具有随机禀赋和交易费用的最优投资：对偶性

因此（5.4）适用于任何Q∈ M（~S）和任何~S∈ S、 它完成了证据。对于超级对冲结果的另一面，我们需要更细致的工作。固定一个常数^a>0，并定义A0，^aas所有对φ=（φ，φ）的集合∈ A和每个∈ S、 存在一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）使得V（φ）T+^Xmax，~ST≥ 我们打算证明s et A0，^aare中的元素以概率为界。事实上，A0中元素的任何凸组合，^aarealso的概率有界。对于A0，^aby中的任何序列，通过传递到凸组合，这是获得几乎确定的共收敛结果的第一步。引理5.2假设S和0<λ<1满足前面的假设，并假设（CP Sλ′）在局部意义上满足某些0<λ′<λ。对于^a>0，我们可以找到一个概率度量Q~ 存在常数C>0和C>0，这样对于所有（φ，φ）∈ A0，^a，我们有eqhkφkTi≤ C^a，（5.10）andEQhkφkTi≤ C^a，（5.11），其中kφk表示φ的总变化。证明0<λ′<λ如上所述。共谋者∈ S（λ′，S）使得∈ [(1 -λ′）St，St]和（~St）0≤T≤这是所有Q的局部Q鞅∈ M（~S；λ′）。因为引理的断言是局部类型的，我们可以通过选择停止来假设S是真鞅。我们也可以假设φT=0，因此stock中的头寸在时间T被清算。假设（φ，φ）是交易成本λ和（φ，φ）=（0，0）下的n个可接受投资组合。通过φ′t=（（φ）′t，（φ）′t）定义新工艺φ′=（（φ）′，（φ）′t）=φt+λ- λ′1 - λφ0,↑t、 φt, 0≤ T≤ T.由于[26]中引理3.1的证明，（（φ）′，（φ）′）是交易成本λ′下的自我融资过程。由于（φ，φ）在交易成本λ下是可接受的，并且对于任何λ′<λ的情况，很明显S（λ′，S） 根据24 E.Bayraktar和X.Yu的观点，存在一个常数a>0，并且对于每个S∈ S（λ′，S），存在aXmax，~S∈ 使V（φ）τ≥ -Xmax，~Sτa.S。

此外，很容易看出Vτ（φ′）≥ Vτ（φ）由φ′的定义。因此，在交易成本λ′较小的情况下，我们得到φ′=（（φ）′，（φ）′）是一个可接受的投资组合。根据[26]的命题1.6，我们看到V（φ′）t≤~V（φ′）twhere~V（φ′）t，（φ）′t+（φ）′t~S，~S∈ S（λ′，S）和∧V（φ′）是在所有Q条件下的局部光学强超马氏体∈ M（~S；λ′）。对于每个固定的∈ S（λ′，S），根据可接受投资组合的定义，存在常数a和最大元素Xmax，~S∈ 使V（φ′）t≥ - 因此，我们得到V（φ′）t+Xmax，~St≥ 0是可选的强上鞅。对于这个函数，考虑setM′（~S；λ′）{Q∈ M（~S；λ′）：Xmax，是Q}下的UI鞅。每个Q∈ M′（~S；λ′），我们得到EQ[（φ）′T+（φ）′T~ST]=EQ[（φ）′T+（φ）′T~ST+Xmax，~ST]- 等式[Xmax，~ST]≤0+a- a=0。通过（φ）′和（φ）′的定义，我们推导出eq[φT+φTST]+λ- λ′1 - λEQ[φ0，↑[T]≤ 0.因为φT+φTST≥ V（φ）Tand~S∈ S、 通过定义，存在一个常数^a>0和^Xmax，即V（φ）T≥ -^Xmax，ST.我们得到等式[φ0，↑[T]≤1.- λλ- λ′EQ[^Xmax，~ST]≤(1 - λ） ^aλ- λ′, Q∈ M′（~S；λ′）作为^Xmax，是Q下的上鞅∈ M′（~S；λ′）。