Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化

在下文中，我们将使用[2]中开发的方法对看涨期权进行数值计算（6.1）。此外，我们还比较了LRM策略和Deltaheding策略，后者是期权价格相对于资产价格的偏导数。我们处理Gamma-OU模型，其中L′evy测度ν被给出为ν（dx）=abλe-bx（0，∞)（x） dx，其中a>0，b>0。此外，我们使用了[17]中估计的参数集（见表1）。为此，我们需要采用与[17]相同的设置。因此，我们需要考虑利率r>0和持续股息率Q>0；也就是说，贴现系数由r给出-q、 此外，假设贴现资产价格过程e-（r）-q） 这是一个鞅。因此，uappearingin（1.3）表示为u=r-q+Z∞(1 -eρx）ν（dx）=r-Q-aλρb-ρ.我们考虑了一个执行价为K的看涨期权。从定理3.1、推论3.3和命题4.1的观点来看，我们有ξ（ST-K） +t=e-（r）-q） （T）-t） 圣-（σt+Cρ）σtE[ST{ST≥K} |英尺-]+Z∞E斯特兹特，兹特-K+-（圣-K） +|英尺-（eρz）-1） ν（dz）,（6.1）作为H*t、 z=1，ZT=1。因此，表示i:=e-（r）-q） （T）-t） E[ST{ST≥K} |St，σt]andI:=e-（r）-q） （T）-t） Z∞E斯特兹特，兹特-K+-（圣-K） +St，σt（eρz）-1） ν（dz），我们可以将（6.1）改写为ξ（ST）-K） +t=σtI+ISt（σt+Cρ）。下一步，我们将分别为Iland开发数值格式。用φ表示给定σt的特征函数，我们有φ（θ）：=E[exp{iθLT}|St，σt]=exp（iθLT+u（t-t） )-（θ+iθ）B（T）-t） σt+ab- F圆木B- fb-iθρ+ fλ（T）-（t）)（6.2）对于θ∈ C来自[17]中第7.1.1节，其中f:=iθρ-（θ+iθ）λB（T）- t） f:=iθρ-（θ+iθ）。回想一下B（t）=1-E-λtλ代表t∈ [0，T]。至于I，[2]的命题2.1意味着I=e-（r）-q） （T）-t） πZ∞K-iζ+1φ（ζ）iζ-1dv，（6.3）式中ζ：=v-iα，α是一个满足条件的实数≤s<T-ρB（T）-（s）-√Ds< α<inft≤s<T-ρB（T）-（s）+√Ds（6.4）根据[15]的定理2.2。

这里，Ds：=-+ρB（T）-（s）+^θB（T-s） 和^θ：=supθ ∈ RZ∞（eθx-1） ν（dx）<∞,假设2.2确保为正。注意，（6.3）的右手边与α的选择无关。因此，由于被积函数（6.3）由K的乘积给出-iζ+1和ζ的函数，我们可以通过FFT计算。接下来，我们计算I。首先，命题A.6意味着ststexp{zDt，zLT}=exp（u（T-（t）-ZTtσsds+ZTtσsdWs+ρZTtdJs-zB（T）-t） +ZTtqσs+ze-λ（s）-（t）-σsdWs+ρz）=exp（u（T）-（t）-ZTtσs+ze-λ（s）-（t）ds+ZTtqσs+ze-λ（s）-t） dWs+ρZTtdJs+ρz）=exp（u（t-（t）-ZTtσs，zds+ZTtσs，zdWs+ρZTtdJs+ρz）对于t∈ [0，T]和z∈ (0, ∞), 其中B（T）- t） =RTte-λ（s）-t） D代表t∈ [0，T]和σs，z:=σs+ze-λ（s）-t） 对于（s，z）∈ [t，t]×（0，∞). 表示l（z）s:=Zstu -σu，zdu+Zstσu，zdWu+ρZstdJufor（s，z）∈ [t，t]×（0，∞), 我们有Stexp{zDt，zLT}=Stexp{L（z）T+ρz}。此外，作为过程（σs，z）t≤s≤用σt，z=σt+z（6.2）解SDE（1.2），意味着对数（St）+L（z）t的特征函数如下所述：φ（z）（θ）：=Ehexp{iθL（z）t}St，σtiSiθt=Ehexp{iθLT}St，σt+ziφ（θ）exp-（θ+iθ）B（T）-t） z.