CEV随机环境中的Black-Scholes

它接近于现有模型，但不支持该模型，并充分利用了赫斯顿模型对矩母函数的认识。如第2.1.1节所示，满足（2.1）的股票价格的矩母函数完全由随机变量V的矩母函数决定。然而，即使后者的密度已知于m（方程式（2.5）），矩母函数对于p的一般值也不是t。在p=0（反射或吸收边界）和p=1/2的情况下，一个封闭形式的表达式是可用的，直接计算是可能的。2.3.1. 矩母函数的计算。用∧V0，r，∧V0，a和∧V1/2表示p=0时随机变量V的力矩生成函数（下标‘r’/‘a’表示原点的反射/吸收行为）和p=1/2。以下量可直接从[52，第一部分，第6.4节]计算得出：（2.6）λV0，a（u）=logmt+exp（uξt）- 2y）ue2uyEuξt+yξ√2t+ e2uy- 1.- Euξt- yξ√2t,∧V0，r（u）=对数经验（uξt）- 2y）ue2uyEuξt+yξ√2t+ e2uy+1+Euξt- yξ√2t,∧V1/2（u）=2yu2- uξt，其中E（z）≡√πRzexp(-x） dx是误差函数。请注意，当吸收情况下p=1/2和p=0时，在计算这些计算时，需要考虑（2.4）中0处的质量。2.3.2. 罗杰·李的机翼公式。

在[53]中，罗杰·李（Roger Lee）提供了一个精确的联系，即机翼中的总隐含斜率与股价矩母函数域的边界之间。更准确地说，对于任何τ≥ 0，设u+（τ）和u-（τ） 定义为asu+（τ）：=sup{u≥ 1:|∧Z（u，τ）|<∞} 你呢-（τ） ：=sup{u≥ 0:|∧Z(-u、 τ）|<∞}.6 ANTOINE JACQUIER和PATRICK Roome隐含波动率στ（k）然后满足↑∞στ（k）τk=ψ（u+（τ）- 1） =：β+（τ）和lim supk↓-∞στ（k）τ| k |=ψ（u）-(τ))) =: β-（τ） ，其中函数ψ由ψ（u）=2定义- 4.pu（u+1）- U. 将（2.6）和（2.2）结合起来，得到了当p∈ {0, 1/2}. 很明显，当np=0时，u±（τ）=∞ 对于任何τ≥ 0，因此le ft和右翼的坡度等于零（对于小的和大的打击，总方差为）。在p=1/2的情况下，爆炸将尽快发生u（u）- 1） τξt- 2.= 所以u±（τ）=±r1+ξtτ，和β-(τ) = β+(τ) =ξ√tτpξtτ+16- 4., 对于所有τ>0。左右斜率相同，但乘积ξt可以在被观测的机翼上直接校准。注意，映射τ7→ β±（τ）为凹形，从0增加到2。在[24,25]中，作者强调了微笑的小时间行为与其尾部渐近性之间的一些对称性。我们在这里得到了一些有趣的不对称性，即人们可以观察到相同类型的爆炸率（在p<1的情况下，由（1.1）给出的功率行为），但对于固定的成熟度，其数据行为不同。当τ趋于一致时，β±（τ）收敛到2，因此隐含的波动率微笑不会像通常的情况那样“消失”，因为它是一个有效的随机波动率模型（参见实例[44]）。

在下面的2.5节中，我们通过使用CEV分布方差密度研究隐含波动率的大时间行为，使这一点更加精确。2.3.3. 小时间渐近性。为了研究隐含波动率的小到期行为，我们可以在股票价格的ge ne评级函数以封闭形式可用时（例如在casep中）∈ {0，1/2}），应用[28]中开发的方法。后者基于G¨artner-Ellis定理，该定理本质上包括对累积量生成函数的某些重标度版本进行光滑凸逐点限制（τ趋于zero）。在p=1/2的情况下，很容易证明（2.7）∧Z（u）：=limτ↓0τ1/2∧ZU√τ, τ=0，如果你∈-ξ√t、 ξ√T,+∞, 否则这种限制行为的性质不属于G¨artner-Ellis定理的范围，该定理要求∧Z（u）|随着u接近±2/（ξ）的边界而发散到完整性√t） 。很容易看出，任何其他重新缩放都会产生更退化的行为。人们可以修改G¨artner-Ellis定理的证明，就像donein[50]在Heston模型中对远期隐含波动率微笑的小到期行为所做的那样（参见[21]和其中的参考文献，了解更多此类示例）。在案例（2.7）中，我们与[50]中的框架完全相同，在这个框架中，成熟的微笑（平方）确实会爆发为τ-1/2，与（1.1）中的爆炸完全相同。不幸的是，正如我们前面提到的，股票价格的矩生成函数一般不可用，因此这种方法在这里不适用。2.3.4. 大时间渐近性。基于股票价格矩母函数的上述分析，可以用来研究后者的大时间行为。