因为对于任意Q，关于L的范数拓扑，集合M′（~S；λ′）在M（~S；λ′）w中是稠密的∈M（~S；λ′），法图引理引出q[φ0，↑[T]≤1.- λλ - λ′^a.对于每个∈ S（λ′），φT=φT+φT)S≥ -^Xmax，通过前面的参数和φT=0。因此，可以得出φ0，↓T≤ φ0,↑T+^Xmax，对于每个Q∈ 当Xmax是Q下的一个上鞅时，我们可以推导出等式[φ0，↑T+φ0，↓[T]≤ 21- λλ - λ′^a+^a，完成了（5.10）的证明。关于（5.11），我们可以遵循[26]中引理3.1的证明。首先，我们有dφ1，↑T≤dφ0，↓tSt。（5.12）AsS是Q-局部超鞅，因此它是Q的Q-S超鞅∈ M（~S；λ′）。

很容易看出inf0≤T≤TSt（ω）是Q-a.s.严格正的St>0，Q-a.s。。因此，inf0≤T≤T~St（ω）也是P-a.s。我们可以得出，对于任何>0的情况，都存在δ>0，使得Phinf0≤T≤TSt<δi<。（5.13）结合（5.10），（5.12）和（5.13），推导出一个控制方程[φ1，↑[T]≤ k^a对于某些k>0的情况。最后，我们回忆起φT=0，这意味着φ1，↑T=φ1，↓因此（5.11）成立。现在，我们需要验证setUx（分别为Vx）的封闭性，以获得超级套期保值结果。特别是，考虑x=0的情况是不够的。适用于可接受的投资组合流程定义2。2、Fatou clos是一个合适的概念，见附录5。第5页，共[15]。如[26]中所述，一个序列（φnT）∞n=1in L（R）Fatou收敛于φT∈L（R）如果有M>0这样的that V（φ0，n，φ1，n）t≥ -M和φntsa。s、 对于φT，如果集合在Fatou收敛下是闭合的，则它是Fatou闭的。由于我们可接受投资组合的随机下限，必须使用以下替代定义修改viousFatou之前的封闭性。定义5.1为每个^S修正一些^a>0∈ S、 我们选择并固定一个最大元素^Xmax∈ X（~S，^a）。如果对于任何序列（φ0，nT，φ1，nT），则称集合U（resp.V）是相对封闭的∈ Uwhich satifies V（φn）T≥-^Xmax，ST，S∈ S（分别为φ0，nT≥ -^Xmax，ST，S∈ S） 并收敛到（φT，φT）∈L（R）（分别为φT）∈ 几乎可以肯定，我们有（φT，φT）∈ U（分别为φT∈ 五） 。备注5.1在二维环境中，让我们通过（φ，φ）引入L（R）的偏序 （ψ，ψ）如果V（φ）-ψ, φ-ψ） T≥ 0，a.s。。

因此，在上述定义中，我们也可以说（φ0，n，φ1，n）相对收敛于（φ，φ），如果存在一个常数^a>0 s，那么对于每个s∈ S、 我们可以得到^Xmax，~S∈ （φ0，nT，φ1，nT） (-^Xmax，~ST，0）和（φ0，nT，φ1，nT）几乎肯定收敛到（φT，φT）。引理5.3修正S=（St）0≤T≤将0<λ<1与上述假设进行比较。1等一下。布景和瓦雷都相对封闭。验证固定值^a>0，且对于每个^S∈ S、 选择并fix^Xmax，~S∈ X（~S，^a）。考虑一个序列（φ0，nT，φ1，nT）∈ Usuch that V（φn）t≥ -^Xmax，KSTand（φ0，nT，φ1，nT）收敛到某个（φT，φT）∈ L（R）。多亏了命题2。1，我们可以推导出，对于任何[0，T]值的映射时间τ，V（φn）τ≥26 E.Bayraktar和X.Yu-^Xmax，~Sτ。正则分解这些过程φ0，nT=φ0，n，↑T- φ0，n，↓Tandφ1，nT=φ1，n，↑T- φ1，n，↓T.