构造非平稳系统的分析可处理集合

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英文标题：
《Constructing Analytically Tractable Ensembles of Non-Stationary
  Covariances with an Application to Financial Data》
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作者：
Frederik Meudt, Martin Theissen, Rudi Sch\\\"afer and Thomas Guhr
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In complex systems, crucial parameters are often subject to unpredictable changes in time. Climate, biological evolution and networks provide numerous examples for such non-stationarities. In many cases, improved statistical models are urgently called for. In a general setting, we study systems of correlated quantities to which we refer as amplitudes. We are interested in the case of non-stationarity, i.e., seemingly random covariances. We present a general method to derive the distribution of the covariances from the distribution of the amplitudes. To ensure analytical tractability, we construct a properly deformed Wishart ensemble of random matrices. We apply our method to financial returns where the wealth of data allows us to carry out statistically significant tests. The ensemble that we find is characterized by an algebraic distribution which improves the understanding of large events.
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中文摘要：
在复杂系统中，关键参数往往会随时间发生不可预测的变化。气候、生物进化和网络为这种非平稳性提供了许多例子。在许多情况下，迫切需要改进统计模型。在一般情况下，我们研究相关量的系统，我们称之为振幅。我们感兴趣的是非平稳性的情况，即看似随机的协方差。我们提出了一种从振幅分布推导协方差分布的通用方法。为了确保分析的可处理性，我们构造了一个适当变形的随机矩阵Wishart集合。我们将我们的方法应用于财务回报，其中丰富的数据允许我们进行具有统计意义的测试。我们发现的系综具有代数分布的特征，这有助于提高对大型事件的理解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Constructing_Analytically_Tractable_Ensembles_of_Non-Stationary_Covariances_with.pdf (1.96 MB)

2022-5-7 21:33:28 上传

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关键词：非平稳 distribution stationarity Econophysics Quantitative

构建分析可处理的非平稳协方差集合，并将其应用于金融数据Frederik Meudt，*Martin Theissen，+Rudi Sch¨afer，和Thomas Guhr§Fakult¨在德国杜伊斯堡埃森的杜伊斯堡大学物理学院（日期：2022年3月1日）。在复杂系统中，关键参数往往会随着时间发生不可预测的变化。气候、生物进化和网络为这种非平稳性提供了许多例子。在许多情况下，迫切需要改进统计模型。在一般情况下，我们研究相关量的系统，我们称之为振幅。我们感兴趣的是非平稳性，即看似随机的协方差。我们提出了一种从振幅分布推导协方差分布的通用方法。为了确保可分析性，我们构造了一个适当变形的随机矩阵Wishart集合。我们将我们的方法应用于财务回报，其中丰富的数据允许我们进行统计显著性检验。我们发现的集合以代数分布为特征，这有助于提高对大型事件的理解。PACS编号：05.10-a、 05.40-a、 05:45-a、 89.65。生长激素，89.75-非平稳性，协方差，随机矩阵，复合，财务数据。导言在脑电图（EEG）中，记录头皮不同位置的电流以测量大脑活动。这些电流的时间序列之间的相关性在很大程度上取决于大脑的整体状态。例如，在癫痫发作期间，这种相关性比正常时期强得多[1,2]。这种相关性的时间依赖性是我们想要解决的非平稳性。当波包穿过无序系统时，也可以看到非平稳性。

