几乎可以肯定的是，对冲会带来永久性的价格影响

（1.16）设置)Vnt:=Vntni-1+Vt- Vtni-1+Zttni-1γ1nsds+Zttni-1.2nsdWs，tni-1.≤ T≤ 特尼。然后，通过将它的引理应用于| |Vnt-Vt |，利用（1.16）和Gronwall引理，我们得到了sup[tni-1，tni]Eh | | Vn- V|i≤ 呃| Vntni-1.-Vtni-1 | i（1+Cn）-1） +Cn-2，因此，通过恒等式Vntni=Vntni和一个归纳式，呃| Vntni- Vtni |i≤ Cn-1.我≤ n、 我们通过观察得出结论|Vnt- Vt|≤ 切赫| Vntni-1.- Vtni-1 |+|Vntni-1.- Vnt |+| Vtni-1.-Vt|i≤ C呃| Vntni-1.- Vtni-1 | i+n-1.,为了tni-1.≤ t<tni。备注1.2。如果冲击函数δf（x）被更一般的形式f（x，δ）的Cb函数代替，则f（x，0）=ΔδF（x，0）=0，在上述证明中进行的计算只会导致δF（X，0）dY和aσ（X）用xδF（x，0）代替动力学（1.9）中的F（x）dY和a（σF′）（x）。类似地，termaf（X）将被δF（X，0）in（1.10）。1.3跳跃和大阶分裂我们现在解释如何将跳跃纳入我们的动力学。设uk表示随机{0，··，k}值测度的集合，由[-k、 k]×[0，T]与t7的感觉相适应→ ν（A×[0，t]）适用于A的所有Borel子集[-k、 k]。我们塞图：=∪K≥0Uk。请注意，U的元素ν可以写成形式ν（A，[0，t]）=kXj=1{（δj，τj）∈A×[0，t]}（1.17），其中0≤ τ<··<τk≤ T是停止时间，每个δjis是τj-随机变量的实值。然后，给定（a，b，ν）∈ A×U，我们定义了交易信号asY=Y0-+Z·bsds+Z·asdWs+Z·ZΔν（dδ，ds），（1.18），其中Y0-∈ R.鉴于前面的部分，我们假设当Y没有跳跃时，股票价格和投资组合价值过程的动力学由（1.9）-（1.10）给出。通过假设交易者遵循在小时间间隔内将大订单拆分为小部分的自然想法，公司会跳起来。这是目前的做法，旨在避免产生太大的影响，并支付太高的流动性成本。

考虑到上一节已经推导出的渐近解，我们可以将其简化为在[τj，τj+ε]上以恒定速率δj/ε连续进行的情况，对于某些ε>0。我们用（X0）表示-, V0-) 初始价格和投资组合价值。然后，投资组合中与战略相关的股票数量（a，b，ν）∈ 由Yε=Y+kXj=1[τj，T]-δj+ε-1δj(·∧ （τj+ε）- τj）, （1.19）以及相应的股票价格和投资组合价值动态areXε=X0-+Z·σ（Xεs）dWs+Z·f（Xεs）dYεs+Z·（u（Xεs）+as（σf′（Xεs））ds（1.20）Vε=V0-+Z·YεsdXεs+Z·asf（Xεs）ds。（1.21）当通过极限ε→ 0，我们得到了Zε：=（Xε，Yε，Vε）到Z=（X，Y，V）的收敛性，其中（X，V）定义在（1.22）-（1.23）中。在下文中，我们仅陈述了终值的收敛性，请参见更完整描述的证明。它使用了上文（1.2）中定义的曲线x，也包括（1.1）。提议1.2。给定（a，b，ν）∈ A×U，设Z=（X，Y，V）由（1.18）和X=X0定义-+Z·∑（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYcs+Z·（u（Xs）+as（σf′（Xs））ds+Z·Zx（Xs）-, δ） ν（dδ，ds）（1.22）V=V0-+Z·YsdXcs+Z·asf（Xs）ds+Z·Z（Ys）-x（Xs）-, δ） +I（Xs）-, δ） 其中i（x，z）：=Zzsf（x（x，s））ds，对于x，z∈ R.（1.24）设置Zε：=（Xε，Vε，Yε）。然后，存在一个常数C>0，即E|ZεT+ε- ZT|≤ C（ε+P[supt≤Tν（R[T，T+ε]）≥ 2] ），对于所有ε∈ (0, 1). 此外，limε→0P[支持]≤Tν（R[T，T+ε]）≥ 2] = 0.证据在所有这些证明中，我们用C表示一个通用的正常数，它不依赖于ε，并且可能在每一行之间变化。在这里，我们将再次讨论（H1）和a和b被某个常数k所限定的事实，在dt×dP-a.e.意义上。对于某些k，设ν的形式为（1.17）≥ 注意，最后一个声明简单地遵循了{τj+1- τj≥ ε} ↑ Ohm 对于所有j≤ k、 第一步。我们首先考虑τj+1的情况≥ 所有j的τj+ε≥ 1.

