.- Φ√τσ（56）现在我们考虑纯跳跃过程（即σ=0）的情况，对于某些λ满足条件C（λ）>0∈ (0, 2). 在这种情况下，积分可以用不完全伽马函数γ来表示。首先，让我们定义辅助积分：I（a，b）≡ E-a+a-bγb、 a对于a，b>0。利用这个积分，积分变成：（57）ZRe-τ|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1=21+IτC（λ），2- λFFT和PIDES 15（58）Z∞e-τ|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1=我τC（λ），2- λ+ 1.- <1Iτ2-λC（λ），2- λ ≥ 1 Carr等人（2002年、2003年）提出的CGMY模型是之前分析工作的一个过程示例，该模型适用于Y>0的状态。最后，当C（λ）和σ都为正时，（53）和（54）中的积分可以用一个更简单的表达式来限定。

考虑相同积分的以下两个辅助边界，其中≥ 1:Z∞e-τσω+|ω|2-λC（λ）dω≤ E-τσZ∞e-τ|ω|2-λC（λ）dω（59）=e-τσIτ2-λC（λ），2- λZ∞e-τσω+|ω|2-λC（λ）dω≤ E-τ2-λC（λ）Z∞e-τσωdω（60）=r2πτσe-τ2-λC（λ）1.- Φ(√τσ)我们得到了b（），定义为之前两个方程的右手边的最小值，b（）=min（e-τσIτ2-λC（λ），2- λ,r2πτσe-τ2-λC（λ）1.- Φ√τσ)是积分的一个界。记住这一点，我们必须-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω≤ 2Φ√τσ- 1+2b（1）（61）和Z∞e-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω≤b（）（62）前提是≥ 1.4. 边界的计算和最小化在本节中，我们使用文献中已知的实际模型给出了上一节中给出的边界的数值例子。我们使用耗散过程和纯跳跃过程来衡量界的紧密性，并将其与真实误差进行比较。我们还证明了使用边界表达式作为选择傅里叶反演数值参数的工具的可行性。16法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波涅4。1.方差伽马模型中的看涨期权。方差伽马模型提供了一个测试用例，用于在纯跳跃设置中评估边界。我们注意到，在给出的两个数值例子中，σ=0和c（λ）=0表示0<λ<2，这表明定理3.5尤其不适用。VG模型的L′evy度量由以下公式给出：νVG（dy）=dyy> 0Ke-η+yy- 1y<0Keη-yyMadan等人（1998）的公式（7）给出了相应的特征函数：ητ（ω）=1.- iθχω+σχ-τχK=χ-1η-=rθχ+σν-θχ!-1η+=rθχ+σν+θχ！-1通过命题3.3我们得到a<min{η-- α、 η++α}（63），结合gα的要求∈ L（R）（参见注释3.6），意味着：a<min{η+- α, η-+ α, α - 1} （64）a<min{η+- α, η-+ α, -α} 分别用于看涨期权和看跌期权。

我们注意到（13）中积分的计算对于α也是可能的∈ （0,1）和α<0。事实上，积分计数和看跌期权奇偶性之间存在对应关系。α<0的积分会产生看跌期权价格，而不是看涨期权价格。关于这一点的进一步讨论，我们参考Lee（2004）orBoyarchenko和Levendorski（2011），其中利用积分轮廓的共形变形来提高数值精度。在Lee（2004）和我们的计算中，参数等于η+=39.7840，η-= 20.2648和K=5.9311。表1给出了具体参数，并将VG模型的界限与Lee（2004）获得的结果进行了比较。根据该表，我们注意到，对于Madan等人（1998）提出的VG模型，与Lee的研究相比，我们可以达到相当或更好的误差范围。为了评估界限，我们通过依赖SciPy软件包中提供的克伦肖-柯蒂斯求积方法，对（27）和（48）进行积分。为了补充表1中的大范围n，我们给出了与图1中的真实误差相比的界的大小。在图1中，我们看到傅里叶反演数值参数的选择对数值方法的误差有很大影响。人们通常无法获得真正的解决方案。因此，需要使用FFT和PIDES 171011010310优化参数-1010-810-610-4 NerrorEE2图1。在VG模型测试用例的Money选项中评估的真实错误和错误范围。到了极限。回想一下E=E（α，ω、 a，n）和E=E（α，ω、 n）分别表示真实误差和估计误差。