检测和解释分层组织中的扭曲

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英文标题：
《Detecting and interpreting distortions in hierarchical organization of
  complex time series》
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作者：
Stanis{\\l}aw Dro\\.zd\\.z, Pawe{\\l} O\\\'swi\\k{e}cimka
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Hierarchical organization is a cornerstone of complexity and multifractality constitutes its central quantifying concept. For model uniform cascades the corresponding singularity spectra are symmetric while those extracted from empirical data are often asymmetric. Using the selected time series representing such diverse phenomena like price changes and inter-transaction times in the financial markets, sentence length variability in the narrative texts, Missouri River discharge and Sunspot Number variability as examples, we show that the resulting singularity spectra appear strongly asymmetric, more often left-sided but in some cases also right-sided. We present a unified view on the origin of such effects and indicate that they may be crucially informative for identifying composition of the time series. One particularly intriguing case of this later kind of asymmetry is detected in the daily reported Sunspot Number variability. This signals that either the commonly used famous Wolf formula distorts the real dynamics in expressing the largest Sunspot Numbers or, if not, that their dynamics is governed by a somewhat different mechanism.
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中文摘要：
层级组织是复杂性的基石，多重分形构成了其核心量化概念。对于模型均匀级联，相应的奇异谱是对称的，而从经验数据中提取的奇异谱通常是不对称的。使用所选的时间序列代表金融市场中的价格变化和交易时间、叙事文本中的句子长度变化、密苏里河流量和太阳黑子数变化等多种现象，我们表明，由此产生的奇异谱表现出强烈的不对称性，通常是左侧的，但在某些情况下也是右侧的。我们对这种效应的起源提出了一个统一的观点，并指出它们可能对确定时间序列的组成具有重要的信息。在每日报道的太阳黑子数变化中，发现了后一种不对称现象的一个特别有趣的例子。这表明，要么是常用的著名沃尔夫公式在表达最大太阳黑子数时扭曲了真实的动力学，要么是，它们的动力学由某种不同的机制控制。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Detecting_and_interpreting_distortions_in_hierarchical_organization_of_complex_t.pdf (469.71 KB)

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关键词：Organization Hierarchical Interpreting Quantitative Mathematical

检测和解释复杂时间经验的层级组织中的扭曲现象Tanis law Dro˙zd˙z1，2和Pawe l O\'swi,ecimka1，*波兰科学院核物理研究所，克拉科夫，波兰。波兰克拉科夫克拉科夫科技大学物理、数学和计算机科学学院。（日期：2018年9月11日）层级组织是复杂性的基石，多重分形构成其核心量化概念。对于模型均匀级联，相应的奇异谱是对称的，而从经验数据中提取的奇异谱通常是不对称的。以代表金融市场中价格变化和交易间时间、叙事文本中句子长度变化、密苏里河流量和太阳黑子数变化等多种现象的选定时间序列为例，我们表明，由此产生的奇异谱呈现出强烈的不对称性，通常是左侧的，但在某些情况下也是右侧的。我们对这些影响的起源提出了一个统一的观点，并指出它们可能对识别时间序列的组成具有重要的信息。在每日报道的太阳黑子数变化中，发现了后一种不对称现象的一个特别有趣的例子。这表明，要么是常用的著名沃尔夫公式在表达最大太阳黑子数时扭曲了真实的动力学，要么是，它们的动力学由某种不同的机制控制。PACS编号：05.10-a、 05:45。Df，05.45。t多尺度方法[1–3]旨在弥合复杂自然现象中许多基本过程固有的广泛时间和长度尺度。多重分形是量化相关特征的主要概念[4]。