同样，对| ZεT+ε的估计-ZT |遵循简单的观察和标准估计，我们只强调主要观点。我们将证明这一点≤ J≤ k+1E“sup[τj-1+ε，τj）|Z- Zε|+sup0≤s≤εE[|Zτj+s- Zετj+ε|#≤ Cε，（1.25），其中我们使用约定τ=0和τk+1=T。（Yε，Y）的结果是微不足道的，因为它们在每个区间[τj]上相等-1+ε，τj）和（a，b）是有界的。a、 我们首先证明了（Xε，X）的一个更强的结果。修正p∈ {2, 4}. 设xε为普通微分方程xεt=xτj的解-+Ztδjεf（xεs）ds。设置Xε：=Xε- xε·-τj.它的引理引导tod(Xεt）p=p(Xεt）p-1α1，εtdt+p（p- 1)(Xεt）p-2（α2，εt）dt+p(Xεt）p-1α2，εtdWt+pδjε(Xεt）p-1（f（Xεt）- f（xεt）-τj）dton[τj，τj+ε]，其中α1，ε和α2，ε是有界过程。不平等-1.≤xp-2+xp，f和Gronwall引理的Lipschitz连续性，然后implysup0≤T≤εEh | Xετj+t- xεt | pi≤ 总工程师|Xετj-- Xτj-|p+Zε| Xετj+s- xεs | p-2ds.我们现在使用变量的简单变化来获得xεε=x（xτj-, δj）=Xτj，其中X在（1.2）中定义，而≤T≤εE|Xτj+t-Xτj | p≤ Cεp.由于X和Xε在[τj+ε，τj+1]上具有相同的动力学，这表明e“sup[τj+ε，τj+1）|Xt- Xεt | p#≤ CEh | Xτj+ε- Xετj+ε| pi≤ CEh | xε- Xετj+ε| p+| Xτj+ε- Xτj | pi≤ 总工程师|Xετj-- Xτj-|p+Zε| Xετj+s- xεs | p-2ds+εp.对于p=2，这提供了“sup[τj-1+ε，τj）|X- Xε| p+sup0≤s≤εE[|Xτj+s-Xετj+ε| p#≤ Cεp，通过对j的归纳，情况p=4如下。为了以后使用，请注意estimatesup0≤T≤εEh | Xετj+t- xεt|i≤ Cε（1.26）是我们分析的结果。b、 关于V的估计- Vε也得到了类似的证明。我们引入Vεt:=Vτj-+Ztδjεsf（xεs）ds+Yτj-Ztδjεf（xεs）ds=Vτj-+ZtYεsδjεf（xεs）ds，并使用（1.26）：Eh | Vετj+t获得第一个估计- vεt|i≤ CE“|Vετj-- Vτj-|+ ε +Zεε-1Yετj+sδj | Xετj+s- xεs | ds#≤ CEh | Vετj-- Vτj-|+ εi，对于0≤ T≤ ε.

然后，我们观察到Vε=Vτj-+ I（Xτj）-, δj）+Yτj-x（xτj）-, δj）=Vτj，而uP0≤T≤εE|Vτj+t- Vτj|≤ Cε。通过使用X上的估计-在a中得到的Xε，我们随后证明e“sup[τj+ε，τj+1）|Vt- Vεt|#≤ CEh | Vτj+ε- Vετj+ε|+εi，并通过对j的归纳得出结论。步骤2。我们现在考虑一般情况。我们定义τεj+1=（ε+τεj）∨ τj+1，Δεj+1=Z（τεj，τεj+1]Δν（dδ，dt），j≥ 其中（τε，Δε）=（τ，δ）。关于Eε：={minj≤K-1（τj+1）- τj）≥ ε} ，（τεj，Δεj）j≥1=（τj，δj）j≥1.因此，从步骤1开始。那是|ZεT+ε- ZT|≤ Cε+CEh | | ZεT+ε|+| ZT | iP[Ecε]，其中Zε代表与（τεj，Δεj）j相关的动力学≥1.现在根据标准估计值（~ZεT+ε）0<ε≤1和Z以L为界。我们用一个命题来结束本节，该命题收集了命题1.1中出现的函数x和I的一些重要性质。它们将在下一节中使用。提议1.3。为了所有的x，y，ι∈ R、 （i）x（x（x，ι），-Y- ι） =x（x，-y） ，（ii）f（x）xx（x，y）=yx（x，y）=f（x（x，y）），（iii）I（x（x，x，ι），-Y- ι） ，y+ι）- I（x（x，-y） ，y）=y x（x，ι）+I（x，ι），（iv）f（x）xI（x，y）+x（x，y）=yI（x，y）=yf（x（x，y））。证据（i） 是函数F的Lipschitz连续性的直接结果，它确保了（1.2）中定义x的唯一性。更一般地说，它具有流动特性，我们将在下面的论证中使用它。断言（ii）是定义x:x（x（x，ι），y的直接结果- ι） =x（x，y）表示ι>0和yx（x，0）=f（x），因此在ι=0时的差异提供（ii）。（iii）中的一致性来自直接计算。至于（iv），必须写出I（x（x，ι），y- ι） =Ryι（t）- ι） f（x（x，t））dt表示ι>0，再次表示在ι=0时的差异。备注1.3。根据命题1.3，我们的模型允许圆tripsat（精确地）零成本。

