Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化

因此，我们处理看跌期权，并从看跌-看涨平价推导看涨期权的LRM策略。有了这个程序，我们可以不用任何额外的假设。定理3.1当K>0时，LRM策略ξ（K-卖出期权（K）的ST）+- ST）+表示为ξ（K）-ST）+t=ST-（σt+Cρ）σtEP*[-1{ST<K}ST|Ft-]+Z∞EP*[（K）- ST）+（H*t、 z-1） +zH*t、 zDt，z（K）- ST）+英尺-]（eρz）-1） ν（dz）,（3.1）式中Dt，z（K- 命题4.1给出了ST）+；安德*t、 z:=exp{zDt，zlog ZT-日志（1）-θt，z）}表示（t，z）∈ [0，T]×（0，∞). 注意，命题A.11中提供了Dt，zlog ztog。备注3.2以获得ξ（K）的更明确表示-ST）+t，我们计算（3.1）的第二项中的条件期望，作为z∈ (0, ∞),EP*[（K）- ST）+（H*t、 z-1） +zH*t、 zDt，z（K）- ST）+英尺-]= EP*[H]*t、 z{（K）- ST）+zDt，z（K）- ST）+}-（K）-ST）+英尺-]=E[ZTH*t、 z{（K）- ST）+zDt，z（K）- ST）+}|英尺-]Zt--EP*[（K）- ST）+英尺-]=E[ZTH*t、 z（K）- STexp{zDt，zLT}）+英尺-]Zt--EP*[（K）- ST）+英尺-],式中，Dt，zlits由命题A.6明确给出。请注意，最后一个等式由下面的命题4.1表示。我们现在计算*t、 zZt-, 并研究其性质以备日后使用。对于t∈ [0，T]，z∈ ( 0, ∞) , s∈ [t，t]和x∈ (0, ∞), 我们表示aut，z，s:=us+zDt，zus=fupσ+ze-λ（s）-（t）=αqσs+ze-λ（s）-t） σs+ze-λ（s）-t） +Cρ，andAθt，z，s，x:=θs，x+zDt，zθs，x=fθqσs+ze-λ（s）-（t）（eρx）-1） =α（eρx）-1） σs+ze-λ（s）-t） 通过引理A.8和A.9得到+Cρ（3.2）。然后我们通过（2.4）得到引理A.8–A.10和命题A。11，ZTH*t、 zZt-= 经验-ZTt（美国+zDt，zus）数据仓库-ZTt（美国+zDt，zus）ds+ZTt-Z∞[日志（1）-θs，x）+zDt，zlog（1）-θs，x）]eN（ds，dx）+ZTtZ∞[日志（1）-θs，x）+zDt，zlog（1）-θs，x）+θs，x+zDt，zθs，x]ν（dx）ds= 经验-ZTtAut，z，sdWs-ZTt（Aut，z，s）ds+ZTt-Z∞日志（1）- Aθt，z，s，x）eN（ds，dx）+ZTtZ∞hlog（1）- Aθt，z，s，x）+Aθt，z，s，xiν（dx）ds.注意Aut，z，sis有界。此外，（3.2）和（A.9）意味着∞（Aθt，z，s，x）ν（dx）<CθCρ和Aθt，z，s，x≤ 1.-eρx。

