首次价格拍卖模型中模糊性的经验相关性

在每次拍卖会上，n}个竞拍者。Letz代表整个样本，即z:={（b1，n，tn，…，bn，n，tn）Tntn=1}n∈n总样本量为| z |=Pn∈NnTn。我们假设，对于每一个tn=1，注意：考虑中的每个模型都必须有一个正的先验质量。根据规范（10），由于θD，很容易在无歧义的模型上加上正的先验质量≤ 0<=> D（γ）=γ.16 G.芳醛和D.基姆和每n∈ Nv1，n，tn，vn，n，tniid~ F（·）和投标是平衡结果，因此bin，n，tn=βn（vin，n，tn，F（·））。根据假设4，我们注意到F（·）不依赖于n。由于拍卖和投标人之间的价值是独立的，因此样本中所有拍卖和投标人的投标也是独立的。设βn（·|θ）为均衡竞价策略，β′n（·|θ）为其导数，其中θ为参数，\'bn（θ）：=βn（1 |θ）为最高竞价。数据的连接密度可以通过asp*（z |θ）=Yn∈NTnYtn=1nYin=1f[β-1n（bin，n，tn |θ）|θ]1[bin，n，tn≤\'bn（θ）]β′n[β-1n（bin，n，tn |θ）|θ）。（11） 由于似然（11）没有闭合的形式表达式，逆加法函数及其导数必须在z中的每一个观测值上进行数值近似，这可能会很耗时，尤其是当| z |较大时。为了避免这种情况，我们遵循Kim（2014）的方法，对投标空间进行离散化，并使用相关的多重三项似然法。为了发展多项式似然，我们需要引入一些新的符号。让Bn [0,1]包括给定n的所有出价{bin，n，tn}，并让{[b]*dn-1，b*dn]}Dndn=1对容器序列进行编码，使Bn=∪Dndn=1[b*dn-1，b*dn]。让v*dn:=β-1n（b）*dn |θ）是（b）中所有节点的反标*, . . . , B*Dn）。bin概率由πdn（θ）=Pr（b）给出∈ [b]*dn-1，b*dn]|θ）=Pr（v）∈ [v]*dn-1，v*dn]|θ）=Zv*dnv*dn-1f（v |θ）dv。由于βn（·|θ）严格增加，我们可以确定（v*, . . .

五、*Dn）使用分段三次Hermite插值多项式方法，并在节点（v）处计算πDn（θ）*, . . . , 五、*因为f（v |θ）是β密度的混合物。另外，让ydn:=PTntn=1Pnin=11（bin，n，tn∈ [b]*dn-1，b*dn]）是[b]中的投标数量*dn-1，b*dn]对于dn∈ {1，…，Dn}，n∈ N.每个N的相关样本直方图∈ 然后N是yn:=（y，…，yDn），可以将其视为投标密度的非参数估计，直至标准化。jointKim（2014）开发了一种具有模拟可能性的Bayesian方法，该方法没有模拟误差。Y:={yn}n首价拍卖中的模糊性∈然后给出asp（Y |θ）∝伊恩∈NDnYdn=1{πdn（θ）}ydn。（12） 我们使用似然法从后θ（1）中提取随机参数，θ（S）~ p（θ| Y）∝ p（θ）p（Y |θ）与先验密度函数p（θ）在Θ上，使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，如高斯Metropolis-Hastings算法。3.3. 插图在本小节中，我们将使用模拟投标样本解释该方法的实现。我们首先概述了数据生成过程（DGP），描述了先验分布，并提供了计算后验概率并使用后验概率进行推理和决策的详细步骤。3.3.1. 模拟数据。本小节中的估值密度f（·）是[0,1]上的均匀密度和参数（2,4）为贝塔密度的混合，混合权重分别为0.2和0.8。密度f（·）未嵌套在（9）中的BPD中。我们用上标0表示真参数。我们使用的DGP如图e3所示：面板（a）显示f（·），面板（b）显示D函数（实线），面板（c）显示θu=0.3（实线）的CRRA效用函数。面板（b）和（c）中的虚线是45o-分别代表歧义和风险中性的行。

