具有随机禀赋和交易费用的最优投资：对偶性

假设（x，q）∈ 当q>0时，存在基于边际效用的价格（y，r）∈ 满足（1）的网络的u（x，q）- λ） S≤雷≤ S.作为Y1的初始值，*是灵活的。在不丧失一般性的情况下，我们可以考虑Y1的初始值，*asY1，*（y，r）=r，满足买卖价差约束（1- λ） S≤Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）≤ S（4.9）考虑最小化序列（Z0，n（y，r），Z1，n（y，r））∈ B（1），我们有Sn，Z1，n（y，r）Z0，n（y，r）∈ [(1 - λ） S，S]。因此，很容易看出e[Z0，nT（y，r）ET]≤ aE[Z0，新界（y，r）（1）- λ） [ST]≤ aE[Z0，nT（y，r）~SnT]=E[Z1，nT（y，r）]≤ Z1，n（y，r）。当yZ1，n（y，r）收敛到Y1时，*（y，r）=r，它跟在thatlim infn后面→∞E[Z0，nT（y，r）ET]≤ 林恩芬→∞Z1，n（y，r）≤ry.（4.10）另一方面，对于同一对（y，r）∈ u（x，q），我们有thatxy+qr=E[Y0，*T（y，r）（V）*T（x，q）+qET）]≤ 林恩芬→∞E[yZ0，nT（y，r）（V）*T（x，q）+qET）]≤xy+qylim infn→∞E[Z0，nT（y，r）ET]。（4.11）当q>0时，lim infn→∞E[Z0，nT（y，r）ET]≥ry.最后一个不等式和（4.10）收益率（4.8）。例4.2假设ET≥ 假设选择（x，q）∈ 当q<0时，存在基于边际效用的价格（y，r）∈ u（x，q）表示满足[Y1，*T（y，r）]≥ R*, （4.12）其中r*定义为r的最小值，即（y，r）∈ u（x，q）.16 E.Bayraktar和x.YuCause表示任何（y，r）和（\'y，\'r）∈ u（x，q），我们总是有Y0，*T（y，r）=Y0，*T（\'y，\'r）。我们将挑选合适的人选*, R*) ∈ u（x，q）。

对于最小化序列（Z0，n（y*, R*), Z1，n（y）*, R*)) ∈ B（1），Fatou引理和（4.12）以及y1，*（y）*,R*)Y0，*（y）*,R*)∈ [(1 - λ） S，S]暗示→∞E[Z0，nT（y*, R*)[ET]≥嗯*Y0，*T（y）*, R*)ETi≥ 嗯*Y0，*T（y）*, R*)性病≥EY*Y0，*T（y）*, R*)Y1，*T（y）*, R*)Y0，*T（y）*, R*)=嗯*Y1，*T（y）*, R*)我≥R*Y*.同一双（y）*, R*) ∈ u（x，q），遵循（4.11）和q<0的事实，我们将获得信息→∞E[Z0，nT（y*, R*)[ET]≤R*Y*,哪种验证（4.8）可以选择r=r*y=y*.备注4.3假设4。1通常不容易验证，并且在特定条件下，在e和（x，q）的选择下可能有效。证明下一个定理4.1的主要困难在于，对于对偶问题中（y，r）的固定选择，我们无法比较e[Y0，*T（y，r）qET]或近似的序列e[yZ0，nT（y，r）qET]，其值r为乘积0，*（y，r）V（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q））一般不可能是鞅。没有假设的夹心影子价格的存在。1是一个具有挑战性但很有趣的问题，这将作为未来的研究项目。备注4.4应该可以将[23]的公式推广到无界随机m禀赋，然后使用一对有界完全可加测度s建立对偶定理，该测度允许Yosida Hewitt分解Qi=Qi，r+Qi，s，i=0，1，和Qi，ris为可数可加测度。那么，检查假设可能会更容易。1在这个扩展框架中。然而，在这个框架中，我们也应该看到一些新的挑战：1。需要验证^S=Y1，*Y0，*由最小净加性测度（常规部分）的聚类点所诱导，仍将始终保持买卖价差；2.