也就是说，如果x是当前的股票价格，v是财富，andy是投资组合中的股票数量，那么执行大小δ的中间跳跃会使（x，y，v）跳到（x（x，δ），y+δ，v+yx（x，δ）+I（x，δ））。立即以相反的顺序通过，我们回到位置（x（x，δ），-δ） ，y+δ-δ、 v+yx（x，δ）+I（x，δ）+（y+δ）x（x（x，δ），-δ） +I（x（x，δ），-δ） ）=（x，y，v），根据命题1.3（i）-（iii）。这是一个理想的属性，如果一个人想要有机会完美地对冲期权，或更普遍地获得一个非退化的超级对冲价格。2欧洲索赔的超级套期保值我们现在转向超级套期保值问题。从现在起，我们将可采性策略定义为形式y=y+Z·bsds+Z·asdWs+Z·ZΔν（dδ，ds）（2.1），其中y∈ R、 （a，b，ν）∈ A×U和Y本质上是有界的。如果| Y |≤ k和（a，b，ν）∈ Ak×Uk，那么我们说（a，b，ν）∈ Γk，k≥ 1，我们让Γ：∪K≥1Γk.我们将在下面的备注2.1中评论我们限制有界控制的原因。给定（t，z）∈ D:=[0，T]×R×R×R，我们定义zt，z，γ：=（Xt，z，γ，Yt，z，γ，Vt，z，γ）为（1.22）-（2.1）-（1.23）在与γ相关的[T，T]上的解∈ Γ和初始条件Zt，z，γt-= z、 2.1超级hedg定价欧洲未定权益由其支付函数定义，即可测量的mapx∈ R7→ （g，g）（x）∈ R.第一部分是现金结算部分，即到期时支付的现金量，而gis是交付部分，即待交付的股票单位数。容许策略γ∈ Γ允许从时间t ifZt，z，γt的初始条件z开始，对与支付相关的索赔进行超级对冲∈ GwhereG:={（x，y，v）∈ R×R×R:v- yx≥ g（x）和y=g（x）}。

（2.2）回想一下，V代表投资组合的无摩擦清算价值，它是现金成分和未考虑清算影响的股票价值Y X的总和。我们设置gk（t，z）：={γ∈ Γk:Zt，z，γT∈ G} ，G（t，z）：=∪K≥1Gk（t，z），并定义超级对冲价格asw（t，x）：=infk≥1wk（t，x），其中wk（t，x）：=inf{v:Gk（t，x，0，v）6=}.为了以后使用，让我们精确地确定这些函数的T值。提议2.1。definegk（x）：=inf{yx（x，y）+g（x（x，y））- I（x，y）：|y |≤ k s.t.y=g（x（x，y））}，x∈ R、 G:=infk≥1Gk。然后，wk（T，·）=gk和w（T，·）=G.（2.3）证明。设置z=（x，0，v）和fixγ=（a，b，ν）∈ Γ. 通过（1.22）-（1.23），我们得到了zt，z，γT=（x（x，y），y，v+I（x，y）），其中y:=zΔν（dδ，{T}）。鉴于（2.2），ZT，z，γT∈ 那么G等于v+I（x，y）- yx（x，y）≥ g（x（x，y））和y=g（x（x，y））。通过定义w（分别为wk），我们必须计算一些y的最小v∈ R（分别为| y |≤ k） 。备注2.1。让我们在结束这一节时，对有界控制集Γ的选择进行评论。a、 首先，这确保了X、Y和V的动态得到很好的定义。这显然可以通过施加Lλ边界来放松。但是，请注意，边界无论如何都应该是一致的。这对于确保第2.2节所述的动态编程原则有效至关重要，因为它使用了可测量的选择参数：ω7→ θ[ω] ∈ Lλ并不意味着Ehkθ[·]kLλi<∞. 相关讨论见下文备注2.2。b、 在定理2.1的证明中，我们需要执行与形式为dM=-MχadW，其中χamay以aif a的速度爆炸是没有界的。参见第1步。定理2.1的证明。