多亏了引理5.2，[26]中定理3.4的证明可以在我们的环境中逐字进行，我们可以找到一个可预测的递增过程φ0，↑= (φ0,↑t） 0≤T≤t序列eφ0，n，↑t收敛到φ0，↑t对于所有0≤ T≤ T类似的结果适用于φ0，↓, φ1,↑φ1，↓. 这些过程都是可预测的、递增的，并且满足条件（2.1）。定义过程（φt，φt）0≤T≤Tbyφt=φ0，↑T- φ0,↓tandφt=φ1，↑T- φ1,↓t、 这个过程是一个可预测的、自我融资的投资组合过程。此外，对于每个∈ S、 as V（φn）τ≥ -对于所有[0，T]值的停止时间τ，我们得到V（φ）τ≥ -^Xmax，~Sτ作为f（φn）的收敛性∞n=1为所有t提供位置∈ [0，T]。我们可以得出结论，（φ，φ）是一个可接受的投资组合，即（φ，φ）∈ U、 因此，相对而言，法头是封闭的。

Vfollows的证明也有同样的论点。在封闭性属性之后，我们需要继续刻画二维随机变量的辅助集W（x；λ，S）（简称W（x）），以获得超级套期保值结果，其中我们定义了新的（x）={（W，W）：W=φT+ess inf∈SXmax，~ST，W=φT，用于（φT，φT）∈ UX及其相应的阈值Xmax，定义可接受的投资组合}。此外，我们还可以使用辅助集W∞（x） 有界随机变量s作为集合W（x）中的元素，在W∞（x） =W（x）∩ L∞.定义5.2表示所有对的集合ZT=（ZT，ZT）∈ L+（R；FT）使得E[ZT]=1和E[WZT+WZT]≤ x+Ehess infS∈SXmax，~STZTi，（5.14）适用于所有（W，W）∈ W∞（x） 。每个（ZT，ZT）∈通过设置ZiT=E[ZiT | Ft]、i=0、1、~St=ZtZt和dqdp=ZT，可以用一对（Q，~S）来识别Z。然而，这里的测度Q仅对P是绝对连续的。下面的引理建立了“zan”和λ-CPS定义之间的关系，并表明集合“Z”实际上独立于随机禀赋Q·ET的选择。引理5.4假设≤ K表示某些常数K表示所有0≤ T≤ T每个Z∈\'Z，定义鞅Z=（Zt，Zt）0≤T≤TbyZit，E[ZiT | Ft]，i=0,1,0≤ T≤ T.对偶理论和影子价格27我们将得到St，zt∈ [(1 - λ） St，St]，0≤ T≤ T、 反过来，假设Z=（Zt，Zt）0≤T≤这是一个R+值的P-鞅，使得Z=1和∧St=zt取[（1）中的值- λ） St，St]a.s.{Zt>0}。然后是ZT=（ZT，ZT）∈\'Z.选择任何ZT∈假设存在一个[0，T]值的停止时间τ，使得Q（~Sτ>Sτ）>0。

让我们考虑一下str ategyat=- 1，Sτ{Sτ>Sτ}Kτ，tk（T），0≤ T≤ T、 （5.15）正是因为at=（φT，φT）∈ Uis是t的一种自我融资策略∈ [0，T]。此外，很明显，对于每个∈ S、 我们可以选择Xmax，~S≡ 1如W=φT+Xmax，~S=φT+1∈ L∞W=φT∈ L∞这样和（W，W）∈ W∞(0). 利用S是鞅的fac t，我们可以按照[26]中4.2的前置式推导出一个矛盾。也就是说，我们计算出ATEP[WZT+WZT]=EP-ZT+ZTSτ{Sτ>Sτ}+ 1=EPEP-ZT+ZTSτ{Sτ>Sτ}Fτ+ 1=EP“Zτ-1+SτSτ！{Sτ>Sτ}#+1=EQ“-1+SτSτ！{Sτ>Sτ}#+1>1，这与（5.14）相矛盾。