几乎可以肯定的是，对冲会带来永久性的价格影响

因此，我们定义了新的*（t，x）：=lim-inf（t′，x′，k）→（t，x，∞)wk（t′，x′）和w*（t，x）：=lim-sup（t′，x′，k）→（t，x，∞)wk（t′，x′），在这种情况下，极限值通常会超过t′<t。注意，w*实际上与w的下半连续包络重合，这是因为w=infk≥1wk=limk→∞↓ 工作，按施工。我们现在可以陈述本节的主要结果。在下文中，我们假设G是连续的，Gk是连续的↓ G在紧集上一致。W*而w*在[0，T]×R.（H3）上定义，（H3）的第一部分将用于获得边界条件。第二部分是自然的，因为否则我们的问题将是不适定的。定理2.1（定价方程）。函数w*而w*分别是（2.8）的aviscosity super和subsolution。如果它们是有界的且f>0，那么w=w*= W*w是（2.8）的唯一有界粘性解。如果加法G是有界的，且C是G，G′，G′H"older连续的，那么w∈C1,2（[0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）。证据见第2.5节。现在让我们讨论一下验证对应项。备注2.4（验证）。假设φ是（2.8）的光滑解，我们可以找到（a，b）∈ A使得以下系统保持[t，t]：X=X+x（x，^y[~n]（t，x））+Z·tσ（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYcs+Z·（u（Xs）+as（σf′（Xs））ds+x（XT）-, -YT-)1{T}Y=^Y[~n]（T，x）+Z·tbsds+Z·tasdWs- YT-{T}=x-1（^X，^X+（fx^）（·，^x））- YT-{T}^X:=X（X，-Y）V=ˋ（t，x）+I（x，ˋY[ˋ]（t，x））+Z·tYsdXcs+Z·asf（Xs）ds+（YT）-x（XT）-, -YT-) + I（XT）-, -YT-))1{T}。a、 注意，^Xt=x（Xt，-Yt）=x（x（x，^y[~n]（t，x）），-^y[^]（t，x））=x，回想命题1.3（i），因此Yt=^y[^]（t，x）=x-1（^Xt，^Xt+（fx^（t，^Xt））。因此，我们需要找到（a，b），使得X=X（^X，Y）=^X+（f^x.（·，^x）。

这相当于求解：σ（X）+f（X）a=σ（X，Y）xψ（·，^x）f（x）b+（u+aσf′）（x）=（^u（^x，Y）+(xxu-xxasff′（X，-Y）xψ（·，x）+^σ（^x，Y）其中ψ（t，X）：=X+（f）（t，x）。由于f>0，该系统有一个解决方案。在附加光滑性和有界性假设下，（a，b）∈ A.b.对于上述动力学，设ˇY为引理2.1。因为X=X（^X，Y）=^X+（f通过构造，我们得到了[t，t]上的71y=Y-= ν（T，^XT）-) + 我（^XT）-, YT-) = G（^XT）-) + 我（^XT）-, YT-).因为XT=^XT-还有YT-x（XT）-, -YT-) + I（XT）-, -YT-) + 我（^XT）-, YT-) = 0，见命题1.3，这意味着VT=G（XT）。因此，套期保值策略包括采取初始头寸，即股票等于Yt=^y[~n]（t，x），然后使用控制（a，b）直到t。最终即时交易在T进行。特别是，股票数量Y在（t，t）上是连续的。2.4一个例子：固定影响案例在本节中，我们考虑了一个简单的情况，即所有x的常数影响函数f:f（x）=λ>0∈ R.这当然是一个过于简单的模型，但这让我们能够突出我们的结果结构，作为本例中的pde简化。

