构造非平稳系统的分析可处理集合

正如我们在续集中讨论的，数据点的数量比K大一倍。振幅Rk仅通过双线性形式r+∑r出现在等式（13）中。我们将振幅向量Rint旋转到经验获得的协方差矩阵∑的特征基上。通过定义，∑的特征值为正且大于零，前提是采样间期的长度大于K。我们将旋转振幅向量的每个分量除以相应特征值的平方根，并用r表示生成的向量。在我们的模型中，r的所有分量应均匀分布。除了一个rk之外，我们把所有的都整合起来，并在分布Hgi（~rk）处到达=∞Zp（x）√2πxexp-~rk2xdx。（23）因此，p（x）可以与高斯分布随机变量rk的方差x的分布相一致。从概念上讲，这是我们的主要结果。它提供了一种简单且具有统计意义的方法来获得振幅分布变形函数p（x），然后通过拉普拉斯逆变换得到整体分布函数f（η）。当我们有K时间序列K（t）时，我们通过聚集得到一个系数K。II I.金融数据的应用我们现在将我们的方法应用于股票市场数据。这一点尤其令人感兴趣，因为厚尾在金融领域无处不在。迫切需要一个更好的多元分布模型来改进风险估计。我们以秒为单位呈现数据。III A，以秒为单位提取变形函数。III B，并以秒为单位计算系综分布。III C.A.数据集我们分析K=306个连续交易的股票，其价格为Sk（t），K=1，标准普尔500R中的K1992年至2012年之间的指数[41]，我们之前用纯高斯分析过，即非变形威斯哈特系综[16]。这里的振幅是无量纲价格变化srk（t）=Sk（t+（t）- Sk（t）Sk（t），（24）被称为返回。

它们取决于选择的回报期t、 根据式（3），我们计算归一化为零均值的回报rk（t）。为了使我们的演示自我包含，我们再次展示了该数据集的整个K×K相关矩阵C随时间变化的强度。在图1中，它显示了后续三个月的时间窗口。在大多数情况下。1:K=306家inS&P 500R公司的相关矩阵2005年第四季度和2006年第一季度。颜色越深，相关性越强。这些公司是按行业分类的。摘自参考文献[16]。在dom矩阵方法中，集合是有效的，并且仅通过遍历性参数来确定。这里并非如此，如图1所示。我们的集合实际上是存在的，它是通过在数据中移动样本时间窗口来分析的一整套矩阵。英菲格。1.由于不同的工业部门，人们还可以在这些相关矩阵中看到相当稳定的条纹，例如参考文献[11]。显然，在这个数据集中不存在基不变性，可能在任何其他真实数据集中也不存在基不变性。因此，直接提取保持随机矩阵系综基不变性的系综变形函数f（η）是个问题。然而，还有另一个原因：确定了市场状态，这揭示了套头的一个明确结构[11,42]。由于每个随机矩阵集合都有一个有效特征，建议分析已经反映了这一点的数量。在本例中，这些量是振幅，在本例中是返回、分布和相应的变形函数P（x）。B.变形函数我们使用日常数据，即：。，t=1个交易日。

将返回向量r旋转为经验方差矩阵的特征基∑，标准化为特征值的平方根，并在五天窗口上进行聚合，得出如图所示的方差经验分布。2.十天窗口上的聚合给出了类似的0 1 2 3 4 50.00.20.40.60.81.0xpdf0 1 2 3 4 510-310-20.11xpdfFIG。2：在五天时间窗口内，在线性（顶部）和对数（底部）标度上计算的以点为单位的方差聚合分布。以实线形式符合beta primedistribution。为便于比较，用虚线表示χ分布。后果因此，估计噪声对分布没有重大影响。各种各样的函数都可以用来描述数据。在财务方面，人们通常采用对数正态分布来模拟波动率，参见参考文献[43]。在金融领域，标准偏差被称为波动率。然而，对数正态分布无法捕捉经验发现的尾部行为。更合适的是β素数分布p（x | N，L）=Γ（N+L/2）Γ（N/2）Γ（（N+L）/2）xN/2-1（1+x）N+L/2（25）有两个正参数N和L。为了进行下面的讨论，我们在表达式（25）中选择它们的组合，使N与第节中引入的参数N一致。二、如图2所示，与参考文献[16]集合对应的χ分布相比，与数据的一致性要好得多，后者通过设置f（η）=δ（η）正式获得- 1） 或f（η）=δ（η）- N） ，分别取决于N的重新缩放。我们为不同的周转期进行融资t、 对于N和L的结果，N和L的结果都显示在了《23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方òòòòòòòòòòòòDtN和LFIG。3：贝塔素数分布与回归视界的拟合值N（上，上升点）和l（下点）T