三元组（f，D，θu）收集模型原语。面板（d）表示卖方的预期收入∏n（ρ），作为底价ρ的函数。我们考虑N={2，5}的拍卖。设ρn:=arg maxρ∏n（ρ）表示储备价格最大化的结果（此后为RMRP）。RMRP分别为ρn=2=0.25和ρn=5=0.14，相应的（最大化）收入分别为0.30和0.9。分别为524。RMRPρ依赖于n，除非投标人是风险中性和模糊中性的。当n=2时，选择正确的RMRP比在n=5时使用零保留价更重要，因为∏n=2（ρn=2）比∏n=2（0）高3.73%，而由于竞争，则∏n=5（ρn=5）≈ πn=5（0）。根据该DGP，我们为每个拍卖会抽取300个出价，其中有n个投标人，因此（Tn=2，Tn=5）=（150，60），总共有600个出价。让zdenote记录这些模拟数据。在图5中，我们用实线展示了样本的汇总统计数据（样本平均值、标准偏差和偏斜度）。我们将数据索引为1，因为这是蒙特卡罗实验中的第一个数据集，稍后我们将有更多数据集。18 G.ARYAL和D.Kim图3。数据生成过程和收益函数0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.52（a）估值密度值0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81（b）D函数0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81（c）效用函数0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.8（D）收益曲线服务价格收益=2n=5↓ρn=2=0.25↑ ρn=5=0.14图4*Panal（a）显示估值密度，panel（b）以实线绘制D函数和o-虚线中的线。面板（c）显示了CRRA效用函数（θu=0.3），其中o-线最后，面板（d）展示了卖方的预计收入作为n的服务价格的函数∈ {2,5}投标人拍卖。3.3.2. 之前的规格。计量经济学家应该选择先验分布来反映他对θ的信念和不确定性。

然而，在本节中，由于我们知道DGP，我们之前的信念将是一个近似DGP的退化分布。使用这样一个强大的先验将阻止我们有效地检查我们的方法的性能，因此我们选择一个使用相当不同且相对容易指定和评估的先验分布。假设θfk、θDk和θuare在先验条件下共同独立：p（θ）=p（θu）p（θfk）p（θDk）。（13） 我们采用前独立性只是为了方便，但后独立性将按照数据z的建议一致地更新相互依赖性。现在，我们可以在（13）的RHS上指定每个组件。首先，我们对θuby使用统一的m prioron[0，0.9]，我们将排除不合理的强烈风险规避，并避免当θui太接近1时出现的数值错误。第二，我们在第一次价格拍卖中使用模糊性，如图5所示。后验预测分析0。1 0.2 0.30.20.40.60.8std（bn=2）平均值（bn=2）-20.20.40.60.8偏度（bn=2）平均值（bn=2）-20.050.10.150.20.250.3倾斜度（bn=2）标准差（bn=2）0.10.20.30.40.50.60.70.8标准差（bn=5）平均值（bn=5）-20.20.30.40.50.60.70.8偏度（bn=5）平均值（bn=5）-20.10.150.20.250.30.35偏度（bn=5）标准（bn=5）图6*每个面板通过投标数据的点来展示汇总统计数据在先前数据下的分布，并以实线展示原始数据的汇总统计数据（样本平均值、标准偏差和偏斜度）。当n=2，n=5时，统计数据分别为（0.23,0.12,0.40）和（0.32,0.18,0.62）。θfk的Dirichlet过程，即pθf1，k，θfk，k∝kYj=1θfj，kafj，k，其中af>0和（af1，k，…，afk，k）∈ K-1.先验的这种形式在非参数贝叶斯分析中得到了广泛的应用，k是一个随机参数，对N有完全的支持。