我们有| log（1- Aθt，z，s，x）|≤ρx，如果Aθt，z，s，x>0，（Aθt，z，s，x），否则，这意味着r∞|日志（1）- Aθt，z，s，x）|ν（dx）<∞. 因此，我们有ZTH*t、 zZt-英尺-= 1（3.3）从[12]中定理1.4的观点来看。推论3.3看涨期权的LRM策略（ST- K） +表示为ξ（ST-K） +=1+ξ（K）-ST）+。证据注意，S是P*-注2.3和命题2.7给出的鞅。然后我们得到（ST-K） +=ST-K+（K-ST）+=S+ZTdSt-K+EP*[（K）- ST）+]+ZTξ（K）-ST）+tdSt+L（K）-ST）+T=EP*装货单-K+（K-（圣）++ZT1+ξ（K）-ST）+tdSt+L（K）-ST）+T=EP*（圣-（K）++ZT1+ξ（K）-ST）+tdSt+L（K）-ST）+T，其中L（K）-ST）+在（2.2）中定义。这是（ST）的FS分解- K） +as 1∈ ΘSby（SC）条件。4定理的证明3.1我们从看跌期权的Malliavin导数开始。命题4.1对于K>0，我们有（K-（圣）+∈ D1,2和dt，z（K- ST）+=-1{ST<K}STDt，0LT·1{0}（z）+（K- 斯特兹特，兹尔特）+-（K）- ST）+z（0，∞)（z） 。证据首先，请注意ST=SeLT和LT∈ D1.2提案A.6。然而，STI不一定是Malliavin可微的。因此，我们认为（K-ST）+作为Lt而不是ST的函数来计算其Malliavin导数。为此，注意（K）的有界性- ST）+，我们引入以下函数：fK（r）：=（Ser，如果r≤ 对数（K/S），Kr+K（1-log（K/S）），如果r>log（K/S）。然后，fK∈ C（R）和0<fK（R）≤ K代表任何r∈ R.我们还注意到（K-ST）+=（K）- fK（LT））+。[21]中的命题2.6暗示fK（LT）∈ D1,2andDt，zfK（LT）=fK（LT）Dt，0LT·1{0}（z）+fK（LT+zDt，zLT）- fK（LT）z（0，∞)（z） 。与[3]中定理4.1相同的论点暗示，对于q-a.e.（t，z）∈ [0，T]×[0，∞),Dt，z（K）- ST）+=Dt，z（K）- fK（LT））+=-1{fK（LT）<K}Dt，0fK（LT）·1{0}（z）+（K- fK（LT）-zDt，zfK（LT））+-（K）- fK（LT））+z（0，∞)（z） =-1{ST<K}STDt，0LT·1{0}（z）+（K- fK（LT+zDt，zLT））+-（K）- fK（LT））+z（0，∞)（z） =-1{ST<K}STDt，0LT·1{0}（z）+（K- 斯特兹特，兹尔特）+-（K）- ST）+z（0，∞)（z） 。我们现在证明定理3.1到定理A.1（文献[3]中的定理3.7]）。

为此，我们只需要确定定理中的条件AS2和AS3。1.注意，条件AS1由命题2.7和（K）的有界性保证-ST）+=：F.我们的第一个确认条件如下所示：C1 u，u∈ L1,2；和2usDt，zus+z（Dt，zus）∈ a.e.s.的L（q×P）∈ [0，T]。C2θ+对数（1- θ) ∈eL1、2和日志（1-θ) ∈ L1,2。C3代表q-a.e.（s，x）∈ [0，T]×（0，∞), 有一个εs，x∈ （0，1）使得θs，x<1- εs，x.C4 ztnt，0log ZT{0}（z）+ezDt，zlog ZT-1z（0，∞)（z） o∈ L（q×P）。C5 F∈ D1,2；ZTDt，zF+FDt，zZT+zDt，zF·Dt，zZT∈ L（q×P）。C6 FH*t、 z，H*t、 zDt，zF∈ L（P*) 对于q-a.e.（t，z）∈ [0，T]×（0，∞).在这里，L1,2，L1,2和L1,2定义如下：oL1,2表示G的空间：[0，T]×Ohm → R（a）Gs∈ D1.2对于a.e.s∈ [0，T]，（b）EhR[0，T]| Gs | dsi<∞,（c） EhR[0，T]×[0，∞)RT|Dt，zGs|dsq（Dt，dz）i<∞.o L1,2定义为G的空间：[0，T]×（0，∞) ×Ohm → R使得（d）Gs，x∈ D1,2 q-a.e.