具有随机禀赋和交易费用的最优投资：对偶性

因此，如果X（~S，a）中存在一个支配常数a的极大元，就会产生矛盾。用Ax（λ，S）（简称Ax）表示所有对（φ，φ）的集合∈ 交易成本λ从φ=（φ，φ）=（x，0）开始的可接受投资组合的L（R）。我们称Ux（λ，S）（shor t为Ux）为空气（φ，φ）的所有终端值的集合∈ Ax，即Ux={（φT，φT）：（φ，φ）∈ Ax}。让我们也表示Vx（λ，S）（简称Vx）这些清算值过程的所有终端值的集合，以便在时间T清算股票头寸，即。，Vx={VT:VT=φT，φT=0，（φ，φ）∈ Ax}。与可接受的投资组合相反，在我们的环境中，对可接受投资组合的定义似乎更难检查，因为它涉及所有投资组合∈ S全部为0≤ T≤ T然而，以下结果表明，检查终端时间T是有效的。命题2.1修正上述c`adl`ag、调整流程S和交易成本0<λ<1，并假设2。1等一下。固定^a>0，并针对每个^S∈ S、 拾取并固定一个^Xmax，~S∈ X（~S，^a）。对于任何（φ，φ）∈ Axand适用于每个S∈ S、 如果我们有v（φ，φ）T=φT+（φT）+（1- λ） 圣- （φT）-装货单≥ -那么对于每[0，T]值的停止时间τ，我们也有v（φ，φ）τ=φτ+（φτ）+（1- λ） Sτ- (φτ)-Sτ≥ -^Xmax，~Sτ。（2.6）命题2。1提供了检查可接受投资组合定义的便捷方法。如果存在满足supQ的随机变量B∈MEQ[B]<∞ 和V（φ，φ）T≥ -B、 命题2。1和引理2.2意味着自我融资投资组合（φ，φ）是可以接受的。

更重要的是，命题2中的后向蕴涵。1可以在超级套期保值定理的后期证明中替换超级鞅的性质。3.具有无限随机禀赋的效用最大化我们首先介绍了初始财富为x的可接受投资组合过程的原始集合∈ R其最终清算价值主导支付-q·ETbyH（x，q），{VT:VT+q·ET≥ 0，V∈ Vx}。（3.1）有效域由K，int定义（x，q）∈ R1+N:H（x，q）6=.代理人的偏好由效用函数U表示：（0，∞) → R、 它被假定为三次递增、严格凹形且连续8 E.Bayraktar和X.Yudi可区分。假设效用函数满足INDA条件U′（0），limx→0U′（x）=∞ 还有你(∞) , 利克斯→∞U′（x）=0。此外，我们还假设效用函数（U）的渐近弹性，lim-supx→∞许′（x）U（x）<1。（3.2）U（x）的凸c共轭由U（y）定义，supx>0U（x）-xy, y>0。给定（x，q）∈ K、 代理人要最大化终端财富的预期效用，包括终端清算价值和未定权益的最终支付。原始效用优化问题由u（x，q），supVT定义∈H（x，q）E[U（VT+q·ET）]，（x，q）∈ K.（3.3）设C（x，q）为原始集H（x，q）C（x，q）的实壳，{g∈ L+：g≤ VT+q·ET，VT∈ H（x，q）}，（x，q）∈ K