到目前为止，它基本上在科学活动的所有领域都有应用，包括物理学[5,6]、生物学[7-9]、化学[10,11]、地球物理学[12,13]、经济学[14-21]、水文学[22]、大气物理学[23]、定量语言学[24,25]、行为科学[26]、音乐[27,28]，甚至生态科学[29]。目前，量化多重分形的最有效、数值稳定且精确的方法[30]是基于多重分形去趋势波动分析（MFDFA）[31]。因此，对于离散信号x（i）i=1，。。。，无以信号文件X（j）=Pji=1（X（i）开始- < j=1。。。，N、 哪里<…>然后将X（j）分成长度为s（s<N）的非重叠段，从信号的开头和结尾开始（因此总共有2个分段）。通过拟合一个lth阶多项式P（l）ν来估计每个分段的局部趋势，然后从信号曲线中减去该多项式。对于如此去趋势的信号，针对标度变量s，计算每个段ν中的局部方差F（ν，s）。最后，通过对所有段ν上的F（ν，s）求平均值，计算出qth阶函数：Fq（s）=2Ms2MsXν=1[F（ν，s）]q/21/q，（1）*帕维尔。oswiecimka@ifj.edu.plandQ∈ R.最佳范围为q∈ [-4, 4] [32].Fq的缩放行为~ sh（q）表示具有奇异谱f（α）[1]f（α）=q（α）的分形结构- h（q）]+1（2）表示α=h（q）+qh′（q）。如果h（q）=const，则信号为单分形。h（q）的非平凡q依赖性表明存在更复杂的分形组织，称为多重分形。对于模型，多重分形级数f（α）通常呈对称抛物线的形状，而经验级数通常呈现不对称。

在这里，我们探讨这个问题，并证明f（α）中的不对称性可能提供有关序列组织的重要信息。图1显示了使用MFDFA算法生成的、代表不同、相互偏远区域的信号的、毫无疑问的不对称多重分形光谱的壮观例子，这些例子基本上是新颖的。它们甚至表现出两种截然不同的不对称性。DAX和DJIA股票市场指数，由三对汇率（瑞士法郎/日元、英镑/瑞士法郎和英镑/日元）代表的外汇市场，在一些选定的文学文本中，代表句子长度变化的系列（这里是Julio Cort’azar的Rayuela和RobertoBola’no的2666；世界上大多数著名的文学作品在句子长度变化上基本上是单分形的，只有十几部左右的作品令人信服地是多重分形的，而这里同时考虑的两部作品属于极少数发展出最不对称f（α）的作品），密苏里河的流量[33]显示出明显的左侧对称性。另外两个例子显示了一种罕见的右侧不对称性，即股票市场公司（此处为ADS和来自DAX的BMW）的交易间时间和太阳黑子数的可变性[34]。为了估计不对称的可能额外贡献0。20.40.60.8f（α）DAXDJIA0。20.40.60.8f（α）CHF/JPYGBP/CHFBPP/JPY0。20.40.60.8f（α）Rayuela0。20.40.60.8f（α）0.20.40.60.81.21.21.4α0.20.40.60.8f（α）BMWADS0。2 0.40.60.8 1 1.2 1.4α0.20.40.60.8f（α）sFq（s）sFq（s）sFq（s）sFq（s）s-2-1Fq（s）s-3-2Fq（s）太阳黑子数变化密苏里河流域交易时间间长度变化股票市场指数Forexadsrayueladjia GBP/JPYa）c）e）f）d）b）图1。

（彩色在线）奇异谱f（α）（a）1990年1月12日至2013年10月12日期间（5881个数据点）两个（道琼斯工业平均指数和DAX）股票市场指数的日收益率，（b）2004年1月2日晚上9点至2008年3月20日晚上9点期间（1703520个数据点）选定货币对（瑞士法郎/日元，英镑/瑞士法郎，英镑/日元）的每分钟外汇收益率，（c）代表长度的系列，以字数表示，两个叙事文本中的连续句子：Julio Cort’azar的Rayuela（9848句）和Roberto Bola＠no的2666（21319句），（d）Waverly的密苏里河流量每小时的变化（以立方英尺每秒为单位），取自1987年10月1日至10月1日期间的美国地质调查数据库[33]，2007年（213344个数据点），（e）1997年11月28日至1999年12月31日期间，两家德国股市公司的交易间隔：ADS（167208个数据点）和BMW（173664个数据点）（f）1900年1月1日至2014年6月30日期间的每日太阳黑子数（41817个数据点）；资料来源：WDC-SILSO，比利时皇家天文台，布鲁塞尔[39]。插图显示了q的相应Fq∈ [-4,4]白色条纹表示q=0。所用的去趋势多项式是二阶的，是最优的。在（f）情况下，定标参数s的上限小于11年太阳活动周期的一半，这使得该程序不受周期趋势的影响。对于潜在的“振荡奇点”[35]，我们也对所有这些数据应用了所谓的小波领导者算法[36,37]，但未检测到此类奇点的重要信号。f（α）的左侧由正的Q值决定，Q值过滤掉较大的事件，反之则适用于其右侧。因此，f（α）中的不对称性表明底层级联的不均匀性。图中的（a）（d）情况。