[2]的命题2.3包含（r-q） （T）-t） I=Z∞EStexpnL（z）T+ρzo-K+-（圣-（K）+St，σt（eρz）-1） ν（dz）=Z∞（eρzπz）∞（克-ρz）-iζ+1φ（z）（ζ）（iζ）- 1） iζdv-πZ∞K-iζ+1φ（ζ）（iζ- 1） iζdv）（eρz-1） ν（dz）=Z∞πZ∞K-iζ+1φ（ζ）（iζ- 1） iζ（eiρzζexp-（ζ+iζ）B（T-t） z-1） dv（eρz）-1） ν（dz）=Z∞πK-iζ+1φ（ζ）（iζ- 1） iζZ∞（eηz）-1） （eρz）-1） ν（dz）dv，式中η：=iρζ- （ζ+iζ）B（T-t） ，是ζ的函数。请注意，如[15]中定理2.2所述，<（η）≤ 当0<α<1时为0-2ρB（T），这是任何T的（6.4）的一个区间∈ [0，T]。

因此，取这样一个α，我们有∞（eηz）-1） （eρz）-1） ν（dz）=abλB-η - ρ-B-η-B-ρ+b,我们可以用FFT计算。接下来，我们讨论delta对冲策略（圣-K） +t对于具有敲打价格K的看涨期权，其作为期权价格相对于St的偏导数给出，即，（圣-K） +t:=e-（r）-q） （T）-（t）圣-K） +|St，σt]。注意到-K） +|St，σt]=πZ∞K-iζ+1φ（ζ）（iζ- 1） 我知道，我们有（圣-K） +t=e-（r）-q） （T）-t） πZ∞K-iζ+1（iζ- 1） 我ζφ(ζ)Stdv=e-（r）-q） （T）-t） πZ∞K-iζ+1φ（ζ）S-1tiζ-1dv=ISt。因此，delta对冲策略由I给出。我们给出了LRM策略ξ（ST）的数值结果-K） +tand delta hedging策略（圣-K） +t使用[17]中估计的参数集。我们假设T=1，r=0.019，q=0.012。时间t的资产价格和波动率平方分别固定为St=1124.47和σt=0.0145。将表1召回为ρ=-1.2606，λ=0.5783，a=1.4338，b=11.6641。此外，就像[17]一样，我们取α=1.75。注意[17]中的α对应于α- 1在我们的环境中，1-2ρB（T）大于1.75。在下面的图1和图2中，红色十字和蓝色圆圈代表ξ（ST）的值-K） +tand（圣-K） 分别为+t。完成以下两种实验：首先，对于固定的罢工价格，我们计算ξ（ST-K） +tand（圣-K） +t乘以t=0，0.02，0.98. 请注意，我们将K乘以900、1124.47、1300，分别对应于“现金外”、“现金内”和“现金内”。第二，t固定为0、0.5和0.9，我们以25的步长将K从200变为2000，并计算ξ（ST-K） +tand（圣-K） +t.现在，我们讨论图1和图2的含义。首先，ξ（ST-K） +始终小于或等于（圣-K） +t。这一事实表明，局部风险最小化比三角洲对冲更厌恶风险。

其次，图1显示了ξ（ST-K） +tand（圣-K） +当期权“在钱内”时，皮重增加，当期权“在钱内”或“在钱外”时，皮重减少。第三，图2表明ξ（ST-K） +tand（圣-K） +t当选项为“深陷资金”时返回1，当选项为“深陷资金”时返回0。此外，策略的价值在“在钱的时候”从1下降到0，当到期时间接近0时，其梯度陡峭。最后，计算了ξ（ST-K） +tand（圣-K） +tin图2在选项为“有钱”时比“没钱”时宽。0.2 0.4 0.6 0.8 10.650.70.750.80.850.90.951tξt和ξ（ST）的t（a）值-K） +tand（圣-K） +t当K固定为900时，t=0，0.02，0.98.在这种情况下，期权在时间t时“在货币中”。红色十字和蓝色圆圈代表ξ（ST）的值-K） +tand（圣-K） 分别为+t。