负截距扇区中随机变量截距的强度

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英文标题：
《The intensity of the random variable intercept in the sector of negative
  probabilities》
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作者：
Marcin Makowski, Edward W. Piotrowski, Jan S{\\l}adkowski, Jacek Syska
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider properties of the measurement intensity $\\rho$ of a random variable for which the probability density function represented by the corresponding Wigner function attains negative values on a part of the domain. We consider a simple economic interpretation of this problem. This model is used to present the applicability of the method to the analysis of the negative probability on markets where there are anomalies in the law of supply and demand (e.g. Giffen\'s goods). It turns out that the new conditions to optimize the intensity $\\rho$ require a new strategy. We propose a strategy (so-called $\\grave{a}$ rebours strategy) based on the fixed point method and explore its effectiveness.
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中文摘要：
我们考虑一个随机变量的测量强度$\\rho$的性质，对于该随机变量，由相应的Wigner函数表示的概率密度函数在域的一部分上达到负值。我们考虑对这个问题的简单经济解释。该模型用于说明该方法在分析市场上的负概率时的适用性，在市场上，供求规律存在异常（例如吉芬的商品）。结果表明，优化强度$\\rho$的新条件需要一种新策略。我们提出了一种基于定点方法的策略（所谓的$\\grave{a}$reboors策略），并探讨了其有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Quantum Physics        量子物理学
分类描述：Description coming soon
描述即将到来
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PDF下载：
--> The_intensity_of_the_random_variable_intercept_in_the_sector_of_negative_probabilities.pdf (405.62 KB)

2022-5-7 23:41:27 上传

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关键词：随机变量 Quantitative Applications QUANTITATIV Probability

负概率区间中随机变量截距的强度。Marcin Makowskia，Edward W.Piotrowskia，Jan Sladkowskib，Jacek Syskab，Bialystok大学数学学院，Pl 15245 Bialystok，Ciolkowskiego 1M，波兰宾斯坦物理学院，西里西亚大学，Pl 40007卡托维兹，尤文西特卡4，PolandAbstracts我们考虑一个随机变量的测量强度ρ的性质，对于该随机变量，由相应的Wigner函数表示的概率密度函数在域的一部分上达到负值。我们考虑对这个问题的简单经济解释。该模型用于说明该方法在分析市场上的负概率时的适用性，在市场上，供求规律存在异常（例如，吉夫恩商品）。结果表明，优化强度ρ的新条件需要新的策略。我们提出了一种基于定点法的战略（所谓的“再创业战略”），并探讨了其有效性。关键词：负概率；吉夫恩的商品`重新启动战略；供应和需求1。引言我们讨论了密度分布为pdf（p）：=W（p，q=const.）的实随机变量X的测量强度ρ的性质R∞-∞W（p，q=const.）电子邮件地址：makowski。m@gmail.com（马辛·马科夫斯基），qmgames@gmail.com（爱德华·W·皮奥特罗夫斯基），1月。sladkowski@us.edu.pl（Jan Sladkowski），jacek。syska@us.edu.pl（Jacek Syska）2021年11月17日提交给爱思唯尔的预印本受限于域p a、 W（p，q）是某个量子态的维格纳分布，对于该量子态，函数W（p，q）不是正定义的，其中qan和p是共轭变量。函数ρ的定义如下：ρ≡ ρ（pdf，a）：=-R-A.-∞p·pdf（p）dp1+R-A.-∞pdf（p）dp。（1） 它自然与交易（购买/出售）背景下的测量强度有关。

这里，参数a表示卖家在低于该价格时将始终决定不出售给定商品，而上述商代表一个周期（买入/卖出）的回报率。假设连续买卖周期的持续时间是一个随机变量，商（1）用概率密度的语言表示，整个周期内利润率平均值除以该周期平均持续时间的商。第2节给出了模型和公式（1）的详细说明。（1）的性质以前在经典和量子市场博弈[1,2,3]以及信息论背景[4,5,6]中进行过研究。我们设想，所提出的方法在统计学（参数估计）中具有潜在的有趣应用[7]。随机变量的经典定义意味着其分布函数的单调性。这一事实导致了相应强度ρ的一个有趣性质：即该函数在其执行点处有一个（全局）最大值[1]。函数pdf（x）为非负的假设被用于证明这个性质。因此，有趣的是，当这个假设被违背（所谓的负概率）时，检查ρ的极值性质将如何变化。为了讨论的目的，采用了对负概率的旧解释。自从罗伯特·吉芬船长（19世纪40年代[8，9]）第一个注意到所谓的吉芬商品存在非单调的市场需求时，这种问题就已经为人所知（现代对这一发现的描述是对价格对数的供给/需求曲线进行公式化的结果）。对ρ这种情况的分析仅限于量子谐振子的第一激发态。