三角形和菱形用于约束整数值的fit，suare和circles不受约束。图3。当L在2左右保持不变时，N从每日数据的约7增加到每日数据的约23t=19个交易日。我们将解释推迟到集合和回报分布的评估。提取了振幅，即返回分布变形函数p（x | N，L），我们计算了拉普拉斯逆变换（21），f（2)η| N，L）=Γ（N+L/2）2)ηN/2Γ（（N+L）/2）L-1.（1+x）-N-L/2,对于整体变形函数f（η| N，L）=η（N+L）/2，用η=2 |η得出[44]-1（N+L）/2Γ（（N+L）/2）经验-η= χN+L（η）。（27）这是一个自由度为N+L的χN+L分布。根据需要，f（η| N，L）是一个正的归一化函数。C.变形系综和返回分布将式（27）插入式（8）中，经过简单计算W（a∑，N，L）=Γ（（N+nk+L）/2）Γ（（N+L）/2）detN/2（πN∑）1+tr A+∑-1AN-（N+NK+L）/2。（28）对于随机矩阵A的分布。因此，我们在一个以代数分布为特征的集合中生存。对于类似的系综，但在∑=1K的特殊情况下，光谱相关函数在参考文献中进行了研究。[45, 46]. 然而，在这里，我们从数据中导出了我们的集合，并且对一个非平凡∑的依赖在目前是必要的。预期结果（28），与参考文献[16]相比，我们用N标度∑。因此，Nand L在公式中是平等的。为了获得系综平均收益分布，我们将。（25）转化为等式（13）并得出（r |∑，N，L）=Γ（N+L/2）Γ（N+K+L）/2）Γ（N/2）Γ（N+L）/2）pdet（πN∑）UN+K+L，K-N+2，r+∑-1r（29）用反超几何函数[47]U（a，b，z）=Γ（a）∞齐亚-1（1+y）b-A.-1exp(-yz）dy（30）表示a和z的正实部。根据等式（17）或（19），协方差矩阵∑（d）=NN+L- 变形系综的2∑（31）如下。

为了与经验收益率分布进行比较，我们计算了积分（23），hgi（~rk | N，L）=Γ（N+L/2）Γ（（N+L+1）/2）Γ（N/2）Γ（（N+L）/2）√2πUN+L+1,3- N、 ~rk. （32）对参数允许值的评论是正确的。在收益分布（29）和（32）中，N可以取任何正实值。然而，在集合分布（28）中，N是模型时间序列的长度，或者等效地，是k×N矩阵A的维数之一，因此被限制为整数值。因此，一个人是否想要施加N为整数的约束是一个解释问题。对于参数L没有这样的限制。在任何情况下，我们也使用整数约束进行了计算。图3所示的结果并不表明该约束的强烈影响。数据比较的结果显示在下图中。4日报税表，t=1个交易日。fitted参数值分别为N=8.13和L=2.24。通过使用变形的Wishart系综而不是参考文献[16]中的非变形系综，可以更好地描述经验分布的中心。由于参考文献[16]的结果一贯低估了大事件，因此重尾清楚地表明，变形的Wishart系综在总体上得到了更好的描述。在图5中，我们给出了相同的回报率分析t=20个交易日，则N=20.98，L=2.07。在这里，尾部仍然很强，但不如日常数据那么明显。对于这些结果的解释，我们-0.4-0.2 0.0 0.2 0.40.300.350.400.450.50rkpdf-6-4-2 0 2 4 610-610-510-410-310-20.11rkPDFIG。4：每日收益的总分布，t=1个交易日。实证结果为点，分布（32）为实线。参考文献[16]的相应结果为虚线。