在p=1/2的情况下，计算是完全Black-SCHOLES在CEV随机环境中进行的，并且以下逐点极限来自简单的直接操作：limτ↑∞τ-1∧Z（u，τ）=（0，如果u∈ [0, 1],+∞, 否则这种渐近行为的性质同样不在标准大偏差分析的范围内，按照[10,50]的精神，需要进行繁琐的工作来探索这条路线。2.4. 期权价格的小时间行为和隐含波动性。在Black-Scholes模型中=√WSTDWTS从S=1开始，一个S trike EK和到期日T>0的欧洲c all选项值（2.8）BS（k，w，T）=N-K√wT+√wT！- ekN-K√wT-√wT！。对于任何k∈ R\\{0}，T>0，p>1，数量jp（k）：=Z∞学士学位k、 yT，TY-pdy，如果k>0，Z∞埃克- 1+BSk、 yT，TY-如果k<0，则pdy（2.9）定义良好，与T无关。事实上，由于股票价格是从一开始的马丁酒，买入期权总是以一为界，因此，对于k>0，Jp（k）≤苏格兰皇家银行（k，y/T，T）y-pdy+R∞Y-pdy。第二个积分是有限的，因为p>1。当k>0时，渐近行为为k、 yT，T~ 经验-k2y+ky3/2k√当y趋于零时，2π保持不变，所以limy↓0BS（k，y/T，T）y-p=0，因此积分是有限的。当k<0且使用put调用奇偶校验时，类似的分析也适用。

现在确定以下常数：（2.10）βp:=3- 2p，yp：=kξt（1）- p）βp，y*:=kξt，前两个仅在p<1时，注意βp∈ (0, 1); 从（0，∞) 致R:（2.11）f（y）：=k2y+y2（1）-p） 2ξt（1）- p） ，f（y）：=（yy）（1）-p） ξt（1）- p） ，g（y）：=k2y+log（y）ξt，g（y）：=log（y）ξt，8 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOMEas以及以下由p参数化的参数：p<1 p=1 p>1c（t，p）f（yp）1/（2ξt）0c（t，p）f（yp）1/（2ξt）0c（t，p）f（yp）1/（t，p）6- 5p6- 4pg（y）*) -μξt2p- 1c（t，p）0克（y*) -μξt- 2 0c（t，p）ypy（1-p） pexpK-y2（1）-p） 2ξt（1）-p） +f′（yp）2f′（yp）kξq2πf′（yp）texpK-u2ξt+ulog（y*)ξt√π| k|-1ξ-3t-3/22（p- 1） e-y2（p-1） 2ξt（1）-p） J2p（k）（2（1）- p） ξt）η+1Γ（η+1）h（τ，p）τ2（p-1)/(3-2p）对数（τ）+logτ-1.h（τ，p）τ（p）-1)/(3-2p）（log | log（τ）|）| log（τ）| R（τ，p）Oτ(1-p） /（3）-2p）O|对数（τ）|O（τp）-1） 表1。常数和函数列表以下定理（在第3.1节中得到证明）是本文的中心结果（尽管从隐含波动性的角度来看，它在下面的等价性更具实用价值）：定理2.1。

以下扩展适用于所有k∈ R\\{0}asτ趋于零：EeZτ- 埃克+= (1 - ek）+exp- c（t，p）h（τ，p）+c（t，p）h（τ，p）τc（t，p）| log（τ）|c（t，p）c（t，p）[1+R（τ，p）]。备注2.2。（i） 每当p≤ 1、严格积极的坦诚关怀；函数总是严格正的；p<1时，顺式反应严格阳性；当p=1时，函数cand和ccan可以取正值和负值；（ii）每当p≤ 1，h（τ，p）≤ h（τ，p）表示τ小e nough，因此前导顺序由h提供；（iii）在对数正态情况下，p=1，h（τ，1）~ （对数τ）τ趋于零，因此期权价格的指数衰减由exp(-c（t，1）（对数τ））。利用定理2.1和Black-Scholes-mo-de l的小到期渐近（见[30，推论3.5]或[36]），直接将期权价格渐近转化为隐含波动率的渐近：定理2.3。对于任何k∈ R\\{0}，小到期y隐含波动率微笑表现如下：στ（k）~(1 - βp）kξt（1）- p） 2τβp，如果p<1，kξtτlog（τ），如果p=1，k2（2p- 1） τ| log（τ）|，如果p>1。该定理仅给出了当到期日变小时隐含波动率的前导阶渐近行为。原则上（遵循[17]或[36,38,60]）可以推导出高阶项，但在CEV随机环境中的Black-SCHOLES 9额外计算会影响这种奇异行为的清晰性。在货币k=0的情况下，隐含波动率收敛到一个常数：引理2.4。货币隐含波动率στ（0）收敛于E(√五） 因为τ趋于零。引理的证明遵循类似于[50，引理4.3]的步骤，我们在这里给出了细节。事实上，它并不依赖于任何特定的分布形式√五、 只要有期待就好。注意，根据定理2.3，当p从下面接近1时，爆炸率a接近τ-1.

