首次价格拍卖模型中模糊性的经验相关性

例如，在木材拍卖会上，每个出价者在出价之前都会“巡游”同一个地方。根据1967年的《哈尔萨伊条约》，我们将拍卖解释为具有相同信息结构的投标人之间的不完整信息的集合。根据假设1和2，这意味着每个投标人在第一次价格拍卖7中使用相同合理分布集合中最悲观的分布来确定其预期效用，并据此选择出价。由于Gilceboa和Schmeidler（1989）对集合Γ应该是什么保持沉默，实际上计量经济学家必须选择集合。选择将影响估计和推断。为了说明选择Γ的重要性，我们考虑了一个广泛使用的模型（在统计学和经济学中），称为ε-污染模型，其中Γ是可以写成（1）的所有分布的集合- ε） 和（ε）真实分布F（·| n）和其他分布R（·|n）的组合，并表明这种准量化抵消了由于模糊性而产生的任何战略影响。例1。(ε- 污染）让ε∈ （0，1）为NBIDER所熟知。在ε污染模型下，分布集定义为Γn（ε）：={F（·n）：F（·n）=（1）- ε） F（·n）+εR（·n）带R（·n）∈ Pn}，这对经济都市人来说是未知的。尽管投标人知道ε，但他们不知道F（·n）。设βn:[v（n），v（n）]→ R是一个严格递增的b i加函数。在假设1和假设2下，目标函数（1）可以写成axx∈[v（n），v（n）]minF∈Γn（ε）u（v）- βn（x））F（x | n）n-1=最大值∈[v（n），v（n）]u（v- βn（x））F*（x|n）n-1F在哪里*（v | n）=（1）- ε） F（v | n）·1[v<v（n）]+1[v=v（n）]，其中1（A）是事件A的指示器。我们使用符号F*（·|·）以最具压力分布。

用Γn（ε）解MEU模型也解EU模型sincearg maxx∈[v（n），v（n）]u（v-βn（x））[（1- ε） F（x | n）]n-1=arg maxx∈[v（n），v（n）]u（v-βn（x））F（x | n）n-1.直观地说，这是因为用ε衡量的模糊性将所有投标人的真实分布比例提高了一个系数（1）- ε） 因此不影响获胜的相对概率。在这个模型中，一阶条件（FOC）是u′[v- βn（v）]β′n（v）u[v- βn（v）]（n- 1） =f*（v|n）F*（v | n）=（1）- ε） f（v|n）（1）- ε） F（v | n）=F（v | n）F（v | n），（2）表明，即使F（·| n）存在模糊性，只要反向危险率不受影响，这种模糊性在战略上是无关的。ThisSeeHuber（1973）；伯杰（1985）；伯杰和柏林（1986）；西村和小崎（2004）；Cerreia Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Montrucchio（2013）使用ε污染模式l.8 G.ARYAL和D.Kimal结论适用于集合的任何其他参数化，而不仅仅适用于ε污染模型。因此，对于如何指定集合Γn，我们应该小心。我们只假设Γn，而不是参数化Γn Pn是一个弱紧的凸邻域，它能保证绝对连续的最不利分布（和密度）的存在。假设3。为了所有人∈ N、 人们都知道，布景 Pn在F（·| n）周围形成一个严格增加且连续可微分的d i分布的弱紧凸邻域，例如*（·n）∈ Γn，F*（v|n）≤ F（v | n）表示所有F（·n）∈ Γnand的密度为*（·| n）>0，a.e.在假设1-3下，每个投标人选择一个投标，以最大化其对F的预期效用*（·| n）在*（v|n）≤ F（v | n）表示所有v∈[v（n），v（n）]和f或all f（v | n）∈ Γn.假设3保证F*（·n）∈而且它是独一无二的。

