期权定价傅里叶方法的误差分析

保持正交点的数量固定，welet（α，ω、 a）和（α，ω） 分别表示估计误差和真实误差的最小值（α，ω、 a）=arg inf E（65）（α，ω） =arg inf E（66）我们进一步让E和E注意到真实误差是参数最小估计值和真实误差的函数，分别为E=E（α，ω） （67）E=E（α，ω） （68）在图1中，我们看到，当优化到界而不是真实误差时，真实误差增加了大约一个数量级，转化为给定公差所需的正交点数量的两倍差异。与理论最小值相比，EAN和边界之间的差异大约是另一个数量级，并且需要其他两倍数量的正交点。在图2中，我们给出了表1中两个测试用例的傅里叶方法的真实误差。我们注意到，虽然最小化误差界限会产生次优结果，但最小化界限的数值参数是真正最优参数的良好近似值。当然，这是误差界在性质上与真实误差相似的结果，尤其是当人们离真正的最优参数越来越远时。用n和n的数值方法得到了计算真实误差的参考值ω，使精度达到10级-10.18法比安·克罗切、朱豪·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波涅4 6 8 10 12 16101520253035ωαn=84 6 8 10 12 14 16101520253035ωn=3210-410-310-210-图2。表1中给出的两个VG测试用例的真实误差E和界限最小配置（白圈）（α，ω） 举个例子。备注4.1。在实践中，系数M中的哈代范数可简化为沿宽度2a条带的两个边界评估一个Lnorm。

我们发现，出于实际目的，SciPy library提供的QUADPACK library的克伦肖-柯蒂斯求积性能非常好，能够在几分之一秒内评估边界。例如，在配备2.6 GHz Intel Core i5处理器的2014年年中Macbook Pro上，表1中的边界评估只需约0.3秒，而无需尝试优化或并行化实现，也无需检查输入健全性因素，例如对作为允许条带子集的域中的特征函数的评估。我们相信，通过优化例程，跳过输入的健全性检查，并使用较低级别的计算例程，这可以进一步优化，即使在需要大量评估时，也能保证快速性能。备注4.2。和许多其他作者一样，我们注意到FT方法的特殊保证精度，只有几十个正交点。这在一定程度上是由于欧洲期权价格的规则性。许多基于傅立叶变换的方法已经被开发用于路径相关期权的定价。为了实现的普遍性，人们可能也会尝试将这些方法用于欧洲方案，以纠正缺乏早期锻炼机会的问题。这当然可以做到，但由于规律性减弱，所需的正交点数量很容易达到数千个，即使不需要严格的误差界限。我们提出了一个比较点，即Jackson等人（2008）表2中的欧式期权定价示例，它表明了期权定价的若干正交点在数千个范围内。

通过介绍该方法，保证了E≈ 10-3.即使没有优化，n=64也很有效。FFT和PIDES 19K 80 90 100 110 12012τ=1α-16.9-13.8 21.6 29.10 36.3a 3.33 6.45 18.1 9.77 3.52N=32Ωmax229 229 363 363 424E 3.35×10-40.00334 0.00562 3.97 × 10-47.33 × 10-6E*6 × 10-40.0032 0.0058 6 × 10-41 × 10-412τ = 4α -13.8-13.8 22.1 23.7 29.10a 6.11 6.11 17.9 15.2 8.75N=8Ωmax62。4 42.4 84.9 126 126E 3.99×10-40.00312 0.00398 3.57 × 10-41.33 × 10-5E*1.3 × 10-30.0057 0.0055 9 × 10-41 × 10-4表1。选择示例的VGmodel中欧洲看涨期权/看跌期权的错误范围。参考结果E*来自Lee（2004）K8090100110120E2.67×10-43.49 × 10-44.43 × 10-45.52 × 10-46.77 × 10-4α -1.57-1.57-1.57-1.57-1.57Ωmax22。9 22.8 22.6 22.5 22.4E*0.34 0.26 0.21 0.17 0.13E+6.87×10-41.90 × 10-32.82 × 10-32.72 × 10-32.29 × 10-表3.2。Kou模型边界的数值性能，以Toivanen（2007）中的测试案例（另见d’Halluin等人（2005））为例，正交点的数量设置为n=32。比较的重点是E*指使用Lee（2004）第6.1至6.4章所述方法计算的相应界限。在E+中，使用计算强度更高的克伦肖-柯蒂斯求积，而不是期权价格上界呈指数衰减的渐近参数，来计算截断误差。4.2. 动态下的看涨期权。为了与上面给出的纯跳跃过程进行对比，我们还测试了Kou模型的界的性能，并在第2章中测试了相关结果。该模型与第一个例子的不同之处在于，它不仅具有耗散性，而且具有规律性，就目前的情况而言，域的最大宽度要窄得多。Kou模型中的L′evy测度由νKou（dy）=λ给出体育课-ηyy>0+qeηyy<0p+q=1。