（s，x）∈ [0，T]×（0，∞),（e） EhR[0，T]×（0，∞)|Gs，x|ν（dx）dsi<∞,（f） EhR[0，T]×[0，∞)R[0，T]×（0，∞)|Dt，zGs，x|ν（dx）dsq（Dt，dz）i<∞.oeL1,2定义为G的空间∈ L1，2如（g）ER[0，T]×（0，∞)|Gs，x |ν（dx）ds< ∞,（h） ER[0，T]×[0，∞)R[0，T]×（0，∞)|Dt，zGs，x |ν（dx）dsq（dt，dz）< ∞.条件C1：首先，我们看到你∈ L1,2。为此，我们检查L1、2定义中的（a）-（c）项。引理A.8和A.7分别确保（A）和（b）项。参见第（c）项，引理A.8Z[0，T]×[0，∞)ZT | Dt，zus | dsq（Dt，dz）≤Z[0，T]×[0，∞)（T）-t） Cuzzν（dz）dt<∞,你是从哪来的∈ L1,2如下。接下来，我们展示2usDt，zus+z（Dt，zus）∈ L（q×P）asEZ[0，T]×[0，∞)（2usDt，zus+z（Dt，zus））q（Dt，dz）≤ 2CuZ[0，T]×0，∞)z+1zν（dz）dt<∞ （4.1）引理A.7和A.8。最后，我们证明你∈ L1,2。引理A.7支持（b）项。和我们一样∈ D1、2和我们∈ [22]中的命题5.1和命题5.4以及（4.1）暗示了（a）项和Dt，zus=2usDt，zus+z（Dt，zus）。

此外，与（4.1）类似的计算得出（c）项如下：Z[0，T]×[0，∞)ZT（Dt，zus）dsq（Dt，dz）= EZ[0，T]×[0，∞)ZT（2usDt，zus+z（Dt，zus））dsq（Dt，dz）< ∞.条件C2：我们首先演示日志（1）-θ) ∈ L1,2。L1,2定义中的（d）项和（e）项分别由引理A.10和A.7给出。至于（f）项，引理A.9和A.10暗示| Dt，zlog（1-θs，x）|≤（Cθ）ze-2ρx（1）-eρx）。因为∞E-2ρx（1）-eρx）ν（dx）≤重新-2ρρxν（dx）+R∞E-2ρxν（dx）<∞ 根据假设2.2，第（f）项如下。接下来，我们展示θ+对数（1）- θ) ∈eL1,2。注意，我们可以证明θ∈L1,2的方式与条件C1的证明相同。因此，我们只能在1,2的定义中看到（g）和（h）项。因为|θs，x+log（1-θs，x）|≤2Cθ|ρ| x，第（g）项如下。接下来是引理A.10和A.9，以及假设2.2 implyz[0，T]×（0，∞)|Dt，z（θs，x+log（1-θs，x）|ν（dx）ds≤Z[0，T]×（0，∞)|Dt，zθs，x |（1+e）-ρx）ν（dx）ds≤Z[0，T]×（0，∞)Cθ√z（1）-eρx）（1+e-ρx）ν（dx）ds≤计算机断层扫描√Z对于某些C>0，从中可以看到（h）项。条件C3：这由引理A.7给出。条件C4：命题A.11意味着log ZT∈ D1,2和Dt，0log ZT=ut，其中EhRT（ZTDt，0log ZT）dti<∞ 接下来是引理A.7和命题2.7。接下来，让ψt，zbe表示[22]中定义的增量引用运算符。也就是说，对于任何随机变量F，ωW∈ OhmWandωJ=（t，z），（总氮、锌）∈OhmJ、 我们定义ψt，zF（ωW，ωJ）：=F（ωW，ωt，zJ）- F（ωW，ωJ）z，其中ωt，zJ:=（（t，z），（t，z），（总氮、锌）。