期权定价傅里叶方法的误差分析

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英文标题：
《Error analysis in Fourier methods for option pricing》
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作者：
Fabi\\\'an Crocce, Juho H\\\"app\\\"ol\\\"a, Jonas Kiessling, Ra\\\'ul Tempone
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We provide a bound for the error committed when using a Fourier method to price European options when the underlying follows an exponential \\levy dynamic. The price of the option is described by a partial integro-differential equation (PIDE). Applying a Fourier transformation to the PIDE yields an ordinary differential equation that can be solved analytically in terms of the characteristic exponent of the \\levy process. Then, a numerical inverse Fourier transform allows us to obtain the option price. We present a novel bound for the error and use this bound to set the parameters for the numerical method. We analyse the properties of the bound for a dissipative and pure-jump example. The bound presented is independent of the asymptotic behaviour of option prices at extreme asset prices. The error bound can be decomposed into a product of terms resulting from the dynamics and the option payoff, respectively. The analysis is supplemented by numerical examples that demonstrate results comparable to and superior to the existing literature.
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中文摘要：
当标的资产遵循指数动态时，我们提供了使用傅里叶方法对欧式期权定价时所犯错误的界限。期权的价格由偏积分微分方程（PIDE）描述。将傅里叶变换应用于PIDE可产生一个常微分方程，该方程可根据莱维过程的特征指数进行解析求解。然后，通过数值逆傅里叶变换，我们可以得到期权价格。我们提出了一个新的误差界，并使用该界来设置数值方法的参数。我们分析了一个耗散纯跳跃例子的界的性质。给出的界限与极端资产价格下期权价格的渐近行为无关。误差界可以分解为分别由动态和期权收益产生的项的乘积。通过数值例子对分析进行了补充，证明了与现有文献相当且优于现有文献的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Error_analysis_in_Fourier_methods_for_option_pricing.pdf (597.03 KB)

2022-5-7 18:49:09 上传

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关键词：误差分析 期权定价 傅里叶 Differential Quantitative

期权定价的傅里叶方法中的误差分析。我们提供了当标的股票遵循指数L’evy动态时，使用傅里叶方法对欧式期权定价时所犯错误的界限。期权的价格由部分积分微分方程（PIDE）描述。将傅里叶变换应用于PIDE可产生一个普通微分方程（ODE），该方程可根据theL’evy过程的特征指数进行解析求解。然后，通过数值逆傅里叶变换，我们可以得到期权价格。我们给出了误差的界，并使用该界来设置数值方法的参数。我们分析了边界的性质，并证明了边界的最小化，以选择数值傅里叶变换方法的参数，从而有效地求解期权价格。1.简介evy流程在数学金融领域形成了一个丰富的领域。它们允许用可能不连续的动态对资产价格进行建模。一个早期且可能最著名的涉及列维过程的模型是默顿（1976）模型，它推广了布莱克和斯科尔斯（1973）模型。最近，我们看到更复杂的模型在寻找更一般的资产价格动态。此类模型的例子包括Kou（2002）模型（另见Dotsis等人（2007））、正态逆高斯模型（Barndor ff-Nielsen（1997）；Rydberg（1997）），方差伽马模型（Madan and Seneta（1990）；Madan等人（1998年），以及Carr-Geman-Madan-Yor（CGMY）模型（Carr等人（2002年、2003年））。

关于金融中的跳跃过程，我们参考了Cont和Tankov（2004）（另见Raible（2000）和Eberlein（2001））。标的资产由L’evy过程驱动的欧洲期权价格是偏积分微分方程（PIDEs）的解（Nualart et al.（2001）；布里亚尼等人（2004年）；Almendral和Oosterlee（2005）；Kiessling和Tempone（2011））通过引入非局部积分项来解释资产价格的不连续性，从而推广了Black-Scholes方程。这种方法也被扩展到期权价格具有路径依赖性的情况，例如Boyarchenkoand Levendorski（2002）dHalluin等人（2004）和Lord等人（2008）。L’evy-Khintchine公式明确表示了L’evy过程的特征函数（参见Tankov（2004））。因此，可以导出相关PIDE解的傅里叶变换的精确表达式。使用反向快速傅里叶变换（iFFT）方法，可以有效地同时计算一系列资产价格的期权价格。此外，在EuropeanDate:2015年12月1日。2法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波内看涨期权的情况下，可以使用Dupire（1997）提出的二元性，并有效地计算各种履约价格的期权价格。尽管Fourier方法在期权定价中很受欢迎，但对于这些方法的误差分析和相关参数的选择却鲜有研究。误差界不仅为选项的精确值提供了一个区间，而且还提供了一种选择数值方法参数的方法。这方面的一项重要工作是Lee（2004）的工作，其中考虑了一组相当普遍的模型的几个支付函数，其特征函数被假定为已知的。