该假设意味着Γn中的所有分布实际上是绝对连续的，且具有公共支撑[v（n），v（n）]。（因此，排除了示例1中的ε污染。）此外，由于只有较低的*（v|n）是常识，而不是整个集合Γn，我们隐含地允许投标人有不对称的信念，即Γn，如果每个i=1，n、 只要一个集合，Γn，i，有相同的下包络，F*（v|n）。我们只关注对称纯策略贝叶斯纳什均衡。特别是，每个投标人都猜测她的对手使用了严格递增（纯）的投标策略，并宣布了对该猜测的最佳响应，在均衡状态下，该猜测被证明是正确的。一旦我们认出F*（·| n）在MEU下的作用与在EU下的F（·| n）的作用相同，一个独特的对称贝叶斯纳什均衡的存在，其特征是βn（·）严格增加，如下所述：Maskin和Riley（1984）；阿西（2001）。这种投标策略将潜在价值映射到观察到的投标。Guerre、Perrigne和Vuong（2000）表明，当投标人是风险中性的时，该地图可以反转，将每个投标链接到一个唯一的值，从而识别yingF（·n）。Guerre、Perrigne和Vuong（2009）；Campo、Guerre、Perrigne和Vuong（2011）扩展了这一结果，以允许规避风险的投标人。现在，我们将这些结果扩展到MEU代表。设D:[0,1]→ [0，1]求解投标人目标的最小部分，使得d[F（v | n）]：=F*（v | n）=minF∈ΓnF（v|n），五、∈ [v（n），v（n）]。同样地，在第一次价格拍卖中的模糊性∈ [0,1]D（γ）：=F*高频-1（γ| n）因此，它将真实概率F（·n）映射到最悲观的概率F*（·| n）。所以，D（γ）≤ γa和D′（0）>0。当存在歧义时，对于所有γ，D（γ）都小于γ∈ （0，1）使D（·）与45o线条衡量歧义的程度。

当所有- 1） 投标人遵循βn（·），遵循v值：maxx∈R+minF∈Γnu[v]- βn（x）]F（x | n）n-1.= 马克斯∈R+u[v]- βn（x）]D[F（x | n）]n-1..当在x=v下计算时，关于x的一阶条件给出-u′[v]- βn（x）]β′n（x）D[F（x|n）]+u[v- βn（x）]（n- 1） D′[F（x|n）]F（x|n）=0。重新排列这些术语会得到一个微分方程，它将最优投标策略描述为：u[v]- βn（v）]u′[v- βn（v）]=D[F（v|n）]D′[F（v|n）]（n）- 1） f（v|n）/β′n（v）. （4） 引理1。设λ（x）：=u（x）/u′（x）表示x∈ R.为所有人v∈ （v（n），v（n）]风险规避投标人的均衡投标策略满足微分方程（4），βn（v（n））=v（n）和β′n（v（n））=（n-1） λ′（0）（n）-1)λ′(0)+1.引理的第一部分表示，具有最低价值的投标人将出价她的真实价值，Maskin和Riley（1984年），而引理的第二部分表明，较低边界的投标策略斜率独立于分布Guerre、Perrigne和Vuong（2009年）。设H（γ）：=D（γ）/D′（γ）表示γ∈ [0,1]或alt ernat ivelyH（γ）=F*高频-1（γ| n）NIFFF-1（γ| n）nif*高频-1（γ| n）镍。在FOC（4）中替换λ（·）和H（·）得到λ[v]- βn（v）]=H[F（v | n）]（n- 1） f（v|n）/β′n（v）。（5） 在解决识别问题之前，我们先定义可观察到的东西。LetG（·| n）是平衡出价b:=βn（v）对v的分布~ F（·| n），即G（b | n）=F[β-1（b）|n]及其密度为g（b |n）：=f[β-1（b）|n]β′n[β-1n（b）].10g.芳醛和D.金莱特vγ和bγ是该值和平衡标的γ-次分位数。因为γ=F（vγ| n）=G[βn（vγ）| n]=G（bγ| n），对于每个分位数γ∈ [0,1]，（5）变成λ（vγ）- bγ）=H（γ）（n- 1） g（bγ| n）。（6） 在i.i.d.假设下，g（·| n）与投标数据是非参数识别的，但在没有额外假设的情况下，模型原语不是通用识别的，包括集合Γn:命题1上的假设。