即使无序是静态的，当波包的方向或组成发生改变时，在不同位置测量的波强度与时间之间的相关性也会发生变化[3–5]。金融业为这种非平稳性提供了另一个重要例子。股票价格时间序列之间的相关性随着时间的推移而变化，就像企业与交易员市场预期之间的业务关系一样[6-11]。类似的非平稳性存在于许多复杂系统中，包括湍流中的速度波动、心跳动力学、一系列等待时间等[12–15]。显示非平稳相关性的系统可能被解释为失衡，这意味着统计物理学中的一些关键工具不适用。然而，这些挑战与平衡系统面临的挑战相似：是否存在通用或通用行为？-我们如何识别它？——我们能为这些非平稳性建立统计模型吗？-在金融方面，我们最近提出了一个随机的ma*电子地址：弗雷德里克。meudt@uni-到期。de+电子地址：马丁。theissen@stud.uni-到期。de电子地址：鲁迪。schaefer@uni-到期。de§电子地址：托马斯。guhr@uni-到期。detrix解决这些问题的方法[16]。我们还成功地将其应用于研究信用风险及其对系统稳定性的影响[17]。尽管存在概念上的差异，随机矩阵理论[18,19]在形式上与统计力学有许多共同之处。观测值在一个集合上平均；在统计力学中，它通常是微正则、正则或宏正则的，在随机矩阵模型中，它是描述或表征系统的那些矩阵的集合。在目前的讨论中，随机矩阵模型可以分为两类：1。这个乐队很有感染力。

它仅通过遍历性论证发挥作用。2.集合确实存在，并且可以在系统中识别。遍历性问题并不存在。例如，量子混沌中的绝大多数随机矩阵模型属于第1类，有关综述，请参见参考文献[19]。人们对单个系统的光谱统计感兴趣。其哈密顿量被视为一个随机矩阵，其维数最终被发送到单位。遍历性在这个极限下成立，这意味着在一个单独的光谱上可观测的平滑能量平均值等于在一个随机矩阵集合上的平均值。一个明显的例外是量子色动力学的随机矩阵应用[20]。在格点规范理论中，夸克首先在规范场的冻结配置中传播，然后在规范场上进行平均，由随机矩阵建模，作为第二步。这显然属于第二类。真正存在的是通量规范场，配分函数包含了它们上面的一个积分。遍历性推理不会被唤起。随机矩阵理论在金融领域有许多应用[21–31]，它们解决了相关矩阵的统计特性。它们中的许多还涉及非高斯集合。据我们所知，所有这些应用程序都属于第1类，因为有人对在特定时刻测量的单个相关矩阵的统计信息感兴趣。在我们的研究[16]中，我们首次提出了随机矩阵在第二类金融中的应用。非平稳性使协方差发生变化，从而产生协方差矩阵的集合，我们用随机矩阵的高斯-威斯哈特集合来近似该集合[32]。我们推导了无量纲价格变化的多元分布，即收益，由于非平稳性而获得重尾。

因此，我们证明了非平稳性确实具有普遍性。在这里，我们有三个目标：首先，我们在第二节。IIa是一种从数据中构造适当且可分析的随机矩阵集合的具有统计学意义的方法。我们强调，在相关性的背景下，这是随机矩阵模型的一个重要问题。与量子混沌不同，量子混沌的普适性取决于平均能级间距的尺度，在研究相关矩阵的统计特性时，没有这样的尺度。因此，高斯假设并不总是正确的，它确实影响到集合在现实中的样子。特别是，真实的集合有助于理解和模拟大型活动。我们的建设是一般性的，不受任何特定系统的约束。它的优点在于，一旦已知了enemble，它就可以根据相关矩阵计算出任何可观测数据的一般统计特性，参见参考文献。[17] 举个例子。其次，我们将我们的方法应用于Sec的财务数据。三、 我们确定了一个代数集合，它与风险估计非常相关。第三，我们在第二节中讨论了在总体建设中出现的两个问题。IV和V分别是某种概念上的空洞和进一步的延伸。结论见第二节。六、 二,。在第二节中建立一般问题后，构造适当的随机矩阵集合。II A，引入变形的Wishart系综，导出相应的振幅分布，单位为秒。II B.第二节讨论了表征系综和振幅分布的形变函数的确定。在这里，我们推导出一般情况下的方法，为了便于说明，读者参考参考文献[16]和第。IIIA。

