CEV随机环境中的Black-Scholes

相反，我们选择应用Tehranchi的12 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOMEresult[66]，这是第一个完全独立于模型的隐含资产的大成熟度行为研究。假设（a）基础股价exp（Z）是P下的非负局部鞅，以及（b）exp（Zt）c几乎肯定会随着时间趋于一致而趋于零，Tehranchi[66，定理3.1]证明了（2.14）στ（k）=-8日志EeZτ∧ 埃克- 4原木-日志EeZτ∧ 埃克+ 4k- 4 logπ+ε（k，τ）然后在实线的紧致子集上保持一致，因为τ趋于一致，其中函数ε（·）考虑了高阶误差项。显然，我们的模型满足上述两个假设。值得注意的是，（b）相当于随着到期日趋于完整（例如，参见[62，引理3.3]）而收敛到1的看涨期权价格。使用几乎确定等式（eZτ- ek）+=eZτ- eZτ∧ ek，以及（eZτ）τ≥ 0是一个真鞅，那么就可以直接证明定理2.9来自定理2.8（ii）和Tehranchi的扩展（2.14）。备注2.10。事实上，定理2.9的证明实际上提供了高阶项，但为了简洁起见，我们省略了它们。定理2.9（i）的情况表明，调用选择原则收敛到1- mt+mt（1）- ek）+=（1- mt，如果k≥ 0,1 - mtek，如果k<0，则随着成熟度趋于一致。自从mt.以来，这个常数从来都不等于零∈ （0，1），因此Tehranchi的假设（b）（在定理2.9的证明中）失败。虽然我们在这里提供了隐含波动率的大时间行为，但我们无意将此模型用于具有大到期日的期权。

我们的意图（如第1节所述）是将其用作更高级模式ls（如从连续分布中采样初始方差的随机波动率模型）的构建块，以便我们能够更好地匹配stee p小成熟度。在这些更复杂的模型中，大时间行为更多地由所选的s-tochastic volatilitymodel控制，而不是初始方差分布的选择（参见[48,49]示例），尤其是当方差过程具有一些遍历特性时。这也建议使用这类模型引入两个不同的时间尺度：一个匹配小时间微笑（初始变量的分布），另一个匹配中到大时间微笑（所选的随机波动率模型）。我们将这一点留给进一步的（正在进行的）研究，并引导感兴趣的读者阅读第2.7节，在这一节中，我们将更直观地了解如何使用该框架进行前瞻性启动选项。2.6. 数字。我们在这里提供两种类型的数值例子。在第2.6.1节中，我们展示了根据（2.1）随机选择Black-Scholes模型是如何扭曲Black-Scholes隐含的标准曲面的，并且ge-ne认为这是一个逼真的曲面。在第2.6.2节中，我们将隐含波动率微笑的渐近结果与（2.1）生成的真实微笑进行数值比较。2.6.1。Black Scholes CEV表面。这里我们考虑以下值：（2.15）t=1，ξ=20%，p=0.5，y=10%，S=1。在图1中，我们根据（2.15）中给出的值绘制了由（2.1）生成的隐含波动率曲面。首先，请注意，与标准的Black-Scholes模型相反，曲面没有弯曲。第二，也是更重要的一点，当成熟度变小时，微笑变得更加陡峭、更加明显。