这种状态在信息论测量中起着特殊的作用，这种测量需要对分布进行分析，以最小化Fisher信息函数（参见[4,5]中的主观供求曲线）。例如，作为量子模型特征的ρ的新性质可以用来测试负概率态的存在性。他们还提出了一种策略，以最大限度地提高涉及商品的交易的利润（见第6条）。简单的市场模式。利润强度本节中介绍的模型已被彻底研究，详情见[1,3,4,5]。这是我们进一步考虑的基础。让我们考虑一个最简单的市场事件，即交换两种商品，我们称之为资产和货币，用 和美元。提议的模式包括两步。第一步是理性购买资产 （用美元兑换). 第二步是随机（立即）出售购买的资产（交换 美元）。让V和V$分别表示资产和金钱的某些给定金额。如果在某个时间t，资产按V$：V的比例交换然后我们称之为资产的对数报价号码≡ ln（V$）- ln（V）).如果交易者购买了一定数量的资产 在报价时，立即出售，然后在报价时出售，此时他的利润将等于侵权，t=pt- pt。让随机变量ξ在一个周期内的期望值（买入卖出或反之）用E（ξ）表示。如果E（rt，t+t）和E（t）是有限的，其中t是周期的长度，那么我们定义了一个周期的强度ρt≡E（rt，t+t）E（t）。

（2） 我们做出以下假设：o理性购买——受固定取款价格约束的购买-a是资产的对数报价, 高于此，交易者放弃买入。当取款价格设置为-∞.o 平稳过程——随机变量p（对数引号）的概率密度pdf（p）不依赖于时间E（p）=0。让x表示理性购买不会发生的概率：x:=E（[p>-a] ，式中[P]=（1如果P为真0，则理性购买时间的期望值等于（1）- x） +2x（1）- x） +3x（1）- x） +4x（1）- x） +··=1- x、 因此，整个循环的平均长度为byE（T）=1+E（[p--a] )-1.整个周期的对数回报率isrt，t+t=-P→+ P→其中随机变量p→（购买时的报价）分配仅限于间隔(-∞, -a] ：pdf→（p） =[p——-a] E（[p——-a] ）pdf（p）。随机变量p→（卖出时的报价）具有概率密度pdf（p）。经过简单计算（详情见[1]），使用公式（2），我们得到整个循环后的预期利润值：ρ（a）=-R-A.-∞p·pdf（p）dp1+R-A.-∞pdf（p）dp。（3） 很容易证明以下结果[1]：定理1。最大值a*函数ρ（a）的位置在函数的固定点（ρ（a*) = A.*). 这一点是存在的，是唯一确定的，是积极的。这个定理使我们得出了一个有趣的结论。交易者应将取款价格固定在平均报价以下，以便在平均买入卖出周期内预测差异。这样的程序是最佳的。知道任意常数的对数引号是很有必要的，因为重要的是利润，利润总是不同的引号。3.

供求曲线供求理论是市场价格的经济模型。供应曲线是产品价格和卖方愿意且能够供应的产品数量之间关系的图形表示。而需求曲线是产品价格和需求量之间关系的图形表示。对这些依赖关系的研究是经济分析的基础。供求的两个基本规律是：o随着产品价格的上涨，需求量下降；同样，随着产品价格的下降，需求量也会增加随着商品价格的上涨，供应商将试图通过增加销售数量来实现利润最大化。因此，需求和供给是价格的单调函数。供需曲线有一个有趣的概率解释[1,4,5]。让我们考虑函数：Fs（x）=Zx-∞η（p）dp（供应），（4）Fd（x）=Z∞xη（p）dp（需求），（5）其中η，η是适当的概率密度函数，通常情况下，由于市场的各种属性（垄断、特定市场法规、税收）不同。供给函数Fs（x）的值由以ex价格购买一个单元的可能性给出（在需求情况下类似）。关于这种供需曲线解释的更多细节可以在[4,5]中找到。需求/供给定律的例外正如我们前面提到的，需求和供给是价格的单调函数。在概率解释中，它意味着概率密度是非负的。这个假设用于定理1的证明。事实证明，市场上有时会观察到违反供求规律的行为。其中一个最著名的例子是已经提到的Iff’s商品[8,9]。它是一种随着价格上涨人们消费更多的产品。

在我们的惯例中，这种情况对应于放弃概率密度为非负的假设。让我们看看它如何影响这类市场的交易强度和策略。为此，我们引入Wigner拟概率分布[10]：W（p，q）=πe-P-q(-1+2p+2q）。它是描述一维谐振子第一激发态的函数。在我们的经济学解释中，它对应于违反供求规律的最基本（单一）变体。因此，概率密度的形式为PDF（p，q=常数）：=W（p，q=const.）R∞-∞W（p，q=const.）数据处理（6） 条件q=const。可以解释为特定的市场属性，表明违反供求规律的程度。这一常数对策略有效性的影响将在接下来的工作中讨论。5.示例-3-2-1-0.4-0.20.20.40.6图1:pdf（p，q=0.5）函数图。让我们考虑一个例子，在存在违反供求规律的情况下，交易者的情况如何变化。假设Q=0.5。相应的pdf绘制在图1中。该函数在某个区间为负（如果q∈ (-√,√)). 这导致累积分布函数（供给函数）不是单调的（与需求函数类似）。可以在图2中观察到-4-20.20.40.60.81.0图2:cdf（p，q=0.5）函数图。在上述假设下，我们得到了近似强度函数ρ（a），见图3-1.0-0.50.51.00.550.600.65图3:pdf的ρ（a）函数示例（p，q=0.5）。正如我们所见，不动点定理在这里不起作用！我们有最大的固定点，但不是全球的。6.“重新启动战略”我们在这里指的是现实的经济形势，因此，我们假设FSFD为非负。