事实上，对于x（x，y）=x+yλ和I（x，y）=yλ，我们有^u（x，y）=0，σ（x，y）：=σ（x+yλ），^y[ν]：=x~n。定价方程由局部波动率模型给出，其中波动率取决于套期保值价格本身，因此取决于要套期保值的索赔（g，g）：0=-t~n（t，x）-σ（x+xаλ）xx~n（t，x）。至于备注2.4中验证参数中的过程Y，其由Y=x^（·，^x）=x~n（·，x）- λY）。这表明套期保值策略（如果定义明确）包括以下内容：-对冲是一种策略 = x^根据股票^x的价值计算得出，如果股票头寸被清算，将获得该价值。注意，当σ为常数时，我们得到了通常的热方程。这是预期的，显示了固定影响模型的局限性。为了解释这一点，让我们考虑更简单的情况g=0，并使用备注2.4中的符号。我们还将u=0设置为便于使用符号。由于σ是常数，策略Y不会影响X的动力学系数，它只会在每次购买或出售时产生一个位移λdY。因为YT=0，而YT-= 0，总影响为空：XT=XT-+σ（WT）-Wt）。至于财富过程，我们有vt=~n（t，x）+Ytλ+ZTtYsdXcs+ZTtasλds- YT-λ+YT-λ=φ（t，x）+ZTtYsσdWs+λ（Yt）- YT-) +ZTtλYsdYcs+ZTtasλds=~n（t，x）+ZTtYsσdWs。否则，清算成本将被取消：买入时，交易者支付成本，但价格会上升；卖出时，交易者再次支付成本，但以更高的价格卖出。如果对X和f的基本动力学没有影响，这完全抵消了。然而，对冲策略仍然受到影响：Y=x~n（·，x）- λY）。2.5偏微分方程特征的概率。5.1关键引理我们首先提供关键结果的证据。引理2.1的证明。为了简化注释，我们省略了超级脚本。A.

我们首先从命题1.3（i）中观察到x（x，-Y）具有连续路径，而命题1.3（ii）暗示fxx-yx=0（因此f′）xx+fxxx-xyx=0）。利用它的引理，这导致todx（Xs，-Ys）=（u）-asff′（Xs）xx（Xs，-Ys）ds+σ（Xs）xx（Xs，-Ys）dWs+σxxx- asfxyx+asy yx（Xs，-Ys）ds。我们现在使用身份fxyx- y yx=0，这也是命题1的结果。3（ii），将上述表达式简化为dx（Xs，-Ys）=[xx（u）-asff′）+xxxσ]（Xs，-Ys）ds+（σ）xx）（Xs，-Ys）dWs。b、 同样，从命题1.3（iii）中可以看出，V- I（^X，Y）有连续路径，E也有连续路径。在应用It^o引理推导E的动力学之前，让我们观察一下yI（x（x，-y） y=yf（x（x），-y） ，y））=yf（x）并且yI（x（x，-y） y=y（f′）（x）+f（x）。还要注意^σ（x（x，-y） y）=σ（x）xx（x，-y） 。然后，利用上面导出的^X动力学，我们得到des=（Ys）-ˇYs）σ（Xs）dWs+（Ys）-ˇYs）[u-as（ff′）（Xs）ds+^F~n（s，^Xs，Ys）ds+asσ（Xs）[Ysf′（Xs）- xx（Xs，-Y）xyI（^Xs，Ys）]ds，其中ˇY:=x（^+I）（·，^x，Y）xx（X，-Y）。根据提案1.3（ii）（iv），f（x）xyI（x，y）=y[yf（x（x，y））-x（x，y）]=y（f′f）（x（x，y））。自从xx（x，-y） =f（x（x），-y） ）/f（x），见提案1.3（ii），其如下所示：xx（X，-Y）xyI（x（x，-Y=yf′（X），这意味着des=（Ys）-ˇYs）σ（Xs）dWs+（Ys）-ˇYs）[u-as（ff′）（Xs）ds+^F~n（s，^Xs，Ys）ds。我们现在从命题1.3推导出xI（^X，Y）=-x（^x，Y）+yf（x（^x，Y））f（^x）=^x- X+yf（X）f（^X）xx（X，-Y=f（^X）/f（X），所以ˋY=x^（·，^x）f（^x）f（x）+^x- Xf（X）+Y。2.5.2上下解性质我们现在证明定理2.1的上下解性质。上解性质。我们首先证明了上解的性质。它源自[5]中类似的论点。让~n成为一个C∞b函数，和（to，xo）∈ [0，T]×Rbe w的严格（局部）最小点*-~n使（w）*- ν）（to，xo）=0。A.