这是股票市场上一个广泛认可的事实，似乎验证了本文所允许的方法。请注意，BLACK-SCHOLES在CEV随机环境13中，根据第2.3.2节，可以对CEV分量的参数进行泰勒变换，以匹配微笑翅膀的任何期望（无套利）斜率。图1。BS-CEV隐含波动率面，参数见（2.15）。2.6.2。渐近线。我们使用表示（3.1）和全局自适应GaussKronrod求积方案计算期权价格。然后，我们用一个简单的寻根算法计算微笑。在图2（a）、（b）a和（c）中，我们绘制了不同到期日的微笑和CEV功率p的值。模型参数为y=0.07，ξ=0.2y1/2-pand t=1/2。请注意，我们将ξ设置为每个p的不同值。这是一个参数，以便模型具有可比性：然后用相同的单位给出ξ，并且EV方差动态的二次变化与p的不同值近似匹配。随着成熟度变小，曲线图显示了微笑的陡度，以及p在小成熟度s英里形状中的作用。请注意（如前几节所述），随机方差会对小的到期波动率产生冲击，然后溢出。冲击的形状取决于CEV的功率，p。货币波动率（对于K/∈ [0.9,1.1]）随着p的增加，爆炸速度加快（这可以从定理2.3中看出）。波动性接近于货币K∈ [0.9,1.1]随着p的增加，爆炸性似乎更小，这可以从定理2.3中渐近系数的走向依赖性得到解释。为了将渐近性与真实微笑进行比较，我们使用定理2.1将定理2.1推广到更高阶。

对于ca sep<1，k6=0，我们发现στ（k）~ a（k）τ-βp+a（k）τ-pβpasτ随着a（k）：=（1）趋于零- βp）kξt（1）- p）βp，a（k）=2f（yp）a（k）k，以及（2.10）-（2.11）中定义的βp，yp和fde。首先，我们看到了与图e 2（d）中真实微笑的密切匹配。应用于前向微笑渐近线。我们现在展示了我们的模型（2.1）和上面推导的隐含波动率的渐近性如何直接转化为随机波动率模型中正向隐含波动性的渐近性。对于给定的鞅过程eX，一个具有resetdate t、到期日t+τ和str-ike-ekis-worth的前向启动期权，在初始时，E（exp（Xt+τ- Xt）- ek）+。在Black-Scholes模型中，增量的平稳性意味着该期权仅等于eX（从X=0开始）上的标准看涨期权，其走向Ek和成熟度τ；因此，我们可以定义远期隐含波动率σt，τ（k），类似于标准隐含波动率（详见[48]）。假设14安托万·杰奎尔和帕特里克·罗姆（a）p=0.2。（b） p=1（c）p=1.3（d）实际与无症状图2。在（a）、（b）、（c）中，我们绘制了k7→ στ（logk）表示1/12（圆形）、1/2（正方形）、1（菱形）、2（三角形）和5（向后三角形）的概率，用于增加CEV功率p的值。在（d）中，我们使用定理2.3绘制了p=0.2和τ=1/100（圆形）的实际小成熟度微笑，以及第零（方形）和第一阶（菱形）微笑。文中给出了模型的参数。对数股价过程X满足以下SDE：（2.16）dXs=-Ysds+pYsdWs，X=0，dYs=ξsYpsdBs，Y=Y>0，dhw，Bis=ρds，带p∈ R、 |ρ|<1和W，B是两个标准的布朗运动。固定向前开始日期t>0，并设置ξu:=（ξ，如果为0≤ U≤ t、 \'ξ，如果u>t，其中ξ>0和\'ξ≥ 0.这包括具有零均值反转的Heston（p=1/2）和3/2（p=3/2）模型，以及SABR模型（p=1）。

设X（t）τ：=Xt+τ-Xt表示远期价格过程，le t CEV（t，ξ，p）是分布，使得Law（Yt）=Law（V）=CEV（t，ξ，p）。那么下面的引理成立：引理2.11。在模型（2.16）中，远期价格过程X（t）·求解以下SDE系统：（2.17）dX（t）τ=-Y（t）τdτ+qY（t）τdWτ，X（t）=0，dY（t）τ=Y（t）τpdBτ，Y（t）~ CEV（t，ξ，p），CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES，其中Y（t）独立于布朗运动（Wτ）τ≥ 0和（Bτ）τ≥ 0.这个引理清楚地表明，随机波动率模型中的远期启动期权是股票价格上的欧式期权，其动力学与（2.16）相似，但初始方差是从远期启动日期的方差分布中取样的。当ξ=0时，X（t）·=Z和向前微笑的渐近性紧随其后：推论2.12。如果ξ=0，定理2.1，定理2.3和引理2.4都成立，Z=X（t）·和στ=σt，τ。备注2.13。（i） 推论2.12明确地将方差e分布的右尾在向前开始日期的形状和肥度与小成熟向前微笑的渐近形式和爆发率联系起来。例如p>1：右翼的方差密度由多项式y决定-2p和y的指数依赖性是无关的。因此，在这种情况下，p越小，右尾越胖，因此膨胀系数越大。这也解释了远期启动期权价格的代数（而非指数）依赖性。（ii）p>1情况下的渐近性是极端的，对τ的代数依赖性类似于小成熟指数L’evy模型。