因此，在大事件的安排上，1被视为更具多重分形，而在小事件中则远不如1。在其中一些情况下（瑞士法郎/日元、英镑/瑞士法郎或2666），f（α）的右侧收缩得非常强烈，表明相应小波动基本上具有单分形特征。这表明，整个信号可以被视为大规模均匀乘法级联的混合物，从而在f（α）中产生明显的左翼，以及在f（α）中缩小相应右翼的小规模噪声背景。在经验数据中，这种类似噪声的成分并不罕见，因为它可能来源于测量不确定度或一些粗粒化，这些粗粒化会更有效地影响小规模的波动。然而，不对称性的反向——右侧——适用于（e）和（f）的情况，这里的情况更有趣，也更不寻常，因为它表明多重分形作用于小规模的波动，而大规模的波动在这方面的动态性要差得多。可以想象，股票市场公司的交易间隔可能受这种动态的支配。小的时间间隔发生在同一个集群内的交易之间，该集群对该特定公司具有增强的可利用性，因此可能具有最好的非线性相关性。这些时间上更为分离的活动集群之间的距离，因此连接它们的更大的事务间隔，可能相关性更小[32]。更难解释——因此更有趣。51.52.53.5α0.20.40.60.8f（α）级联λ=1.05级联λ=1.50fav-光谱总和的平均值-sum0 30000 60000 90000120000n0的光谱。010.020.030.010.020.03s-6-4-2Fq（s）Aα=0.55αLq=4q=-4q=0×50αRFIG。2.

（Colore online）f（α）的示例对于λ=1.05和λ=1.5的两个二元级联，这两个f（α）和fsum（α）的平均fav（α）计算为这两个级联的总和。上面两个插图显示了这两个级联的显式扩展。为了更好地反映同一比例中的比例，将λ=1.05的初始值乘以50。最低的插图显示两个级联之和的Fq（s）函数。-是太阳黑子数变化的类似结果。较小的函数（通过q<0看到）发展出一个广泛的右侧f（α），这表明它们是类似于学院的层级组织。同时，被q>0过滤掉的大的，最多显示出多重分形的残余。因此，它们不属于同一等级制度，或者充其量只是严重扭曲了等级制度。这一观察结果可能需要修改著名的沃尔夫公式（R=k）* （Ns+10Ng），Ns-点的数量，ng组的数量[38]通常用于根据点的数量表达太阳活动，或者可能表明相应的大的和小的活动由某种不同的级联机制控制。从图1的插图到相应的面板，可以评估标度的质量。图1显示了Fq（s）对s的依赖性。在（a）-（d）中，我们还看到，当q>0时，标度指数（Fq（s）的斜率）明显依赖于q，而当q<0时，则非常弱。（e）和（f）的情况正好相反。当然，这与f（α）中的不对称方向有关。通过使用模型级联，可以清楚地说明上述效应最可能的起源和解释。在这里，我们使用二项式级联乘法器，其对数来自高斯N（λ，1）分布。

