几乎可以肯定的是，对冲会带来永久性的价格影响

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英文标题：
《Almost-sure hedging with permanent price impact》
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作者：
B. Bouchard and G. Loeper and Y. Zou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a financial model with permanent price impact. Continuous time trading dynamics are derived as the limit of discrete rebalancing policies. We then study the problem of super-hedging a European option. Our main result is the derivation of a quasi-linear pricing equation. It holds in the sense of viscosity solutions. When it admits a smooth solution, it provides a perfect hedging strategy.
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中文摘要：
我们考虑一个具有永久价格影响的财务模型。连续时间交易动态是作为离散再平衡政策的限制而导出的。然后研究了欧式期权的超套期保值问题。我们的主要结果是推导了一个准线性定价方程。它在粘度溶液的意义上成立。当它允许一个平滑的解决方案时，它提供了一个完美的对冲策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Almost-sure_hedging_with_permanent_price_impact.pdf (330.18 KB)

2022-5-7 22:49:50 上传

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关键词：永久性 Quantitative Applications Differential QUANTITATIV

几乎可以肯定的是，用永久价格B进行套期保值。布查德*和G.Loeper+和Y.Zou2018年10月17日摘要我们考虑具有永久价格影响的金融模型。连续时间交易动态是作为离散再平衡政策的限制而导出的。然后研究了超套期保值的欧式期权问题。我们的主要结果是推导了一个拟线性的定价方程。它在粘度溶液的意义上成立。当它提供一个平滑的解决方案时，它提供了一个完美的对冲策略。关键词：套期保值，价格影响。AMS 2010科目分类：91B28；93E20；49L20简介Black和Scholes期权套期保值方法的两个基本假设是，价格动态不受套期保值者行为的影响，并且套期保值者可以以价格过程的瞬时价值交易不受限制的资产金额。换句话说，它依赖于缺乏市场影响和流动性成本或流动性约束。这项工作解决了价格动态模型下的期权套期保值问题，该模型直接包含套期保值者的交易活动，因此违反了这两个假设。*Ceremed、巴黎多芬大学和CREST-ENSAE。ANR Liquirisk和Avenir投资公司（ANR-11-IDEX-0003/Labex Ecodec/ANR11-LABX-0047）支持的研究+法国巴黎银行（BNP Paribas）和FiQuant——金融量化委员会主席（Ceremed、巴黎多芬大学（UniversitéParis Dauphine）和CREST-ENSAE）。在文献中，我们发现了许多与该主题相关的研究。其中一些包含流动性成本，但没有价格影响，价格曲线不受交易策略的影响。在[6]的设置中，这不会影响超级混合价格，因为交易基本上可以在曲线起点的边际现货价格以有界变化的方式进行。

然而，如果对可接受的策略施加额外的限制，这将导致一个修正的定价方程，该方程在解的二阶导数中显示一个二次项，并使定价方程完全非线性，甚至不是无条件的抛物线，见[7]和[20]。文献的另一个分支侧重于通过清算条件推导价格动态。在论文[9]、[16]、[15]中，作者研究了“参考”和“计划”交易者（即期权套期保值者）产生的供求曲线，以建立修正的价格动态，但不考虑流动性成本，另见[12]。这种方法也适用于非线性偏微分方程，但非线性来自修改的波动性过程，而不是流动性成本源项。最后，该系列论文[17]、[19]、[14]通过对可接受交易策略的“伽马”施加限制，间接地解决了流动性问题，没有明确建模流动性成本或价格影响。最近，[13]和[1]考虑了一种新方法，其中价格动态由经典维纳过程和（局部）线性市场影响项之和驱动。线性市场影响机制导致了一个修正的波动过程，以及一个非平凡的平均执行价格。