这里，afj，Krev给出了关于v∈J-1k-1，jk-1.当v~ f（v |θfk），在（9）中的BPD，和AFD代表了这种信念的力量。关于更正式的治疗，见Ferguson（1973）；埃斯科瓦尔和韦斯特（1995年）；彼得龙（1999a，b）。我们设置了afj，所有j的k=0.1∈ {1，…，k}，这是一个关于均匀分布的弱信念。第三，我们构造了θDkas:p的先验θDk∝Qk-1j=2θDj，k阿达杰，kD（γ|θDk）>0× 1D′（γ|θDk）>0θD∈ [-0.05, 0.55],20 G.ARYAL和D.Kimal，其中aD>0，（aD2，k，…，aDk-1，k）∈ K-3并设置aDaDj，所有j的k=0.1∈ {2，·k-1}. 前两个指标对数据功能施加了符号和形状限制，即它是正向的，并且严格增加，以便F*（·）始终是有效的DF。最后一个指示器允许θDto的最小值-0.05，这与之前的模糊中立信念有关。但是，上界0.55非常大，因此它不会对D函数的形状施加任何限制。最后，我们设置k=6。在计算后验概率之前，通过先验预测分析检查先验和模型中关于数据的信息内容是有用的（Geweke，2005）。我们从前面的a中提取θ，并使用它生成sizeequal作为z的投标样本，并计算与之前相同的汇总统计数据（样本平均值、标准偏差和偏斜度）。我们重复这项练习五百次，在图5中展示了这些统计数据的散点图，以可视化之前的结果。这些点分散在Z的统计数据周围这一事实表明，所选择的先验是不同的，并且先验可以对数据进行分类（红线的交点包含在先验的支持中）。我们发现，模糊中性的先验概率约为26%。后验计算。

为了探索后验分布，我们使用了Haario、Saksman和Tamminen（2001）的自适应Metropolis（以下简称AM）算法，这是高斯Metropolis-Hastings（以下简称GMH）算法的一个（轻微）变体。假设θ（s）是算法中的sthdraw，并且Ohm 是与θ一致的适当维的协方差矩阵。在GMH算法下，我们从N（θ（s）中画出一个候选θ，Ohm) 定义θ（s+1）：=θ与概率，以及θ（s+1）：=θ与剩余概率。因为N（θ（s），Ohm) 充分支持欧几里德空间，从定理4.5.5 inGeweke（2005）我们知道我们可以对估值密度和数据函数使用不同的平滑参数，但我们使用相同的k只是为了计算方便。此外，我们可以使用贝叶斯模型选择或允许k为r andom（Bayesian非参数分析）形式上选择k，但我们选择k是因为它似乎对本文中的所有实验都是有效的，而且在蒙特卡罗实验中，它的计算成本是合理的，我们多次实现了该方法。Aryal和Kim（2013）；Kim（2013、2014）正式地将chosek和Petrone（1999a、b）视为一个随机参数。第一价格拍卖中的模糊性，即无论任何可测函数h（·）的初始点θ（0），asS→ ∞,SSXs=1h（θ（s））a.s-→ E[h（θ）|Y]=Zh（θ）p（θ| Y）dθ。例如，h（·）可以是估值密度（9）或D函数。然而，在实践中，GMH算法的性能取决于尺度参数的选择Ohm. 如果Ohm 如果太小，θ将非常接近θ（s），GMHalgorithm将无法有效地探索参数空间Θ，如果Ohm 如果是toolarge，建议函数通常会生成不太可能位于后验概率之下且最有可能被拒绝的候选θ。

如果θ是低维向量，则可以选择合适的nOhm, 但如果它是一个高维反射器，情况就不是这样了。为了解决这个问题，我们采用了自动调谐的AM算法Ohm 利用θ（1）的历史，θ（s）-1） 每一步。具体而言，Haario、Saksman和Tamminen（2001）建议使用Ohms=(Ohm如果是≤ sc（|θ|）cov（θ（0），θ（1），θ（s）-1） ）+c（|θ|）εI |θ|如果s>s，（15）其中c（|θ|）是一个常数，它取决于|θ|，θ的尺寸，Ohm是一个初始协方差矩阵，ε是一个小的正常数，I |θ|是恒等矩阵。AM算法使用Ohm代替Ohm, 如果后部从上方有界且具有有界支撑，则收敛到后部。在我们的例子中，这两个条件都是满足的，因为先验有界支撑，而多项式似然从上到下是有界的。像Haario、Saksman和Tamminen（2001）一样，我们使用c（|θ|）=2.4/（2k-2), Ohm= 0.001 I |θ|，s=100，ε=0.0001。然后，我们使用AM算法从后验分布中提取参数，为了减少绘制之间的相关性，我们只记录每100次结果。为了检查参数图的收敛性，我们使用Geweke（2005）第4.7节中分离的部分平均值。测试的想法如下：假设我们有一个样本{θ（s）；s=1，…，s}从固定分布中提取，并将样本分成四个相等的块。然后，零假设必须成立，即第二块{θ（s）；s=s/4+1，…，s/2}的平均值等于第四块{θ（s）；s=3S/4+1，…，s}的平均值。我们测试小样本的每个分量的空值Ohm确保算法在早期阶段接受一些候选，因此，θ（1）的早期历史，θ（s）在更新之前Ohm她没有堕落。22 G.ARYAL和D.Kim图7。