0.2 0.4 0.6 0.8 10.250.30.350.40.450.50.550.60.65tξt和t（b）示例，其中选项在时间t时为“在货币上”，即K固定为1124.470 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.0500.050.10.150.20.250.3tξt和t（c）示例，其中K固定为1300，也就是说，在时间t图1:ξ（ST-K） +tand（圣-K） +t固定K与t=0，0.02，0.98.200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.200.20.40.60.81Kξt和ξ（ST）的t（a）值-K） +tand（圣-K） +tat t=0与第25步从200到2000的履约价格K。红色十字和蓝色圆圈代表ξ（ST）的值-K） +tand（圣-K） 分别为+t。200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.200.20.40.60.81Kξt和t（b）示例，其中t=0.5.200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.200.20.40.60.81Kξt和t（c）示例，其中t=0.9。图2：ξ（ST）的值-K） +tand（圣-K） +tat固定t vs。

我们得到了（1.2）和（1.3）给出的BNS模型的看涨期权和看跌期权的LRM策略的显式表示，并进行了相关的数值实验。我们仅将假设2.2作为长期假设。回想一下，假设2.2并不排除两个重要的例子：IG OU和Gamma OU，尽管参数受到限制。我们的讨论基于[3]的框架。我们确认[3]中规定的所有附加条件。最重要的是，我们需要一些关于潜在或有权F的可积条件。例如，我们需要ZTF∈ L（P），几乎等于ZTST∈ L（P）如果F是看涨期权。然而，在我们的设置中，ZTSTI不在L（P）中，这意味着需要一个附加条件来直接在[3]的框架中处理看涨期权。因此，本文首先考虑看跌期权，因为它们是有界的。然后给出了LRM的看涨期权策略。有了这个简单的想法，我们不需要强加任何附加条件。此外，为了证明条件C4，我们需要研究过程Z的Malliavin可微性。注意，Z是SDE（2.3）的解。[11] 证明了在Lipschitz条件下马氏型SDE解的Malliavin可微性。然而，SDE（2.3）不是马尔可夫的，因为usandθs，xare是随机的。在第5节中，作为[11]中第17节的延伸，我们展示了Zt∈ D1,2。这个结果本身应该是一个有价值的数学贡献。回想一下，usandθs，xare以引理为界。7，以及usandθs的Malliavin导数，xare等价于O（1/z）和O（1）/√z） 同时通过引理A.8和A.9。在证明Z的Malliavin可微性时，这些事实起着至关重要的作用。在本文中，我们考虑资产价格过程由（1.3）给出的BNS模型。

实际上，BNS模型的一般形式如下：St=SexpZt（u+βσs）ds+ZtσsdWs+ρJt,其中参数β∈ R被称为波动性风险溢价。换句话说，我们将β限制为-1/2. 如果β6=-1/2，我们和θs，x的有界性不再成立，从中不容易证明ZT∈ D1,2。因此，在MMM下制定Malliavin演算[1]采用了不同的方法来研究β的情况∈ R和ρ=0。另一方面，需要一些新的想法来全面处理一般情况。这有待于未来的研究。附录。1[3]中的定理3.7[3]中的定理3.7为列维市场的LRM策略提供了一个明确的表示公式，在本文中经常被提及。因此，我们在假设2.2下介绍它对BNS模型的陈述。请注意，尽管[3]中的假设2.1适用于[3]中的定理3.7，但在假设2.2下是可以满足的。有关更多详细信息，请参见备注2.3。定理A.1（定理[3]中的定理3.7]）设F为L（P）随机变量，满足以下三个条件：AS1（假设[3]中的2.6]）ZTF在L（P）中。AS2（假设[3]中的3.4]）满足F的条件（C1）-（C6）。