具有随机禀赋和交易费用的最优投资：对偶性

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英文标题：
《Optimal Investment with Random Endowments and Transaction Costs: Duality
  Theory and Shadow Prices》
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作者：
Erhan Bayraktar, Xiang Yu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies the utility maximization on the terminal wealth with random endowments and proportional transaction costs. To deal with unbounded random payoffs from some illiquid claims, we propose to work with the acceptable portfolios defined via the consistent price system (CPS) such that the liquidation value processes stay above some stochastic thresholds. In the market consisting of one riskless bond and one risky asset, we obtain a type of super-hedging result. Based on this characterization of the primal space, the existence and uniqueness of the optimal solution for the utility maximization problem are established using the duality approach. As an important application of the duality theorem, we provide some sufficient conditions for the existence of a shadow price process with random endowments in a generalized form as well as in the usual sense using acceptable portfolios.
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中文摘要：
研究了具有随机禀赋和比例交易成本的终端财富效用最大化问题。为了处理一些非流动性索赔的无界随机支付，我们建议使用一致价格系统（CPS）定义的可接受投资组合，以便清算价值过程保持在一些随机阈值以上。在由一个无风险债券和一个风险资产组成的市场中，我们得到了一类超套期保值结果。基于原始空间的这一特征，利用对偶方法证明了效用最大化问题最优解的存在唯一性。作为对偶定理的一个重要应用，我们以广义形式以及通常意义下利用可接受的投资组合，给出了具有随机禀赋的影子价格过程存在的一些充分条件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Optimal_Investment_with_Random_Endowments_and_Transaction_Costs:_Duality_Theory_.pdf (424.05 KB)

2022-5-8 00:45:36 上传

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关键词：交易费用 交易费 maximization Mathematical Quantitative

MFE稿件号（将由编辑插入）具有随机禀赋和交易成本的最优投资：对偶理论和影子价格Serhan Bayraktar·项羽收到：日期/接受：日期摘要本文研究了具有随机禀赋和比例交易成本的终端财富的效用最大化问题。为了处理一些非流动性索赔的无限随机支付，我们建议使用通过一致价格系统（CPS）定义的可接受投资组合，以便清算价值过程保持在一些随机阈值以上。在由一种高风险ss债券和一种高风险资产组成的市场中，我们得到了一类超套期保值结果。基于原始空间的这一特征，利用对偶方法建立了效用最大化问题最优解的存在唯一性。作为对偶定理的一个重要应用，我们以类似于[5]的广义形式以及通常意义上使用可接受的投资组合，提供了具有随机禀赋的影子价格过程存在的一些充分条件。比例交易成本·无界随机禀赋·可接受投资组合·效用最大化·共凸对偶·影子价格sJEL分类：G11，G131简介效用最大化的最优投资是定量金融的一个基础研究课题。在无摩擦的市场中，两者的问题。密歇根大学数学系，美国密苏里州安阿伯市教堂街530号，邮编：48109电子邮件：erhan@umich.eduX.Yu香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡，邮编：xiang。yu@polyu.edu.hk2E.Bayraktar和X.Yuliquid资产和非流动性或有权益最近受到了广泛关注，并得到了显著发展。

在模型中，假设投资者在某个时间点从某个或有收益中获得随机收益。在完全市场中，随机捐赠可以通过流动资产对动态交易组合进行有效对冲。因此，有一定回报的最优投资问题会导致没有随机捐赠，但初始财富增加的问题。当市场不完善时，问题变得更加微妙。特别是，要建立处理不可边缘的随机禀赋的凸凹对偶理论，需要新的技术，尤其是在禀赋是无限的情况下，参见示例[4]、[12]、[19]和[23]。参考文献[18]、[30]、[24]和[28]也研究了中间消耗为红色时的这个问题。在存在市场摩擦的情况下，效用最大化问题主要取决于工作组合过程的定义。基于s-e鞅性质和随机积分的传统分析在具有事务成本的通用环境下不起作用。因此需要新的方法。在多资产模型中，使用凸偿付能力锥和严格一致价格系统（SCPS）仔细定义了自我融资的可接受投资组合。超级赫丁定理是在不同的市场假设下发展起来的，参见[16]、[17]、[25]和[3]中的内容。在一种债券和一种风险资产的简单情况下，允许的投资组合是通过要求清算价值过程保持在某个恒定下限以上来定义的，参见[27]和[26]。

