Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Local risk-minimization for Barndorff-Nielsen and Shephard models》
---
作者：
Takuji Arai, Yuto Imai and Ryoichi Suzuki
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We obtain explicit representations of locally risk-minimizing strategies of call and put options for the Barndorff-Nielsen and Shephard models, which are Ornstein--Uhlenbeck-type stochastic volatility models. Using Malliavin calculus for Levy processes, Arai and Suzuki (2015) obtained a formula for locally risk-minimizing strategies for Levy markets under many additional conditions. Supposing mild conditions, we make sure that the Barndorff-Nielsen and Shephard models satisfy all the conditions imposed in Arai and Suzuki (2015). Among others, we investigate the Malliavin differentiability of the density of the minimal martingale measure. Moreover, some numerical experiments for locally risk-minimizing strategies are introduced.
---
中文摘要：
对于Barndorff-Nielsen和Shephard模型，即Ornstein-Uhlenbeck型随机波动率模型，我们得到了看涨期权和看跌期权局部风险最小化策略的显式表示。Arai和Suzuki（2015）利用Malliavin演算的Levy过程，得出了在许多附加条件下Levy市场局部风险最小化策略的公式。假设条件温和，我们确保Barndorff-Nielsen和Shephard模型满足Arai和Suzuki（2015）规定的所有条件。其中，我们研究了最小鞅测度密度的Malliavin可微性。此外，还介绍了一些局部风险最小化策略的数值实验。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> Local_risk-minimization_for_Barndorff-Nielsen_and_Shephard_models.pdf (428.88 KB)

2022-5-8 00:11:14 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：shephard Nielsen Hard else ELS

Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化Stakuji Arai*, Yuto Imai+和Ryoichi Suzuki2018年10月18日摘要我们获得了Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化策略的显式表示，这是Ornstein–Uhlenbeck型随机波动率模型。Arai和Suzuki[3]利用L’evy过程的Malliavin演算，得到了许多附加条件下L’evy市场局部风险最小化策略的公式。假设条件温和，我们确保Barndorff-Nielsen和Shephard模型满足[3]中的所有条件。其中，我们研究了最小鞅测度的密度的Malliavin可微性。此外，还介绍了一些局部风险最小化策略的数值实验。关键词：局部风险最小化，Barndorff-Nielsen和Shephard模型，随机波动率模型，Malliavin演算，L’evy过程。1简介本研究的目的是为Barndorff-Nielsen和Shephard（BNS）模型：Barndorff-Nielsen和Shephard[4]，[5]开发的Ornstein-Uhlenbeck（OU）型随机波动率模型，获得局部风险最小化（LRM）的看涨期权和看跌期权策略的明确表示。另一方面，局部风险最小化是不完全金融市场连续索赔的一种非常著名的二次套期保值方法。虽然它的理论观点已经得到了很好的发展，但对它的显式表示知之甚少。因此，Arai和Suzuki[3]利用L’evy过程的Malliavin演算分析了L’evy市场的这个问题。

他们在论文的定理3.7中给出了LRM策略的显式公式，包括一些Malliavin*庆应大学经济系，电子邮件：arai@econ.keio.ac.jp+早稻田大学数学系-庆应大学数学系。这里，列维市场是指资产价格过程由以下随机微分方程（SDE）的解描述的模型：dSt=St-αtdt+βtdWt+ZR\\{0}γt，zeN（dt，dz）, S> 0，（1.1）其中W是一维布朗运动，eN是补偿泊松随机测度；α、β和γ是可预测的过程。如果α、β和γ是确定性的，则在一些温和的条件下给出了LRM策略的表示。事实上，[3]明确计算了买入期权、亚式期权和回望期权的LRM策略，以确定系数。然而，根据[3]中的定理3.7，需要对具有随机系数的模型施加许多附加条件。因此，此类模型的具体计算被搁置一旁。在本文中，我们得到了BNS模型的显式LRM策略，这是随机系数情况下的常见例子。特别是，各种实证研究证实，BNS模型捕捉了金融时间序列的重要风格化特征。在BNS模型中，平方波动率过程σ由一个下级驱动的OU过程给出，即一个非减损的L’evy过程。更准确地说，σ作为以下SDE的解给出：dσt=-λσtdt+dHλt，σ>0，（1.2），其中λ>0，H是无漂移的从属函数。现在，BNS模型的资产价格过程描述为asSt=SexpZtu -σsds+ZtσsdWs+ρHλt, （1.3）其中S>0，ρ≤ 0, u ∈ R.注意，最后一项ρHλt计入杠杆效应，这是一个程式化的事实，即资产价格在波动性增加的时刻下降。