AS3（假设[3]中的3.1]）我们有ZT（ht）+Z∞（ht，z）ν（dz）dt< ∞,式中，ht，z=EP*[F（H）*t、 z-1） +zH*t、 zDt，zF |英尺-] andht=EP*Dt，0F- FZTDt，0usdWP*s+ZTZR\\{0}Dt，0θs，x1- θs，xeNP*（ds，dx）英尺-.然后，索赔F的LRM策略ξF由ξFt=St给出-（σt+Cρ）htσt+Z∞ht，z（eρz）-1） ν（dz）.A.2σt的性质，以及相关的Malliavin导数平方波动过程σt，作为SDE（1.2）的解给出，表示为σt=e-λtσ+Zte-λ（t）-s） DJ。（A.1）注意我们有σt≥ E-λtσ≥ E-λTσ（A.2）和ztσsds=λ（Jt-σt+σ）≤λ（Jt+σ）。（A.3）接下来，我们计算一些相关的Malliavin导数。引理A.2适用于任何s∈ [0，T]，我们有σs∈ D1,2；andDt，zσs=e-λ（s）-t） [0，s]×（0，∞)（t，z）（A.4）表示（t，z）∈ [0，T]×[0，∞).证据

我们可以把（A.1）改写为σs=e-λsσ+ZsZ∞E-λ（s）-u） xν（dx）du+Z[0，T]×0，∞)E-λ（s）-u） [0，s]×（0，∞)（u，x）Q（du，dx）。此外，我们有[0，T]×0，∞)E-2λ（s）-u） [0，s]×（0，∞)（u，x）q（du，dx）<∞. 根据定义2.8，引理如下。引理A.3适用于任何s∈ [0，T]，我们有σs∈ D1,2；andDt，zσs=qσs+ze-λ（s）-（t）-σsz[0，s]×（0，∞)（t，z）表示（t，z）∈ [0，T]×[0，∞). 此外，我们还有0≤ Dt，zσs≤√z[0，s]（t）表示z>0。证据取C-函数f，使f有界；和f（r）=√r forr≥ E-λTσ，我们有σs=f（σs）乘以（A.2）。[21]中的命题2.6意味着σs∈ D1,2，Dt，0σs=f（σs）Dt，0σs=0；andDt，zσs=f（σs+zDt，zσs）- f（σs）z=qσs+ze-λ（s）-（t）-σsz[0，s]（t）对于z>0，作为Dt，zσ通过（A.4）是非负的。此外，我们还有Dt，zσs≤√泽-λ（s）-t） z[0，s]（t）≤√z[0，s]（t）表示z>0。引理A.4我们没有∈ D1,2；andDt，zZTσsds=B（T-t） 1（0，∞)（z） 对于（t，z）∈ [0，T]×[0，∞), 假设2.2中定义了功能B。证据首先，我们有ztσsds=σZTe-λsds+ZTZse-λ（s）-u） dJuds=σ1- E-λTλ+ztue-λ（s）-u） dsdJu=σB（T）+ZTB（T-u） dJu。从定义2.8来看，我们得到了σsds∈ D1,2和Dt，zRTσsds=B（T-t） 1（0，∞)（z） 对于（t，z）∈ [0，T]×（0，∞). 引理A.5我们没有σSDW∈ D1,2和dt，zZTσsdWs=σt{0}（z）+ZTtqσs+ze-λ（s）-（t）-σszdWs（0，∞)（z） 。对于（t，z）∈ [0，T]×[0，∞).证据首先，我们展示σ∈ L1,2。引理A.3表示σs∈ D1,2适用于任何情况∈ [0，T]。我们有EhRTσsdsi<∞ 通过（A.3）和JT的可积性。As | Dt，zσs|≤zby引理A.3，L1,2定义的（c）项已满足。因此，[10]中的引理3.3提供了RTσsdWs∈ D1,2和Dt，zZTσsdWs=Dt，zZ[0，T]×0，∞)σs·1{0}（x）Q（ds，dx）=σt{0}（z）+ZTDt，zσsdWs=σt{0}（z）+ZTtqσs+ze-λ（s）-（t）-σszdWs（0，∞)（z） 对于（t，z）∈ [0，T]×[0，∞) 引理A.3。最后，我们计算Dt，zlta如下：命题A.6 LT∈ D1,2和，对于（t，z）∈ [0，T]×[0，∞), 我们有dt，zLT=σt{0}（z）+-B（T）-t） +ZTtqσs+ze-λ（s）-（t）-σszdWs+ρ(0,∞)（z） 。证据通过（2.1），我们得到LT=uT-RTσsds+RTσsdWs+ρJT。