作为ZT∈ D1，2根据[22]第5节命题5.4得出，对于z>0，Dt，zZT=ψt，zZT=ψt，zexp{log ZT}=exp{log ZT（ωW，ωt，zJ）}- exp{logzt（ωW，ωJ）}z=exp{logzt+zlogzt（ωW，ωt，zJ）-logzt（ωW，ωJ）z}-exp{log ZT}z=exp{log ZT+zψt，zlog ZT}-exp{log ZT}z=exp{log ZT+zDt，zlog ZT}-exp{log ZT}z=ZTexp（zDt，zlog ZT）-1z。（4.2）因此，条件C4如下。条件C5：注意| F+zDt，zF |≤ 根据定理4.1，我们有FDT，zZT+zDt，zF·Dt，zZT∈ L（q×P），作为ZT∈ D1,2。

因此，它满足了托肖ZTDt、zF的要求∈ L（q×P）。为此，我们证明了EhRT（ZTDt，0F）dti<∞ 首先。因为Dt，0F=-1{ST<K}STDt，0LT=-1{ST<K}STσtb通过命题4.1和A.6，我们得到了EhRT（ZTDt，0F）dti≤ EhZTKRTσtdti。因此，我们只需要显示E[ZTJT]<∞ 从（A.3）的观点来看。现在，如命题2.7的开头所示，（2.5）中定义的Y是一个正鞅。因此，我们可以定义一个概率度量PYas dPY=YTdP，我们有e[YTJT]=EPY[JT]=EPYZTZ∞(1 -δs，x）xν（dx）ds< ∞,as（1）- δs，x）x=（1-θs，x）x≤ （1+Cθ）x。因此，（2.6）意味着E[ZTJT]<∞.接下来，我们展示EhRTR∞（ZTDt，zF）zν（dz）dti<∞. 请注意ZTZ∞（ZTDt，zF）zν（dz）dt≤ 中兴通讯∞ZTKzzν（dz）dt#≤ 柯ZTZ∞ν（dz）dt< ∞.因此，我们只需显示EhRTRZT|Dt，zF|zν（dz）dti<∞. 如果我们有| Dt，zF |≤ K | Dt，zLT |，（4.3），存在一个C>0，使得对于任何z，ehzt | Dt，zLT | i<Cz（4.4）∈ （0，1），然后我们就ZTZZT | Dt，zF | zν（dz）Dt≤ KZTZEhZT | Dt，zLT | izν（dz）Dt≤ kCzTzν（dz）dt<∞.剩下的就是（4.3）和（4.4）。（4.3）遵循| Dt，zF |=|（K- fK（LT+zDt，zLT））+-（K）- fK（LT））+| | z|≤|fK（LT+zDt，zLT））- fK（LT）| | z|≤K | zDt，zLT | z |=K | Dt，zLT |。接下来，为了证明（4.4），证明EPY[|Dt，zLT |]<Cz是足够的-1对于某些C>0。定义为dWYs:=dWs+2usds的过程是布朗运动。注意qσs+ze-λ（s）-（t）-σs≤√z代表s∈ [t，t]，我们有| Dt，zLT |≤ C+ZTtqσs+ze-λ（s）-（t）-σszdWYs+2Cu（T-（t）√ZF对于命题A.6中的某些C>0。因此，我们有epy[|Dt，zLT |]≤ 3C+3EPYZTtzds+12Cu（T）-t） z≤对于某些C>0的情况，CZ为0<z<1。条件C6：证明FH*t、 z∈ L（P*) 对于q-a.e.（t，z）∈ [0，T]×（0，∞),显示E[ZTH]就足够了*t、 z]<∞, 因为F是有界的。现在我们有了*t、 z=ZTezDt，zlog ZT1- θt，z=zDt，zZT+ZT1- θt，z≤^Cθ{zDt，zZT+ZT}by（4.2）和引理A.7的第5项。作为ZT∈ D1.2根据第5节，我们有Dt，zZT∈L（P）代表q-a.e.（t，z）∈ [0，T]×（0，∞). 因此，E[ZTH*t、 z]<∞.