我们首先假设to<T和F k（to，xo）<0，并朝着一个矛盾的方向努力。考虑到（2.7），^Fа（t，x，y）<0如果（t，x）∈ B和| y- ^y[~n]（t，x）|≤ ε、 来点开球B [0，T[×R，其中包含（to，xo）和一些ε>0.Sincex-1是连续的，这意味着如果（t，x）∈ B和| x+x~n（t，x）f（x）- x（x，y）|≤ εf（x（x，y）），（2.9）在可能改变B和ε之后。设（tn，xn）nbe为B中收敛到（to，xo）且w（tn，xn）的序列→ W*（致，xo）（回想一下w*与较低的半连续包络（w）相连。设置vn:=w（tn，xn）+n-1.根据命题2.2（i），我们可以找到（an，bn，νn）=γn∈ Γ和yn∈ R使得vtn，zn，γnθn≥ w（θn，^Xtn，zn，γnθn）+I（^Xtn，zn，γnθ，Ytn，zn，γnθn），（2.10），其中zn:=（x（xn，yn，yn，vn+I（xn，yn））和θ是从B（注意，^Xtn，zn，γntn=x（x（xn，yn）开始的tnof（·xn，zn，γn）之后的第一个exit时间，-yn）=xn）。在下文中，我们使用简化符号Xn、^Xn、vn和yn表示（tn、zn、γn）索引的相应数量。因为（to，xo）达到了严格的最小值w*- 这意味着vnθn≥ ι（θn，^Xnθn）+I（^Xnθ，Ynθn）+ι（2.11）对于某些ι>0。让我们像引理2.1一样，观察一下- Yn=^Xn+x^（·，^Xn）f（^Xn）- x（^Xn，Yn）f（x（^Xn，Yn））。（2.12）集χn:=（u）- f′f（ans）/2）（Xn）σ（Xn）+^f~n（·，^Xn，Yn）（Yn）-ˇYn）σ（Xn）|Yn-ˇYn|≥ε并考虑由dpndp=Mnθ定义的测量值pn，其中Mn=1-Z·∧θntnMnsχnsdWs。然后，从（2.11）、引理2.1、（2.9）和（2.12）得出ι≤ EPn[Vnθn- （^+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）]≤ vn+I（xn，yn）- （~n+I）总氮，x（x（xn，yn），-yn，yn）=vn- （tn，xn）。右侧变为0，这是必需的矛盾。b、 我们现在解释如何将上述证明修改为=T。在可能更换（t，x）7之后→ ~n（t，x）乘（t，x）7→ ~n（t，x）-√T- t、 我们可以假设t~n（t，x）→ ∞ 作为t→ T，在每个紧集的x上一致。

那么（2.9）仍然保持[T]形式的B-η、 T）×B（xo），其中B（xo）是一个围绕xo的开球，η>0。假设φ（T，xo）<G（xo）。然后，在可能改变B（xo）之后，我们得到了φ（T，·）≤ G- ιon B（xo），对于某些ι>0。然后，用a.的符号。，我们从（2.3）-（2.10）推导出vnθn≥ ^（θn，^Xnθn）+I（^Xnθ，Ynθn）+∧ ι、 其中ι：=min{（w）*-~n）（t，x）：（t，x）∈ [致-η、 T）×B（xo）}>0，θ现在是T和T之后的第一次之间的最小值，此时^x等于B（xo）。然后根据与上述相同的参数推导出对比。次解析属性。现在，我们来看看subsolution属性。同样，这个极限接近于[5]，除了我们必须考虑命题2.2（ii）中所述的动态编程原理的特殊形式。让~n成为一个C∞b函数，和（to，xo）∈ [0，T]×R是w的严格（局部）最大点*-~n使（w）*- ν）（to，xo）=0。通过[2，引理4.2]，我们可以找到一个序列（kn，tn，xn）n≥那么→ ∞, （tn，xn）是w的局部最大点*千牛- 和（tn、xn、wkn（tn、xn））→ （to，xo，w）*（to，xo））。a、 如上所述，我们首先总结为<T。设置|n（t，x）：=|（t，x）+t- tn |+|x-xn |假设F k（to，xo）>0。然后，在包含（tn，xn）、F或所有足够大的n的（to，xo）的开放邻域b上，F~nn>0。因为我们要将动力学局部化，所以我们可以修改φn，σ，u和f，使它们在紧致a外等同于0 B.然后是备注2.4a。在可能改变n之后≥ 1.我们可以找到（bn，an）∈ Akensch认为下面给出了一个强有力的解决方案：Xn=Xn+x（xn，^y[~nn]（tn，xn））+Z·tnσ（Xns）dWs+Z·tnf（Xns）dYn，cs+Z·tn（u（Xs）+ans（σf′）（Xns））dsYn=^y[~nn]（tn，xn）+Z·tnbnsds+Z·tnansdWs=x-1（^Xn，^Xn+（f^Xn:=x（Xn，-Yn）Vn=Vn+I（xn，^y[~nn]（tn，xn））+Z·tnYnsdXn，cs+Z·tn（ans）f（Xns）ds。在上面，我们设置了vn:=wkn（tn，xn）- N-1.