（3.4）U（x）的单调性意味着U（x，q）=supg∈C（x，q）E[U（g）]，（x，q）∈K.在[12]之后，我们考虑了极锥的相对内部-Kde-fined byL，ri{（y，r）∈ R1+N:xy+q·r≥ 0代表所有（x，q）∈ K} 。将B表示为λ-CPS thatB的密度值集，（Z，Z）≥ 0:Zt=EhdQdPFti和Zt=~StZt，其中Q∈ M（~S），对于每个~S∈ s.一般来说，集合B缺乏封闭性，需要适当的放大才能作为C（x，q）的对偶集合。定义3.1从严格正的初始位置（φ，φ）=（x，0）开始，其中x>0，可容许的投资组合（φ，φ）为0-a可容许的不确定性，对于每[0，T]值的停止时间τ，清算值过程满足v（φ）τ≥ 0，a.s.给定x>0，我们将用aadmx表示所有0-可容许投资组合的集合，并用Uadmx表示0-可容许投资组合的所有终端值的集合，即Uadmx={（φT，φT）∈ L（R）：（φ，φ）∈ Aadmx}，x>0。（3.5）我们还将Vadmx表示为初始位置（x，0）的所有0-容许清算值过程的终值集，使得股票中的头寸在t=t时清算，即Vadmx={VT∈ L+（R）：（φT，φT）∈ uadmx表示φT=VT，φT=0}。（3.6）对偶理论和影子价格9假设S=（St）0≤T≤Tis c\'adl\'ag，所有自负盈亏的投资组合流程（φt，φt）0≤T≤t需要能够预测有限的变化，并且可以有左跳和右跳，以获得在概率收敛下闭合的Uadmxis，详情请参见[3]和[26]。为了保留超级马丁地产，需要一个新的限额来取代法图的限额；参见[6]和[5]。所有有限停站时间的概率收敛性和可选强超鞅的概念似乎是专门为分析交易成本问题而设计的。

[6]中的以下定义在对偶集的定义中起着重要作用。定义3.2可选流程X=（Xt）0≤T≤如果所有停车时间为0，则称为optionalstrong Supermaningale≤ σ ≤ τ ≤ T，我们有[Xτ| Fσ]≤ Xσ，其中我们假设Xτ对于任何[0，T]值的停止时间τ是可积的。我们将使用可选的强上鞅来放大对偶集。对于y>0，Z（y），（Y，Y）是非负可选的stro ng supermartingales:Y=Y，YY∈ [(1 - λ） S，S]，φY+φY是一个非负性强超鞅，(φ, φ) ∈ Aadm, （3.7）安迪（y），{YT∈ L+（R）：（Y，Y）∈ Z（y）与YT=YT}，y>0。（3.8）由于[27]中的命题1.6，我们得到了That yB Z（y）。给定（y，r）∈ 五十、 我们对潜艇很感兴趣∈ Y（Y）：E[YT（VT+q·ET）]≤ xy+q·r，VT∈ H（x，q），（x，q）∈ K} ，（3.9）这是拟议的双重集合，因为r和OM捐赠可以通过其定义来避免。设抽象集D（y，r）为y（y，r）的实壳，D（y，r）={h∈ L+（R）：h≤ YT，YT∈ Y（Y，r）}（Y，r）∈ L.然后我们可以通过v（y，r），infYT定义相应的对偶优化问题为问题（3.3）∈Y（Y，r）E[~U（YT）]=infh∈D（y，r）E[~U（h）]，（y，r）∈ L.（3.10）下面的对偶定理提供了效用最大化问题最优解的存在性和唯一性（3.3）。10 E.Bayraktar和X.Yuraktar定理3.1 Let假设2。1、2.2和2.3以及条件（3.2）保持。此外，我们假设u（x，q）<∞ 对于某些（x，q）∈ K.然后我们有（i）函数u在K上有绝对值，函数v在L上有绝对值。

