具有随机禀赋和交易费用的最优投资：对偶性

因此，我们得到如果（5.22）成立，则存在一对（φ0，nT，φ1，nT）∈ Ux（λn，Sτn）使得（φ0，n，φ1，n）=（x，0）和（φ0，nT，φ1，nT）=（φ0，nτn，φ1，nτn）=（gn，0）。通过限制n→ ∞ 以及（φ0，n，φ1，n）的凸组合，类似于引理5的证明。3，我们可以得出（φ，φ）∈ Ux（λ，S），完成了证明。证明命题。1，我们仍然需要引理5.7到引理5.10的辅助结果，如下所示。引理5.7在假设下。1，2.2和2.3，我们有`K={（x，q）∈R1+N:H（x，q）6=}, 式中，K是R1+N中集合K的闭包。证明固定任意（x，q）∈K，让（xn，qn）n≥1b是K中收敛到（x，q）的序列。我们需要验证H（x，q）6=. 选择一个序列eVnT∈ H（xn，qn），VnT=V（φ0，n，φ1，n）和（φ0，n，φ1，n）∈ Axn，n≥ 1.外稃。1给出了等式[V（φ0，n，φ1，n）T+qn·ET]≤ xn+EQ[qn·ET]，Q∈ M.（5.23）此外，xn→ x和qn→ q意味着存在有限常数k，比如xn<k（qn）i<k，1≤ 我≤ N，对N来说已经足够了。我们推断qn·ET≤ kPNi=1EiT。通过外稃2。2.由此得出，存在一个常数^a>0，并且对于每个^S∈ S（λ），存在^Xmax，~S∈ X（~S，^a）使得V（φ0，n，φ1，n）T+^Xmax，~ST≥ 0代表n largeenough。外稃5。2和引理A1。[8]中的1意味着我们可以找到φ0、n和φ1的收敛组合，n几乎肯定会分别收敛到随机变量φ和φt。此外，V（φ，φ）T+q·ET≥ 0 a.s.式中V（φ，φ）T=φT+（φT）+（1- λ） 圣- （φT）-因此，ST.Fatou引理和（5.23）意味着eq[V（φ，φ）T+q·ET]≤ 画→∞等式[V（φ0，n，φ1，n）T+qn·ET]≤ 画→∞xn+EQ[qn·ET]= x+EQ[q·ET]，Q∈ M.由此得出等式[V（φ，φ）T]≤ 十、Q∈ 勒玛先生。6保证存在可接受的投资组合（^φ，^φ）∈ ax使得V（φ，φ）T≥ V（φ，φ）T≥-q·ET。

因此，我们得到V（φ，φ）T∈ H（x，q）。对偶理论与向量p的影子价格∈ RN，我们定义了setM（p）={Q∈ M:EQ[ET]=p}（5.24）从其定义来看，p是L与超平面y的交点≡ 1.确定或有索赔的无套利价格集，引理5.8假设命题5.1的所有条件成立，并让p∈注册护士。集M（p）不是空的当且仅当p∈ P.特别是Sp∈PM（p）=M.假设下的证明2。2和2.3，引理5.8直接来自于[12]中的顶引理8，如果我们将[12]中的集合M′（p）、引理4、引理5和引理6替换为本文中的集合M（p）、引理5.1、引理5.6和引理5.7。引理5.9在命题5的假设下。1和p∈ P、 任意Q的密度过程∈ M（p）属于Y（1，p）。根据CPS的定义和[27]中的第2.3条，可以证明密度过程为Q∈ M属于（3.8）定义的Y（1）。结论由引理5.1和M（p）的定义得出。引理5.10在命题5的假设下。1，非负随机变量g属于C（x，q），其中（x，q）∈ K当且仅当ifEQ[g]≤ x+p·q，P∈ P和Q∈ M（p）。（5.25）证明假设g∈ C（x，q），引理5。1意味着不平等（5.25）。另一方面，考虑随机变量β，g- 这是从（5.25）开始的∈MEQ[β]=补充∈PsupQ∈M（p）EQ[β]=supp∈PsupQ∈M（p）（等式[g]- q·p）≤ x、 假设2。2和引理2.2意味着存在一个常数^a>0，对于每一个^S∈ S、 存在一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）和β≥ -^Xmax，ST.Lemma5。6保证存在φ=x，φ=0，V（φ，φ）T=φT的可接受投资组合≥ β. 因此我们得到了0≤ G≤ V（φ，φ）T+q·ET，这意味着V（φ，φ）T∈ H（x，q）和g属于C（x，q）。证明（命题证明5.1）我们首先证明断言（i）。假设（x，q）∈ K