这种极端性质与方差分布右尾的肥满度有关：例如，3/2模型（p=3/2）允许出现瞬时波动率极高的极端路径（参见[26，图3]）。（iii）当p∈ (-∞, 1/2). 直觉上，这是因为吸收或反射主要影响左尾，而小成熟度前向微笑容易受到方差分布右尾形状的影响。（iv）当推论2.12中的p=1/2时，赫斯顿模型的渐近性与[50，定理4.1]中的相同。这表明，决定小到期远期利率的关键数量是远期开始日期的变量分布，而不是股票价格的实际动态。（v） 实践者[4,16]指出，赫斯顿模型（p=1/2）产生的小成熟度前向微笑过于凸出和“U形”，与观察结果不一致，但基于SABR或对数正态分布的模型（p=1）产生的小成熟度前向微笑较少凸出或“U形”。我们的研究结果为这种影响提供了理论依据。我们在第2.6节和图2中观察到，随着p的增加，接近货币的罢工的爆炸效应更加稳定。定理2.3中的同情隐含波动率的罢工依赖性由K 7给出→p | log K |对于p=1/2和k7→ |对数K | forp=1。从图表中可以明显看出，对于p≥ 1.3. 校样。1.定理2.1的证明。设C（k，τ）：=E（eZτ）-ek）+。这个函数显然依赖于参数t，但我们在符号中省略了这种依赖性。

塔的性质意味着（3.1）C（k，τ）=Z∞BS（k，y，τ）ζp（y）dy+mt1.- 埃克+,式中，BS在（2.8）中定义，ζpis在（2.5）中给出V的密度，Mt是原点处的质量（2.4）。我们的目标是当τ趋于零时，理解该积分的渐近性。我们将定理2.1的证明分为三部分：在第3.1.1节中，我们证明了情况p>1，在第3.1.2节中，我们证明了情况p∈ (-∞, 1） 第3.1.3节我们证明了p=1的情况。我们只证明了k>0时的结果，当k<0时，论点完全成立16 ANTOINE JACQUIER和PATRICK Roomeanalogus。关键的洞察是，在计算渐近性之前，必须根据随机性τ重新调整方差。重定标的性质主要取决于CEV功率p，并且在每种情况下都会产生根本不同的渐近结果。请注意，对于k>0，1.- 埃克+= 0，因此（3.1）中的原子项与分析无关。当k<0时，参数与Put调用奇偶性类似。3.1.1. 病例：p>1。在引理3.1中，我们证明了CEV密度的一个界。这足以让我们在通过τ重新调整方差后，在引理3.2中证明期权价格的符号。这种重定标是至关重要的，因为它是唯一一个使BS（k，y/τ，τ）独立于τ的重定标。设χ（τ，p）：=τ2p | 1- p|ξtΓ（1+|η|）2(1 - p） ξt|η| exp-y2（1）-p） 2ξt（1）- p） ！，我们有以下引理：引理3.1。当p>1时，以下界限适用于所有y，τ>0的CEV密度：ζpyτ≥χ（τ，p）y2p（1）-2ξt（1）- p）τy2p-2） ，ζpyτ≤χ（τ，p）y2p（1+expy2）-2p2（p- 1） tξ！“2ξt（1- p）τy2p-2+ξt（1）- p）τyyP-1#).证据