在假设1-3下，估值分布F（·n）不是通过对投标分布的了解来确定的，即G（·n）。证据设[U（x）=x，F≡ U（0，1）]和D（γ）=（exp（2γ）- 1） /（实验（2）- 1） 贝思模型。然后由βn（v）=v给出均衡竞价策略-ZvF*（t） F*（五）N-1dt=v-ZvD（F（t））D（F（v））N-1dt=v-Zv经验值（2t）- 1exp（2v）- 1)N-1dt。考虑另一个具有风险中性投标人的模型，~D（γ）=（exp（γ）-1） /（实验（1）-1） 还有一些新的CDFF（·）6=F（·）（将在下文稍后确定）。然后，均衡竞价策略由βn（v）=v给出-Zv ~~D（~F（t））~D（~F（v））！N-1dt=v-Zvexp（~F（t））- 1exp（~F（v））- 1.N-1dt。如果F（v）=ln，这两个模型在观测上是等价的1+（exp（2v）- 1） 实验（1）- 1exp（2）- 1.鉴于这个结果，我们考虑外生参与的拍卖。假设4。外部参与：N∈ N、 ΓN=Γ和F（·N）=F（·）。假设4已被Athey和Haile（2002）在文献中使用；巴贾里和奥尔塔,csu（2005年）；Guerre、Perrigne和Vuong（2009年）；阿拉迪拉斯·洛佩兹、甘地和昆特（2013）等。这相当于假设存在一些值为（v，…，vn′）的n′潜在投标人，其中n的一个随机子集≤ n’出价人在给定的拍卖中出价。这种识别假设适用于实验数据，其中，由集合Pn外部选择的投标人数量与ll n相同∈ N因为Γ也一样，所以F也一样*（·）保持冷静。第一次价格拍卖中的模糊性。然而，当效用函数未规定时，这种排除限制仍然不足以识别。提议2。在假设1-4下，模结构[u（·），F（·）]不是由G（·| n）和G（·| n）非参数识别的，且n<n。

我们首先陈述（无需证明）来自Guerre、Perrigne和Vuong（2009）的合理化引理，该引理适用于我们的环境。引理2。设Gj（·| nj）是（bj，bj，…，bjnj）的j点分布，条件是j=1，2。存在一个具有最大期望效用的IPV拍卖模型，即[u（·），F（·）]，当且仅当以下条件成立时，该模型使G（·| n）和G（·| n）合理化：（1）Gj（bj，…，bjnj | nj）=Qnji=1Gj（bji | nj），其中Gj（·| nj）是与NJJ竞买人的投标分配形式拍卖。(2) λ：R+→ R+和H:[0,1]→ R+使得λ（0）=0，H（0）=0，H（·）是连续可微的，且λ′（·）≥ 1使得[b，b]上的ξ′（·）>0，其中ξ（b，u，G，n，H）是这样的：（a）ξ（bj，u，Gj，nj，H）：=bj+λ-1hH（Gj（bj | nj））（nj-1） gj（bj | nj）i，j=1,2。（b） 对于每个分位数γ∈ [0,1]，bγ+λ-1hH（γ）（n）-1） g（bγ| n）i=bγ+λ-1hH（γ）（n）-1） g（bγ| n）i.那么，我们可以识别λ-1（·）作者：Follower Guerre、Perrigne和Vuong（2009）。设[F（·），λ（·），H（γ）：=γ]和[＠F（·），λ（·），＠H（γ）：=ι+γ]∈ （0，1）是两个模型结构，＠F（·）是＠v的分布，定义如下：对于每个分位数γ∈ （0，1]计算v（γ）=F-1（γ）并测定bjγ=β[vγ，F（·），nj，H]和vγ=bjγ+λ-1“ι+γ（nj- 1） gj（bjγ| nj）#。由于这两个模型结构满足引理2的条件2-b，它们都将相同的数据进行了分析，因此在观测上是等价的。这一结果很重要，因为它表明，即使在投标人数量的外部变化下，MEU和EU在观测上是等效的。这种等价性并不是因为我们使用MEU。例如，考虑汉森和萨金特（2001）的乘数偏好作为MEU的替代方案。在这里，可以证明，这个具有模糊性的模型等价于λ（·）可逆的模型，因为λ′（·）≥ 1.12克芳醛和D。