我们发现一个常数δ>0，这样（x- δ、 q）∈ 自从K伊索彭。考虑VT=V（φ，φ）T∈ H（x）- δ、 很明显，ev，V（φ+δ，φ）在H（x，q）和δ中≤eVT+q·ETwhich表示δ∈ C（x，q）。设（x，q）∈ K.如果g∈ C（x，q），（5.1）在定义D（y，r），（y，r）时成立∈ L.另一方面，考虑一个非负随机变量，如E.Bayraktar和X.Yu（5.1）。因此，引理5.9给出了g满意度（5.25）。引理5.10则意味着g属于C（x，q）。很明显，对于任何k>0和（y，r），kD（y，r）=D（ky，kr）∈ L.因此，为了验证评估（ii），对于某些p，考虑（y，r）=（1，p）的情况就足够了∈ P.由于外稃。9.存在一个过程Yt=EhdQdPFTIQ∈ M（p），这使YT满意∈ D（1，p）和YT对于任何h>0 a.s∈ D（1，p），（5.2）由D（1，p）的定义决定。相反，考虑满足（5.2）的任何非负变量h。特别是，我们有EQ[gh]≤ 1.G∈ C（1,0）。因为（3.6）中定义了C（1，0）=VadM，[5]中的引理A.1断言存在一个可选的strong supermartingale（Y，Y）∈ Z（1）使得h≤ 嗯。让我们用Y来定义流程=Yt，t<t，h，t=t。它的结果是Y∈ Y（1，p）。因此我们得到h∈ D（1，p）。证明（理论证明3.1）一旦我们在命题5中建立了两极结果。1，定理3.1遵循了[12]中定理1和定理2的证明，如果我们将[20]中的一维对偶理论替换为[5]中的定理3.2，则会降低比例交易成本。5.3定理4.1的证明[10]附录I中的Theo rem 4，每一个可选强超鞅都与l`adl`ag过程无法区分。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设所有可选的强超鞅都是l`adl`ag。特别是，我们可以假设^S=Y1，*Y0，*是l\'adl\'ag。

修正（x，q）∈ K、 对于任何（y，r）∈ u（x，q），通过自融资条件和部分积分，我们推断出，*t（y，r）φ0，*t（x，q）+Y1，*t（y，r）φ1，*t（x，q）=Y0，*t（y，r）（φ0，*t（x，q）+φ1，*t（x，q）^St=Y0，*t（y，r）（x+（φ1，*·^S）t+Kt），其中（Kt）0≤T≤这是一个由KT，Zt（^Su）定义的非递增可预测过程- Su）dφ1，*,↑,cu（x，q）+Z（（1）- λ） 苏-^Su）dφ1，*,↓,cu（x，q）+X0<u≤t（^Spu）- 苏-)△φ1,*,↑u（x，q）+X0<u≤t（（1）- λ） 苏--^Spu）△φ1,*,↓u（x，q）+X0≤u<t（^Su）- （苏）△+φ1,*,↑u（x，q）+X0≤u<t（^Su）- (1 - λ） （苏）△+φ1,*,↓u（x，q）代表t∈ [0，T]。因此，证明（4.13）成立与证明（4.15）成立相等。根据假设4.1，对于某些（y，r）∈ 在B（1）中存在一个极小序列Zn（y，r），使得lim infn→∞E[Z0，nT（y，r）ET]=ry。通过定义对偶理论和影子价格35~Sn，Z1，n（y，r）Z0，n（y，r），我们可以看到，~Sn保持在买卖价差[（1- λ） S，S]和Sn∈ S在交易成本λ下。再次使用partsformula积分，我们得到φ0，*t（x，q）+φ1，*t（x，q）~Snt=φ0，*t（x，q）+Ztφ1，*u（x，q）d)Snu+Zt)Snudφ1，*,cu（x，q）+X0<u≤斯努-△φ1,*u（x，q）+X0≤u<t)Snu△+φ1,*u（x，q），所以我们可以写出φ0，*t（x，q）+φ1，*t（x，q）~Snt=x+Ztφ1，*u（x，q）d)Snu+Knt，其中Knt，Zt（)Snu- Su）dφ1，*,↑,cu（x，q）+Zt（1- λ） 苏-~Snu）dφ1，*,↓,cu（x，q）+X0<u≤t（~Snu）-- 苏-)△φ1,*,↑u（x，q）+X0<u≤t（（1）- λ） 苏--~Snu-)△φ1,*,↓u（x，q）+X0≤u<t（~Snu）- （苏）△+φ1,*,↑u（x，q）+X0≤u<t（（1）- λ） 苏-Snu）△+φ1,*,↓u（x，q）。这是一个不可预测的过程。φ1，*（x，q）是可预测的，且变化有限，从各部分的积分可以清楚地看出，Z0，n（y，r）（x+φ1，*（x，q）·Sn）是局部鞅。为了选择Sn∈ S、 根据可接受投资组合的定义，存在一个最大元素Xmax，~snx+Ztφ1，*u（x，q）dSnu+Xmax，Snt≥ V（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q）t+Xmax，~Snt≥ 另外，表示被测量的qndp=Z0，nT（y，r），我们有Qn∈ M（~Sn）。