当p趋于1时，爆炸率为1/（τ| logτ|），而非图d。因此，p=1时存在“不连续性”，实际爆炸率小于这两个极限。作为定理2.1的直接结果，我们有以下推论。定义以下函数：h*（τ，p）：=τ1-βp，如果p<1，对数（τ）-1., 如果p>1，对数（τ）-2，如果p=1，且∧*p（k）：=（c（t，p），如果p≤ 1,2p- 1，如果p>1，其中c（t，p）在表1中定义，并取决于k（throughyp）。推论2.5。任何p∈ R、 序列（Zτ）τ≥ 0满足速度h的大偏差原则*（τ，p）与速率函数∧*pasτ趋于零。此外，只有当p<1时，该比率才是好的。回想一下，r e al值序列（Zn）n≥0满足速度n和速率函数∧的大偏差原则（有关该主题的详细介绍，请参见[22]）*如果，对于任何Borel subs et B R、 不平等- infz∈Bo∧*（z）≤ 林恩芬↑∞N-1log P（锌）∈ B）≤ 林尚↑∞N-1log P（锌）∈ B）≤ - infz∈B∧*（z） hold，其中B和Bodenote是R中B的闭包和内部。速率函数∧*: R→ R∪ {+∞}, Bydefinition是一个较低的半连续、非负且不完全相同的函数，其水平集{x∈ R:∧*（十）≤ α} 全部关闭≥ 0.当这些水平集是紧致的（在R中）时，它被称为一个go od速率函数。证据定理2.1的证明仅对数字选项进行了少量修改，这些数字选项的概率等价于P（Zτ）形式≤ k） 或P（Zτ）≥ k） 。为了p∈ (-∞, 1] ，我们可以证明limτ↓0h*（τ，p）对数p（Zτ）≤ k） =-infΛ*p（x）：x≤ K.当k>0且p<1且∧时，该上限为零*（十）≡ 1/（2ξt）是常数。现在考虑一个openinterval（a，b） R

因为（a，b）=(-∞, b） (-∞, a] 然后通过∧的连续性和凸性*p、 我们得到了limτ↓0h*（τ，p）对数p（Zτ）∈ （a，b））=- infx∈（a，b）∧*p（x）。然后，根据大偏差原则的定义得出推论[22，第1.2节]。当p∈ (1, ∞),唯一非平凡的速度选择是|（对数τ）-1 |，在这种情况下，limτ↓0 |（对数τ）-1 |对数P（Zτ）≤ k） =-（2p）- 1).很明显，常数函数是一个速率函数（水平集，要么是空集，要么是直线，在r中是闭合的），其推论如下。备注2.6。在p=1/2的情况下，如第2.3.4节所述，Z的力矩母函数可用闭合形式。然而，大偏差原理并不遵循G–artner-Ellis定理，因为mgf的逐点重标度极限是退化的（在（2.7）的意义上）。10 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOME2。4.1. 货币倾斜和凸性的小m自然性。本节的目的是计算当成熟度变小时，微笑的货币倾斜和凸度的渐近性。这些数量对于在真实数据上实际观察它们（或其近似值）的交易者很有用。我们通过-kστ（0）：=limk↑0kστ（k）|k=0和+kστ（0）：=limk↓0kστ（k）|k=0，类似地-kkστ（0）：=limk↑0kkστ（k）|k=0和+kkστ（0）：=limk↓0kkστ（k）|k=0。下面的引理描述了一般情况下的这种短期行为，其中V是[0]上支持的任何随机变量，∞).引理2.7。考虑（2.1）并假设E（Vn/2）<∞ 对于n=-1,1,3和mt:=P（V=0）<1。当τ趋于零时，±kστ（0）~ ±mtE(√V）√π√2τ,-kkστ（0）~ +kkστ（0）~E(√五） τE五、-1/2- E(√V）-1.1.-mt√π.当mt>0时，货币左偏的值会爆炸到-∞ 而货币右倾化的趋势也会爆发+∞.此外，货币凸度下的小到期日倾向于不完整。证据我们首先关注的是资金倾斜。