而且，因为Dt，zF≤Kz，我们有H*t、 zDt，zF∈ L（P*) 对于q-a.e.（t，z）。定理A.1中的条件AS3：作为定理3.1证明的最后一部分，我们确定了条件AS3，其给出如下：ZT（ht）+Z∞（ht，z）ν（dz）dt< ∞, （4.5）式中，ht，z:=EP*[F（H）*t、 z-1） +zH*t、 zDt，zF |英尺-], andht:=EP*Dt，0F- FZTDt，0usdWP*s+ZTZ∞Dt，0θs，x1- θs，xeNP*（ds，dx）英尺-= -EP*h{ST<K}STσt英尺-i、 这里是dWP*t:=dWt+utdt和NP*（dt，dz）：=eN（dt，dz）+θt，zν（dz）dt是aBrownian运动和N下垫的补偿泊松随机测度*, 分别地首先，我们有EhRT（ht）dti≤ KEhRTσtdti<∞ （A.3）。接下来是weshow EhRTR∞（ht，z）ν（dz）dti<∞. 注意到ht，z=EP*[（F+zDt，zF）H*t、 z-F |英尺-], 我们没有，z≤ EP*[（F+zDt，zF）H*t、 z |英尺-] ≤ 基普*[H]*t、 z |英尺-] = K、 作为F和H*t、 zare非负，0≤ F+zDt，zF≤ 根据命题4.1，安第普*[H]*t、 z |英尺-] = 1乘（3.3）。此外，以下结论成立：ht，z≥ -EP*[F |英尺-] ≥ -K.因此，ht，zis有界。因此，我们获得了EhRTR∞（ht，z）ν（dz）dti<∞.接下来，我们展示EhRTR（ht，z）ν（dz）dti<∞. 为此，我们重写ht，zasht，z=EP*[（F+zDt，zF）（H）*t、 z-1） +zDt，zF |英尺-].因为| zDt，zF |≤ K、 我们有（EP*[zDt，zF |英尺-])≤ K.因此，它足以证明ZTZ{EP*[（F+zDt，zF）（H）*t、 z-1） |英尺-]}ν（dz）dt< ∞. （4.6）（3.3）暗示EP*（F+zDt，zF）（H）*t、 z-1） |英尺-≤ 基普*h（h）*t、 z-1） |英尺-我≤ 跪下*h（h）*t、 z）|英尺-我-2EP*[H]*t、 z |英尺-] + 1o=KnEP*h（h）*t、 z）|英尺-我-1o。（4.7）接下来，我们计算（H*t、 z）。根据H的定义*t、 zin定理3.1和命题A.11，我们有（H*t、 z）=exp-2zZTDt，zusdWs-2zZTusDt，zusds-zZT（Dt，zus）ds+2zZTZ∞Dt，zlog（1-θs，x）eN（ds，dx）+2zZTZ∞[Dt，zlog（1-θs，x）+Dt，zθs，x]ν（dx）ds= 经验-2zZTDt，zusdWs-2zZTusDt，zusds-ZT（2zDt，zus）ds+ZT（zDt，zus）ds+ZTZ∞日志（1）-γt，z，s，x）eN（ds，dx）+ZTZ∞[日志（1）-γt，z，s，x）+γt，z，s，x]ν（dx）ds-ZTZ∞γt，z，s，xθs，xν（dx）ds+ZTZ∞（zDt，zθs，x）1- θs，xν（dx）ds, （4.8）式中，γt，z，s，x:=2zDt，zθs，x1-θs，x-zDt，zθs，x1-θs，x.