线性标度上的分布中心（顶部），对数标度上的整体分布（底部）-6-4-2024610-610-410-21r)kPDFIG。5：与图4（底部）相同，返回t=20个交易日。回想一下一个公认的事实，即一只股票的收益率的单变量分布在回归时会出现严重的尾部t变小，参见参考文献[48]。然而，在这里，我们分析了K相关股票的多元分布。因此，有两种竞争效应。首先，正如在EQ中所讨论的。（4） 对于参考文献[16]中的财务数据，如果协方差是有效常数，那么振幅的叠加（在本例中）反过来推动多元分布向阿加西分布。第二，正如参考文献[16]和本文的延伸所观察到的，非平稳协方差的波动提升了长时间间隔内评估的分布的尾部，使其更重。毫不奇怪，单变量分布的尾部越重，上面所示的系综平均多变量分布的尾部也越重。这很好地反映在返回视界上参数N的近似线性增加中t、 见图3。N越小，系综分布（28）和平均返回分布（29）中的尾越重。随着N的增长和L的固定，分布（28）更接近阿加西分布，即非变形系综。值得注意的是，L的F总是产生接近于2的值。根据式（31），这意味着∑（d）≈ Σ. 不同的是，与高斯假设相比，在考虑的情况下，重尾对测量协方差的影响很小。

然而，在考虑财务风险时，尾部非常重要。最后，我们利用这个机会讨论了一个普遍感兴趣的问题，即通过双线性形式（如r+∑）呈现和拟合依赖于统计变量的多元分布-1r。与上述将r旋转为∑和聚集的伊根基的过程不同，我们也可以将双线性形式视为广义半径ρ=√r+∑-K维空间中的1r（33）并研究其分布hgradi（ρ）=Zδρ -√r+∑-1rhgi（r∑，N，L）d[r]。（34）一个相当简单的计算yieldshgradi（ρ）=Γ（N+L/2）Γ（（N+K+L）/2）K/2-1Γ（N/2）Γ（K/2）Γ（（N+L）/2）ρK-1UN+K+L，K-N+2，ρ. （35）雅可比矩阵ρK-1是这种径向分布的典型值，由于K=306，它主导了小ρ分布的函数形式，如图6所示。理论结果（35）比相应的REF结果更好地描述了数据。[16]. 然而，ρK的优势-1给出了什么样的误导性图片，我们推断使用分布（29）和（32）更合适。四、 变形函数的容许性从数据中提取返回分布变形函数p（x）时，我们遇到了令人困惑的0 5 10 15 20 25 30 350.000.050.100.15ρpdf0 5 10 15 20 25 30 350.0010.010.1ρpdfFIG。6：每日收益的径向分布，t=1交易日。实证结果为点，分布（35）为实线。参考文献[16]的相应结果为虚线，在线性（顶部）和单色刻度（底部）上。我们希望在此报告的问题。log–logisticsdistributionp（x | b，c）=bc（x/c）b-b=N/2的1（1+（x/c）b）（36）可以很好地描述数据，甚至比贝塔素数分布更好。c值约为1，N=4t=1交易日，并随着时间的推移而增加T

然而，由此产生的整体变形函数可以取正值和负值。例如，对于N=4，我们发现f（η| c）~sin（η/2）- ηcos（η/2）/2η。（37）因此，不能将其解释为分配。事实上，我们面临着解释的问题。在Sec的讨论中。II C清楚地表明，P（x）是一个定义良好的随机变量分布，即方差分布，f（η）也代表一个定义良好的分布并不明显。相应的indingrandom变量矩阵A没有直接的数据解释。因此，我们可以简单地将f（η）视为高斯分布（8）展开的连续系数函数。然而，即使人们不想将f（η）解释为一个分布，最终的系综分布（8）也必须是正定义的。我们通过计算tracesu（s）=Zδ的分布来检验这一点s-Ntr A+∑-1Aw（A | N，c）d[A]。（38）由于我们只希望测试正性，因此通过包含协方差矩阵，可以方便地选择不同于上述分布（22）的正性。经过一些代数运算后，我们可以把它表示为一个高阶导数，其中包括回归分布变形函数u（s）=(-1） （K）-1） N/2Γ（N/2）Γ（KN/2）sKN/2-1d（K）-1） N/2ds（K）-1） N/2p（s | b，c）sN/2-1.（39）原则上，这是对数-逻辑分布（36）u（s）的一般结果=(-1） （K）-1） N/2NcN/2Γ（N/2）2Γ（KN/2）sKN/2-1d（K）-1） N/2ds（K）-1） N/2（cN/2+sN/2）。（40）把我们自己限制在偶数N以内，我们可以用复函数理论来计算极点展开（cN/2+sN/2）=N/2Xn=1Qm6=N（an- am）（s）- （安）-s- anXl6=nan- 艾尔（41）polesan=c expi2πN（2n+1）. （42）式（40）中的导数现在可以很容易地计算出来，我们得到了u（s）=NcN/2Γ（N/2）2Γ（KN/2）sKN/2-1N/2Xn=1Qm6=n（一个- am）Γ（（K）-1） N/2+2（s）- 安（K）-1） N/2+2-2Γ（（K）-1） N/2+1）（s）- 安（K）-1） N/2+1Xl6=nan- 艾尔！。