考虑子TM′（~Sn），{Q∈ M（~Sn）：Xmax，~sni是Q}下的UI鞅。存在一个序列（Qn，m）∞m=1in m′（~Sn）收敛到L的正规拓扑中的qin(Ohm, F、 P）。对于每个Qn，m∈ M′（~Sn），因此（x+φ1，*（x，q）.~Sn+Xmax，~Sn）是Qn，m下的真s超鞅。因此，我们可以导出eqn，mhx+ZTφ1，*u（x，q）dSnu+qETi=EQn，mhx+ZTφ1，*u（x，q）d)Snu+Xmax，)SnTi- EQn，m[Xmax，~SnT]+EQn，m[qET]≤x+EQn，m[qET].36 E.Bayraktar和x.Yuma紧跟着Lemma5的脚步。1，并以m的形式通过限制→ ∞, 我们得到了ehz0，nT（y，r）（x+ZTφ1，*u（x，q）dSnu+qET）i≤ x+E[Z0，nT（y，r）qET]。（5.26）通过Fato-u引理，lemma 4.1和（5.26），我们得到了thatxy+qr=E[Y0，*T（y，r）（φ0，*T（x，q）+qET）]≤ 林恩芬→∞E[yZ0，nT（y，r）（φ0，*T（x，q）+qET）]≤林恩芬→∞E[yZ0，nT（y，r）KnT]+xy+lim infn→∞E[yZ0，nT（y，r）qET]=lim infn→∞E[yZ0，nT（y，r）KnT]+xy+qr。因此，它认为Z0，nT（y，r）KnT在L（P）中作为KnT收敛到0≤ 我们可以模仿[5]中定理M3.5的证明，证明KNT收敛到toKTalmost，因此KT=0。当K=0且K是一个非递增过程时，（4.15）得到验证，因此（4.13）也成立。5.4理论证明4。2在定理4.1的所有假设下，对于某些（y，r）∈ u（x，q）在假设中4。1，设Zn（y，r）为满足（4.8）、（4.6）、（4.7）的最小序列。对于任意X（φ，φ）T∈ H（x，q；^S），利用夹层影子价格^S下可接受投资组合的定义4.6，我们推断φT+φTSnT+qET=φT+qET≥ V（φ，φ）T+qET≥ 0.式中Sn，Z1，n（y，r）Z0，n（y，r）∈ S在交易成本λ下。法图引理暗示着，*T（y，r）（x+ZTφud^Su+qET）i=E[Y0，*T（y，r）（φT+φT^ST+qET）]≤ 林恩芬→∞E[yZ0，nT（y，r）（φT+qET）]。（5.27）定义4。6给出了一些Xmax，~Sn的存在性∈ X（~Sn，a）对于某些常数a>0，使得φT+Xmax，~SnT≥ 0 .