对于Toivanen（2007）中给出的特征，根据特征指数的表达式（见Kou和Wang（2004））ψ（z）=z，将值设置为λ=0.1，r=0.05τ=0.25 S=100p=0.3445，η=3.0465η=3.077520 FABI\'AN CROCCE，JUHO H¨APP¨OL¨A，JONAS KIESSLING，和RA\'UL TemponesR-σ- λζ+zσ+λpηη- z+qηη+z- 1.这很容易看出 {z∈ C:Imz∈ (-3.0465，3.0775）}这个范围比之前考虑的要窄得多。在行权空间中转换期权价格的情况下，期权价格的相关表达式以及误差范围包含一个指数因子k。这一点的实际含义是，对于资金深度看涨期权，利用看跌期权平价并计算资金深度看涨期权通常是有益的。然而，在本案中，条纹宽度不允许这种奢侈。因此，通过广泛的货币性，使界限最小化的参数几乎是相同的，这表明使用FFTalgorithm立即评估一系列期权的期权价格。4.3. 默顿模型中的二进制选项。对于默顿模型的特殊情况，L′evy测度由ν默顿（dy）=λ给出√2πσexp-（y）- rj）2σj！特征指数由ψ（z）默顿=z表示R-σz+σz+λezrj+σjz- 1.- Zerj+σj- 1.我们可以对相关积分采用快速半闭形式求值，而不是采用求积方法。我们选择默顿模型作为例子来说明这种模型的数值方法的误差。这些参数取自安徒生和安德烈森（2000）标准普尔500指数的估计参数：S=100，λ=0.089，σ=0.1765，r=0.05，rj=-0.8898，σj=0.4505在图3中，我们给出了默顿模型的界和真误差，以证明另一耗散模型的界。

提供的选项是一个二进制选项，在[95105]上有明确的支持；不需要或不使用阻尼。我们注意到，就像上面提到的纯跳跃模的情况一样，我们的界再现了真实误差的定性行为。通过优化边界得到的配置非常接近真实误差。这种行为在最实际的范围内是一致的。4.4. 看涨期权。在第3.4小节中，提供了约束E的明确表达式。为了评估这些界限，有必要计算k^gαkL∞兰德k^gαkL∞Aa。根据Mark 3.9，一旦我们计算出这些值，我们就可以对任何模型使用它们，前提是它们满足此处考虑的条件。或许最实际的相关收益是看涨期权。考虑人：g（x）=（性别）- K） +=Sex公司- 埃克+FFT和PIDES 210 10 20 30 40 5010-910-710-510-310-1 NerrorEE110 20 30 40 50 6012345nω10-710-610-510-410-310-210-1图3。耗散默顿模型的真误差E和界E，对于一系列正交点n，以及与真误差相对应的最小界配置。因此，需要选择阻尼参数α>0，以使阻尼payoff在L（R）中，并确保傅里叶变换的存在。在这种情况下，我们有^gα（ω）=SZRexp（（1- α+iω）x）- exp（k+（iω）- α） x）dx（69）=Sexp（1- α+iω）k）（1+iω- α） （iω）- α） （70）和| gα（ω）|=Se2（1）-α） k（α+ω）(1 - α)+ ω（71）很容易看出，前面的表达式随着|ω|的增加而减少。这个yieldsk^gαkL∞R=|gα（0）|=Se（1）-α） kα- α（72）和k^gαkL∞[,∞)= | ^gα（）|（73）在复杂平面的条带中|gα|的最大化更微妙。表示^gα（η，ρ）=^gα（η+iρ），我们寻找满足η| gα|=0。