因为∈ D1,2和Dt，zJT=1（0，∞)（z） 我们通过引理A.4和A.5得到这个命题。A.3 Us和θs、x的性质以及相关的Malliavin导数我们首先定义两个常数，如下所示：Cu:=max（|α| eλTσ，|α| Cρ）；Cθ：=max|α| Cρ，1. （A.5）论文中经常引用下一个引理。引理A.7适用于任何∈ [0，T]和任意x∈ (0, ∞), 以下几点：1|美国|≤ 特写2|θs，x|≤ Cθ；和|θs，x |≤ Cθ（1）-eρx）≤ Cθ|ρ| x，3。θs，x<1-eρx，4|日志（1）-θs，x）|≤ Cθ|ρ| x，5.1-θs，对于某些^Cθ>0的情况，x<^Cθ。证据1.我们有|我们|≤|α|σs≤|任意s的α| eλTσ∈ [0，T]被（A.2）取代|θs，x|≤|α| Cρ（1）-eρx）≤ Cθ和1- eρx≤ |ρ| x表示任何x>0.3。如备注2.3所示，ασs+Cρ>-1个用于任何s∈ [0，T]。我们有θs，x<1-eρx.4。当θs，x≥ 0，我们有0≥ 日志（1）-θs，x）>log（1- (1 - eρx））=ρx≥另一方面，如果θs，x<0，那么0<log（1）- θs，x）≤ -θs，x≤Cθ|ρ| x.5。如果θs，x≤ 0，然后是1-θs，x≤ 1.否则，如果θs，x>0，则等于α<0，则为1- θs，x=1+ασs+Cρ（1-eρx）≥ 1+ασs+Cρ≥ 1+αe-根据假设2.2，λTσ+Cρ>0。这就完成了证明。接下来，我们计算了一些与usandθs有关的Malliavin导数，对于任意s，x引理A.8∈ [0，T]，我们找到了∈ D1,2；andDt，zus=fu（σs+zDt，zσs）- fu（σs）z[0，s]×（0，∞)（t，z）=fuqσs+ze-λ（s）-（t）- fu（σs）z[0，s]×（0，∞)（t，z）（A.6）代表（t，z）∈ [0，T]×[0，∞), 式中fu（r）：=r的αrr+Cρ∈ R.此外，我们有| Dt，zus |≤铜√z[0，s]（t）和| Dt，zus |≤Cuz[0，s]（t）对于某些Cu>0。证据注意fu（r）=αCρ-r（r+Cρ）和| fu（r）|≤|α| Cρ≤ 铜。因为us=fu（σs）和σs∈ [21]中的D1，2，命题2.6，以及引理A.3，暗示了我们∈ D1、2和（A.6）。特别地，我们有Dt，0us=fu（σs）Dt，0σs=0。此外，引理A.3再次产生| Dt，zus |≤z | zDt，zσs | Cu≤√z[0，s]（t）Cu。此外，如果fu（r）是有界的，我们可以找到一个Cu>0，使得| Dt，zus |≤因为。

任何（s，x）的引理A.9∈ [0，T]×（0，∞), 我们有θs，x∈ D1,2；andDt，zθs，x=fθ（σs+zDt，zσs）- fθ（σs）z（eρx）-1） 1[0，s]×（0，∞)（t，z）=fθqσs+ze-λ（s）-（t）- fθ（σs）z（eρx）-1） 1[0，s]×（0，∞)（t，z）（A.7）代表（t，z）∈ [0，T]×[0，∞), 其中fθ（r）：=r的αr+Cρ∈ R.此外，我们有| Dt，zθs，x |≤Cθ√z（1）-eρx）1[0，s]（t）和| Dt，zθs，x |≤2Cθz（1）-对于某些Cθ>0，eρx）1[0，s]（t）（A.8）。证据注意θs，x=fθ（σs）（eρx-1） fθ（r）=-2αr（r+Cρ）。因此，| fθ（r）|是有界的。因此，与引理A.8相同的论点暗示（A.7）。此外，（A.8）由fθ和fθ的有界性给出。引理A.10表示任意（s，x）∈ [0，T]×（0，∞), 我们有日志（1）-θs，x）∈ D1,2；安德特，兹洛格（1）-θs，x）=对数（1）-θs，x-zDt，zθs，x）-日志（1）-θs，x）z（0，∞)（z） 对于（t，z）∈ [0，T]×[0，∞). 此外，我们还有| Dt，zlog（1）-θs，x）|≤ |Dt，zθs，x | e-ρx.证明。