从[55，等式（6.25）]我们知道，对于x>0和ν>-1/2，修改后的贝塞尔函数满足（3.2）Γ（ν+1）十、ν≤ Iν（x）≤exΓ（ν+1）十、ν、 因此，（2.5）中CEV密度的表达式意味着对于p>1，χ（τ，p）y2pexp-2ξt（1）- p）τy2p-2.≤ ζpyτ≤χ（τ，p）y2pem（y，τ），其中m（y，τ）：=-2ξt（1）- p）τy2p-2+ξt（1）- p）τyyP-1.对于固定τ>0，注意m（·τ）：R+7→ R+在y=yτ时取最大正值，m（yτ，τ）=y2-2p/（2（p- 1） tξ）。当m（·）>0时，带余数的泰勒定理对某些γ产生em（y，τ）=1+eγm（y，τ）∈ （0，m（y，τ）），因此em（y，τ）≤ 1+em（yτ，τ）m（y，τ）。如果m（·）<0，则em（y，τ）≤ 1+| m（y，τ）|≤1+em（yτ，τ）|m（y，τ）|。上界的结果随后是|m（y，τ）|的三角形不等式。下界仅由不等式1得出- 十、≤ E-x、 对x>0和1有效-2ξt（1）- p）τy2p-2.≤ 经验-2ξt（1）- p）τy2p-2.引理3.2。当p>1时，定理2.1成立。CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES证明。替代物→ y/τ和（3.1）意味着期权价格读数为C（k，τ）=R∞BS（k，y，τ）ζp（y）dy=τ-1R∞BS（k，y/τ，τ）ζp（y/τ）dy.利用引理3.1和定义（2.9），我们得到以下界限：χ（τ，p）τJ2p（k）-τ2p-22ξt（1）- p） J4p-2（k）≤ C（k，τ），χ（τ，p）τ“J2p（k）+expy2-2p2（p- 1） tξ！τ2p-22ξt（1）- p） J4p-2（k）+τp-1ξt（1）- p） yp-1J3p-1（k）#≥ C（k，τ）。因此，对于τ<1：C（k，τ）τχ（τ，p）J2p（k）- 1.≤ expy2-2p2（p- 1） tξ！J4p-2（k）2ξt（1）- p） J2p（k）+J3p-1（k）ξt（1）- p） yp-1J2p（k）！τp-1证明了引理，因为J2p（k）是严格正的，有限的，与τ无关。3.1.2. 病例：p<1。我们使用（3.1）中的表示法，将积分域分解为紧部分和有限（尾）部分。我们在引理3.4中证明了尾积分是指数次占优的（与紧致部分相比），并在引理3.5中导出了积分的渐近性。这使我们可以将拉普拉斯方法应用于积分。

我们从第一类修正贝塞尔函数的下界开始，然后在引理3.4中证明尾部估计。引理3.3。以下界限适用于所有x>0和ν>- 3/2:Iν（x）<ν+2Γ（ν+2）十、νe2x。证据让x>0。从[64，定理7，第522页]中，不等式Iν（x）<Iν+1（x）/Iν+2（x）在任何时候都成立≥ -2，因此将其与（3.2）相结合（仅对ν>-1/2），我们可以写出ν（x）<Γ（ν+3）Γ（ν+2）十、νe2x，当ν>-3/2. 然后，引理来自平凡恒等式Γ（ν+3）=（ν+2）Γ（ν+2）。引理3.4。设L>1，p<1。当τ趋于零时，下面的尾部估计成立：Z∞磅k、 yτβp，τζpyτβpdy=Oexp-4ξt（1）- p）L1-pτ（1）-βp）/2- y1-P!!.证据引理3.3和（2.5）中的密度意味着ζpyτβp≤bτ-2pβpy-2exp-2ξt（1）- p）y1-pτβp（1）-p）- y1-P+（yy）1-pτβp（1）-p） ξt（1）- p） ！，式中，常数bis由（η+2）|1给出- p|ξtΓ（η+2）2(1 - p） ξtη、 响应。(|η| + 2)|1 - p |ξtΓ（|η|+2）2(1 - p） ξt|η|，18 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOMEif当p<1/2时，起源是反射（吸收）的；然而，bis的准确值与分析无关。现在设定L>1。利用这个上界和无套利不等式BS（·）≤ 1.我们发现∞磅k、 yτβp，τζpyτβpdy≤Z∞Lζpyτβpdy≤bτ-2pβpZ∞利索-2exp-2ξt（1）- p）y1-pτβp（1）-p）- y1-P+（yy）1-pτβp（1）-p） ξt（1）- p） !！dy≤bτ-2pβpZ∞Ly1-2exp-2ξt（1）- p）y1-pτβp（1）-p）- y1-P+（yy）1-pτβp（1）-p） ξt（1）- p） !！dy，自y1以来的最后一行-2p>y-2便士。设置q=y1-p/τβp（1）-p）- y1-P/(ξ√t（1）- p） ）yie ldsZ∞Ly1-2exp-y1-pτβp（1）-p）- y1-P2ξt（1）- p） +（yy）1-pτβp（1）-p） ξt（1）- p）dy=ξ√t（1）- p） τ2βp（p-1)\"ξ√t（1）- p） Z∞Lτq exp“-q+y1-pqξ√t（1）- p） #dq+y1-pZ∞Lτexp“-q+y1-pqξ√t（1）- p） #dq#，（3.3）带Lτ：=L1-p/τβp（1）-p）- y1-P/(ξ√t（1）- p） ）>0表示τ足够小，因为L>1和p∈ (- ∞, 1).