另一方面，另一个新的难题是验证两个模型中的对偶优化器是相同的，这对于保证两个市场中的最优策略是至关重要的。这是非常重要的，因为人们可能认为两个双优化器的常规部分是相同的，但很难得出结论，即hQ0，*, 由于初级市场和影子市场中的单一部分可能不同，两个双重模型中的ETi也会重合。综上所述，尽管[23]中的框架扩展了无限的随机禀赋，但在没有假设的情况下，它打开了检查影子价格存在性的大门。1.仍然需要更多的技术支持。对偶理论和影子价格17我们现在准备展示下一个主要结果，它提供了一个与问题m（3.10）的对偶极小值相关的夹心上鞅函数的存在，因此c和D夹心影子价格过程得到了很好的定义。定理4.1固定（x，q）∈ K

在理论的所有假设下。1和假设下4。1，至少存在一对（y，r）∈ u（x，q）和优化因子φ*（x，q）=（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q））对于原始效用最大化问题（3.3），我们有0，*（y，r）φ0，*（x，q）+Y1，*（y，r）φ1，*（x，q）=Y0，*（y，r）（x+φ1，*（x，q）·^S），（4.13）式中^S=（^Sp，^S）=Y1，*,p（y，r）Y0，*,p（y，r），Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）和（φ1，*（x，q）·^S）t，Ztφ1，*,cu（x，q）d^Su+X0≤u<t△φ1,*u（x，q）（^St）-^Spu）+X0<u≤T△+φ1,*u（x，q）（^St）-^Su）。（4.14）它遵循{dφ1，*,c（x，q）>0} {^S=S}，{dφ1，*,c（x，q）<0} {^S=（1）- λ） S}{△φ1,*（x，q）>0} {^Sp=S-}, {△φ1,*（x，q）<0} {^Sp=（1）- λ） S-},{△+φ1,*（x，q）>0} {^S=S}{△+φ1,*（x，q）<0} {^S=（1）- λ） S}。（4.15）对于任何夹心超级马丁格尔价格，Y=（Yp，Y）与相关价格过程^S=（^Sp，^S）=Y1，pY0，p，YY, 以及任何可接受的交易策略∈ Ax，很容易验证清算值V（φ，φ）满足V（φ，φ）t=φt+（φt）+（1- λ） 圣- （φt）-圣≤ x+Ztφ1，cud^Su+X0<u≤T△φu（^St）-^Spu）+X0≤u<t△+φu（^St）-^Su）=x+（φ·^S）t。由于（4.13）和（4.15），我们能够验证最优策略（φ0，*, φ1,*) 只有当夹心影子价格过程^S=（^Sp，^S）在买卖价差中处于最不利位置时才进行交易。为了验证s夹心影子价格过程的存在性，重要的是对18 E.Bayraktar和X.Yu基础价格过程的可接受投资组合给出一个新的定义。显然，（4.1）中Ax（^s）的定义通常过于宽泛，因为我们只能处理收入分配的被积函数过程。这个等式（4.13）给了我们一个关于夹层影子价格的自我融资投资组合定义的暗示。

让我们回顾一下，三明治影子价格概念背后的重要属性是，任何自我融资和可接受的投资组合交易都不能比优化器（φ0，*, φ1,*) 在定理3中给出。1对于交易成本为λ的价格过程。还有，策略（φ0，*, φ1,*) 在没有交易成本的情况下进行交易会带来与交易成本λ下的交易相同的预期效用价值。与[5]中可接受投资组合的定义类似，我们现在可以对夹层影子价格过程中的自我融资和可接受投资组合给出以下修改定义，以便与交易成本λ下可接受投资组合的定义相比较。定义4.6投资组合过程（φt，φt）0≤T≤如果（i）（φ，φ）是有限变化的可预测过程，则被称为夹层影子价格过程^S可接受。（ii）（φ，φ）是指在φt=x+Ztφud^Su的意义上，为^S进行自我融资而不产生交易成本- φt^St，0≤ T≤ T.（iii）通过v（φ，φ）T，φT+（φT）+（1）定义辅助清算价值过程- λ） 圣- （φt）-St.存在一个大于0的常数，对于每个∈ S、 存在一个最大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）和V（φ，φ）τ≥ -Xmax，~Sτ表示所有[0，T]值的停止时间τ。表示Ax（^S）从初始位置（φ，φ）=（x，0）开始的三明治影子价格过程^S的所有可接受投资组合过程的集合。