值函数u和v是共轭的eu（x，q）=inf（y，r）∈Lv（y，r）+xy+q·r, （x，q）∈ K、 v（y，r）=sup（x，q）∈Ku（x，q）- xy- q·r, （y，r）∈ L.（ii）最优解Y*T（y，r）到（3.10）存在，并且对所有（y，r）都是唯一的∈L.（iii）最优解V*T（x，q）到（3.3）存在并且对所有（x，q）都是唯一的∈K.（iv）有（φ0，*, φ1,*) ∈ Axand（Y0，*, Y1，*) ∈ Z（y）使得v（φ0，*, φ1,*)T=V*T（x，q）和Y0，*T=Y*T（y，r）。（v） u的超差将K映射为L，即。，u（x，q） 五十、 （x，q）∈ K（vi）如果（y，r）∈ u（x，q），最优解与y相关*T（y，r）=U′（V）*T（x，q）+q·ET），E[Y*T（y，r）（V）*T（x，q）+q·ET）]=xy+q·r.（3.11）备注3.1表示P（x，q；U）是（x，q）下所有基于边际效用的价格的集合∈ KP（x，q；U），{p∈ R:u（x）- q′p，q+q′）≤ 所有q′的u（x，q）∈ R} 。（3.12）该定义声称，在时间零点，或有权益可以以基于边际效用的价格进行交易的模型中，age nt在ETI中的持有量q是最优的。等价地，参见[12]和[13]，我们有p（x，q；U）=nry：（y，r）∈ u（x，q）o.（3.13）上述对偶定理可作为对基于边际效用的价格进行灵敏度分析和一阶展开的第一步，类似于[21]和[22]。对偶理论和影子价格114与影子价格的联系在这一部分中，我们应用对偶定理来研究具有随机禀赋的摩擦ss市场中影子价格过程的存在性。为了简化符号，我们将取N=1，因此取q∈ R.首先，我们引入了影子价格的概念。为此，我们需要准备一些定义。

对于固定的λ-CPS（Q，^S），即^S∈ S和正初始财富x>0，我们通过AADMX（^S）定义了一套市场中无交易成本的自我融资和0允许交易策略，（φ，φ）：x+Ztφud^Su≥ 0, T∈ [0，T]，φ是可预测且^S-可积的，φT=x+Ztφud^Su- φt^St.^S-市场中具有0-可容许策略的财富过程集由以下定义：对于x>0，x（^S，x），X:Xt=X+Ztφud^Su≥ 0, T∈ [0，T]，（φ，φ）∈ Aadmx（^S）.对于某些X>0和X（^S），Sx>0X（^S，X），我们将xmax表示为集合X（^S，X）中的最大元素。定义4.1针对固定资产∈ S、 如果财富过程X允许重新呈现X=X′，则在无摩擦的S-市场中，自我融资投资组合被称为可接受- Xmax，其中X′是some 0-可容许投资组合下的财富过程，Xmaxis是X（^s）中的最大元素。也就是说，所有可接受的投资组合集合都可以尽快编写（^S），（φ，φ）：x+Ztφud^Su=x′t- Xmaxt，φ是可预测且^S-可积的，其中X′，Xmax∈ X（^S）和φt=X+Ztφud^Su- φt^St，T∈ [0，T].^S-市场中所有终端财富过程的集合用vx（^S）表示，XT∈ L（R）：XT=x+ZTφud^Su=φT+φT^ST，（φ，φ）∈ 斧头（^S）,以及在可接受的投资组合下主导支付的终端财富价值集-qETis由h（x，q；^S）定义，{XT:XT+qET≥ 0，XT∈ Vx（^S）}。相应的有效域由k（^S），int{（x，q）给出∈ R:H（x，q；^S）6=}.12 E.Bayraktar和X.YuDe定义4.2 A过程∈ S、 也就是说，（Q，^S）是某些Q的λ-CPS∈ M（^S）称为影子价格过程，如果最优解（^φ，^φ）与终端财富X（^φ，^φ）T∈ H（x，q；^S）到无摩擦效用最大化问题u（x，q；^S），supXT∈H（x，q；^S）E[U（XT+qET）]，（4.1）存在于（x，q）∈ K∩ K（^S）与最优解φ一致*=(φ0,*, φ1,*) 关于交易成本λ下的问题（3.3）。