此外，定义Jt:=Hλt，我们用J的泊松随机测度表示。因此，我们有Jt=R∞xN（[0，t]，dx）。用v表示J的L′evy度量，我们定义（dt，dx）：=N（dt，dx）- ν（dx）dt是补偿泊松随机测度。然后，（1.3）中给出的资产价格过程是以下SDE的解决方案：dSt=St-αdt+σtdWt+Z∞（eρx）-1） eN（dt，dx）, （1.4）式中α：=u+R∞（eρx）- 1） ν（dx）。因此，BNS模型对应于（1.1）中的β是随机的情况。在本文中，我们将使用[3]中的定理3.7来推导（1.3）中描述的BNS模型的LRM策略。因此，我们讨论的主要部分在于确认[3]中定理3.7的所有条件。特别是，我们需要研究最小鞅测度（MMM）密度的Malliavin可微性，这是讨论LRM策略必不可少的等价鞅测度。就我们所知，关于BNS模型LRM策略的文献非常有限。Arai[1]在与我们不同的环境下研究这个问题。在[1]中，考虑了波动风险溢价，但ρ被限制为0。因此，S被描述为asSt=SexpZtu+βσsds+ZtσsdWs,β在哪里∈ R被称为波动性风险溢价。注意S是连续的。在MMM下制定Malliavin演算[1]明确介绍了LRM策略。另一方面，对于BNS模型，均值-方差套期保值是一种替代的二次套期保值方法。Cont、Tankov和Voltchkova[9]，以及Kallsen和Pauwels[13]研究了这个问题，假设S是鞅。Kallsen和Vierthauer[14]处理了ρ=0的情况。

最近，Benth和Detering[6]处理了BNS模型框架，以表示假设S是鞅且ρ=0的未来电价过程。此外，本文还利用Arai、Imai和Suzuki[2]的方法，开发了一个看涨期权LRM策略的数值方案，这是指数L’evy模型LRM策略的数值方案。他们的方案基于所谓的卡尔-马丹方法[7]，该方法基于快速傅立叶变换（FFT）。此外，我们将LRM策略与所谓的delta对冲策略进行了比较，后者是期权价格相对于资产价格的偏导数。本文概述如下。在第2节中给出初步结论之后，我们将在第3节中讨论主要结果。定理3.1给出了看跌期权LRM策略的显式表示。呼叫选择的LRM策略是其推论。第4节讨论了定理3.1的证明。第5节讨论了MMM密度的Malliavin可微性。LRM策略的数值实验见第6节。第7节给出了结论。附录中提供了[3]中定理3.7的陈述，以及一些额外的计算。2准备工作我们考虑一个金融市场模型，其中只有一项风险资产和一项无风险资产是可交易的。为简单起见，我们假设利率为0。让我们成为一个有限的时间范围。风险资产的波动被描述为（1.3）中给出的过程。我们采用与[3]相同的数学框架。潜在概率空间的结构(Ohm, F、 P）将在下文第2.3小节中讨论。