如果Q（~ST>ST）>0，我们可以考虑投资组合过程=- 1号街{ST>ST}JT并推导出一个类似的矛盾，因此≤ 所有0≤ T≤ T如[26]中命题4.2的证明所示，策略bT=（（1- λ） Sτ，-1） 1{Sτ<（1）-λ） Sτ}Kτ，tk（T），0≤ T≤ T、 和b′T=（（1）- λ） 圣，-1） 1{ST<（1）-λ） ST}JT K（t），0≤ T≤ 美化英国电信∈ U（分别为b\'T∈ U） 。注意V（b）t≥ -K（resp.V（b′）t≥ -K） 对于t∈ [0，T]，选择Xmax，~S=K表示所有~S就足够了∈ S.通过选择W=φT+K∈ L∞W=φT∈ L∞, 我们明白了（W，W）∈ W∞(0).根据前面的证明，我们可以证明≥ (1 - λ） ST0≤ T≤ T使用上述组合结构（bt）0≤T≤Tand（b′t）0≤T≤T.对于其他方向，对于任何（W，W）∈ W∞（0），我们有WZT+WZT=（φT+ess-inf~S）∈SXmax，~ST）ZT+φTZT28 E.Bayraktar和X.Yu=（φT+φT~S*T+ess-inf-S∈SXmax，~ST）ZT，其中（Q*,~S*) 是由（ZT，ZT）诱导的对。定义随机变量E=ess inf∈SXmax，~ST）ZT。就这样WZT+WZT≤ 情商*hφT+φTS*T+Xmax，~S*钛-情商*hXmax，~S*Ti+EQ*[E] 。（5.16）拆分上述积分是安全的，因为W∈ L∞, W∈ L∞以及两者的最大值*T≥ 0和E≥ 0 P-a.s.和Q*-a、 s。。因此，期望*hφT+φTS*T+Xmax，~S*这是很明确的。

我们可以简单地模仿引理5的证明。1并获得（5.14）的有效性，从而完成（ZT，ZT）∈\'\'Z.我们现在从辅助集合W传递∞（0）对于集合W（x）和特征，集合W（x）仍然使用相同的对偶集合Z。引理5.5假设≤ 对于某些常数K>0，0≤ T≤ T我们可以用集合Z byW（x）=n（W，W）来刻画集合W（x）∈ LC（R）：E[WZT+WZT]≤ x+E[ess infS∈SXmax，~STZT]，ZT∈“Zo，（5.17）其中（a，b）∈ LC（R）满意度（a、b） (0, 0).二维环境下的证明，在Remark5中定义了偏序。1，对于任何常数κ>0，很容易验证W的交点∞（0）带球{ξ：kξk∞≤ κ} 概率是封闭的。[15]中的提案5.5.1给出了∞（0）很弱*闭合（即，在σ（L）中闭合d∞, 五十） ）。如理论5所示。[15]中的5.3，我们有以下特征：∞（0）=n（W，W）∈ L∞C（R）：E[WZT+WZT]≤ E[ess infS∈SXmax，~STZT]，Z∈ （U）∞)oo、 As W∞（0）包含负正品-L∞（R） ，其极性（W∞(0))o因此，定义为（W∞(0))o=n（ZT，ZT）∈ L（R）：E[WZT+WZT]≤ E[ess infS∈SXmax，~STZT]，（W，W）∈ W∞（0）o.根据定义5。2和引理5.4，很明显，\'Z=（W∞(0))o, 因此，我们得到了∞（0）=n（W，W）∈ L∞C（R）：E[WZT+WZT]≤ E[ess infS∈SXmax，~STZT]，对偶理论和影子价格29Z∈“佐。（5.18）然后，我们声称∞（0）在W（0）中相对密集。也就是说，让我们考虑任何（φT，φT）∈ 在^a>0的情况下，对于each~S∈ S、 这是一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）使得V（φ，φ）T+^Xmax，~ST≥ 我们需要证明存在一个序列（W0，n，W1，n）∈ W∞（0）使（W0，n，W1，nT）→（W，W）a.s.定义setEn，n|VT（φ，φ）+ess inf∈S^Xmax，~ST|≤ n、 |φT |≤ 否，（5.19），表示集合En的补码。通过φ0，nT，φ10定义序列（φ0，nT，φ1，nT）- ess inf-S∈S^Xmax，~STEcn，φ1，nT，φ10。为了0≤ t<t，让我们选择φ0，nt=φ和φ1，nt=φt。