观察Yn的构造确保它与引理2.1的相应过程相一致。还要注意^Xntn=x（x（xn，yn），-yn）=xn，并将θnbe设为（·，^xn）存在B之后的第一次。通过应用它的引理，使用引理2.1和F^n≥ 对于B，我们得到vnθn≥ （ηn+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）+vn- ~nn（tn，xn）。设2ε：=min{t- 到|+| x- xo |，（t，x）∈ B} 。对于足够大的n，上面的公式表示vnθn≥ （wkn）-1+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）+ε+ιn，其中ιn:=（ιn- wkn-1） （tn）-1，xn-1） +vn- ~nn（tn，xn）收敛到0。因此，我们可以找到vnθn>（wkn-1+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）。现在我们可以改变子序列（kn）n≥1以这样的方式：≥ 2kn-1+ 2. 那么，vn=wkn（tn，xn）- N-1<w2kn-1+2（tn，xn），这与命题2.2（ii）相矛盾。b、 还有待考虑的是T=T的情况。如步骤1所示。，我们只解释了如何修改上面使用的论点。让（vn，kn，tn，xn）与a中的一样。我们现在设置φn（t，x）：=φ（t，x）+√T- t+| x- xn |。自从t~nn（t，x）→ -∞ 作为t→ T，我们可以找到足够大的≥ [tn，T）×B（xo）上的0，其中B（xo）是围绕xo的一个开放球。假设对于某些η>0的情况下，φ（T，xo）>G（xo）+η。那么，在可能改变B（xo）后，我们可以得出如下结论：ηn（T，·）≥ B（xo）上的G+η。我们现在使用与a中相同的构造，但θ定义为与第一次^Xnexists B（xo）之间的最小值。我们得到了vnθn≥ （ηn+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）+vn- ~nn（tn，xn）。设2ε：=min{x- xo |，x∈ B（xo）}。对于足够大的n，上面的表示是vnθn≥ wkn-1（θn，^Xnθn）1θn<T+G（^Xnθn）1θn=T+I（^Xnθn，Ynθn）+ε∧ η+ιn，其中ιn收敛为0。通过（2.3）和（H3），Vnθn>wkn-1（θn，^Xnθn）+I（^Xnθn，Ynθn），对于足够大的n。我们的结论是a。2.5.3与本节相比，我们在f>0的附加条件下工作。

（2.13）直接计算（使用（2.7）和命题1.3）表明^Fа的形式为^Fа=-t~n- B（·，f）x~n）x~n-A（·，f）x~n）xx~n- L（·，f）式中A，B和L:（t，x，p）∈ [0，T]×R×R→ R是Lipschitz连续函数。设Φ为普通微分方程Φ′（t）=f（Φ（t）），t的解∈ R.（2.15）那么Φ是R上的双射（因为f是Lipschitz，1/f是有界的），下面是粘度溶液定义的直接结果。引理2.2。设v是（2.8）的上解（分别是下解）。修正ρ>0。那么，由v（t，x）=eρtv（t，Φ（x））定义的v是0=ρφ的上解（分别是下解）- t~n-B（Φ，e）-ρtx~n）/f（Φ）-A（Φ，e）-ρtx~n）f′（Φ）/f（Φ）x~n-A（Φ，e）-ρtx~n）xx~n/f（Φ）- eρtL（Φ，e）-ρt终端条件下的xа（2.16）а（T，·）=eρTG（Φ）。（2.17）为了证明比较适用于（2.8），必须证明比较适用于（2.16）-（2.17）。对于后者，这是以下结果的结果。这是另一个标准，但我们提供了完整的证据，缺乏精确的参考。定理2.2。设O是R的开子集，u（分别为v）是[0，T）×O的上半连续子解（分别为下半连续s上解）-t~n-\'B（·e）-ρtx~n）x~n-“A（·e）-ρtx~n）xx~n-eρt′L（·e-ρtx~n=0（2.18），其中ρ>0为常数，\'A，\'B和\'L:（t，x，p）∈ [0，T]×O×R→ R是Lipschitz连续函数。证明u和v有界且满足u≤ v在[0，T）×O的抛物线上，然后u≤ 关于[0，T]×O证明的闭包。假设与之相反的是sup[0，T]×O（u）- v） n>0时，定义n:=sup（t，x，y）∈[0，T）×Ou（t，x）- v（t，y）-n | x- y|-2n | x|.然后，存在大于0的值，因此≥ ιn足够大。