注意，J的泊松随机测度N和theL’evy测度ν定义在[0，T]×（0，∞) 和（0，∞), 分别是∞（十）∧1） ν（dx）<∞根据Cont和Tankov[8]的命题3.10。设νHbe为h的L′evy测度；然后我们得到了ν（dx）=λνH（dx）。表示在：=RtSs-αds和Mt:=St-s- At，我们有St=S+Mt+At，这是S的正则分解。进一步，我们表示Lt：=log（St/S）表示t∈ [0，T]，即Lt=Ztu -σsds+ZtσsdWs+ρJt。（2.1）备注2.1注意到σt-= σta。s、 无论如何∈ [0，T]，我们可以将σ和σ视为可预测过程。例如，我们可以用σt来识别σtdWtin（1.4）-dWt，如果有必要的话。接下来，我们陈述我们的长期假设：假设2.21。R∞exp{2（B（T）∨|ρ|）x}ν（dx）<∞, 式中B（t）：=1-E-λtλ代表t∈ [0，T].2。αe-λTσ+Cρ>-1，式中Cρ：=R∞（eρx）-1） ν（dx）。备注2.31。假设2.2中的项目1确保∞xν（dx）<∞, 也就是说E[JT]<∞.此外，我们还有∞（eρx）-1） ν（dx）≤R∞ρxν（dx）<∞, 因为0≤1.- eρx≤ -ρx.2。如[3]第2.3小节所示，假设2.2满足所谓的（SC）条件。有关（SC）条件的更多详细信息，请参见Schweizer[18]，[19]。此外，文献[3]中的引理2.11暗示Ehsupt∈[0，T]| St|i<∞.3.根据附录（A.2），第2项确保ασt+Cρ>-一个t∈ [0，T]。备注2.4我们陈述了Nicolato和Venardos[15]中引入的σ的两个重要例子，这两个例子充分证明了假设2.2在特定条件下涉及的参数。有关此主题的更多详细信息，请参见Schoutens[17]。第一个问题涉及由νH（dx）=a驱动的νH√2πx-（1+bx）e-bx（0，∞)（x） 其中a>0，b>0。在这种情况下，平方效用过程σ的不变分布遵循参数为a>0和b>0的逆高斯分布。σ称为IG-OU过程。如果B>2（B（T）∨ |ρ|），则假设2.2的第1项满足假设2.2。

第二个例子是我们称之为Gamma-OU过程，其中σ的不变分布由参数为sa>0和b>0的Gamma分布给出。在这种情况下，νHis被描述为νH（dx）=abe-bx（0，∞)（x） dx。与IG-OU案例一样，假设2.2的第1项在b>2（b（T）时满足∨|ρ|).3. [15] [17]中的第7节使用实际数据估计了上述两个模型的参数集。表1:IG-OU和伽马OU过程的估计参数OUρλa bσ[15]-4.7039 2.4958 0.0872 11.9800 0.0041[17] -0.1926 0.0636 6.2410 0.7995 0.0156伽马-OU[15]-4.4617 1.6787 1.0071 116.0100 0.0043[17] -1.2606 0.5783 1.4338 11.6641 0.0145请注意，贴现资产价格过程在[15]和[17]中都被假定为鞅。因此，u的值是自动确定的。对于任何T>0，在[17]中为IG-OU设置的参数不满足假设2.2的第1项。相反，表1中列出的其他估计参数集满足条件。2.1局部风险最小化策略在本小节中，我们根据[19]的定理1.6给出了LRM策略的定义。定义2.51。Θsde注意到满足ehrtξtdhMit+（RT|ξtdAt |）i<∞.2.L-策略由一对φ=（ξ，η）给出，其中ξ∈ ΘSandη是一个自适应过程，因此V（Θ）：=ξS+η是一个右连续过程，其中e[Vt（Θ）]<∞ 每一个t∈ [0，T]。注意，ξt（resp.ηt）代表投资者在t.3时持有的风险资产（resp.无风险资产）的单位数。索赔F∈ L（P），由CFt（φ）定义的过程CF（φ）：=F1{t=t}+Vt（φ）-RtξsdSsis称F.4的成本过程为φ=（ξ，η）。对于索赔F ifVT（~n）=0，L-策略~n被称为局部风险最小化（LRM），而CF（~n）是与M正交的鞅，也就是说，[CF（~n），M]是一致可积鞅。5.