Setnow（我们总是选择正根）τ*:=L1-p5y1-P（βp（1）-p） )-1，所以对于τ<τ*我们有Lτ>4y1-p/（ξ）√t（1）- p） 因此对于q>Lτ：y1-pqξ√t（1）- P≤q、 特别是，对于（3.3）中的积分，我们有以下τ<τ的界*:Z∞Lτq exp-q+y1-pqξ√t（1）- p） !！dq≤Z∞Lτq exp-Qdq=2 exp-Lτ,Z∞Lτexp-q+y1-pqξ√t（1）- p） !！dq≤Z∞Lτexp-Qdq≤Lτexp-Lτ,其中，最后一个不等式来自[67，第14.8节]中补充正态分布函数的上界。引理随后指出1- βp=2βp（1- p） 。引理3.5。当p<1时，定理2.1成立。证据设eτ：=τβp，βpde定义在（2.10）中。应用替换y→ y/eτ至（3.1）屈服强度sc（k，τ）=Z∞BS（k，y，τ）ζp（y）dy=eτZ∞学士学位k、 叶τ，τζp叶τdy=eτZLBSk、 叶τ，τζp叶τdy+eτZ∞磅k、 叶τ，τζp叶τdy，BLACK-SCHOLES，在CEV随机环境中19，有些L>0，以后再选择。我们从第一个积分开始。当τ趋于零时，利用第一类修正贝塞尔函数的渐近性[1，第9.7.1节]，我们得到ζp叶τ=τ3pβp/2yp/2e-y2（1）-p） 2ξt（1）-p） ξy3p/2√2πtexp-τ2βp（1）-p） y2（1）-p） 2ξt（1）- p） +τβp（1）-p） （yy）（1）-p） ξt（1）- p）h1+Oτ(1-p） βpi、 请注意，这种扩展不依赖于η的符号，因此相同的渐近性不适用于原点是反射还是吸收。在Black-Scholes模型中，期权价格满足（引理A.1）：BSk、 叶τ，τ=y3/2k√2πτeτ3/2exp-k2yeτ+k1+Oτeτ,因为τ趋于零。使用身份1- βp=2βp（1- p） 然后我们计算τβpZLBSk、 yτβp，τζpyτβpdy=τβp（4）-3p）/2yp/2e-y2（1）-p） 2ξt（1）-p） +k2πkξ√tZLy（1-p） e-f（y）τ1-βp+f（y）τ（1）-βp）/2dyh1+Oτ(1-βp）/2i、 式中f为（2.11）中定义的票价。解方程f′（y）=0得到y=yp，其中yp在（2.10）中定义，我们总是选择正根并设置L>yp。设I（τ）：=RLy（1）-p） 经验-f（y）τ1-βp+f（y）τ（1）-βp）/2迪。