我们注意到引理A.10意味着ZDT，zlog（1-θs，x）=对数（1）-θs，x-zDt，zθs，x）-日志（1）-θs，x）=对数1.-zDt，zθs，x1- θs，x,也就是2zDt，zlog（1- θs，x）=对数（1）- γt，z，s，x）。现在，我们有（zDt、zus）≤ zCuby引理A.8，andZ∞（zDt，zθs，x）1- θs，xν（dx）≤ z（Cθ）^CθCρ由引理A.7和A.9给出。因此，我们有更多的选择。卫生福利及食物局局长（4.8）≤ 经验-2zZTDt，zusdWs-2zZTusDt，zusds-ZT（2zDt，zus）ds+ZTZ∞日志（1）-γt，z，s，x）eN（ds，dx）+ZTZ∞[日志（1）-γt，z，s，x）+γt，z，s，x]ν（dx）ds-ZTZ∞γt，z，s，xθs，xν（dx）ds+Cz（4.9）对于某些C>0。因此，引理4.2意味着EP*h（h）*t、 z）|英尺-我≤ EP*hXt，zT | Ft-ieCz=Xt，zt-eCz=eCz。因此，我们有。卫生福利及食物局局长（4.7）≤ KeCz-1.≤ Kz欧共体-1.对于任何一个z∈ (0, 1). 因此，（4.6）如下，从中我们得到（4.5）。这就完成了定理3.1的证明。为了查看（4.10），我们展示了以下引理。引理4.2（t，z）∈ [0，T]×（0，∞), 我们考虑以下SDE:dXt，zs=-Xt，zs-2zDt，zusdWs+2zusDt，zusds+Z∞γt，z，s，xeN（ds，dx）+z∞γt，z，s，xθs，xν（dx）ds. （4.11）那么，解Xt，zi是P下的鞅*对于Xt，对于任何s，zs=1∈ [0，t）。特别是，（4.9）的右边等于Xt，zTeCz.Proof。首先，请注意zDt，zusDt，zusDt，Zusar是有界的。此外zDt，zθs，x1- θs，x< 2Cθ^Cθ（1）-eρx）<2Cθ^Cθ（4.12），引理A.7和A.9。因此，引理A.7 yieldsZ∞|γt，z，s，xθs，x |ν（dx）=z∞zDt，zθs，x1- θs，x2.-zDt，zθs，x1- θs，xθs，xν（dx）≤ 2Cθ^Cθ（2+2Cθ^Cθ）·Cθ|ρ| Z∞xν（dx）<∞.此外，（4.12）再次暗示∞γt，z，s，xν（dx）=z∞（zDt，zθs，x）（1）-θs，x）2.-zDt，zθs，x1- θs，xν（dx）≤ 4Cθ^CθCρ（2+2Cθ^Cθ）。因此，我们可以将司徒[20]的定理117应用于（4.11）；然后我们得出结论（4.11）有一个解决方案Xt，使Ehsupt满意≤s≤T|Xt，zs|i<∞, 这意味着EP*【监督】≤s≤T|Xt，zs |]<∞ 利用ZT的L（P）-性质。

现在，Xt，P下的zis代数鞅*, 因为我们可以重写（4.11）asdXt，zs=-Xt，zs-2zDt，zusdWP*s+Z∞γt，z，s，xeNP*（ds，dx）.因此，Protter[16]的定理I.51暗示Xt，zis是P*-任意s的鞅，zs=1∈ [0，t）。此外，通过Di Nunno等人[11]的示例9.6，（4.9）的右侧用Xt，zTeCz表示。5.Zt的Malliavin可微性本节专门介绍Zt∈ D1,2对于任何t∈ [0，T]。为此，福特∈ [0，T]，我们定义了Z（0）T:=1和Z（n+1）T:=1-ZtZ（n）s-usdWs-ZtZ∞Z（n）s-θs，xeN（ds，dx）表示n≥ 此外，我们表示n≥ 0，φn（t）：=EZ[0，t]×[0，∞)zZ（n）t博士q（dr，dz）.