然而，交易人在股票中以正确的头寸开始套期保值，而不必解除最终头寸（这相当于交割的“备兑”期权）。这些综合效应导致完全非线性的pde，给出准确的复制策略，这并不总是抛物线，取决于瞬时市场影响（流动性成本）和永久市场影响之间的比率b。在本文中，我们建立在与[13]相同的框架上，在这种情况下，内在的市场影响等于永久性影响（无放松效应），并进一步考虑（可能）在到期时解除投资组合的影响，以及建立初始投资组合的影响。因此，在建立对冲投资组合时，现货在初始时间“跳跃”，在解除赎回时，现货在到期时“跳跃”（取决于支付的性质，也可以在股票中进行交割）。在这个框架中，我们发现最优的超级复制策略遵循一种改进的准线性Black和Scholes pde。尽管und Erling模型与第二作者[13]提出的模型相似，但定价pde在本质上是不同的（准线性与完全非线性）。关于数学方法，虽然在[13]中，作者着重于通过验证方法展示精确的复制策略，但在这项工作中，我们遵循随机目标方法，并从动态规划原理推导pde。困难在于，由于市场影响机制，状态过程必须由资产价格和套期保值者的投资组合（即套期保值者扣留的风险资产的数量）来描述，这导致了高度奇异的控制问题。

通过适当的变量变化，将风险资产的初始头寸降为零，并根据组合清算后的资产价格过程陈述几何动态规划原理的一个版本：如果交易者立即清算其头寸，将获得的价格。论文的结构如下。在第1节中，我们介绍了影响规则，并推导了连续时间交易动态作为离散时间再平衡政策的限制。超级套期保值问题在第二节被设定为一个随机目标问题。我们首先证明了几何动态规划的一个合适版本，然后推导出粘性解意义下的相应pde。唯一性和正则性是在适当的假设下建立的。最后，我们进一步讨论了持续影响系数的情况，以便更好地理解“对冲策略”。一般符号。给定一个函数φ，我们用φ′和φ′表示其一阶和二阶导数（如果存在）。当φ依赖于几个参数时，我们使用符号xφ，xxφ表示关于x参数的一阶和二阶偏导数，并写xyφ表示（x，y）-参数中的交叉二阶导数。报纸上到处都是，Ohm 是R+上从0开始的连续函数的正则空间，P是维纳测度，W是正则过程，F=（Ft）t≥0是其增强的原过滤。所有随机变量均定义在(Ohm, F∞, P） 。L（resp.L）表示（resp.square integrable）Rn值随机变量的空间，而Lλ（resp.Lλ）表示可预测Rn值过程的集合（resp.使得kθkLλ：=E[R∞|θs |ds]）。

整数n≥ 1由上下文给出，|x |表示x的欧几里德范数∈ 注册护士。给定一个随机过程ξ，我们总是用ξ表示连续部分。1投资组合和价格动态本节致力于推导我们的连续时间交易模型。我们首先考虑的情况是，交易信号由连续的It过程给出，股票头寸在离散时间内重新平衡。在这种情况下，股票价格和财富过程的动力学是根据Ourict规则给出的。第一个连续时间交易动态是通过让两个连续交易之间的时间消失而获得的。然后，我们将跳跃作为短期内持续交易的极限。我们这里只限于一个股票市场。这只是为了简单起见，向多维市场的扩展只是一个符号问题。1.1影响规则我们通过影响函数F对策略对价格过程的影响进行建模：购买（最小）数量δ的价格变化du∈ 如果交易前资产价格为x，则股票的R为δf（x）。购买额外δ单元的成本由δx+δf（x）=δZδδ（x+f（x）ι）dι给出，其中δδ（x+f（x）ι）dι应解释为每个额外单元的平均成本。两次交易之间τ≤ τ、 股票的动力学由随机微分方程dxt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt的强解给出。在这篇论文中，我们假设∈ Cband（严格地）为正，（u，σ，σ-1） 是Lipschitz和有界的。（H1）备注1.1。a、 我们在这里限制一个影响规则，它在订单的大小上是线性的。但是，请注意，在下文中，它将仅适用于最小尺寸的订单（在限制范围内）。

