作为市场不平衡度量的最优交易策略

列平均值包含四舍五入到五个有意义的数字的值。例如，对于2013年3月1日在一个区间交易的ZCN13，我们得到10350×0.00096618=9.999963。这必须四舍五入到整数10，以补偿之前四舍五入的影响。差异P20130301 13:59:57-P20130228 17:00:00=P20130301,1-P20130301,1=686.50- 684.00=2.5除以δzcn13=0.25等于10。如果会话包含多个范围，则PSN- Psget贡献来自b和CI增量，不能仅根据表16计算。19.1亚伯拉罕·瓦尔德[233]、雅各布·沃尔福威茨[242]、科尔莫戈罗夫[101]证明了沃尔德、沃尔福威茨、科尔莫戈罗夫、普罗霍罗夫等关于随机变量随机数和的重要定理。如果ξ，ξ，ξn。是I.I.D.随机变量的有限序列，ζν=ξ+ξ+…+ξν，仅取非负整数值{0，1，2，3，…}，是序列第一个成员的随机数，数学期望值Eν、Eξi=a和E|ξi|=c是有限的，对于n>m，随机变量ξ和事件Sm={ν=m}是独立的，则产生瓦德恒等式：Eζν=EνEξ。Kolmogorov和Prokhorov证明了一般结果，其中Eξn=an，E |ξn |=cn，E（ξn- 而瓦尔德湖是一个特例。给定概率pn=P（Sn）=P（{ν=n}），表示pn=P（{ν≥ n} ）=P∞m=npm:Eζν=P∞n=1pnAn，An=Eζn=a+a+···+An。该证明应用了系列的阿贝尔变换[57，第305-306页]，需要P的收敛性∞n=1Pncn。该要求允许绝对收敛，因为Pn、Cn是非负的。如果bn=b+b+··+bn，那么他们证明了E（ζν- Aν=P∞n=1pnBn。

在文章[112]中，针对一种情况推导了瓦尔德恒等式的模拟，其中一个和具有有限的数学期望。19.2瓦尔德恒等式图解估算ζνs，r=Ps，rNs，r- Ps，r，Eνs，r=Ns，r=ts，rNs，r- ts，ra增量，r+1≈Tcs，r- Tos，ra增量，r，Eξs，r=b增量，r，被代入瓦尔德恒等式，givePs，rNs，r- Ps，r=ts，rNs，r- ts，ra增量，r+1！b-增量，r≈≈（Tcs，r- Tos，r）b增量，ra增量，r=（Tcs，r）- Tos，r）ρs，rba，（50），其中ρs，rba是平均b增量与平均a增量的比率。精确的关系，包括三个估计值，遵循等式14和15。图10支持近似版本。让我们用ZCN13来说明后者。2013年4月5日，表15和表16中的平均a和b增量等于3.4886秒-0.00018459δ. 价格差异为P2013045 13:59:59- P2013044 17:00:00=617.50- 618.50 = -1 = -4δ. 单量程持续时间为Tc20130405 14:00:00-To20130404 17:00:00=75600秒-0.000184593.4886= -4.0001731≈ -4δ. 2013年3月28日75600-0.00775113.8548=-152.014≈ -152δ和差异P20130328 13:59:57- P20130327 17:00:00=676.00- 714.00 = -38 = -152δ.19.3检查b增量的调整和是否是高斯的Wald-Wolfowitz-Kolmogorov-Prokhorov定理揭示了ζν的均值和方差。这还不是一个分布，除非它是一个，像高斯分布一样，完全由两个矩描述。我们能期望ζν是有限（？）的随机变量之和吗方差，服从高斯分布？为了补偿随机ν的影响，我们应该检查平均b增量，它可以被视为调整后的最后一次减去第一次价格差eξ=eζνeν。这也不包括c-捐款。研究人员通常会测试今天和昨天收盘价或结算价的差异。