最近在[26]中，一个易于应用的super Hedging定理是在假设股价过程允许任意小交易成本的CPS的情况下建立的。作为对现有文献的重要补充，本文旨在研究交易成本和无界随机禀赋下的效用最大化问题。我们注意到[2]首先研究了随机捐赠的最优投资问题。然而，为了应用[3]中的up-er套期保值定理，[2]仍然适用于可容许的投资组合，并且假设它们的随机禀赋满足ET∈ L∞为了保证最优解的存在性。当有界性假设放松时，可接受投资组合的定义不再适用，需要修改，因为恒定下限将被证明是一种非自然约束。在无摩擦市场中，可接受投资组合的定义由[9]和[12]引入，其中财富过程集合中的一些最大元素可以作为随机阈值。然而，在交易成本的情况下，从可接受的投资组合过程中选择的最大元素不能作为下限，参见[14]中的一些反例。最近，在卡巴诺夫的多资产框架中，交易成本由矩阵值过程建模，在[29]中，使用凸偿付能力锥和SCP提出了可接受投资组合的新定义。这项工作的主要贡献之一是在[27]和[26]中所述的简单环境中定义可接受的portfoliosin。在本文中，如果清算价值过程低于对偶理论和影子价格，那么自融资投资组合被称为可接受的。3与所有CPS（Q，~S）相关的一些过程。

我们定义的主要思想是，当CPS被视为基础资产时，从一组没有交易成本的健康过程中选择一些最大元素作为随机阈值。与[29]中的定义2.3（另见[3]中的定义2.7）相比，值得注意的是，我们框架中的自我融资投资组合条件更加明确，财务解释也很好。然而，我们需要付出的代价是，由于我们需要验证一系列自融资过程中的某个极限仍然是自融资，因此证明超边际结果通常比较困难。在凸偿付能力锥的帮助下，这种收敛结果在[3]和[29]中被认为是理所当然的。同时，与[29]中的定义2.3不同，在每个投资组合过程中强制规定了随机下限，我们将重点放在每个清算价值过程上。由于在[3]的引理2.8中缺乏超马尔-廷格尔性质来证明可接受投资组合集的封闭性，因此出现了一些新的数学挑战。特别是命题2中的后向蕴涵。本文的第1部分对于我们获得[3]和[29]中不需要的封闭性结果至关重要。假设股票价格过程允许所有小交易成本的PSC，我们最终能够验证命题2.1，从而使用可接受的投资组合建立超级套期保值结果。最优解的存在性和唯一性是建立在超套期保值结果和凸分析基础上的对偶定理的结果。本文还将对偶定理应用于影子价格过程的存在性。

粗略地说，如果一个过程^S在买卖过程中演化，并且在交易成本和两个最优投资组合过程重合的情况下，^S中的最优摩擦导致与原始市场中相同的效用价值函数，则该过程称为ashadow价格。如[5]所述，候选影子价格过程由^S，Y1，*Y0，*其中（Y0，*, Y1，*) 是对偶定理中的极小值。如果股票价格过程S是c`adl`ag，则^S可能不是半鞅，因为它可能不是c`adl`ag。为了克服这一困难，[5]考虑了一个以基因夹心的方式定义的sha dow过程，例如t^Sp=Y1，*,pY0，*,pand^S=Y1，*Y0，*式中（（Y0，*,p、 Y1，*,p） ，（Y0，*, Y1，*)) 是一种夹在三明治中的强力超级颜料，请参见定义4。4和定义4.5。尽管影子价格过程不是c`adl`ag，但使用有限变化的可预测过程作为被积函数，仍然可以很好地定义随机积分。在[5]中，可以定义修改后的自我融资和允许的投资组合流程，并完成影子价格流程的验证。对于无限的随机捐赠，我们可以使用修改后的可接受投资组合，扩展[5]给出的三明治影子价格过程的定义。据我们所知，研究随机捐赠中的影子价格过程对文献来说是新的，我们希望增加一些有趣的视角。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了具有交易成本的市场模型和可接受的投资组合流程的定义。第三节给出了E.Bayraktar和X.Yuments无界随机赋权下的效用最大化问题。然后介绍了对偶空间和相应的对偶优化问题。最后给出了对偶理论的主要结果。