因此，（φ0，nt，φ1，nt）是一个自我融资的投资组合。事实上，检查终端时间T是不够的。如果埃肯出现，我们通过清算结束头寸。然后，我们确定了序列W0，n，φ0，nT+ess inf∈S^Xmax、~ST、W、φ1、nT和W、φT+ess inf ~S∈S^Xmax，~ST，W，φT，Wi，n→ Wia。s、 for i=0，1 as（φ0，nT+ess-inf-s）∈S^Xmax，ST，φ1，nT）→（φT+ess-inf-S）∈S^Xmax，~ST，φT）a.S.此外，定义如下（φ0，nT，φ1，nT） (-^Xmax，ST，0）为wehaveV（φ0，n，φ1，n）T+^Xmax，ST≥ V（φ，φ）10-^Xmax，~STEcn+^Xmax，~ST=V（φ，φ）十+^Xmax，~STEn=V（φ，φ）T+^Xmax，~STEN≥ 因此，（W0，n，W1，n） （0，0）对于每一个n。此外，我们还有v（φ0，n，φ1，n）T+ess inf~S∈S^Xmax，ST=V（φ，φ）T+ess-inf-S∈S^Xmax，STEN∈ L∞.它得到（W0，n，W1，n）∈ L∞C（R），这意味着索赔成立。通过使用（5.18）和W∞（x） 在W（x）中是相对法图密集的，根据Lemma5之前的所有结果，很容易验证（5.17）、E.Bayraktar和x.Yuma中的特征。2对于引理5.5，我们最终可以为可接受的投资组合s构建超级套期保值定理的另一面。proo f在很大程度上依赖于引理5.5中的特征（5.17）。假设价格过程在引理5中一致有界。5.在这里，使用本地化序列的技巧是必要的。引理5.6修正一些x∈ R.设g是一个R值、FT可测量的随机变量，这样就存在一个常数a>0，并且对于每个S∈ S（λ），存在一个Xmax，~S∈ X（~S，a）带g+Xmax，~ST≥ 0.如果对于每个λ-CPS（Q，~S），即对于所有Q∈ M、 我们有eq[g]≤ x、 （5.20）然后存在一对（φ，φ）∈ 使得（φ，φ）=（x，0）和（φT，φT）=（g，0）。证明S是局部有界的，让我们考虑局部化序列（τn）n∈看看那个圣徒∧τn≤ K（n）。

定义=g、 关于{τn=T}，essinfQ∈M（λ，S）等式- 埃辛∈S（λ）Xmax，STFτn, 关于{τn<T}。很明显（gn）∞n=1是Fτn-可测的，且Gn收敛到g，P-a.s。。设0<λn<λ是一个增加到λ的实数序列。对于每个固定的n∈ N、 我们考虑交易成本为λN的停止过程SτN。很容易检查，对于0<λ′<1，S的任何停止的λ′-CPS（Q，~SτN）也是SτN的λ′-CPS。此外，根据[26]中的命题6.1，对于任何停止的λ′-CPS（Q，~SτN），我们得到的是真正的Q鞅而不是Q-局部鞅。因此，对于任何0<λ′<1，停止的进程τnadmits aλ′-CPS（Q，~S），使得~S是Q-鞅。根据[26]中orem 1.4的证明，对于每一个固定的n，我们只考虑λn-CPS（Q，~S），以便~S在排列中取值[（1-λn）Sτn，Sτn]和∧S是真Q-鞅。设（Z，Z）表示关于停止价格过程Sτn的λn-CPS（Q，~S）的关联鞅。我们将为原始价格过程S构造一个λ-CPS（\'Z，\'Z）。