根据类似的证据4。1以上，我们推断出→∞E[yZ0，nT（y，r）（φT+qET）]≤ xy+qr=E[Y0，*T（y，r）（φ0，*T（x，q）+qET）]。（5.28）芬切尔的不平等性意味着Ehu（x+ZTφud^Su+qET）个体理论和影子价格37≤EhU（Y0，*T（y，r））+Y0，*T（y，r）（x+ZTφud^Su+qET）i=E[~U（Y0，*T（y，r））+Y0，*T（y，r）（φT+φT^ST+qET）]≤E[~U（Y0，*T（y，r））+Y0，*T（y，r）（φ0，*T（x，q）+φ1，*T（x，q）^ST+qET）]使用（5.27）和（5.28）。因此，通过（3.11），我们可以验证e[U（X（φ，φ）T+qET）]=EhU（X+ZTφud^Su+qET）i≤E[~U（Y0，*T（y，r））+Y0，*T（y，r）（φ0，*T（x，q）+φ1，*T（x，q）^ST+qET）]=E[U（φ0，*T（x，q）+φ1，*T（x，q）^ST+qET）]=E[U（V（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q）T+qET）]5.5理论证明4。3屋顶固定（x，q）∈ 让我们考虑一些（y，r）∈ u（x，q）。假设（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））∈ B（y）和Y0，*（y，r）∈ yM（ry）。过程（Y0，*,p（y，r），Y1，*,p（y，r））与w（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））和^S，Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）∈S在交易成本下，而且x+Rtφ1，*u（x，q）d^Su=x+Rtφ1，*u（x，q）d^Su。我们声称Y0，*（y，r）∈ Y（Y，r；^S）。[5]中命题3.7的证明已经证明Y0，*（y，r）∈ Y（Y；^S），对于anyXT，这就足够验证了∈ H（x，q；^S）和（x，q）∈ K（^S），E[Y0，*T（y，r）（XT+qET）]≤ xy+qrAs X（φ，φ）T∈ Vx（^S）对于某些（φ，φ）∈ Ax（^S），我们得到xt=x+ZTφud^Su=x′T- XmaxT，其中X′，Xmax∈ X（~S）。考虑集合M′（^S），{Q∈ M（^S）：x轴是Q}下的一个UI-ma-rtingale。我们有（x+Rtφud^Su+Xmaxt）0≤T≤在每个Q下都是非负的上界∈ M′（^S）。类似于引理5的证明。1.我们可以选择一个与Q对应的序列，其中dqdp，yY0，*T（y，r）。以n的形式传递到极限→ ∞ 在假设下。2.它产生的结果是，*T（y，r）（x+ZTφud^Su+qET）i≤ xy+E[Y0，*T（y，r）qET]=xy+qr，作为Y0，*（y，r）∈ yM（ry）。因此，权利要求Y0，*（y，r）∈ Y（Y，r；^S）成立。修正（x，q）∈ K并考虑（y，r）∈ u（x，q）。

这很容易使用[U（Y0，*T（y，r））]+xy+qr=v（y，r）+xy+qr=u（x，q）≤ u（x，q；^S）38 E.Bayraktar和x.Yu≤v（y，r；^S）+xy+qr≤ E[~U（Y0，*T（y，r））]+xy+qry0，*T（y，r）∈ Y（Y，r）。因此，我们得到u（x，q）=u（x，q；^S）和（y，r）∈ u（x，q；^S）和Y0，*T（y，r）是（4.3）定义的v（y，r；^S）的最优解。因此，（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q）是市场中效用最大化问题（4.1）的最优解，而^S是一个经典的影子价格过程。感谢E.Bayraktar获得了国家科学基金会DMS-1613170拨款和苏珊·M·史密斯教授职位的部分支持。十、 Yu获得了香港早期职业计划拨款25302116和香港理工大学创业基金拨款1-ZE5A的支持。参考文献1。Bayraktar，E.，Yu，X.：按比例交易成本下的市场生存能力。数学金融28（3），800–838（2018）2。Benedetti，G.，Campi，L.：具有比例交易成本和随机捐赠的多元效用最大化。暹罗控制与优化杂志50（3），1283–1308（2012）3。坎皮，L.，沙切迈耶，W.：卡巴诺夫交易成本模型中的超级复制定理。《金融与随机》10579–596（2006）4。Cvitani\'c，J.，Schachermayer，W.，Wang，H.：随机捐赠的不完全市场中的效用最大化。金融与随机5（2），259-272（2001）5。Czichowsky，C.，Schachermayer，W.：交易成本下投资组合优化的对偶理论。《应用概率年鉴》26（3），1888-1941（2016）6。C.Czichowsky，Schachermayer，W.：强超鞅和非负鞅的极限。《概率年鉴》44（1），171–205（2016）7。Czichowsky，C.，Schachermayer，W.，Yang，J.：连续过程的影子价格。数学金融27（3），623–658（2017）8。

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