这就是4η+2η4ρα + 2α- 2ρ - 2α + ρ+ 1= 0.（74）对于ρfixed，|gα|在最多三个点处对η有一个消失导数。在导数的三个根中，只有η=0的根是局部最大值，这给了我们调用选项k^gαkL的最大值∞Aa=supρ∈[-a、 a]| gα（0，ρ）|（75）22法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波诺观察到| gα（0，ρ）|是ρ的可微分实函数，其导数由以下二次多项式给出：p（ρ）≡ Kρ + α - 2ρα - α- ρ- 2α - 2ρ+1（76）我们得出结论：k^gαkL∞Aa=最大ρ∈B{| gα（0，ρ）|}（77），其中B是由a组成的不超过四个元素的集合；-A.而p的真正根源在于(-a、 a）。备注4.3。到目前为止，我们假设正交点n的数量为常数。然而，在实际应用中，情况往往并非如此。通常，用户可能希望选择一个最小的n，该n足以保证误差在预先定义的误差容限内。在这种情况下，我们提出了以下非常简单的方案来优化数值参数，并选择合适的n来满足小于:（1） 选择n=nand optimize以查找相关配置（2）查看EQ+EF<, 如果不是，从预先确定的递增序列n=NJ中选择n，增加n，并重复该过程。特别是在使用FFT算法计算傅里叶变换时，我们提出了j=2jn。我们进一步注意到，nj+1正交点优化配置的最佳配置通常与优化nj边界的配置没有太大差异。5.结论我们将指数L’evy模型资产定价所需的傅里叶逆变换数值评估中的误差分解为截断误差和正交误差。

对于一大类指数L’evy模型，我们给出了一个∞-注定要出错。误差界与Lee（2004）中提出的早期工作不同，因为它不依赖于极端敲打或期权价格下期权支付的渐近行为，允许对各种非标准支付函数进行定价，如Suh和Zapatero（2008）中的函数。然而，边界并没有考虑路径相关选项。我们认为，允许评估美国、百慕大或Knockoff选项的方法的错误要复杂得多，产生的错误要大得多，因此在性能重要的实施中，如校准，对于欧式期权，使用美式期权定价方法是不合理的。该界限还提供了一个通用框架，在该框架中，截断误差使用求积方法进行评估，无论期权价格函数的渐近行为如何，求积方法都保持不变。界限的结构允许模块化实现，将系统动态和支付产生的误差分量分解为一大类模型（包括所有耗散模型）的乘积形式。在选定的例子中，我们还展示了与相关比较点相比的性能。FFT和PIDES 23我们重点研究了界的最小化，作为最小化数值误差的代理。这样，对于给定的模型参数化，我们可以得到一个严格的L∞在解决欧式期权价格问题上犯下的错误注定要失败。我们已经证明，这个界再现了实际误差的定性行为。

这支持了以最小化边界的方式选择数值参数的论点，证明了这种选择除了保证数值精度外，还将与实际的最小化配置相结合，而实际的最小化配置往往无法以可接受的计算成本实现。该界限可用于为给定的一组物理和数值参数的期权价格的数值估计建立严格误差界限的原始设置中，或作为数值方案的一部分，由此最终用户希望在单个点上或在达到预定误差容限的域中估计期权价格。将来，所给出的误差范围可用于需要对傅里叶变换进行多次评估的工作中。这类应用的例子包括多维傅里叶变换（可能在稀疏张量网格中），以及用于美国和百慕大选项的时间步算法。这类应用对所使用的误差范围非常敏感，因为任何数值格式都需要多次运行，无论是高维还是多个时间步（或两者兼而有之）。确认H–app–ol–a、Croce是成员，Tempone是KAUST不确定性量化战略研究发起人。我们要感谢一位匿名审稿人的评论，他们的评论显著提高了手稿的质量。7.利益声明作者报告没有利益冲突。只有作者负责论文的内容和写作。参考Almendral，A.和Oosterlee，C.W.（2005），“基础跳跃期权的数值估值”，应用数值数学53（1），1-18。Andersen，L.和Andreasen，J.（2000），“跳跃扩散过程：波动率微笑和期权定价的数值方法”，衍生品研究综述4（3），231–262。阿普尔鲍姆，D。

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