因此，通过考虑更一般的冲击规则δ7，可以获得下面的s am最终动态（1.22）-（1.23）→ F（x，δ）当满足F（x，0）=ΔδF（x，0）=0和δF（x，0）=F（x）。见下文备注1.2。否则，对于我们的分析，我们只需要考虑冲击函数的值和斜率δ=0。b、 这种函数的一个典型例子是F=x在哪里x（x，δ）：=x（x，δ）- x，（1.1），其中x（x，·）定义为x（x，·）=x+Z·f（x（x，s））ds的解。（1.2）曲线x具有自然解释。对于小尺寸的订单ι、 股票价格从x跳到x+ιf（x） x（x，ι). 通过另一个订单ι使其再次移动到大约x（x（x，ι),  ι） =x（x，2）ι） 等传递给lim itι → 0，但保持总交易规模等于δ提供了渐进的价格变动等于x（x，δ）。该特定曲线将在我们的分析中发挥核心作用，参见第1.3.1.2节从连续信号到连续时间交易限制的离散再平衡我们首先考虑的情况是，交易员希望持有的股票数量是由形式Y=Y+Z·bsds+Z·asdWs的连续It过程Y给出的，（1.3）式中（a，b）∈ A:=∪Ak，Ak:={（a，b）∈ Lλ：|（a，b）|≤ kdt×dP- a、 e.}表示k>0。为了推导我们的连续时间交易动力学，我们考虑时间网格上相应的离散时间再平衡策略集Tni:=iT/n，i=0，n、 n≥ 1，然后传递到极限n→ ∞.如果交易者只在离散时间tni改变其投资组合的组成，那么他在每个时间间隔[tni，tni+1]持有Ytnistock。

除此之外，在t≤ T isYnt:=n-1Xi=0Ytni{tni≤t<tni+1}+YT{t=t}（1.4），购买的股份数为δnt:=nXi=1{t=tni}（Ytni）- 伊特尼-1).根据我们的影响规则，股票价格过程的相应动力学为xn=X+Z·|u（Xns）ds+Z·∑（Xns）dWs+nXi=1[tni，T]δntnif（Xntni-), （1.5）其中Xis是常数。为了描述投资组合过程，我们提供了与股票头寸相关的现金持有量和潜在金额YnXn之和的动态：Vn=现金头寸+YnXn。（1.6）注意，这不是投资组合的清算价值，Yn=0时除外，因为Ynstocks的清算将对市场产生影响，不会产生等于YnXn的收益。然而，如果我们记住Yn，这对夫妇（Vn，Yn）给出了投资组合中现金和股票的确切组成。通过对语言的轻微滥用，我们称之为投资组合价值或财富过程。假设无风险利率为零（为了便于标注），其动力学由Vn=V+Z·Yns给出-dXns+nXi=1[tni，T]（δntni）f（Xntni）-), （1.7）或等效YVn=V+nXi=1[tni-1，T]Ytni-1（Xn·∧tni-- Xntni-1） +nXi=1[tni，T]（δntni）f（Xntni）-) + 伊特尼-1δntnif（Xntni-), （1.8）其中V∈ R.让我们来评论一下这个公式。右边的第一项对应于严格在两次交易之间的投资组合价值演变；它由持有的股份数量乘以价格增量得出。当tni发生规模为δNTNIO的交易时，购买股票的成本为2-1（δntni）f（Xntni）-) + δNtinxNtni-但除了YNTNI之外，它还提供了更多的股票-= 伊特尼-1已在投资组合中的单位。在交易产生价格变动后，这些股票在Xntni进行评估。