根据a-b-c分类，他们忽略了b的随机数和c的固定数。如果Eνs在范围和会话中保持不变，那么这种方法是合理的。对于这样的测试，平均b增量是一个更干净的候选者。对于每份合同，将表16中范围内的平均b增量合并到一个样本中。然后，评估样本矩、ECDF和EPDF。在表8中，每个最小值和最大值都出现过一次，相应的列替换为U-=分钟-M eanStdDevand U+=最大值-我是伊恩斯塔德耶夫。表8：从范围中提取的平均b增量的样本统计。股票大小平均最小U-1.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4HGN13 91 0.022-1.7-4.1 2.3 5.8 0.39 2.0 16SIN13 92 0.097-2.4-2.2 9.5 8.2 1.2 6.17.2.3.3 3.3.3 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00023-4.4 7.7e-005 1.4 5.4e-005-2.2 6.86JM13 60 1.6e-005-0.00021-1.6 0.00087 6.20.00014 4.0 24GEM13 63 9.5e-006-0.00014-2.5 0.00016 2.6 5.7e-005 0.28 0.91U=最大值（| U-|, |U+|）是与标准偏差平均值的最大偏差。对于标准正态分布[1，p.972]p（{U≥5} ）+P（{U≤ -5}) = 2(1 - 0.9999997133) = 0.0000005734. 我们需要200万次会议才能观察到这样或更大的偏差。具有≈ 每年247个交易日这是8097年的交易日。

然而，对于ZCN13、ZSN13、ZWN13、ZBM13、ESM13、HGN13、SIN13、6AM13、6CM13和6JM13，在不到160个范围内观察到的偏差大于投资标准偏差。GCM13和6EM13的峰度分别为7.4和6.8，超过高斯分布。剩余的CLN13、NGN13、6BM13和GEM13具有较低的超额峰度、偏斜度和U，这些都是应用皮尔逊χ检验的候选样本。即使这项工作取得了成功，也不会从根本上改变情况：不仅是b增量，而且它们在数千个刻度范围内获得的平均值都不是高斯分布。统计价格和时间属性可能会随着年龄的增长而显著变化，如图1、16、19所示。同一合同在其有效期内经历最大流动性时，它们会发生变化，见表15和表16中的列大小。这可能就是原因。20 c增量c增量是按价格划分的不相同链接绑定范围和会话，见表17。所有这些都是不可分解的，与b增量相比，它们具有更大的持续时间。图27描述了它们的EPDF。图27:2013年3月至7月在Globex上交易的期货的c增量的EPDF，以δ表示。NGN13的c增量除以10的预绘图。绝对平均c增量显著大于课时内绝对平均b增量，见表17和表16。对于绝对极端的b增量来说，这是不可能的。它们大于绝对平均c增量，在许多情况下，与绝对极端c增量相比，它们具有可比性（ZWN13，GEM13）或更大（ZSN13，ZBM13，HGN13，SIN13，CLN13，NGN13，6BM13，6CM13），如图23和27所示。这意味着，在下一次滴答声之前持有仓位的风险可能大于在电子交易期间持有仓位的风险。

我们需要记住，电子会议之间的停顿比pit会议之间的停顿要短。将平均绝对c增量与表16中的| Size×mean |进行比较也是有意义的。后者是上一次和第一次价格的绝对差异。这提供了一个概念，即价格在交易期间或交易期间变化更大。例如，对于2013-04-02、2013-04-03、201304-04和2013-04-05的ZCN13会议，这三种产品是35930×-0.00030615 = -11δ, 9δ,-53δ，以及-4δ. 前面四个c增量分别为1δ、3δ、4δ和1δ。在这些交易日中，价格在交易日内的变动幅度大于交易日之间的变动幅度。绝对值的平均值为19.25δ≈ 19δ和2.025δ≈ 2δ. 比值ρsbc=PsNs- PSP- 附言-1Ns-1=PSN- 如果在一个方向上进行两次移动，则Psc增量（51）为正，否则为负。该比率未定义为零c增量。|ρsbc |越大，说明与暂停相比，会话的贡献越大。在示例中，ρbc=-11，ρbc=3，ρbc=-13.25，ρbc=-4.表17包含整个c增量系列的样本统计数据。关于节日的信息是谷物中最完整的。这包括耶稣受难节、阵亡将士纪念日和独立日。后者不适用于7月之前到期的合同。此外，由于技术原因，与阵亡将士纪念日有关的信息在未来几天会被遗漏。ch增量具有说明性意义，不能支持统计结论。这一时期和合同的一个更明确的结论是，周末的平均cw增量的绝对值大于正常工作日的平均cr增量。例外是HGN13和6JM13。会话中两个范围之间的ci增量仅适用于ZCN13、ZSN13、ZWN13和ESM13。