Feng和Linetsky（2008）提出了误差分析的框架和理论方法，并建立了期权价格近似值的多项式收敛速度。关于各种傅里叶变换相关方法中的错误，我们请读者参考Boyarchenko和Levendorski（2011），该方法通过变形复平面上的积分计数，扩展了经典傅里叶变换方法，研究了在De Innocentis和Levendorski（2014）中研究的离散监控屏障选项。在这项工作中，我们提出了一种方法来研究和界定使用FT方法计算期权价格时犯下的错误。我们还提供了一种系统的方法来选择数值方法的参数，以最小化严格的误差界限，从而保证遵守预先描述的误差容限。我们关注的是指数L'evy过程，它可能是离散的，也可能是纯跳跃的。我们的贡献是推导出一个严格的误差界，当pricingoptions处于风险中性的L’evy动力学下时，傅里叶变换方法的误差界。我们推导了一个简化的界限，该界限将支付和过程的贡献分离为一种易于处理和扩展的产品形式，该产品形式独立于极端价格和执行参数下期权价格的渐近行为。我们还证明了数值计算中存在使所提出的误差界最小化的最佳参数。将我们的工作与Lee的工作进行比较时，我们发现Lee的工作比我们的工作更具普遍性，因为他研究的过程范围更广，另一方面，我们的结果适用于更大的薪酬类别。

在具有实际相关性的测试示例中，我们还发现，所给出的边界比文献中先前给出的边界产生了可比或更好的结果，且计算成本可以接受。本文分为以下几个部分：在第2部分中，我们介绍了风险中性资产定价背景下的Pideset；我们展示了用L’evy过程进行资产定价的相关PIDE的傅里叶表示，并将该表示用于衍生定价。在第3节中，我们推导了数值误差的表示，并将其分为求积和截断贡献。我们还描述了选择数值参数以获得FT方法最小误差界的方法。在第4节中，数值例子支持了这种推导，这些例子使用了相关的测试用例，包括离散和纯跳跃L’evy过程。在第5.2节中，数字后面是结论。期权定价的傅里叶方法考虑一种资产，其在t时的价格由随机过程S=（St）建模，由St=SeXt定义，其中X=（Xt）∈ 假设R是一个L′evy过程，其fft和PIDES 3jump测度νsatifieszr\\{0}min{y，1}ν（dy）<∞（1） 假设St的风险中性动态，t=t时的价格- 带支付和到期时间T的欧式期权的τ由∏（τ，s）=e给出-rτE（G（ST）|ST-τ=s），其中r是我们假设为常数的短速率，τ：0≤ τ ≤ 是成熟的时候了。对非恒定确定性短期利率的扩展非常简单。列维过程X的最小生成元由（见Applebaum，2004）LXf（X）给出≡ 林→0E（f（Xt+h）|Xt=x）- f（x）h=γf（x）+σf（x）+ZR\\{0}f（x+y）- f（x）- y1 | y|≤1f（x）其中（γ，σ，ν）是L’evy过程的特征三元组。