du值随价格移动而增加，因此附加位置为δntniXntni+Yntni-（Xntni）- Xntni-).自Xntni以来- Xntni-= δntnif（Xntni-), 我们得到了（1.8），其紧凑版本如（1.7）所示。我们的连续时间交易动态是通过传递给limitn获得的→ ∞, i、 e.考虑越来越快的再平衡战略。提议1.1。设Z:=（X，Y，V），其中Y定义为（1.3）f或一些（a，b）∈ A、 和（X，V）solvesX=X+Z·σ（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYs+Z·（u（Xs）+as（σf′（Xs））ds（1.9）和V=V+Z·YsdXs+Z·asf（Xs）ds。（1.10）将Zn:=（Xn，Yn，Vn）定义为（1.5）-（1.4）-（1.7）。然后，存在一个常数C>0，这样的常数sup[0，T]E|锌- Z|≤ Cn-1对于所有n≥ 1.证据。这遵循标准论点，我们只提供主要观点。在这个证明中，我们用C表示一个不依赖于n或i的一般正常数≤ n、 而且可能会随着生产线的变化而变化。在dt×dP-a.e.意义上，我们将重复使用（H1）和a和b被某个常数k所限定的事实。a、 这个过程的收敛是明显的：sup[0，T]E|伊恩- Y|≤ Cn-1.（1.11）为了以后使用，设置Xn:=X-Xnand还观察到es timatesup[tni-1.tni）E|Xn|≤ 嗯|Xntni-1 | i（1+Cn）-1） +Cn-1、（1.12）是标准。

现在，我们设置Xnt:=Xnt+Ant+Bnt，tni-1.≤ T≤ tni，地点：=Zttni-1f（Xns）dYs+Zttni-1as（σf′）（Xns）dsBnt:=Zttni-1（Y）- 伊特尼-1） （uf′+σf′）（Xns）ds+Zttni-1（Y）- 伊特尼-1） （σf′）（Xns）dWs。因为Antni+Bntni=δntnif（Xntni-), 我们有Xntni=Xntni。设置~Xn:=X-~Xn，β：=bf+aσf′和β：=af，所以|~Xnt |=2~Xnt[（u+βt）（Xt）- （u+βt）（Xnt）]dt+[（σ+βt）（Xt）- （σ+βt）（Xnt）- （Yt）- 伊特尼-1） （σf′（Xnt）]dt- 2.~Xnt（Yt）- 伊特尼-1） （uf′+σf′）（Xnt）dt+2~Xnt[（σ+βt）（Xt）- （σ+βt）（Xnt）]dWt- 2.~Xnt（Yt）- 伊特尼-1） （σf′）（Xnt）dWt。鉴于（1.11）-（1.12），这意味着|~Xnt | i≤ 嗯|Xntni-1 | i+CE“Zttni-1(|~Xns |+|Xs- Xns |+| Ys- 伊特尼-1 |）ds#≤ 嗯|Xntni-1 | i（1+Cn）-1） +CE“Zttni-1|~Xns | ds+n-2#，因此-1.tni]Eh|~Xn | i≤ 嗯|Xntni-1 | i（1+Cn）-1） +Cn-2，（1.13）由Gronwall引理。因为Xntni=Xntni，这表明|Xntni | i≤ Cn-1就我所知≤ n、 把这个不等式代入（1.12），然后我们推导出sup[tni-1.tni]E|Xn|≤ Cn-1就我所知≤ n、 （1.14）b.我们现在考虑差异V-越南。由（1.8）可知Vntni=Vntni-1+Ztnitni-1Ytni-1u（Xns）ds+Ztnitni-1Ytni-1σ（Xns）dWs+Ztnitni-1.asf（Xns）+Ytni-1as（f′σ）（Xns）ds+Ztnini-1Ytni-1f（Xns）dYs+Ztnitni-1α1nsds+Ztnitni-1α2nsdws，其中，通过（1.11），α1和α2是满足sup[tni]的自适应过程-1，tni）E[|α1n |+|α2n |]≤ Cn-1.鉴于（1.11）-（1.14），这导致Vntni=Vntni-1+Vtni- Vtni-1+Ztnitni-1γ1nsds+Ztnitni-1γ2nsdWs（1.15），其中γ1和γ2是符合SUP[tni]要求的适配工艺-1，tni）E[|γ1n |+|γ2n |]≤ Cn-1.