此外，表示Vx（^S）可接受的投资组合Vx（^S）生成的所有财富过程的终值集，XT:XT=φT+φT^ST=x+ZTφud^Su，（φ，φ）∈ 斧头（^S）.与通常意义上的s hadow价格过程类似，给定相同的随机禀赋E和初始s静态位置q∈ R、 让我们考虑原始赛斯（x，q；^S），{XT:XT+qET≥ 0，XT∈ Vx（^S）}（x，q）∈ K（^S），其中我们定义了K（^S），int{（x，q）∈ R:H（x，q；^S）6=}.下一个定理是关于三明治影子过程的存在性。对偶理论与影子价格定理4.2 Fix（x，q）∈ K.在所有理论假设下4。1，让（y，r）∈ u（x，q）满足假设4.1，设（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r）是问题（3.10）的双重优化器。考虑任意X（φ，φ）T∈ H（x，q；^S）对于^S=（^Sp，^S）定义的夹层影子价格过程=Y1，*,p（y，r）Y0，*,p（y，r），Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）.我们有（X（φ，φ）T+qET）i≤ EU（x+ZTφ1，*ud^Su+qET）=EhU（φ0，*T+φ1，*T^ST+qET）i=EhU（V（φ0，*, φ1,*)T+qET）i，其中（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q））是原始效用最大化问题（3.3）的最优解。与[5]中的命题3.7和[7]中的定理3.1相比，rando m捐赠下的影子价格过程的存在变得更加微妙，并且通常会失效。在我们的框架中，要求双优化器（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））满足Y0，*（y，r）是鞅，Y1，*（y，r）是局部鞅。实际上，首先，我们需要要求经典影子价格过程承认NFLVR条件，以便在影子价格市场中获得对偶理论。

其次，为了检查双优化器Y0，*（y，r）在影子价格市场的对偶空间y（y，r；^S）中，为了在两个相应市场中比较效用价值函数，我们必须假设y0，*（y，r）∈ yM（ry） Y（Y，r），其中我们定义M（p）={Q∈ M:EQ[ET]=p}，p∈ P（x，q；U）和P（x，q；U）是所有基于边际效用的价格的集合。因此，假设存在一些（y，r）∈ u（x，q）使得ETF的套利价格*dP=yY0，*T（y，r）等于基于边际效用的价格，即EQ*下一个定理总结了在上面讨论的一些充分条件下，通常意义下影子价格的存在性。定理4.3固定（x，q）∈ K和q>0，考虑一些（y，r）∈ u（x，q）L.如果对偶极小值（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））对问题（3.10）的满意程度（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））∈ yB和Y0，*T（y，r）∈ 嗯雷. 由^S（y，r），Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）是定义4中给出的经典影子价格过程。2对于效用最大化问题（3.3），主要结果的价格过程和交易成本λ。5 Pro of。本节包含所有主要定理的证明和前几节中的辅助结果。20 E.Bayraktar和X.Yu5。1命题证明2。1[27]中定理1.7的pro可以使用可接受的por-tfolios修改为我们的设置。假设（2.6）不适用于固定时间∈ S（λ，S），我们可能会发现λ>α>0，停止时间为0≤ τ ≤ T使P（A+）>0或P（A-) > 0，其中我们定义+，nφτ≥ 0, φτ+ φτ1 - λ1 - αSτ<-^Xmax，~Sτo，andA-,nφτ≤ 0, φτ+ φτ(1 - α） Sτ<-^Xmax，对于固定的∈ S（λ，S）和^Xmax，~S∈ X（~S，a），考虑任何Q∈ M（~S），^Xmax，~S是Q下的上鞅。因此，Q（^Xmax，~Sτ≥^Xmax，~ST）>0保持之前的停止时间τ。