我们在随机性K振幅为时间序列Rk（t），K=1，在时间t=1的长时间间隔内，托特。例如，这些振幅可以是无序系统中K个不同点的电场或磁场、K个随机移动粒子的位置或财务回报，即K个股票的无量纲价格变化。重要的是，我们假设时间序列之间存在相关性。在复杂系统中，人们经常会遇到这样的情况，即关键系统参数，尤其是相关性或相关性，似乎是时间的随机函数[33–35]。更准确地说，我们考虑的时间窗长度T比总间隔T短得多 托特。现在我们要求子区间[t]的平均值- 长度为T的T+1，T]，其在总区间中的位置由时间T决定。然后将该子区间中函数f（T）的样本平均值写成Rkit（T）=TtXt=T-T+1f（T）。（1） 我们特别感兴趣的是协方差∑kl（t）=hRkRliT（t）- hRkiT（t）hRliT（t）=hrkrliT（t），（2）其中我们引入了归一化为零平均值的振幅，rk（t）=rk（t）- hRkiT（t）。（3） 我们记住，由此产生的K×K协方差矩阵∑（t）是根据长度t的时间序列计算的。我们现在通过数据移动长度T的时间窗口，得到的协方差∑kl（T）flucturate。这种非平稳性对其他统计观测有重要影响。在本研究中，我们主要关注振幅的分布。现在我们考虑一个尽可能短的时间间隔T，使得这个时间间隔的协方差矩阵∑sin处于良好的近似常数。

我们首先讨论一种情况，在给定的时间t内，振幅的分布由多元高斯（r |∑s）=pdet（2π∑s）exp很好地近似-r+∑-1sr（4） 利用K分量向量r=（r，…，rk）和K×K协方差矩阵∑s。我们抑制r的参数t，并使用+表示转置。我们把g（r |∑s）称为静态振幅分布。由于相关关系，静态分布的高斯假设并不像看上去那么严格。在∑s的基函数中，振幅只出现在线性组合中。因此，对于大K，导致中心极限定理的机制开始起作用，并将分布推向高斯分布。稍后在Sec。然而，Vwe将放宽静态振幅分布的高斯假设，并研究更一般的函数形式。B.变形的Wishart系综及其振幅分布当分析总间隔的数据时，非平稳性如何影响振幅分布？-正如参考文献[16]中所述，我们通过随机矩阵对此进行建模。由于协方差矩阵在分析的每个时间t不同，我们用表达式∑s替换分布（4）中的协方差矩阵-→NAA+，（5）其中A是一个没有任何对称性的实矩形K×N随机矩阵。等式（5）的右侧必须具有给定的形式，以确保其能够对适当定义的协方差矩阵进行建模。这直接源自定义（2）。虽然第一个维度是固定的，但第二个维度N目前是一个自由模型参数。它可以被视为模型时间序列的长度。接下来将进一步澄清。为了得到整个区间的振幅分布，我们在随机矩阵上取平均值hgi（r |∑，N）=Zd[A]w（A |∑，N）gRNAA+, （6） 其中d[A]是体积元素，即A中所有独立变量的乘积。

在Wishart[32,36]之后，高斯分布w（A |∑）=detN/2（2π∑）exp-tr A+∑-1A（7） 对于参考文献[16]中的随机矩阵，假设。它描述了关于给定经验协方差矩阵∑的模型协方差矩阵AA+/N的高斯函数，该函数在总时间间隔Ttot内进行评估。它不应与在子区间[t]中计算的经验协方差矩阵∑（t）混淆-T+1，T]。与参考文献[16]相比，最重要的区别是对集合（7）的概括。我们介绍了变形的Wishart群（A∑，N）=∞Zdηf（η）wA.N∑η（8） 由整体变形函数f（η）定义，具有以下性质：∞Zf（η）dη=1和f（η）≥ 0 . （9） 为方便起见，等式（8）右侧的∑用N重新缩放。模型协方差矩阵AA+/N的表达式偏离高斯分布，但始终超出经验协方差矩阵∑。模型参数N的含义现在变得更清楚了。它设置了这些函数的方差。上述重新缩放只会改变函数依赖关系，但不会改变函数的r^ole of n。我们再次强调，∑是在整个时间间隔内计算的。参考文献中首次提出了随机矩阵群的类似变形，但在哈密顿量中，不是Wishart设置。[37, 38].将ansatz（8）插入式（6）后，我们可以使用结果[16]Zw（A∑）gRNAA+d[A]=∞ZχN（Z）gR锌∑dz，（10）将整个随机矩阵平均值重新表示为χ分布χN（z）=N/2Γ（N/2）zN/2上的单变量平均值-1exp-Z（11） N个自由度。在数学方面，公式（10）和散射理论中某些分布的计算之间存在联系[39,40]。利用结果（10），振幅分布减少到二重积分hgi（r∑，N）=∞Zdηf（η）∞ZdzχN（z）gRzη∑.

