得到V(n)的公式是有问题的:V(1)=kbf(0)=kbV(0)S(0),莱布尼兹公式在V(n)的分支中递归出现-i) 每走一步。奇数阶1,3,5的前三个导数是P-DFII(1)(x)=P-DFII(x)bbx+ak(bx+a)k- K- 1., (46)P DFII(3)(x)=P DFII(x)bbx+a-k(bx+a)3k++6(k+k)(bx+a)2k-7k+18k+11k(bx+a)k+k+6k+11k+6,(47)P DFII(5)(x)=P DFII(x)bbx+ak(bx+a)5k-15(k+k)(bx+a)4k++65k+150k+85k(bx+a)3k-90k+375k+510k+225k(bx+a)2k++31k+225k+595k+675k+274k(bx+a)k+-K- 15k- 85k- 225k- 274k- 120.(48)省略了对等式46-48中的正则性的讨论,因为它们不足以建立通用公式。导数在atx接近零→ ∞. 三个相关的伯努利数是B=,B=-, B=。当M=200,k=3.955386,b=0.142783,a=0时,第三次求和中的前三项等于P DFII(1)(M)=-0.7130872262 × 10-10,BP DFII(3)(M)=0.1230723154×10-14,英国石油公司DFII(5)(M)=-0.5219062910 ×-19.在这些条件下仅使用一阶和三阶导数会产生错误≈ 10-19.对于方程式45中接近1的分母值,这比现代的8字节C++内置类型double[213,pp.74-76,pp.628-629]保持16位螳螂小数的精度要好。近似离散P MFII(n)分母的最终公式为∞Xi=1P DFII(x)≈M-1Xn=1P DFII(n)+1- E-(bM+a)-K1.-kb2(bM+a)k+1++P DFII(1)(M)-P-DFII(3)(M)+P-DFII(5)(M)。(49)等式49表示的分母并不总是接近1,如图26所示。等式45中枚举数的计算很简单。对于P MFII(n),皮尔逊χ类边界的选择是自然的,见表7。χ(7,0.05)=14.067大于10个等级的最佳7.368。通过χ-最优k,b,a=0,我们得到pMFII(82)=6.159×10-5.
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