注意φ（t）≡ 引理5.1我们有Z（n）t∈ D1,2每n≥ 0和任何t∈ [0，T]。此外，存在常数k>0和k>0，使得φn+1（t）≤ k+kZtφn（s）每n≥ 0和任何t∈ [0，T]。在引理5.1下，我们有φn+1（t）≤ k+kZtφn（s）ds≤ k+kZtk+kZsφn-1(s)dsds≤ ··· ≤ 千牛∑j=0kjtjj！<凯克特。无论如何∈ [0，T]。因此，苏普≥1φn（t）<∞ 持有。As Z（n）t→ Ztin L（P），[11]中的引理17.1意味着Zt∈ D1,2关于t∈ [0，T]。请注意，[11]中的Malliavin导数的定义方式与我们的不同。用[11]中的^D theMalliavin导数算子表示，我们有^Dt，zF=zDt，zF=z6=0和f∈ D1,2。引理5.1的证明。我们取一个整数n≥ 0。假设Z（n）t∈ D1,2和φn（s）ds<∞ 无论如何∈ [0，T]。下面的引理5.2和[10]的引理3.3意味着Z（n+1）t∈ D1,2对于任何t∈ [0，T]；无论如何∈ [r，T]和任何z∈ (0, ∞),Dr，0Z（n+1）t=-Dr，0Z[0，T]×[0，∞)Z（n）s-us{0}（x）+θs，xx（0，∞)（十）[0，t]（s）Q（ds，dx）=-Z（n）r-呃-ZtrDr，0（Z（n）s-美国）dWs-ZtrZ∞博士，0Z（n）s-θs，xxxeN（ds，dx）=-Z（n）r-呃-ZtrusDr，0Z（n）s-dWs-ZtrZ∞θs，xDr，0Z（n）s-eN（ds，dx）（5.1）和dr，zZ（n+1）t=-Z（n）r-θr，zz-ZtrDr，zZ（n）s-我们dWs-ZtrZ∞z博士Z（n）s-θs，xxxeN（ds，dx）。（5.2）接下来，我们将∈ [0，T]任意。

我们得到φn+1（t）=EZtDr，0Z（n+1）t博士+ EZtZ∞zZ（n+1）t博士zν（dz）dr.（5.3）（5.1）指（5.3）的第一项≤ 3EZtZ（n）r-呃博士+ 3E“ZtZtrusDr，0Z（n）s-dWsdr#+3E“ZtZtrZ∞θs，xDr，0Z（n）s-eN（ds，dx）博士。（5.4）我们在（5.4）的右边评估每个术语。引理A.7意味着ZtZ（n）r-呃博士≤ 暗示ZtZ（n）r-博士≤ 可爱的“sup0”≤s≤TZ（n）s#安第斯“ZtZtrusDr，0Z（n）s-dWs博士#≤ 中兴通讯Ztr博士，0Z（n）s-ds博士，同样的论点暗示着“Zt”ZtrZ∞θs，xDr，0Z（n）s-eN（ds，dx）dr#=中兴通讯ZtrZ∞θs，xDr，0Z（n）s-ν（dx）ds博士≤ CθCρZtEZtr博士，0Z（n）s-ds因此，我们获得了（5.3）的第一项≤ 3CuTE“sup0≤s≤TZ（n）s#+ 3（Cu+CθCρ）中兴通讯Ztr博士，0Z（n）s-ds博士（5.5）下一个（5.2）让（5.3）的第二个任期≤ 3E“ZtZ∞Z（n）r-θr，zzzν（dz）dr#+3E“ZtZ∞ZtrDr，zZ（n）s-我们dWszν（dz）dr#+3E“ZtZ∞ZtrZ∞z博士Z（n）s-θs，xxxeN（ds，dx）zν（dz）dr#。（5.6）我们现在计算（5.6）右侧的每个项。第一学期（5.6）≤ 3CθCρEZtZ（n）r-博士≤ 3CθCρTE“sup0≤s≤TZ（n）s#.