Kim更倾向于规避风险，但没有任何模糊性。此外，在没有模糊性的情况下，模型结构[u（·），F（·）]仅由n6=n的G（·| n）和G（·| n）的知识来识别，对于模糊性，我们必须识别一个额外的参数，即模糊函数D（·）。鉴于这个结果，我们仅限于CRRA家族，它也是经验文献中使用最广泛的。假设5。效用函数是CRRA，即，u（w）=w1-θ1-θ, θ ∈ [0，1）。因此，我们对风险规避和模糊规避采用参数函数形式进行非参数化处理。这种优先评估任务的方式是否正确，取决于CRRA效用无法捕捉到的风险规避效果。为此，我们需要估计非参数效用和非参数模糊度的模型，但唯一能够估计isLu和Perrigne（2008）对风险规避进行了非参数估计，并发现CRRA效用部分地反映了非参数效用。这为模糊性优先于风险规避提供了一些理由。那么在假设5下，λ（w）=w1-θ当θ∈ [0，1）。正如命题1和命题2所说，没有排除限制，假设4，模型是无法识别的。即使使用参数化的效用函数也是如此。我们现在根据CRRA正式建立了排除限制下模型原语的识别。命题3.在假设s1–5下，模型结构，即[f（·）、D（·）、θ]，由G（·| n）和G（·| n）识别，n<n。我们确定风险规避参数，然后确定估值分布。用β′n（v）=f（v|n）/g（βn（v）|n）表示n=n，我们得到β′n（v）β′n（v）=f（v|n）g（βn（v）|n）×g（βn（v）|n）f（v|n）=g（βn（v）|n）g（βn（v）|n），其中第二个等式从假设4开始，即。

f（v | n）=f（v）。在下边界v=v处评估上述方程，并使用λ′（0）=该等价性的证明使用了Strzalecki（2011）和Dupuis和Ellis（1997）的结果，并可根据要求提供。这也表明，与inLu和Perrigne（2008）一样；Athey、Levin和Seira（2011），如果我们在拍卖形式上存在外生变异，并且存在排除限制，我们可能能够非参数地识别效用和模糊性。我们不接受这类调查，因为此类数据非常罕见。关于非参数效用的估算，请参见Kim（2015）。首价拍卖中的模糊性131-引理1中的θ（假设5），即β′n（v）=（n- 1） /（n）- θ），给出（n）- 1） （n）- θ） （n）- θ） （n）- 1） =β′n（v）β′n（v）=g（b|n）g（b|n），从而将θ识别为θ=n（n）- 1） g（b|n）- n（n）- 1） g（b|n）（n）- 1） g（b|n）- （n）- 1） g（b | n）。（7） 然后使用λ-1（y）=（1）- θ） 在（6）中，我们得到了- b=λ-1.H[G（b | n）]（n- 1） g（b|n）= (1 - θ)H[G（b | n）]（n- 1） g（b|n）对于每个分位数γ∈ [0,1]，设vγ∈ [v，v]使得F（vγ）=γ，而bjγ：=βnj（vγ）。然后，因为G（bjγ| nj）=G[βnj（vγ）|nj]=F（vγ）=γ，对于每个γ∈ [0,1]，我们有vγ=bjγ+（1- θ） H（γ）（nj）- 1） g（bjγ| nj）。（8） j在哪里∈ {1, 2}. 将v的分位数在两次拍卖下相等，我们确定yH（γ）=bγ- bγ1- θ（n）- 1） g（bγ| n）-（n）- 1） g（bγ| n）-1，D（γ）=exp-ZγH（t）dt.一旦确定了D（·），就可以从方程（8）中确定F（·）。投标分布由观察到的投标数据直接确定，而RRA参数θ由最低投标人的投标行为确定。在控制了风险规避的影响后，任何偏离欧盟模式的行为都可以解释投标人对模糊性的态度，识别D，从而识别f。一个直接的推论是识别风险中性投标人，即θ=0.3的情况。