（43）尽管电杆复杂，但这是通过构造面积函数实现的。然而，它将正和负的值作为分布，而正和负的值超出了对u（s）的解释，因此也超出了对w（A | N，c）的解释。通过这个例子，我们看到了一个有点令人惊讶的结果，即一个良好的分布p（x）不一定会产生一个良好的整体。每个案件都必须单独调查。V.通过变形静态振幅分布进一步扩展我们在第。II A.静态振幅分布的高斯假设（4）没有第一眼看到的那么严格。然而，我们现在通过假设更一般的函数形式来扩展我们的构造。目前，我们没有静态振幅分布为非高斯分布的数据，但我们现在扩展了构造，因为它可能对未来的数据分析有用。此外，我们还会看到一些有趣的观察结果。我们现在假设静态振幅分布可以表示为高斯（4）上的平均值，而不是等式（4），g（r |∑s）=∞Zh（ξ）gR∑sξdξ（44）和一个新的变形函数h（ξ），该函数∞Zh（ξ）dξ=1和h（ξ）≥ 0 . （45）我们按照第。II B.代替系综平均（6），我们现在有hgi（r |∑，N）=Zd[A]w（A |∑，N）gRNAA+. （46）这很容易被转换成形式hgi（r∑，N）=∞Zp（x）g（r | x∑）dx，（47），仅通过定义振幅分布变形函数与公式（13）不同。它现在由p（x）给出=∞Zdξh（ξ）∞Zdηf（η）∞ZdzχN（z）δ十、-zξη.（48）对于固定ξ，我们引入新变量^η=ηξ和find p（x）=∞Zd^η^f（^η）∞ZdzχN（z）δ十、-z^η. （49）与等式（14）一致，但现在涉及新的整体变形函数^f（^η）=∞Zh（ξ）ξf^ηξdξ。（50）这个积分让人想起卷积。

因此，变形、非高斯静态振幅分布的情况可以正式追溯到高斯情况。这种差异可以完全吸收到整体变形功能中。重要的是，这意味着她获得了Sec的结果。II继续保持，特别是拉普拉斯变换（20）和它的反转（21）。然而，以下问题仍然存在。我们可以使用第节中概述的方法从数据中提取h（ξ）和p（x）。II C分别适用于非常短的时间间隔和整个长时间间隔。从逆空间变换（21）中，我们得到了^f（^η），但为了确定f（η），我们剩下的任务是对等式（50）进行逆运算。虽然这在某些特殊情况下是完全可能的，但缺乏一个通用的反演公式。然而，在实际应用中，一致性测试更可能需要上面概述的扩展。例如，如果同一系统的一些可用数据允许静态振幅分布的高斯假设，而其他数据不允许，则可以首先确定f（η），如第。然后转向需要附加变形函数h（ξ）的数据。一旦这些变形函数的边界已知，就可以评估^f（^η）并检查它是否与从数据中独立提取的p（x）的逆（21）一致。作为一个例子，我们考虑f（η）和h（ξ）分别是N+L和M自由度的χ分布f（η）=χN+L（η）和h（ξ）=χM（ξ）（51）。f（η）的选择与Sec的结果一致。III B.通过等式（50），我们得到^f（^η）=√η（N+L+M）/2-2K（N+L）-M） /2(√^η）（N+L+M）/2-1Γ（（N+L）/2）Γ（M/2），（52），其中Kν是二阶ν的修正贝塞尔函数。该函数已出现在参考文献[16]的恩斯套平均收益分布中。根据等式。