（5.7）接下来，引理A.8表示（5.6）=3ZtZ的第二项∞EZtrz博士Z（n）s-我们dszν（dz）dr=3ZtZ∞EZtrusDr，zZ（n）s-+ Z（n）s-博士，zus+zDr，zZ（n）s-· 祖斯医生dszν（dz）dr≤ 9ZtZ∞暗示ZtrzZ（n）s博士-ds+反刍ZtrZ（n）s-ds+ （Cu）EZtrzZ（n）s博士-dszν（dz）dr≤ 9因为∞zν（dz）TE“sup0≤s≤TZ（n）s#+ 9Cu+（Cu）ZtZ∞EZtrzZ（n）s博士-ds此外，我们评估了（5.6）的第三项。通过引理A.9，我们得到了（5.6）=3ZtZ的第三项∞EZtrZ∞zZ（n）s博士-·θs，xx+Z（n）s-Dr，zθs，xx+zDr，zZ（n）s-· Dr，zθs，xxxν（dx）dszν（dz）dr≤ 9ZtZ∞CθCρEZtrzZ（n）s博士-ds+（Cθ）CρzEZtrZ（n）s-ds+ z4CθCρzEZtrzZ（n）s博士-dszν（dz）dr≤ 9（Cθ）CρZ∞zν（dz）TE“sup0≤s≤TZ（n）s#+ 45CθCρZtZ∞EZtrzZ（n）s博士-dszν（dz）dr。

（5.9）因此，通过下面的（5.3）、（5.5）-（5.9）和引理5.3，常数k>0和k>0，使得φn+1（t）≤ 谢谢≤s≤TZ（n）s#+ kZ[0，t]×[0，∞)EZtrzZ（n）s博士-dsq（dr，dz）≤ ksupn≥1E“sup0≤s≤TZ（n）s#+ 中兴通讯Z[0，s]×[0，∞)zZ（n）s博士-q（dr，dz）ds=ksupn≥1E“sup0≤s≤TZ（n）s#+ 中兴通讯Z[0，s]×[0，∞)zZ（n）s博士q（dr，dz）ds≤ k+kZtφn（s）ds，其中kand kmay因线路而异。现在，我们证明两个引理，它们被用于引理5.1的证明。引理5.2修正n≥ 0。假设Z（n）t∈ D1,2和φn（s）ds<∞无论如何∈ [0，T]。我们有Z（n）-U∈ L1、2和Z（n）-θ ∈ L1,2。证据我们展示Z（n）-U∈ L1,2。由Z（n）t∈ D1，2，引理A.7和A.8，我们有Z（n）s-Dt，zus+usDt，zZ（n）s-+ zDt，zZ（n）s-· Dt，zus∈ L（q×P）对于任意s∈ [0，T]。因此，L1,2定义中的（a）项由[22]的命题5.1和5.4给出。接下来，引理A.7满足了（b）项。对于（c）项，存在两个常数c>0和c>0，使得（Dt，z（n）s-（美国）≤Cz（Z（n）s-)+C（Dt，zZ（n）s-). 此外，我们还有Z[0，T]×[0，∞)ZTDt，zZ（n）s-dsq（dt，dz）=中兴通讯Z[0，T]×[0，∞)Dt，zZ（n）s-q（dt，dz）ds=ZTφn（s）ds<∞.因此，（c）项如下。这就完成了Z（n）的证明-U∈ L1,2。Z（n）-θ ∈L1,2的显示方式类似。引理5.3 supn≥1Esup0≤s≤TZ（n）s< ∞.证据首先，我们可以归纳地看到Z（n）是一个带有Z（n）T的鞅∈L（P）。表示ζn（t）：=Esup0≤s≤TZ（n）s对于t∈ [0，T]和n≥ 1，我们有ζn（T）≤ 4E“1.-ZTZ（n）-1） s-usdWs-ZTZ∞Z（n）-1） s-θs，xeN（ds，dx）#≤ 4.1+EZTZ（n）-1） s-us+Z∞θs，xν（dx）ds≤ 4+4（Cu+CθCρ）ZTζn-1(s)ds≤ 4通过Doob不等式和引理A.7导出{4（Cu+CθCρ）T}。6数值实验在本节中，我们用数值实验说明BNS模型的LRM策略。[2] 使用Carr-Madan方法[7]为指数L’evy模型开发了LRM策略的数值方案，这是一种基于快速傅立叶变换（FFT）的期权价格数值方法。