（St）的风险中性假设意味着（3）Z|y|>1eyν（dy）<∞并将L’evy过程的漂移项（见Kiessling和Tempone（2011））γ固定为γ=r-σ-ZR\\{0}嗯- 1.- y1 | y|≤1.ν（dy）（4）因此，X的最小生成元可以在风险中性假设下写成lxf（X）=R-σf（x）+σf（x）+ZR\\{0}f（x+y）- f（x）- （哎- 1） f（x）ν（dy）（5）将g视为原木价格中的奖励函数（即，由g（x）=g（性别）定义）。现在，将f定义为asf（τ，x）≡ E（g（XT）|XT-τ=x）然后f解出以下PIDE：(τf（τ，x）=LXf（τ，x）f（0，x）=g（x），（τ，x）∈ [0，T]×f和∏通过（6）与∏（τ，性别）=e相关-rτf（τ，x）考虑由fα（τ，x）=e定义的f的阻尼版本-αxf（τ，x）；我们看到了τfα=e-αxLXf（τ，x）。4法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波涅这是傅里叶变换的不同约定。这里我们考虑算子F，使得F[F]（ω）≡ZReiωxf（x）dx（7）为函数f定义，对于函数f，前面的积分收敛。我们还使用^f（ω）作为f[f]（ω）的简写符号。为了恢复原始函数f，我们定义了逆傅里叶变换asF-1[f]（x）=2πZRe-iωxf（ω）dω我们有F-1h^fi（x）=F（x）。将F应用于Fα，我们得到^Fα（ω）=^F（ω+iα）。还可以观察到，应用于LXf（τ，x）的傅里叶变换给出了ψ(-iω）^f（τ，ω），其中ψ（·）是过程X的特征指数，满足ezXt= etψ（z）。

ψ（·）的显式表达式是（8）ψ（z）=R-σz+σz+ZR（ezy）- 1.- （哎- 1） z）ν（dy）根据前面的考虑，可以得出以下结论（9）τ^fα=ψ（α- iω）^f（ω- iα）现在^f（ω）- iα）=^fα（ω），因此^fα满足以下ODE（10）τ^fα（τ，ω）^fα（τ，ω）=ψ（α- iω）^fα（0，ω）=^gα（ω）显式求解前一个常微分方程，我们得到（11）^fα（τ，ω）=eτψ（α）-iω）^gα（ω）观察到上述等式右侧的第一个因子是Ee（α）-iω）Xτ,（即，ν）(-iα- ω） ），式中φτ（·）表示随机变量xτφτ（ω）的特征函数≡ E（τψ（iω））（12）现在，为了获得值函数，我们使用逆傅里叶变换，toobtain（13）fα（τ，x）=f-1h^fαi（τ，x）=2πZRe-iωx^fα（τ，ω）dω或（14）fα（τ，x）=πZ+∞热河-iωx^fα（τ，ω）idω，因为通常不可能解析地计算傅里叶逆变换，我们通过使用梯形傅里叶变换和PIDES 5求积（13）离散和截断积分域来近似它。考虑以下近似值：fα，ω、 n（τ，x）=ω2πn-1Xk=-氖-i（k+）ωx^fατ,k+ω（15）=ωπn-1Xk=0ReE-i（k+）ωx^fατ,k+ω（16） 在f（τ，x）byf的近似值中，有界并因此最小化误差ω、 n（τ，x）≡ eαxfα，ω、 n（τ，x）是本文的重点，将在下一节中讨论。备注2.1。

虽然我们主要关注期权定价，当支付函数可以阻尼以保证Lsense中的规律性时，我们注意到我们的主要结果自然可以扩展到包括期权的希腊人。事实上，我们通过（11）得到了thatf（t，x）=2πZRe（α）-iω）x^fα（τ，ω）dω（17），因此期权的Delta和Gamma相等 （t，x）≡f（t，x）x=2πZR（α- iω）e（α）-iω）x^fα（τ，ω）dω（18）Γ（t，x）≡f（t，x）x=2πZR（α- iω）e（α）-iω）x^fα（τ，ω）dω（19）由于表达式只涉及x的偏导数，本文的结果适用于 通过对支付函数的修改：gα，（ω） =^gα（ω）（α）- iω）（20）^gα，Γ（ω）=^gα（ω）（α）- iω）（21）当傅里叶空间支付函数呈现指数衰减时，引入ω中的多项式系数不会以显著改变以下分析的方式改变^g的规律性。最后，我们注意到，由于我们在x的网格上对PIDE进行分析，我们也可以在一个目标中计算期权值，并使用衍生工具的有限差分方法获得几乎没有额外影响的希腊值。2.1. 同时计算多个x值的方法评估。快速傅里叶变换（FFT）算法提供了一种高效的方法，可以同时计算x的等距网格值。Lord等人（2008年）就是考虑到这种广泛扩展的工具的例子；Jackson等人（2008年）；Hurdan Zhou（2010）和Schmelzle（2010）。类似地，我们可以将傅里叶频率ω定义为支付所依赖的某些外部参数的共轭变量。