对于λ=1.05和λ=1.5的两个这样的叶栅，为这两个叶栅计算的这两个f（α）的平均值fav（α）和fsum（α）如主面板所示。2.虽然fav（α）是对称的，但fsum（α）是较低的，并且已经是强不对称的。为了量化这些特性，我们引入了不对称参数0。60.81 1.2 1.4 1.6 1.82 2.2α0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.1f（α）1 10 100 1000Nc-级联数0。20.40.60.8Aα图3。（彩色在线）f（α）的奇点谱，用于越来越多的叠加二项式级联，这些级联独立生成，但都具有相同的λ=1.1。插图说明了相应的不对称参数Aα是如何演变的。埃特拉α=(αL- αR）/(αL+αR）（3）其中αL=α- α米南德αR=αmax- α和αmin，αmax，α分别表示f（α）支撑的开始和结束，以及f（α）最大值处的α值（对应于q=0）。只有两个具有不同参数的随机二项式级联简单叠加，就会产生强烈的左侧不对称（Aα=0.55）多重分形谱f（α），类似于图1中相应的经验谱。对于λ=1.5的叶栅，fsum（α）的左侧与f（α）重合，而对于λ=1.05的叶栅，fsum（α）的右侧与f（α）重合。这一结果的起源可以从这两个单独叶栅中的相对大小比例中看出，如图2上部两个面板所示。λ=1.05的波动平均比λ=1.5的波动小两个数量级。因此，在它们的总和中，小的波动主要由λ=1.05决定，并由q<0过滤掉，q<0对应于右侧的波动，反之适用于大的波动。另一种看待这种影响的等效方法是通过方程式1定义的Fq，如图2最低面板所示。

事实上，所有Fq（s）都以s为标度，但q>0时扩散得更多，因此fsum（α）左侧的宽度更大。通过叠加相同λ产生的级联，甚至可以获得左侧不对称的类似效果。图3显示了越来越多的N个独立绘制、然后叠加λ=1.1的级联的结果。然而，这里需要更多的组件来达到与FIG相同的不对称程度。2例。左侧不对称源于这样一个事实，即小的波动更为丰富。5 0.60.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.41.5 1.61.7 1.8 1.9 2 2.1 2.3 2.4α0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.1f（α）二项式叶栅（λ=1.05）最终系列0 30000 60000 120000 n10 100 100000。010.1Fq（s）-5Aα=-0.4q=-4q=4q=0αRαLOriginal Cascade白噪声最终系列图。4.（彩色在线）奇点谱f（α）（i）对于λ=1.05的二项级联，以及（ii）对于通过设置4.7的阈值从中获得的奇点谱，然后从超过该阈值的所有事件中减去超过阈值（影响所有事件的1%），最后通过将一个从正态分布中提取的数字连续相加，每个数字独立于一个。上插图从上到下显示了原始的二项式级联和截断阈值（虚线）、添加的白噪声以及最终序列。下插图显示了所获得的最终序列的函数Fq（s）的q依赖性。因此，在这样的单个级联中，将越来越多的级联相加，就可以更快地接近白噪声极限，即在较小的级联层次上破坏原有的层级组织，而不是在较大的级联层次上破坏原有的层级组织。结果f（α）的右侧随着n的增加而更快地收缩为单分形，而相应的左侧收缩为单分形。这可以从图中看出。

3，尤其是从插图中可以看出α对N的依赖性。在初始急剧增加后，它在N=30左右以α的形式达到最大值≈ 0.7，然后开始缓慢下降。当N=1000时，f（α）已经非常接近于带α的单分形≈ 0.2.当叠加级联时，左侧多重分形不对称很容易合并，而右侧多重分形不对称对模型来说更为特殊。从算法的角度来看，它意味着一种相反的情况，即在较小的波动水平上有一个更统一的层次结构，在较大的波动水平上有更像噪音的行为。这种解释表明了这种严重违反条件的构造。图4显示了一个示例。这是由与之前相同的λ=1.05模型生成的二项式级联，但现在最大事件的顶部部分随机化如下。选择1%的最大事件，在这种情况下，这些事件对应于超过阈值T=4.7σ的事件。然后，将它们的值替换为T和N（0，1）中每个事件独立绘制的数量之和。这种构造的最终结果保留了原始小函数的组织，并将最大的函数随机化。由此获得的序列显示在图4（最终序列）的上部插图中，以及用于形成该序列的两个组件。当q<0时，相应的Fq（s）函数（图4中的下面板）变得更分散，因此f（α）频谱变得右侧（Aα=-0.4），这构成了所需的反向组织。