为了确保这个局部鞅被很好地定义，并且实际上是一个鞅，我们应该对a施加非常强的可积条件。为了简化表示，我们因此坚持有界控制。还有许多其他选择是可能的。然而，请注意，在cas e f中≡ 0，一大类期权会导致我们的套Γ中的对冲策略，高达GT中的轻微回报，以避免到期时delta或gamma的爆炸。这意味着，尽管完美的套期保值策略可能不属于Γ，但它至少是Γ元素的极限，并且超级套期保值价格是一致的。2.2动态规划我们的控制问题是[18]中研究的一个随机目标问题。本节的目的是展示其几何动态编程原理的一个版本。然而，值函数w不适用于动态规划。原因是它假设在时间t时初始持股为零，而位置Yθ（通常）在以后的时间θ时不会为零。因此，先验地不可能将随后的财富过程Vθ与相应的超级对冲价格w（θ，Xθ）进行比较。尽管如此，如果我们引入^Xt，z，γ：=x（Xt，z，γ，-Yt，z，γ）（2.4），代表股票头寸清算后的股票价值。我们参考下面的备注2.2，以了解以下动态规划原则的第（ii）部分为何用（wk）k表示≥1代替w.提案2.2（GDP）。固定（t，x，v）∈ [0，T]×R×R.（i）如果v>w（T，x），则存在γ∈ Γ和y∈ R等于vt，z，γθ≥ w（θ，^Xt，z，γθ）+I（^Xt，z，γθ，Yt，z，γθ），表示所有停止时间θ≥ t、 其中z:=（x（x，y），y，v+I（x，y））。（ii）修复k≥ 1.

如果v<w2k+2（t，x），则我们无法找到γ∈ Γk，y∈ [-k、 k]和振荡时间θ≥ t使得vt，z，γθ>wk（θ，^Xt，z，γθ）+I（^Xt，z，γθ，Yt，z，γθ）与z:=（x（x，y），y，v+I（x，y））。证据第一步。为了将s-tochastic目标问题转化为时间一致性问题，我们引入了对应于初始持有y股票的辅助值函数：^w（t，x，y）：=infk≥1^wk（t，x，y），其中^wk（t，x，y）：=inf{v:Gk（t，x，y，v）6=}.注意wk+1（t，x）≤ inf{v: Y∈ [-k、 k]s。t、 Gk（t，x（x，y），y，v+I（x，y））6=}.这是从（1.22）-（1.23）得出的。自从x（x（x）以来，-y） ，y）=x，见命题1.3，这意味着^wk（t，x，y）≥ wk+1（t，x（x，-y） ）+I（x（x，-y） ，y），（2.5）表示| y |≤ k、 类似地，由于I（x，-y） +yx（x，-y） =-I（x（x，-y） 通过命题1.3，我们得到了^wk+1（t，x，y）≤ wk（t，x（x，-y） ）+I（x（x，-y） ，y）。（2.6）第2步。a、 假设v>w（t，x）。w的定义意味着我们可以∈ R和γ∈ G（t，z），其中z:=（x（x，y），y，v+I（x，y））。根据[18，定理3.1的第一步证明]，Vt，z，γθ≥ ^w（θ，Xt，z，γθ，Yt，z，γθ），对于所有停止时间θ≥ t、 然后，（2.5）申请k→ ∞ 提供（i）。b、 现在假设我们可以找到γ∈ Γk，y∈ [-k、 k]和停止时间θ≥ t求Vt，z，γθ>（wk+I）（θ，^Xt，z，γθ，Yt，z，γθ），其中z:=（x（x，y），y，v+I（x，y））。通过（2.4）-（2.6），Vt，z，γθ>^wk+1（θ，Xt，z，γθ，Yt，z，γθ），并根据[18，步骤2，3.1]和推论A.1得出v+I（x，y）≥ ^w2k+1（t，x（x，y），y）。通过引用（2.5）和恒等式x（x（x，y），我们得出结论（ii）成立，-y） =x andI（x（x，y），-y） ，y）=I（x，y），见命题1.3。我们以纯粹的技术考虑来结束本节，这些考虑证明了上述动态编程原则的形式。它们对以后的发展毫无用处，但可能有助于澄清我们的方法。备注2.2。提案2.2的第（ii）部分不能用w来表述。