F∈ 如果L（P）可以用F=F+ZTξFtdSt+LFT（2.2）来描述，则L（P）允许F–ollmer–Schweizer（FS）分解，其中F∈ R、 ξF∈ ΘSand LF是LF=0的平方可积正交鞅toM。有关LRM策略的更多详细信息，请参见[18]、[19]。我们现在介绍[19]中的命题5.2。命题2.6（命题[19]中的命题5.2]）在假设2.2下，当且仅当F允许FS分解时，F的LRM策略φ=（ξ，η）存在；它的关系由ξt=ξFt，ηt=F+ZtξFsdSs+LFt给出- F1{t=t}-ξFtSt。因此，有必要推导ξFin（2.2）的表示，以获得索赔F的LRM策略。此后，我们用F.2.2最小鞅测度的LRM策略确定ξF。为了讨论FS分解，我们首先需要研究MMM。概率测度P*~ 如果S是P，则P称为MMM*-鞅；与M正交的任意平方可积P-鞅仍然是一个鞅*. 接下来我们考虑以下SDE:dZt=-Zt-λtdMt，Z=1，（2.3），其中∧t:=St-ασt+Cρ。（2.3）的解是-R·∧tdMt。更准确地说，表示：=sSs-σs=ασsσs+Cρ和θs，x:=∧sSs-（eρx）-1） =α（eρx）-1） s的σs+Cρ∈ [0，T]和x∈ (0, ∞), 我们有∧tdMt=utdWt+R∞θt，zeN（dt，dz）；andZt=exp-ZtusdWs-Ztusds+ZtZ∞日志（1）-θs，x）eN（ds，dx）+ZtZ∞（日志（1）-θs，x）+θs，x）ν（dx）ds. （2.4）我们在此指出∞n |对数（1）-θs，x）|+θs，xoν（dx）ds≤ 2TCθρZ∞xν（dx）<∞引理A.7。注意到usby引理A.7和（1）的有界性-θs，x）对数（1）-θs，x）+θs，x≤ (1 -θs，x）(-θs，x）+θs，x=θs，x，根据Ishikawa[12]的定理1.4，我们得到了Z的鞅性质。现在，我们得到以下结论：2.71号提案。ZT∈ L（P）2。概率测度由DP定义*dP=ZT是MMM。证据我们首先演示第1项。