特别是，对于实际相关的6 FABI’AN CROCCE、JUHO H¨APP¨OL¨A、JONAS KIESSLING和RA¨UL TEMPONEcase看涨期权，我们可以将对数走向表示为k，将x视为常数，并写下：~fk，α（ω）≡ZRe（α+iω）kfk（x）dk（22）使用此约定，时间依赖性由fk，α（τ，x）=e（iω+α+1）xτ（ω）给出- i（α+1））（iω+α）（iω+α+1）（23）与x空间解^fk，α（τ，x）=e（iω）的对比-α+1）kаτ（ω+iα）（iω+α）（iω+α+1）（24）我们注意到，对于看涨期权支付，我们要求（23）中的α为正。忽略（23）和（24）中分别包含x和k依赖关系的指数因子，我们可以使用映射α7从（23）到（24）→ -α-1.由于这一点，很多关于x空间变换的分析以一种简单的方式推广到k空间变换。3.误差范围本节的目的是计算用fα近似期权价格f（τ，x）时的误差范围，ω、 n（τ，x），定义在（15）中。考虑（25）fα，ω（τ，x）=ω2πXk∈泽-i（k+）ωx^fατ,k+ω总误差E可分为两项之和：求积误差和截断误差。前者是（13）中的积分与（25）中的有限和近似的误差，后者是由于有限和的截断。利用三角形不等式，我们得到：=|f（τ，x）- Fω、 n（τ，x）|≤ EQ+EF（26），其中EQ=eαx | fα（τ，x）- fα，ω（τ，x）| EF=eαx | fα，ω（τ，x）- fα，ω、 n（τ，x）|观察到每个E、eqa和ef依赖于三种参数：o模型和支付的基础参数，如波动率和执行价格。我们称之为物理参数与数值格式有关的参数，如α和n.o在推导误差界的过程中引入的辅助参数。

这些参数不包括在期权价格的计算中，但它们需要被适当地选择，以便有尽可能严格的界限。我们首先分析正交误差。FFT和PIDES 73.1。正交误差。用Aa表示，当a>0时，围绕实际线的宽度为2a的条带：Aa≡ {z∈ C:|Im[z]|<a}下面的定理给出了正交误差在谱速率为ω为零。在本节后面，我们将讨论更简单的条件，以验证假设，并更详细地分析当过程X是一个独立过程或存在“足够小的跳跃”时的情况定理3.1。假设a>0:H1。随机变量Xhas的特征函数是setAa的一个解析扩展- αi≡ {z∈ C:|Im[z]+α|<a}H2。gα（x）的傅里叶变换在带Aa和H3中是解析的。存在一个连续函数γ∈ L（R）这样^fα（τ，ω+iβ）< γ（ω）表示所有ω∈ R和所有β∈ [-a、 a]那么正交误差的范围是eq≤ eαxMα，a（τ，x）2πe2πa/ω- 1.其中Mα，a（τ，x）由Mα给出，a（τ，x）：=xβ∈{-a、 a}ZRE-i（ω+iβ）x^fα（τ，ω+iβ）dω（27）Mα，a（τ，x）等于函数ω7的哈代范数（定义见（28））→ E-i（ω+iβ）x^fα（τ，ω+iβ），它是有限的。定理3.1的证明是Stenger（1993）中定理3.2.1的一个应用，为了便于阅读，我们包含了相关部分。使用Stenger（1993）中的表示法，HAais是函数族w，在Aa中是解析的，因此（28）| | w | HAa:=limε→0ZAa（ε）|w（z）|d|z |∞a（ε）=Z∈ C:|Re[z]|<ε，|Im[z]|<a（1）- ε)引理3.2（Stenger（1993）中的定理3.2.1）。让我们∈ HAa，然后定义：I（w）=ZRw（x）dx（29）J（w，h）=hNXj=-Nw（jh）（30）ζ（w，h）=I（w）- J（w，h）（31）8法比安·克罗切、朱豪·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波内坦|ζ（w，h）|≤E-πah | | w | | HAa2sinhπ啊（32）定理3.1的证明。