在这种情况下，预测值ρ（a）的全局最大值为fora=-s1- 2q，（7）和最小fora=s1- 2q，（8）其中| q |∈ D=[α，√- ].参数α的值≈ 0.38375对应于参数q的极限，超过该极限，函数Fs和Fd将获得非负值。部门(√- ,√), 哪里√-  ≈ 0.69590，可以称为经典优化的非经典有效区。这是这些值q的一个区域，我们观察到供应/需求定律的减损（函数Fs和Fd不是单调的），但这里定理1的定理成立，即函数ρ（a）具有全局最大值固定点。该区域仅约为区间的3.47%【α，√]. 此外，q值接近√, 在函数F和F变得单调之后，市场会根据供求规律进行行为。因此，对于该部门的q，我们观察到违反供需法的情况。它们非常小，几乎不会迫使玩家改变策略。请注意，通过充分调整参数q供应（或需求）曲线，我们可以使采用经典策略（执行点搜索）的玩家表现出较小的优势强度。上述示例很好地说明了这一点，见图3。其特点是函数ρ的值达到其局部最小值，在固定点接近局部最大值。此外，ρ的全局最大值（7）与最小值（8）的符号相反。这就提出了一种新的策略：如果q∈ R\\D我们在ρ（a）函数的固定点处获得全局最大值。定位固定点a*= ρ（a）*) 然后采取行动-A.*作为一个新的价格。让我们称之为“重启战略”。这样做可以让球员达到接近其最大的职业强度。

图4显示了使用q=0.5的该策略的结果图。-1.0-0.50.51.00.550.600.65-1.0-0.50.51.00.550.600.65的效果图4：支持强度的值。使用经典的定点策略（左点）和“重新启动”策略（右点）`根据q值（最高值在q=0.5附近）的不同，重新启动策略也有所不同。表1显示了（对于某些q）所讨论策略的利益强度值及其最大值。从表1中可以看出：ρ函数的值：全局最大值（A）、定点策略（B）、重燃策略（C）。q参数的值q=0.38375 0.50000 0.6000 0.65000 0.68000 0.69590 0.70700A 1.34619 0.66531 0.47086 0.41719 0.39325 0.38267 0.37618B 0.673230.52335 0.43861 0.40697 0.39063 0.38267 0.37738C 1.32678 0.66488 0.46954 0.41395 0.38799 0.37596 0.36817 q的增加了经典策略的有用性（对于接近极限值的q，它给出了更好的结果，例如表1中的q=0.68）。然而，当比较这两种策略对Q的所有容许值时，“重新启动策略在其大部分部分都会给出更好的结果。”。此外，即使在经典策略有效的情况下，如果在相同的条件下使用，也可以理解为使收益强度ρ接近其最大值。重新启动策略产生的结果稍微偏离最大值。对于经典策略，情况并非如此（见表1中的q=0.38375）。结论寻找最优解和映射的不动点是数学的基本任务之一（如Brouwer定理、Banach压缩映射原理等）。这些问题从一开始就与它们在博弈论和经济学[11]、统计学[7]等领域的应用密切相关[12,13]。

本文研究了负概率区间内随机变量的测量强度。事实证明，在这种情况下，强度ρ的参数可以获得接近最大值的值，该参数与固定点ρ相反。所讨论模型的一个有趣特性是，存在一个对经典优化有效的非经典部门。这意味着定点优化模型对非经典概率（即负概率）区域内概率密度分布的小波动不敏感。这导致了经典策略的稳定性。这一独特的结果值得在更广泛的背景下进行探索。对本文模型的交易解释表明，负概率分析也可用于研究违反经典供求规律的市场。我们设想，这可能会在最近几年经济物理学领域的密集发展中带来有趣的研究。致谢这项工作得到了波兰国家科学中心的支持，项目编号为DEC-2011/01/B/ST6/07197。参考文献[1]Piotrowski，E.W.，Sladkowski，J，《商品化数学家模型：利润强度》，Physica A 318（2003）496-504。[2] Piotrowski，E.W.，量子市场博弈中简单量子策略的不动点定理，Physica A 324（2003）196-200。[3] 《量子谈判游戏》，Physica A 308（2002）391-401。[4] Piotrowski，E.W.，Sladkowski，J.，Syska，J.，费舍尔信息解决方案最小供需的主观建模，Physica A 389（2010）4904-4912。[5] Piotrowski，E.W.，Sladkowski，J.，主观供需模型：最大玻尔兹曼/香农熵解，J.Stat.Mech。