通过定义具有对数货币性k和到期时间τ的看涨期权价格，C（k，τ）=BS（k，στ（k），τ），因此kC（k，τ）=kBS（k，στ（k），τ）+kστ（k）wBS（k，στ（k），τ）。同样通过（3.1），Fubini y lds（2.12）的即时应用kC（k，τ）=Z∞kBS（k，y，τ）P（V）∈ dy）+mtK1.- 埃克+,我们首先假设mt=0。然后通过（2.13）给出货币倾斜的平均值kστ（k）|k=0=wBS（k，στ（k），τ）|k=0-1.Z∞kBS（k，y，τ）| k=0P（V）∈ (dy)- kBS（k，στ（k），τ）|k=0.现在请注意，对于任意固定y>0和任意整数N，BS（0，y，τ）=1- N√yτ=+NXn=0αnyn+1/2τn+1/2+OτN+3/2,对于某些显式序列（αn）n≥0，因为τ趋于零，所以C（0，τ）=Z∞BS（0，y，τ）P（V）∈ dy）=+NXn=0αnτn+1/2EVn+1/2+ OτN+3/2.这允许我们重新定义引理2.4，因此，对于任何N，都存在一个序列（σN）N=0，。。。，确保στ（0）=NXn=0σnτn+OτN+1.我们现在对mone y skew的。自从kBS（k，στ（k），τ）|k=0=-N-στ(0)√τ,显然，它承认了与买入价相同的（模符号）扩张，它遵循fr om（2.13），右边的差异将始终为零，引理如下。当mt>0时，我们需要在CEV随机环境11中使用ht导数Black-SCHOLES来计算原子项。自从-K1.- 埃克+|k=0=-kk1.- 埃克+|k=0=-1和+K1.- 埃克+|k=0=+kk1.- 埃克+|k=0=0，引理中的渐近偏差紧随其后。小成熟度凸性遵循类似的论点，我们只概述了这些论点。自从kkC（k，τ）=kkBS（k，στ（k），τ）+2kστ（k）wkBS（k，στ（k），τ）+kστ（k）wwBS（k，στ（k），τ）+kkστ（k）wBS（k，στ（k），τ），kkC（k，τ）=Z∞kkBS（k，y，τ）P（V）∈ dy）+mtkk1.- 埃克+,然后kkστ（0）=wBS（0，στ（0），τ）-1.kkC（0，τ）- kkBS（0，στ（0），τ）=wBS（0，στ（0），τ）-1.Z∞kkBS（k，y，τ）P（V）∈ (dy)- kkBS（0，στ（0），τ）+mtkk1.- 埃克+,这个引理后面是类似于歪斜情况的简单计算。2.5.

期权价格的大时间行为和隐含波动性。在本节中，我们计算期权价格和隐含波动率的大时间行为。第3.2节给出了证明。事实证明，渐近性是指期权价格以代数方式衰减为其内在价值的德根速率。渐近的结构取决于CEV参数p以及原点是反射还是吸收：定理2.8。确定以下数量：M（η）：=3-6p-ηΓ- 2p√πΓ(1 + η)|1 - p | 2η+1（ξt）η+1exp-y2（1）-p） 2ξt（1）- p） ！，η在（2.3）中给出。以下扩展适用于所有k∈ R asτ趋于一致性：（i）如果p<3/4且原点为吸收，则eZτ- 埃克+= 1.- mt+mt（1）- （埃克）+- 8ek/2y- 2pM(-η） 1+Oτ-1.τ2-2p；（ii）如果p<1/4且来源反映了eZτ- 埃克+= 1.- ek/2M（η）1+Oτ-1.τ1-2便士。对于p的其他值，更难推导出渐近性，我们将其留给未来的研究。期权价格的趋同行为与Black-Scholes渐近性（引理A.2）基本不同，目前尚不清楚是否可以推导出隐含波动率的渐近性。例如，固有值不一定匹配，因为τ由于原点的质量而趋于一致。唯一的例外是，当原点是反折射时，在这种情况下，隐含波动率趋于零。这个结果是将定理2.8直接转化为隐含波动率渐近性：定理2.9。如果p<1/4且原点为反折射，则以下逐点限值适用于所有k∈ R:limτ↑∞τlogτστ（k）=8（1- 2p）。证据我们可以通过计算Black-ScholesCall价格B（k，y，τ）的渐近行为直接证明这一说法，因为成熟度τ趋于完整（从点上看，对于任何k>0，y）∈ R） ，参见L emma A.2，并将其与定理2.8（ii）中的买入价格扩展进行比较。