特别是，我们有u（x，q）=u（x，q；^S）。备注4.1我们对经典影子价格过程的定义比[5]和[7]更具限制性，影子价格过程通过其定义满足NFLVR条件。可接受的投资组合不同于可接受的投资组合，并且存在等价的本地鞅测度，以在影子价格市场中建立二元关系，而不产生交易成本。因此，与[7]不同的是，即使S是连续的，一致局部鞅系统（Z，Z）（se[1]的定义和等价刻画）的存在不再是随机禀赋影子价格过程存在的充分条件。备注4.2比较定义2。3和定义4.1，很容易看到 Ax（^S），因为我们需要^S∈ 因此，H（x，q）6=意味着H（x，q；^S）6= 因此K K（^S）。在定义4.2中，要求（x，q）就足够了∈ K表示u（x，q）和u（x，q；^s）的适定性。如果影子价格^S存在，无摩擦市场中效用最大化问题（4.1）的最优策略（^φ）=（^φ，^φ）可以在有交易成本的市场中实现。特别是，我们的目的是证明最优策略（φ0，*, φ1,*) 对于pr问题（3.3），在交易成本下，只有tradesif^S处于买入价或卖出价，即{dφ1，*> 0}  {^S=S}，和{dφ1，*< 0}  {^S=（1）- λ） 在这个意义上{dφ1，*,c> 0} {^S=S}，{dφ1，*,c<0} {^S=（1）- λ） S}{△φ1,*> 0}  {^S-= s-}, {△φ1,*< 0}  {^S-= (1 - λ） S-},{△+φ1,*> 0}  {^S=S}{△+φ1,*< 0}  {^S=（1）- λ） S}。

（4.2）为影子价格^S byY（y；^S）定义对偶集，Y≥ 0:Y=Y和Yt（φt+φt^St）=Yt1+Ztφud^Su,是所有人的超级艺术家（φ，φ）∈ Aadm（^S）.对偶理论和影子价格13极锥的相对内部-K（^S）表示为byL（^S），ri{（y，r）∈ R:xy+qr≥ 0代表所有（x，q）∈ K（^S）}。将Y（Y，r；^S）定义为Y（Y；^S）的子集Y（Y，r；^S），{YT∈ Y（Y；^S）：E[YT（XT+qET）]≤ xy+qr，XT∈ H（x，q；^S），（x，q）∈ K（^S）}。然后将（4.1）的对偶优化问题表示为v（y，r；^S）=infYT∈Y（Y，r；^S）E[~U（YT）]。（4.3）[5]中的示例4.1表明，如果S是c`adl`ag，则双优化器（Y0，*, Y1，*)对于问题（3.10）和影子价格预测的候选人，Y1，*Y0，*可能不是c`adl`ag，因此可能不是半鞅。阿沙多·普赖斯的存在可能会导致基因突变。然而，只要φ是有限变化的可预测过程，且μS是l`adl`ag（见[6]和[5]），且Zt^φud^Su=Zt^φ1，cud^Su+X0<u，就仍然可以定义随机积分≤T△^φu（^St）-^Su-)+X0≤u<t△+^φu（^St）-^Su），0≤ T≤ T.（4.4）上述积分仍然可以解释为自融资投资组合（^φT）0的交易收益≤T≤Twithout priceprocess^S=（^St）0下的交易成本≤T≤T、 虽然^S不是半鞅。因此，自然的问题是，我们是否可以选择商^S=Y1，*Y0，*作为基础资产，通过随机积分（4.4）确定财富在一般影子价格市场中的过程？不幸的是，答案通常是否定的。[5]中的示例4.2指出，我们可能无法使用（4.4）中定义的财富过程验证房地产（4.2）。特别是，很难保证这一点{△φ1,*> 0}  {^S-= s-}, {△φ1,*< 0}  {^S-= (1 - λ） S-},式中φ1，*是理论m3中的最优投资组合过程。1.