第4节提供了一些充分条件，并建立了一个三明治影子价格过程的存在性，该过程由一个可预测的和一个可选的强超鞅组成。还讨论了通常意义下阿沙多价格过程的存在性。第5节包含主要定理和所有辅助结果的证明。2市场模型我们考虑由一种无风险债券和一种风险资产组成的市场模型。无风险债券B被假定为常数1，其金额作为数值。股票价格由严格正且局部有界的自适应c`adl`ag过程（St）0建模≤T≤t一些经过筛选的概率空间(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）满足正确连续性和完整性的通常假设。时间范围由T>0给出。此外，我们认为这是微不足道的，FT=FT-ST=ST-. 交易风险资产会产生交易成本，也就是说，我们可以以S的价格购买股票，但只能以（1）的价格出售-λ） 在这里，S表示要价（1）-λ） S表示投标价格和[（1）- λ） S，S]称为买卖价差。定义2.1对于给定的价格过程S=（St）0≤T≤当交易成本0<λ<1时，λ-一致价格系统（λ-CPS）是一对（Q，~S），使得QI是一个相当于P，~S=（~St）0的概率测度≤T≤t将其值写入投标报价表[（1）- λ） S，S]=（[（1）- λ） [St，St]）0≤T≤坦德斯是一个Q-lo calmartingale。将S（λ，S）（简称S）表示为所有＠的集合，使得（Q，＠S）是交易成本为λ的CPS。对于每个∈ S、 也将集合M（~S）表示为所有概率度量Q的集合，使得（Q，~S）是λ-CPS。用M，S~S定义se t M（λ，S）（简称M）∈SM（~S）。请注意，在物理概率测度P下，每个S都是一个半鞅。给定初始财富a>0，将X（S，a）表示为S-市场中所有非负财富过程的集合∈ s

这是x（~S，a），nX≥ 0:Xt=a+（H·S）t，其中H是可预测的，且可S-可积的，t∈ [0，T]o.X（~S，A）中的财富过程称为最大财富过程，用Xmax，~S表示，如果其终值Xmax，~st不能被X（~S，A）中的任何其他过程控制。假设2.1对于每0<λ′<1，价格过程S承认λ′-CPS。交易策略φ=（φ，φ）0≤T≤t分别以无风险资产和风险资产的单位表示在重新平衡投资组合后的持有量，时间t.（φ，φ）称为交易成本λ的自融资（见[27]和[5]），如果对偶理论和影子价格5（i）φ=（φ，φ）0≤T≤这是一对可预测的有限变化过程。（ii）对于有限变化的任何过程sφ，φ=x+φ↑- φ↓表示其Jordanhan分解为两个非递减过程φ↑和φ↓两者都为零。（φ，φ）满足条件ztsdφu≤ -ZtsSudφ1，↑u+Zts（1- λ） Sudφ1，↓u（2.1）a.s.适用于所有0≤ s<t≤ T，其中ztssudφ1，↑u、 ZtsSudφ1，↑,cu+Xs<u≤tSu-△φ1,↑u+X≤u<tSu△+φ1,↑u、 和ZTS（1- λ） Sudφ1，↓u、 Zts（1）- λ） Sudφ1，↓,cu+Xs<u≤t（1）- λ） 苏-△φ1,↓u+X≤u<t（1）- λ） 苏△+φ1,↓由于S是c\'adl\'ag，因此UCA可以定义为Riemann-Stieltjes积分。这是我们的定义△φt，φt- φt-和△+φt，φt+- φt值得注意的是，由于S是c`adl`ag，我们需要考虑投资组合过程φ的左右跳跃。一般来说，三个值φτ-, φτ和φτ+可能不同。如果停止时间τ完全不可访问，φ的可预测性意味着△φτ几乎可以确定为0。