原因是，可测量的选择技术不能与集合Γ一起使用。的确，如果ω7→ γ[ω] ∈ Γ，则相应的界依赖于ω且不一致：可测控制族{γ[ω]，ω∈ Ohm} 不允许在Γ中构造元素。命题2.2的（i）部分只要求使用条件论证，这可以在Γ内完成。备注2.3。（^wk）k的几何动态规划原理的一个版本≥1，这是上述证明的副产品。因此，尝试推导函数^w的偏微分方程是很有诱惑力的。然而，控制在（X，Y，V）的动力学中线性出现的事实使得这个问题非常奇异，而且“标准方法”似乎不起作用。我们将在引理2中看到。1.这个奇点dis出现在参数化x（x，-Y）用于命题2.2。此外，套期保值意味着对动力的扩散部分进行控制，从而转化为Y和空间梯度D^w（·X，Y）之间的强关系。这将导致pde设置在坐标（t，x，y）上的曲线上，取决于d^w（pde的解）。2.3定价方程为了理解w应该求解的偏微分方程是什么，让我们陈述以下关键引理。虽然控制b在（X，Y，V）的动力学中呈线性，但下面的结果表明，当把它的引理应用于V时，它可能产生的奇异性实际上并没有出现-（^+I）（·，^X，Y），回忆（2.4），它被函数X和I吸收（与备注2.3相比）。这个引理的解释被推迟到第2.5节。引理2.1。固定（t，x，y，v）∈ D、 z:=（x，y，v），γ=（a，b，ν）∈ Γ. 那么，^Xt，z，γ=x（x，-y） +Z·t[^u（^Xt，Z，γs，Yt，Z，γs）+(xxu-xxasff′（Xt，z，γs，-Yt，z，γs）]ds+z·t^σ（^Xt，z，γs，Yt，z，γs）dWs。给定∈ C∞b、 设置Et，z，γ：=Vt，z，γ- （^+I）（·，^Xt，z，γ，Yt，z，γ）。

然后，Et，z，γ- Et，z，γt=z·t[Yt，z，γs-ˇYt，z，γs]（u）- f′fas/2）（Xt，z，γs）ds+z·t[Yt，z，γs-ˇYt，z，γs]σ（Xt，z，γs）dWs+z·t^Fˇ（s，^Xt，z，γs，Yt，z，γs）dsin，其中ˇYt，z，γ：=Yt，z，γ+Xt，z，γ- Xt，z，γf（Xt，z，γ）+x^（·，^Xt，z，γ）f（^Xt，z，γ）f（Xt，z，γ）和^f^-t~n- ^ux[~n+I]-^σxx[~n+I]，其中表示（x′，y′）∈ R×R^u（x′，y′）：=[xxxσ]（x（x′，y′），-y′）和σ（x′，y′）：=（σxx）（x（x′，y′），-y′）。现在，让我们求助于命题2.2，并将引理2.1应用于ν=w，假设w是光滑的，并且即使我们从v=w（t，x）开始，命题2.2（i）也是有效的，即假设w定义中的inf是一个min。根据上述引理的符号，命题2.2（i）通常应用于θ=t+会导致0≤ dEt，z，γt=（y- ^y）[u -ff′at/2（x（x，y））]dt+σ（x（x，y））dWt+^F w（t，^x，y）dt其中^y=y+^x- x（x，y）f（x（x，y））+xw（t，^x）f（^x）f（x（x，y））和^x=x（x（x，y），-y） =x。保持在正式水平，这个不等式不能成立，除非y=^y，因为σ6=0，且^F w（t，x，^y）=^F w（t，^x，y）≥ 0.这意味着w应该是一个超解ofF^（t，x）：=^F k（t，x，^y[k]（t，x））=0（2.7），其中，对于光滑函数^，^y[k]（t，x）：=x-1（x，x+f（x）x~n（t，x））和x-1表示x（x，·）的倒数。从命题2.2的（ii）中，我们可以（形式上）推导出上述不等式应该是一个等式，因此w应该解（2.7）。为了理解上述情况，我们假设x（x，·）对于所有x都是可逆的∈ R（x，z）∈ R×r7→ 十、-从（2.3）来看，1（x，z）是C.（H2），因此我们认为w是一个解，它与φ1[0，T[+（φ）无关- G） [0，T]×R.（2.8）上的1{T}=0，因为w可能不是光滑的，并且（ii）2.2的位置是用wk而不是w表示的，所以我们需要考虑粘性解的概念和（wk）k的松弛半极限≥1.