因此，我们无法验证（φ0，*, φ1,*) 是由^S=Y1驱动的影子价格市场中的最优解，*Y0，*. 它要求我们修改^的定义或（4.4）给出的财富过程。为了以正确的广义形式检查影子价格过程，参考文献[5]中的示例4.2显示了以下概念的重要性。定义4.3可预测的过程X=（Xt）0≤T≤如果对于所有可预测的停止时间为0，则称为可预测的强上鞅≤ σ ≤ τ ≤ T，我们有[Xτ| Fσ]≤ Xσ，其中我们规定Xτ对于任何[0，T]值的可预测s顶时间τ是可积的。14 E.Bayraktar和X.YuDe定义4.4一个夹层强超鞅是一对X=（Xp，X），使得Xp（resp.X）是一个可预测的（或可选的）超鞅，并且Xτ-≥ Xpτ≥ E[Xτ| Fτ-], （4.5）对于所有可预测的停车时间τ。对于夹层强上鞅X=（Xp，X）和有限变化的可预测过程φ，如[6]所示，随机积分在夹层意义下由ZtφudXu，ZtφcudXu+X0<u定义≤T△φu（Xt）-Xpu）+X0≤u<t△+φu（Xt）-(徐),0≤ T≤ 定义4.5如果Y=（Y，Y），我们称Y=（Y0，p，Y1，p），（Y，Y））为三明治式的强超马氏体∈ Z（y）（参见（3.7））和（Y0，p，y）以及（Y1，p，y）是夹在强超马尔可夫中的，且过程在买卖价差内，Spt=Y1，pY0，p∈ [(1 - λ） 圣-, 圣-], T∈ [0，T]。根据[5]引理A.1的证明，如果必要，通过传递到前向凸组合，我们得到以下收敛结果。引理4.1修正（x，q）∈ K

对于任何（y，r）∈ u（x，q），存在一个最小化序列Zn（y，r）=（Z0，nt（y，r），Z1，nt（y，r））0≤T≤tinb（1）到对偶问题（3.10），即[U（yZ0，nT（y，r））]v（y，r），作为n→ ∞,还有一份三明治，味道浓烈*（y，r）=（y）*,p（y，r），y*（y，r））使得（yZ0，nτ-（y，r），yZ1，nτ-（y，r））P-→ （Y0，*,pτ（y，r），Y1，*,pτ（y，r）），（4.6）和（yZ0，nτ（y，r），yZ1，nτ（y，r））p-→ （Y0，*τ（y，r），Y1，*τ（y，r）），（4.7）as n→ ∞ 对于所有[0，T]值的停止时间τ，其中Y0，*（y，r）是（3.10）的双重优化器。以确保在下一个市场中存在三明治式影子价格过程4。1.由于某些技术原因，需要以下假设。假设4.1修正（x，q）∈ K.假设存在（y，r）∈u（x，q）使得最小化序列Zn（y，r）=（Z0，nt（y，r），Z1，nt（y，r））0≤T≤Tin B（1）对双重问题（3.10）的满意程度→∞E[Z0，nT（y，r）ET]=ry.（4.8）对偶理论和影子价格15p表示所有无套利价格的s ET。对于任何一个Z∈ B（1），我们有[ZET]∈ P和P（x，q；U） P、 其中P（x，q；U）是所有边际效用价格的集合，其定义见（3.12）和（3.13）。条件（4.8）要求存在基于边际效用的价格∈ P（x，q；U），可通过最小化序列Z0，n（y，r）实现。换句话说，最小化序列Z0，nequalsry，即lim infn下无套利价格的极限→∞E[Z0，nT（y，r）ET]=ry。在这里，我们揭示了与一些基于边际效用的价格属性相关的三明治影子价格过程存在的充分条件。以下两个例子提供了满足条件（4.8）的Omes具体市场模型，分别适用于q>0和q<0的情况。例4.1我们假设ET≤ (1 - λ） 圣。