因为你和瓦雷在一起≤ 在域的抛物线边界上，我们可以找到（tn，xn，yn）∈ [0，T）×达到上述上确界。通常，我们应用Ishii引理，结合u和v的子解和超解性质，以及\'A，\'B和\'L的Lipschitz连续性来获得，符号为pn:=n（xn- yn），ρ（u（tn，xn）- v（tn，yn））≤ [B（xn，e）-ρtn（pn+nxn））-\'B（yn，e-ρtnpn）]pn+nxn\'B（xn，e-ρtn（pn+nxn））+3n[\'A（xn，e-ρtn（pn+nxn））-\'A（yn，e-ρtnpn）+2n′A（xn，e-ρtn（pn+nxn））+eρtnL（xn，e）-ρtn（pn+nxn））-L（yn，e）-ρtnpn）≤ Cn（xn- yn）+xn- yn |+nxn+n对于一些不依赖于n的常数C，鉴于下面的引理2.3，以及ρ>0和u（tn，xn）- v（田纳西州，伊恩）≥ Θn≥ ι、 上述情况导致了足够大的矛盾。最后，我们给出了在上述论证中使用的技术引理的证明。引理2.3。设ψ是[0，T]×R上的有界上半连续函数，ψi，i=1，2是R上的两个非负下半连续函数，例如{ψ=0}={0}。对于n>0，设置Θn:=sup（t，x，y）∈[0，T]×Rψ（t，x，y）- nψ（x）- y）-nψ（x）并假设存在（^tn，^xn，^yn）∈ [0，T]×Rsuch:Θn=ψ（^tn，^xn，^yn）- nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）。然后，在可能传递给子序列之后，（i）limn→∞nψ（^xn）- ^yn）=0和limn→∞nψ（^xn）=0。（二）林→∞Θn=sup（t，x）∈[0，T]×Oψ（T，x，x）。证据为便于以后使用，请设置“R:=R”∪ {-∞} ∪ {∞} 注意，我们可以将ψ扩展为[0，T]×`R上的有界上半连续函数。集合M:=sup（T，x）∈[0，T]×Rψ（T，x，x），并选择一个序列（tn，xn）n≥1.如此→∞ψ（tn，xn，xn）=M和limn→∞nψ（xn）=0。设C为ψ的上界。然后，C- nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）≥ ψ（^tn，^xn，^yn）- nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）≥ ψ（tn，xn，xn）-nψ（xn）≥ M- εnwheren→ 0

因为ψ和ψ是非负的，所以n→ ∞ 在上述情况下，不平等导致→∞ψ（^xn）- ^yn）=0这意味着limn→∞（^xn）- ^yn=0，假设{ψ=0}={0}。在可能传递到子序列之后，我们可以假设limn→∞^xn=limn→∞^yn=^x∈“R和limn→∞^tn=^t∈ [0，T]。因为ψ是上半连续的，所以上面的结果是toM- 林恩芬→∞nψ（^xn）- ^yn）+nψ（^xn）≥ ψ（^t，^x，^x）- 林恩芬→∞nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）≥ 林尚→∞ψ（^tn，^xn，^yn）- nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）≥ M、 我们的索赔如下。备注2.5。由上可知，只要它们有界，例如，如果Gis有界，那么w*≥ W*. 由于施工w*≤ W≤ W*, 这三个函数等于（2.8）的唯一有界粘性解。2.5.4光滑性我们在这里证明了定理2.1的证明，证明了当f>0，G有界且G，G′，G′H"older连续时，光滑解的存在性成立。（2.19）注意，假设inf>0和（H1）意味着Φ-1是C，回忆（2.15）。因此，根据第2.5.3节中相同的参数，C1,2（[0，T）×R的存在性）∩（2.16）-（2.17）的C（[0，T]×R）解意味着C1,2（[0，T）×R）的存在∩C（[0，T]×R）溶液为（2.8）。至于（2.16）-（2.17），这是[11，Thm 14.24]在（H1）和（2.19）下的结果。还有一点需要说明的是，解可以有界，那么第2.5.3节的比较结果将意味着w就是这个解。同样，它需要使用（2.16）-（2.17）。设φ为C1,2（[0，T）×R）∩ （2.16）（2.17）的C（[0，T]×R）溶液。设St，xbe由t定义，xs=x+ZstuS（S，St，xs）ds+ZstσS（S，St，xs）dWs，S≥ t、 式中：uS:=B（Φ，e）-ρtx~n）/f（Φ）-A（Φ，e）-ρtx~n）f′（Φ）/f（Φ）σS:=A（Φ，e）-ρtx~n）/f（Φ）。请注意，sde的系数可能仅为局部Lipschitz。然而，它们是有界的（回忆（H1）和（2.19）），这足以通过标准定位程序确定解决方案。