（12） 再次，我们指出了∑与N的重标度，cf.Eq.（10）。将其重写为单个积分hgi（r∑，N）是有用的=∞Zp（x）g（r | x∑）dx（13）通过引入变量x=z/η及其分布p（x）=∞Zdηf（η）∞ZdzχN（z）δ十、-zη. （14） 我们称之为振幅分布变形函数。一个容易获得的sp（x）=xN/2-1N/2Γ（N/2）∞Zdηf（η）ηN/2exp-ηx, （15） 这建立了两个变形函数之间的关系。我们注意到，ansatz（8）将变形分布w（A∑，N）的形式限制为t R A+∑的函数-仅限1A。即使包含其他术语，如tr（A+∑-1A）有可能提高数据的质量，我们坚持安萨茨（8）。它的相当大的优势是有保证的，但在其他方面有问题的分析可处理性，这将在问题中显示。此外，进一步的项还将增加变形函数的数量，这将妨碍它们的确定。C.变形函数的确定从变形函数开始，分布w（A | N∑）和hgi（r | N∑，N）取决于通过在整个间隔内采样分析的常用协方差矩阵∑。我们注意到变形系综中相应的协方差矩阵∑（d）与之略有不同。根据定义，我们有∑（d）=hNAA+i=ZNAA+w（A∑，N）d[A]。（16） 插入式（8），我们可以在高斯情况下进行系综平均，得到协方差矩阵N∑/η。因此，只剩下η积分，我们有∑（d）=N∑∞Zf（η）ηdη=N∑η-1（17）意味着两个协方差矩阵的平均值相差1/η。或者，可以从振幅分布计算∑（d）∑（d）=hrr+i=Zrr+hgi（r |∑，N）d[r]，（18），其产生∑（d）=∑∞Zxp（x）dx=∑x。（19） 在这里，两个协方差矩阵的差值为x的第一个矩。

（14） ，很容易看出结果（17,19）是一致的。从数据中提取总时间间隔的协方差矩阵后，我们可以继续确定变形函数。等式（15）被积函数中的指数函数允许我们将其解释为拉普拉斯变换，Γ（N/2）p（x）xN/2-1=L~ηN/2f（2~η）, （20） 在这里，我们引入了▽η=η/2，以避免两个不方便的因素。因此，系综变形函数是逆拉普拉斯变换f（2)η）=Γ（N/2）~ηN/2L-1.p（x）xN/2-1.. （21）振幅分布变形函数除以x的幂。这使得通过从振幅时间序列中提取p（x）并进行拉普拉斯逆变换来确定f（η）成为可能。相反，从数据中直接提取f（η）是一件麻烦的事情，并且受到有限统计数据的影响，如下讨论所示。A的行是长度为N的模型时间序列，不容易与长度为t的振幅时间序列rk（t）识别。然而，矩阵AA+/N构成了模型协方差矩阵的集合，可以与经验矩阵进行比较。由于需要一定的样本长度才能得到有意义的结果，因此直接比较这些矩阵是毫无疑问的，即它们各自的矩阵元素。更好的观测结果是分布q（s）=Zδs-Ntr AA+迹的w（A∑，N）d[A]（22），它可以很容易地写成涉及系综变形函数f（η）的单个积分。分布（22）是通过在振幅时间序列中移动时间窗口，并计算经验协方差矩阵和它们的曲线来经验获得的。然后得到f（η）。上述程序的问题在于其统计意义仍然有限。相反，从数据中提取振幅分布变形函数p（x）会得到更有意义的结果。