还有，a s P~ Q、 我们推断P（^Xmax，~Sτ≥^Xmax，~ST）>0。让我们定义两个辅助集合B+，{^Xmax，~Sτ≥^Xmax，~ST}∩ A+，和B-, {^Xmax，~Sτ≥^Xmax，~ST}∩ A.-.很明显，P（B+）>0或P（B-) > 0.选择0<λ′<α，并考虑一个λ′-CPS，其中‘’S取值于表[（1）中- λ′）S，S]和Q∈ M（\'S；λ′），其中我们将M（\'S；λ′）表示为所有Q的集合，使得（Q，\'S）是λ′-CPS。这很容易检查（1）-α） \'S和1-λ1-排列中的α′Sstays[（1）- λ） S，S]，对于任何Q都是如此∈ M（\'S；λ′）（Q，（1）-α） 和（Q，1）-λ1-α′S）都是λ-CPS。更重要的是，这与命题有关。在[26]中，我们推导出φt+φt（1- α） \'支架φt+φt1-λ1-α-St，0≤ T≤ 都是局部可选的强Q-超马尔可夫。由于（φ，φ）是一个可接受的投资组合，因此存在一个常数a>0和‘’S∈ S（λ′，S） S、 存在一个最大值∈ X（`S，a）作为下限。接下来是0≤ V（φ，φ）τ+Xmax，\'Sτ≤ φτ+ φτ(1 - α） \'Sτ+Xmax，\'Sτ，对于任何[0，T]值的停止时间τ。eφt+φt（1）- α） \'St+Xmax\'仍然是任意Q的可选强力Q-supermartingale∈ M（`S；λ′）。考虑subsetm′（\'S；λ′），{Q∈ M（\'S；λ′）：Xmax，是Q}下的UI鞅。对于任何固定的Q∈ M′（\'S；λ′），as\'S≥ (1 - α） S，我们得到等式[V（φ，φ）T | B-] ≤ 等式[φT+φT（1- α） \'ST+Xmax，\'ST|B-] - 等式[Xmax，\'ST|B-]≤ 等式[φτ+φτ（1- α） \'Sτ+Xmax，\'Sτ| B-] - 等式[Xmax，\'Sτ| B-]= 等式[φτ+φτ（1- α） \'Sτ| B-] ≤ 等式[φτ+φτ（1- α） Sτ| B-]对偶理论与影子价格[-^Xmax，~Sτ| B-] ≤ 情商[-^Xmax，ST|B-].类似地，对于相同的下界Xmax，我们有φt+φt1-λ1-α\'St+Xmax，\'sti是任意Q的可选强Q-超鞅∈M（`S；λ′）。