对于x>0，我们表示gx（r）：=日志（1）-r） ，r<1-eρx，-E-ρxr+e-ρx-1+ρx，r≥ 1.- eρx.注意，gxis是一个满足| gx（r）|的C-函数≤ E-ρxf或全部r∈ 因为θs，x∈ D1、2和日志（1-θs，x）=gx（θs，x）通过引理A.7的第3项，我们有dt，zlog（1）-θs，x）=gx（θs，x+zDt，zθs，x）- gx（θs，x）z（0，∞)（z） 。引理A.9意味着，对于t∈ [0，s]和z∈ (0, ∞),θs，x+zDt，zθs，x=fθpσ+ze-λ（s）-（t）（eρx）-1） =α（eρx）-1） σs+ze-λ（s）-t） +Cρ<1-eρx.（A.9）我们有gx（θs，x+zDt，zθs，x）=log（1）-θs，x-zDt，zθs，x）。A.4在Dt上，zlog ZT我们显示log ZT∈ D1,2并计算Dt，zlog ZT。（2.4）表示log ZT=-ZTusdWs-ZTusds+ZTZ∞日志（1）-θs，x）eN（ds，dx）+ZTZ∞[日志（1）-θs，x）+θs，x]ν（dx）ds。（A.10）我们分别讨论（A.10）的每一项。如第4节所示，我们有∈ L1,2。因此，[10]中的引理3.3意味着Dt，0RTusdWs=ut+RTDt，0usdWs=ut，以及Dt，zRTusdWs=RTDt，ZUSDWS对于z>0。类似地，我们有Dt，0RTR∞日志（1）-θs，x）eN（ds，dx）=0，和dt，zZTZ∞日志（1）-θs，x）eN（ds，dx）=对数（1-θt，z）z+ZTZ∞Dt，zlog（1-θs，x）eN（ds，dx）表示z>0。

至于Dt，zRTusds，因为∈ L1,2根据[10]yieldsDt的第4节引理3.2，zZTusds=ZTDt，zusds=2ZTSUTDT，zusds+zZT（Dt，zus）DSZ≥ 特别是，Dt，0RTusds=0。第四届（A.10），因为-θ) + θ ∈[21]的eL1,2，命题3.5 impliesDt，zZTZ∞[日志（1）-θs，x）+θs，x]ν（dx）ds=ZTZ∞[Dt，zlog（1-θs，x）+Dt，zθs，x]ν（dx）dsz≥ 0.总体而言，我们得出以下结论：命题A.11我们有log ZT∈ D1,2，Dt，0log ZT=ut；andDt，zlog ZT=-ZTDt，zusdWs-ZTusDt，ZUSDT-zZT（Dt，zus）ds+ZTZ∞Dt，zlog（1-θs，x）eN（ds，dx）+ZTZ∞[Dt，zlog（1-θs，x）+Dt，zθs，x]ν（dx）ds+log（1）-θt，z）z或z>0。感谢石井纪念证券研究促进基金会和日本教育、文化、体育、科学和技术部科学研究（c）第15K04936号对石井纪念证券研究促进基金会的财务支持表示感谢。参考文献[1]Arai，T.：具有波动性风险溢价的Barndorff Nielsen和Shephardmodels的局部风险最小化，发表于《数理经济学进展》（2015）[2]Arai，T.，Imai，Y.，Suzuki，R.：指数利维模型的局部风险最小化数值分析，发表于《国际理论与应用金融杂志》（2015）[3]Arai，T.，Suzuki，R.：电动汽车市场的局部风险最小化。《国际金融工程杂志》，21550015（2015）[4]巴恩多夫·尼尔森，O.E.，Shephard，N.：金融计量经济学的勒维过程建模。摘自：Barndorff Nielsen，O.E.，Mikosch，T.，Resnick，S.（编辑）：Levy过程理论与应用，第283-318页。Birkh–auser，Basel（2001）[5]Barndorff Nielsen，O.E.，Shephard，N.：基于非高斯的OrnsteinUhlenbeck模型及其在金融计量经济学中的一些应用。J.R.统计。Soc。63167–241（2001）[6]本特，F.E.，Detering，N.：能源领域亚洲风格期权的定价和对冲。《金融与随机》，19849–889（2015）[7]卡尔，P.，D。