从单独处理的cr、cw和ch增量来看，绝对平均ci增量最小。21价格和时间：b-对a-增加悬浮在液体中的小爱因斯坦粒子的平均位移与时间的平方根成比例[46]。正是由于价格x的数学预期由Bachellier通过两种不同的途径获得[12]，[33，第29-33页和33-36页]。爱因斯坦要求“……时间间隔τ……与观测到的时间间隔相比非常小，但……其大小使得一个粒子在两个连续间隔内执行的运动……相互独立……数学布朗运动的现代定义见[185，第1页]在不那么严格的形式下，如果1）B=0，2）B是t的连续函数，则B是布朗运动≥ 0,3）每t，h≥ 0递增Bt+h-B独立于业务单元的业务单元：0≤ U≤ t和具有均值为0且方差为h的高斯分布。在没有提及高斯分布的情况下，定义了一个与一系列信息集{It}相关的维纳过程：1）对It，Wt是一个W=0和E[（Wt）的平方可积鞅- Ws]=t- s、 s≤ t、 2）WT的轨迹在时间t上是连续的[169，第148页]。Neftci引用了L’evy定理，指出任何维纳过程都是布朗运动。考虑到价格，这些结果暗示了b和a增量之间的统计关系。每个b增量与a增量相关联。绘制前者与后者的对比图并没有显示曲线，如图28左上角所示。分别为0、1、2采样b增量。a增量创建采样条件分布。如果过程是布朗运动，那么不仅每个样本应该服从高斯分布，而且应该服从StdDev（b增量）∝√a增量。图28右上角并未证实这种比例。

我们也不能依赖单个样本的高斯特性。例如，表18将极端b增量-16和17以及StdDev 0.36379与零a增量相关联。这是-44和47个标准差。最大尺寸为508004和20357的两个样本几乎不是高斯分布。爱因斯坦没有提出平均粒子位移与时间平方根成比例与价格有关。如果平均位移，即平均b增量，与时间的平方根a增量成正比，那么图28左下角应该显示y∝√x、 相反，这些点位于水平面附近。使用维纳过程，可以预期均方b增量与a增量成正比。相比之下，图28左-右显示的是一条水平线。b-和a-增量避开了价格变化和已知布朗运动时间平方根之间的关系。如果在价格和时间增量（即b增量和a增量之和）中观察到这种特性，那么在“经济价格和时间原子的微观世界”中，可伸缩性和自相似性是有限的。根据方程式50 | b-增量，r |≈|PNs，r-1i=1b增量，ri | Tcs，r- Tos，ra增量，r.（52）因此，对于具有一个| Ps，rNs，r的选定范围-Ps、r |和小的a1和a2增量预期平均b增量和a增量之间存在线性相关性。这在价格和时间之间没有内在的依赖性。22关于差异的评论作者进行了一项差异实验，图29、30、表9。图28:ESM13 2013年4月5日。左上角：539882个点（a-增量不连续，b-增量δ），由于离散性，许多点重叠；右上角：b增量（表18 STDEV）与相关a增量（表18 a增量）的样本标准偏差；左下角：样本平均绝对B增量±STDEV vs。