同样，选择一个问题∈ M′（\'S；λ′），我们有eq[V（φ，φ）T|B+]≤ EQhφT+φT1- λ1 - α\'ST+Xmax，\'STB+i- 等式[Xmax，\'ST|B+]≤ 方程hφτ+φτ1- λ1 - α\'Sτ+Xmax，\'SτB+i- 等式[Xmax，\'Sτ| B+]=EQhφτ+φτ1- λ1 - α′SτB+i≤ 方程hφτ+φτ1- λ1 - αSτB+i<EQ[-^Xmax，~Sτ| B+]≤ 情商[-^Xmax，|ST | B+]。当P（B+）>0或P（B+）时-) > 我们得到了与V（φ，φ）T的矛盾≥-^Xmax，STP-a.s.，我们的结论成立。5.2理论证明3。1以下命题在建立定理3.1证明所需的两极结果中起着核心作用。命题5.1假设2。1、2.2和2.3暂停。家族（C（x，q））（x，q）∈坎德（D（y，r））（y，r）∈（3.4）和（3.9）中的定义具有以下性质：（i）对于任何（x，q）∈ K、 集合C（x，q）包含一个严格正常数。非负函数g属于C（x，q）当且仅当ifE[gh]≤ xy+q·r，代表所有人（y，r）∈ L和h∈ D（y，r）。（5.1）（ii）对于任何（y，r）∈ 五十、 集合D（y，r）包含一个严格正的随机变量。非负函数h属于D（y，r）当且仅当ifE[gh]≤ xy+q·r，适用于所有（x，q）∈ K和g∈ C（x，q）。（5.2）命题的支持。1是基于辅助引理的续集。引理5.1和下面的引理5.6为我们提供了一个超级套期保值结果。特别是，下面对集合C（x，q）的刻画给出了我们的对冲定理的一面。引理5.1如果（x，q）∈ K、 对于任何g∈ C（x，q），我们有eq[g]≤ x+EQ[q·ET]，Q∈ M.（5.3）22 E.Bayraktar和X.YuProof适用于任何g∈ C（x，q），存在一个V∈ H（x，q）和g≤ VT+q·ET.因此，它足以证明EQ[VT+q·ET]≤ x+EQ[q·ET]，Q∈ M、 这相当于表示eq[VT+q·ET]≤ x+EQ[q·ET]，Q∈ M（~S），~S∈ S.（5.4）根据可接受投资组合的定义，每个固定投资组合都存在一个常数a>0∈ S、 存在一个最大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）与Vτ+Xmax，~Sτ≥ 0表示所有[0，T]值的停止时间。

因此我们可以重写EQ[VT+q·ET]=EQ[VT+Xmax，~ST]- EQ[Xmax，~ST]+EQ[q·ET]。（5.5）定义setM′S，{Q∈ [9]的定理5.2断言，相对于L的范数拓扑，M′（~S）在M（~S）中不是空的且稠密的(Ohm, F、 P）。我们将首先验证产品质量（5.4）适用于所有Q∈ M′（~S）。作为Xmax，仍然是q下的UI鞅∈ M′（~S），有必要验证eq[VT+Xmax，~ST]≤ x+a，Q∈ M′（~S）。（5.6）作为∈ [(1 - λ） 很容易看出≤~Vt，其中~Vt，φt+φt ~STT∈ [0，T]。根据[27]中1.6的证明，我们得到了在每个Q∈ 因此，M′（~S）~Vt+Xmax也是Q下的一个局部可选强上乘≥ Vt+Xmax，~St≥ 0，我们可以用Fatou引理推导出▄Vt+Xmax，▄在Q下是一个可选的强上鞅。我们得到了eq[~VT+Xmax，~ST]≤ x+a，Q∈ M′（~S），这意味着（5.6）成立。因此，对于每一个∈ S、 情商[VT+q·ET]≤ x+EQ[q·ET]，Q∈ M′（~S）。（5.7）表示γT，VT+q·ET。limps的规范拓扑中M′（~S）in ~-S的密度特性表明Qn序列的存在∈ 通过（5.7），我们得到eq[γT]=limm→∞EQ[γT{γT≤m} ]=limm→∞画→∞EQn[γT{γT≤m} ]≤ 画→∞EQn[γT]≤ x+limn→∞EQn[q·ET]。对于m>0和每个1，这一点很明显≤ 我≤ N、 我们有{EiT>m}≤NXi=1EiT{PNi=1EiT>m}，P- a、 s.（5.8）对偶理论和影子价格23假设EiT≥ P项下0 a.s.意味着EiT≥ Q下0 a.s∈ M、 接下来是thatlimm→∞supQ∈MEQ[EiT{EiT>m}]=0,1≤ 我≤ N.（5.9）给定假设2。摩尔-奥斯古德定理（见[11]第102页定理5）和单调收敛定理给出了thatlimn→∞EQn[EiT]=limn→∞林姆→∞EQn[EiT{EiT≤m} ]=limm→∞画→∞EQn[EiT{EiT≤m} ]=limm→∞EQ[EiT{EiT≤m} ]=等式[EiT]，1≤ 我≤ N.因此，我们得到了那个极限→∞EQn[q·ET]=EQ[q·ET]。