估计方法在本节中，我们提出了一种灵活的贝叶斯方法来估计模型原语——估值分布、D函数和风险规避系数——并提出政策建议。我们首先指定模型原语，并通过将其应用于模拟数据来解释我们的计量经济程序。14 G.ARYAL和D.Kim图1。Bas是伯恩斯坦多项式密度的函数0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10123（a）k=30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 101234（b）k=40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10246（c）k=6图2*面板（a）-（c）分别显示了具有3、4和6个分量的伯恩斯坦多项式密度的基函数。3.1. 模型原语的规格说明。我们直接指定模型原语，通过评估每个建议参数的可能性来获得后验分布。因此，估算方法与toKim（2014）类似，不同于Guerre、Perrigne和Vuong（2000）的间接方法。首先，我们使用Bernstein多项式密度（自此，BPD）f（v |θfk）：=kXj=1θfj，kφj，k（v），（9）对估值密度进行建模，其中k∈ N\\{0，1}，φj，k（·）是参数为j和k的β密度- j+1和θfk∈ K-1:={θfk∈ Rk+：Pkj=1θfj，k=1}，a k- 一维单位单纯形。如图1所示，{φj，k}是通用且灵活的。由于BPD是k个β密度的混合体，随着k的增加，方程（9）中的BPD集在具有[0,1]支持的连续密度空间中形成一个稠密子集。因此，我们的规格足够灵活，可以代表首次价格拍卖中几乎所有的歧义密度。k.Petrone（1999a，b）依靠BPD的这一特性开发了非参数贝叶斯估计方法。接下来，我们指定D函数。

在图1中，只有φ1，kin序列{φj，k}kj=1在0处严格正，只有φk，kis在1处严格正。所以，如果φ1，k，k的系数为零，那么（9）中的BPD在0和1时为零。利用这个性质，我们将D-函数指定为：D（γ|θDk）：=γ- θD“k-1Xj=2θDj，kφj，k（γ）#1（θD>0），（10）其中θDk:=（θD，θD2，k，…，θDk）-1，k）∈ R×K-3和1（·）是指示器功能。（10）中的第二项，在负号之后，在0和1处等于零，它是有界的，因为它是BPD的一部分。因此，（10）中的D（γ|θDk）通过（0,0）和（1,1），并且总是从上方以o线当D（·）等于45o线，没有失真，因此，没有歧义。该规范有助于确定歧义，因为歧义的存在完全由一个参数θD表示。如果事件的后验概率{θD，我们将得出结论，投标人是歧义规避者（分别为中性）≤ 0}小于（分别大于）后验概率{θD>0}。当不存在歧义时，无论采用何种估计方法，D函数的估计都会向下偏移，因为我们必须施加D（γ）≤ γ约束。Andrews（1999）指出，这是一个众所周知的问题，当参数位于参数空间的边界时，就会出现这个问题。在贝叶斯方法下，我们可以通过把一个正的prio r masson{θD≤ 0}，因为如果确实没有歧义，那么没有歧义的后验概率将超过先验概率。有关此想法的实施，请参见第3小节。3-3.4和第4节。最后，让θu∈ [0，1）是CRRA系数，设θ：=（θfk，θDk，θu）∈ Θ是模型参数的向量，其中Θ表示参数空间。3.2. 经验环境和可能性。我们观察了来自TNN拍卖的BID数据样本∈ N:={N。