相关a增量±1s，表19；右下角：样本均方b增量±StdDev（平方）与a增量±1s，表20。使用i-Phone 4S的秒表测量时间，精度为0.1秒。Papala VMC Corp.为黄鲈鱼鱼饵提供的透明开放式塑料盖13.7×3.1×1.3 cm，从家庭供水处填充了一层5 mm厚的塑料。高锰酸钾（KMnO）晶体放在水平牙签的顶部，旋转容器一侧后迅速掉落，形成条纹。第二部手机用来拍照。品红色正面的距离是用纪念尺测量的，误差为0.5毫米。正面侵蚀在距离测量中引入了更大的误差和主观性（图片可用）。为了不让家人和一只猫摇晃桌子，大家都很小心。出于同样的原因，靠近手机盖的手机的铃声和振动模式也被切换到了另一种状态。室温为22.5±0.5oC=295.65oK。结果如图30所示。图29：扩散实验。标记1和2（左上）表示测量F1和F2的两条线。22.1“炼金术”作者专注地凝视着正在侵蚀的洋红色锋面，认为这两个i-phone、尺子、水、渔具罩和高锰酸钾是否可以解释“男人的疯狂”。除了智能手机之外，这些朴素的工具就像炼金术士的工具。牛顿知道冷却和力学定律，今天以他的名字命名，为了阐述他关于疯狂的论文，他不得不损失（或在其他版本中得不到）2万英镑。有些人将其转换成现代的5000000美元。

也许炼金术是正确的术语[210]。22.2爱因斯坦的悬浮粒子基于分子动力学理论的原理，从非电解质的范特霍夫方程（数学上等同于门捷列夫-克拉佩龙方程）出发，爱因斯坦推断，在大稀释度下用悬浮颗粒代替溶解的分子后，渗透压p保持不变。这个在当时并不常见的结论允许他对压力应用相同的方程式，其中摩尔浓度可替换9：扩散实验记录：t秒；F1，F2毫米。6.6 6.6.6 6.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 540.9 39.5 27.5 2401.1 76 53 6368.2 9876.5600.7 42.5 29.5 2642.6 77 54.5 6673.6 99 77.5721 47 33.5 2761.1 77.5 55 6901 99 78780.8 49 34.5 2879.9 78.5 55.5 7080.9 99.5 78849.7 52 37 3001.1 79 56.5 7200.9 99.5 78960.9 55 39.5 3301 80 57 7500.8 100 78.51020.8 56.5 40.5 3540.9 82 59.5 7817.4 100.5 791080.6 58.5 42 3599.4 82 59.5 8177.5 101.5 811141.4 60 43 3840.8 83.5 62 8520.6 102 821201.2 61 43.5 4020.8 85 63.5 8761.2 102 82.51320.6 64.5 46 4141.3 86.5 65 9376.6 102.5 851440.8 65 46.5 4260.7 88 65.5 10037.9 105 85.5150166.5 47.5 4381.5 88.5 67 11053.8 105 87.5以每体积的颗粒数表示的浓度ν：p=RTNν。这使阿伏伽德罗数N成为分母。T是绝对温度。R是通用气体常数。

回顾热力学平衡，自由能在任意虚位移δx下消失，他得出结论，渗透压必须对悬浮颗粒施加力K：K=νPx、 然后，他回顾了菲斯特菲克定律对粒子（而非质量）的不同影响-Dνx、 式中，D是扩散系数，它与单位时间内以一定速度通过单位面积的粒子数相等。他引用Kirchho fff表示半径为P的球体在液体中运动的速度k6πkP，在力k下粘度为k。这就像一个人看到图29中的洋红锋运动时，将其与一定大小的力联系起来。但爱因斯坦看到了力的来源，并推导出了臭名昭著的D=RTN6πkP。他的下一步是从分子动力学的角度出发，得出a）第二个菲克扩散定律f（x，t）t=Df（x，t）xb）D=τR+∞-∞φ()D, 哪里 是一个粒子在时间间隔τ内的位移，ν=f（x，t）是每单位体积的粒子数，φ() 是粒子分布的概率密度. 对于x6=0和t=0:f（x，t）=0，R+∞-∞他知道这个初值问题的解√4πDe-x4Dt√tand治疗2DTF图30：实验和理论：扩散前沿距离与时间。最佳回归曲线由公式53得出。随着时间的推移，方差呈线性增长。回想一下u=α- 对于α=0，α=α。对他来说，这个方差是X轴上位移平方的平均值。因此，λx=√2Dt=√tqRTN3πkP。作者提出这些细节是为了提醒大家：背后有一个坚实的基础（爱因斯坦的基础更少，我们这个时代的基础更大）——热的分子动力学理论。