这里（2.4）和引理A.7意味着zt=exp-ZT2usdWs-ZT4usds+ZTZ∞日志（1）-δs，x）eN（ds，dx）+ZTZ∞hlog（1）-δs，x）+δs，x+θs，xiν（dx）ds+ztuds≤ 经验-ZT2usdWs-ZT4usds+ZTZ∞日志（1）-δs，x）eN（ds，dx）+ZTZ∞[日志（1）-δs，x）+δs，x]ν（dx）ds+T（CθCρ+Cu）式中δs，x:=2θs，x-θs、x和cucθ是（A.5）中定义的常数。也就是说，表示yt:=exp-Zt2usdWs-Zt4usds+ZtZ∞日志（1）-δs，x）eN（ds，dx）+ZtZ∞[日志（1）-δs，x）+δs，x]ν（dx）ds（2.5）对于t∈ [0，T]，我们有≤ YTexp{T（CθCρ+Cu）}。（2.6）因此，我们只需要证明过程Y是鞅。首先，Y的布朗部分是有界鞅。引理A.7再次yieldsZTZ∞|日志（1）-δs，x）|ν（dx）ds≤ZTZ∞4Cθρxν（dx）ds<∞;δs，x=θs，x（2-θs，x）≤ Cθρx（2+Cθ），即RTR∞δs，xν（dx）ds<∞. 此外，我们还有Ztz∞[(1 -δs，x）对数（1）-δs，x）+δs，x]ν（dx）ds≤ZTZ∞δs，xν（dx）ds<∞.因此，满足了[12]定理1.4中的所有条件，即Y是阿马丁格尔。我们进入项目2。Z的鞅性质意味着乘积过程ZS是P-局部鞅。因此，S是P*-鞅，因为中断∈[0，T]| St |和ZTare在L（P）中。此外，假设L是零与M正交的平方可积P鞅，我们得到LZ是P-局部鞅。根据L的平方可积性，L在P下仍然是鞅*.因此，P*是的，嗯。这就完成了命题2.7的证明。2.3 Malliavin演算在本小节中，我们根据Sol\'e、Utzet和Vives[22]采用的规范L\'evyspace框架编制Malliavin演算。潜在概率空间(Ohm, F、 P）假定由以下公式给出：(OhmW×OhmJ、 FW×FJ，PW×PJ），其中(OhmW、 FW，PW）是[0，T]上具有坐标映射过程W的一维维纳空间；及(OhmJ、 FJ，PJ）是J的标准L′evyspace，也就是说，OhmJ=∪∞n=0（[0，T]×（0，∞))N和Jt（ωJ）=∑ni=1zi{ti≤t} 对于t∈ [0，T]和ωJ=（（T，z），（总氮、锌）∈ （[0，T]×（0，∞))N

注意（[0，T]×（0，∞) )表示一个空序列。设F={Ft}t∈[0，T]是为P完成的标准过滤。有关更多详细信息，请参阅德隆和伊姆凯勒[10]和[22]。首先，我们定义了[0，T]×[0，∞) asq（E）：=ZEδ（dz）dt+ZEzν（dz）dt，和q（E）：=ZEδ（dz）dWt+zezezen（dt，dz），其中E∈ B（[0，T]×0，∞)) δ是0的狄拉克度量。为了n∈ N、 我们用LT，q，N表示乘积可测的确定性函数集h:（[0，T]×0，∞))N→ R满足khklt，q，n:=Z（[0，T]×0，∞))n | h（（t，z），··，（tn，zn））|q（dt，dz）···q（dtn，dzn）<∞ .为了n∈ N和h∈ LT，q，n，我们定义（h）：=Z（[0，T]×0，∞))nh（（t，z），··，（tn，zn））Q（dt，dz）··Q（dtn，dzn）。形式上，我们用LT，q，0:=R和I（h）：=h表示h∈ R.在此设置下，任何F∈ L（P）具有唯一的表示形式F=∑∞n=0In（hn）带函数shn∈ LT，q，n在n对（ti，zi）中是对称的，1≤ 我≤ n、 我们有[F]=∑∞n=0n！我们定义了一个Malliavin导数算子。定义2.81。设D1,2为F-可测随机变量F的集合∈ L（P）带f=∑∞n=0英寸（hn）令人满意∑∞n=1nn！克林克特，q，n<∞.2.对于任何F∈ D1,2，一个Malliavin导数DF:[0，T]×0，∞) × Ohm → R定义为asDt，zF=∞∑n=1nIn-1（hn（（t，z），·））代表q-a.e.（t，z）∈ [0，T]×[0，∞ ), P-a.s.3主要结果利用[3]定理3.7的框架，我们在本节中明确介绍了看涨期权和看跌期权的LRM策略，作为本文的主要结果。请注意，附录A.1介绍了[3]中关于我们设置的定理3.7。为此，我们需要ZTF，用F表示潜在的或有权益∈ L（P）（理论1中的条件AS1）。如果F是看涨期权，则在我们的设置中不一定满足该条件。另一方面，因为看跌期权是有界的，所以我们不需要考虑它们的任何可积条件。