Fix0<λ′<λ-λn.假设2。1给出了λ′-CPS（^Z，^Z）的存在性，其中^Zis是鞅，^Zis是局部鞅。让我们定义“Zt=（Zt，0≤ T≤ τn，^ZtZτn^Zτn，τn≤ T≤ T、 还有“Zt=（（1- λ′）Zt，0≤ T≤ τn，（1）- λ′）^ZtZτn^Zτn，τn≤ T≤ T.很明显，\'Z（resp.\'Z）是P下的正鞅（resp.local martingale），d\'QdP=\'zt定义了F上的一个概率测度，它是e等价性理论和影子价格31p。此外，对于0≤ T≤ τn，我们在spre ad[（1）中有\'Zt\'Zt停留- λn）（1-λ′）St，（1）- λ′）St]。另一方面，对于τn≤ T≤ T，我们可以验证“Zt”Zt位于[（1- λn）（1- λ′）St，（1）- λ′）St]。因此，\'Z\'Z在[（1）中取值- λ） S，S]。我们首先声明E\'Q[gn]≤ E\'Q[g]。（5.21）为了了解这一点，让我们表示f，- 埃辛∈S（λ）Xmax，ST.

作为“Q”∈ M（λ，S），它遵循E\'Q[gn]=E\'Q[g1{τn=T}]+E\'Q[gn{τn<T}]≤ E\'Q[g1{τn=T}]+E\'Q[E\'Q[f|fτn]1{τn<T}]=E\'Q[g1{τn=T}]+E\'Q[f1{τn<T}]。回想一下g≥ f、 P-a.s.，因此g1{τn<T}≥ f1{τn<T}，P-a.s。。因此g1{τn<T}≥ f1{τn<T}，\'Q-a.s.因为e\'Q~ P.我们推导出e\'Q[f1{τn<T}]≤ E\'Q[g1{τn<T}]，这意味着（5.21）成立。通过（5.20），（5.21）和gnis Fτn-可测量的事实，我们可以得出eq[gn]=E¨Q[gn]≤ E\'Q[g]≤ x、 （5.22）对于每个固定n∈ N、 考虑一对（φ0，nT，φ1，nT）/∈ Ux（λn，Sτn），其中我们将停止过程Sτ视为具有交易成本λnsuchφi，nt=φi，nτnτn的隐藏价格过程≤ T≤ T通过对集合W（x；λn，Sτn）的定义和W（x；λn，Sτn）的表征（5.17），对于任意常数an>0和任意最大值，~Sn∈ 具有特性（φ0，nT，φ1，nT）的X（~Sn，an）(-我们有E[W0，nZ0，nT+W1，nZ1，nT]，E[（φ0，nT+ess-inf~Sn∈SeXmax，SnT）Z0，nT+φ1，nTZ1，nT]>x+E[ess inf-Sn∈对于某些（Z0，nT，Z1，nT）∈\'Z（λn，Sτn）。特别是，我们可以选择一些最大元素sexmax，~Snt≡ 安福≤ T≤ T，因此ess infSn∈SeXmax，~SnT≤ anis可积。因此，φ0，nT+φ1，nTZ1，nTZ0，nTis qn可积分，其中dqndp=Z0，nT。我们可以得到方程qn“φ0，nT+φ1，nTZ1，nTZ0，nT#>x。在qn仅对P绝对连续，但不等价于P的情况下，上述论点断言，S的任何λn-CPS都是Sτn的λn-CPS。因此，存在一些（\'ZT，\'ZT）∈\'Z（λn，Sτn）使得\'ZT>032 E.Bayraktar和X.Yua。s、 对于0<β<1的充分匹配，定义^Zn=β^ZT+（1- β） ZnT。我们得到了^Z0，nT>0 a.s.定义^Snt=^Z1，nT^Z0，nT和d^QndP=^Z0，nT。我们有（^Qn，^Sn）是λn-CPS，还有E^Qn[φ0，nT+φ1，nT^SnT]>x，这不能满足（5.22）。