但如果停止时间τ是可预测的，则两者都可能发生△φτ6=0和△+φτ6= 0.假设债券中的初始位置（φ，φ）=（x，0）且风险为单独设置，其中x∈ R、 我们用v（φ）t，φt+（φt）+（1）定义清算值a t乘以t- λ） 圣- （φt）-St.现有文献中对工作投资组合的传统定义假定清算价值过程的阈值不变，参见[27]：R+价值调整的c`adl`ag过程的定义2.2 s=（St）0≤T≤当交易成本0<λ<1时，如果存在常数a，则称为自筹交易策略φ≥ 对于每[0，T]值的停止时间τ，V（φ）τ=φτ+（φτ）+（1- λ） Sτ- (φτ)-Sτ≥ -a、 a.s.从现在起，通过允许在t=0时交易N个欧洲未定权益，最终支付额=（EiT）1，市场被扩大≤我≤N.我们表示q=（qi）1≤我≤Nas在未定权益中的静态持有量等。通过允许q取负值，而不丧失一般性，我们只能考虑以下情况：≥ 0代表所有1≤ 我≤ N.每个EIT都可以是无界的，但它是一个假设，即Pni=1在以下意义上与集合M一致可积：6 E.Bayraktar和X.Yuimm→∞supQ∈MEQNXi=1EiT{PNi=1EiT>m}= 0.（2.2）显然，（2.2）意味着最终的超级价格∈MEQ[PNi=1EiT]<∞ 支付的费用=1EiT。事实上，与一致可积的德拉瓦利-普桑定理的证明类似，验证假设2的等价条件也很简单。引理2.1假设2。当且仅当存在带limx的Borel检验函数φ（x）时，2成立→∞φ（x）x=∞ 真是太好了∈MEQ[φ（X）]<∞, （2.3）我们定义X=PNi=1EiT。如果存在，函数φ（x）可以在非递减凸函数类中选择。

特别是，如果对于某些p>1，随机禀赋ETI的p阶矩在al lλ-CPS下是超可对冲的，即supQ∈MEQ[Xp]<∞, （2.4）假设2。2满足有界随机捐赠的要求∈ L∞, 假设2。2.坚持到底。引理2.1指出，要求q·ET是足够的∈ Lp（Q）对于某些p>1和所有Q∈ M.假设2。2是一个数学条件，我们需要稍后证明超级套期保值结果。以下结果成立（参见[29]中引理2.1的证明）。引理2.2在假设下。2.存在一个常数a>0，使得每个S∈ S、 存在一个最大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）和pni=1EiT≤Xmax，~ST.假设2.3适用于任何q∈ Rn如果q 6=0，则随机变量q·ETI在λ-CPS下的市场中不可复制。为了处理无限的r andom捐赠，上述可接受投资组合的定义是不合适的。需要放宽常数下限作为随机阈值。按照[29]的想法，我们将提出修改后的工作组合，如下所示。定义2.3适用于R+值的自适应c`adl`ag过程S=（St）0≤T≤当交易成本0<λ<1时，如果存在常数a，则称为可接受的自融资交易策略φ≥ 0和fo各S∈ S、 存在一个最大元素Xmax，~S∈ 对于每[0，T]值的停止时间τ，V（φ）τ=φτ+（φτ）+（1- λ） Sτ- (φτ)-Sτ≥ -Xmax、~Sτ、a.S.对偶理论和影子价格7备注2.1每个可接受的投资组合过程都是可接受的，因为任何给定常数a>0都是X（~S，a）中的最大值。事实上，对于each∈ S、 存在问题~ P，使得∧S是Q-局部鞅。因此，每一个S都是无鞅的，满足了风险消失条件下的非免费午餐，详情见[8]。