参数取自AM算法θ；f（v |θ）500 1000 1500 20000.20.4θ；D（γ|θ）500 1000 1500 20000.5θ；f（v |θ）500 1000 1500 20000.5θ；D（γ|θ）500 1000 1500 20000.5θ；f（v |θ）500 1000 1500 20000.5θ；D（γ|θ）500 1000 1500 20000.5θ；f（v |θ）500 1000 1500 20000.20.4θ；D（γ|θ）500 1000 1500 2000-0.20.2θ；f（v |θ）500 1000 1500 20000.10.2θ；U500 1000 1500 20000.5图8*左面板显示变量密度的参数，右面板显示D函数和效用函数的参数（底部）。θ、 所以我们有|θ|多个p值，当最小的p值超过0.01时终止算法。我们首次以20万次的频率进行测试。如果一些p值小于0.01，我们将AM算法再迭代10000次，然后再次检查收敛性。我们继续这个过程，直到算法停止。因此，最后的S是Random。我们使用最后75%的利润，{θ（S）；S=S/4+1，…，S}进行推理和决策。测试人员确保这些参数是从后验数据中提取的，因此可以用于政策分析。因为我们的停止标准要求最坏的情况才能通过测试，所以这个决定规则是保守的。在我们使用数据z的练习中，在20万次迭代时，收敛的最小a值和平均p值分别为0.19和0.64。关于结果的时间序列，请参见图7。X轴是序列的长度，它是2000，因为我们每100次记录一次。左边的面板显示估值密度的参数，右边的面板显示第一价格拍卖中的歧义23图9。

后验预测分析0。1 0.2 0.30.20.40.60.8std（bn=2）平均值（bn=2）-20.20.40.60.8偏度（bn=2）平均值（bn=2）-20.050.10.150.20.250.3倾斜度（bn=2）标准差（bn=2）0.10.20.30.40.50.60.70.8标准差（bn=5）平均值（bn=5）-20.20.30.40.50.60.70.8偏度（bn=5）平均值（bn=5）-20.10.150.20.250.30.35偏度（bn=5）标准（bn=5）图10*每个面板通过后面的投标数据点以及实线中原始数据的汇总统计来演示汇总统计的分布。请注意，每个面板和实线的范围与图5中的范围相同。D函数和效用函数的参数（底部）。图中θD的两条水平虚线（从第四条到第四条）表示θD的否定范围——回想一下，θD可以是否定的，在这种情况下，D函数是恒等式，即没有歧义厌恶。θuI面板中的红色虚线是设定为0.3.3.3.4的trueCRRA系数。后验分析和决策。我们从后验预测分析开始，就像之前的预测分析一样。对于从后面绘制的每个θ（s），我们生成一个大小为| z |的投标样本，并计算相同的汇总统计：样本均值、标准偏差和偏斜度。结果如图9所示，可以看出，后验分布准确地预测了实际数据的汇总统计。在进一步讨论后验分析之前，有必要对准确度和精密度的概念进行形式上的区分，这两个概念虽然被广泛使用，但经常混淆。当24G.ARYAL和D.KIMit在真实数量的一个小范围内时，估计是准确的。由于我们知道该区域的DGP，我们可以通过计算L距离来测量精度。

另一方面，如果在不确定性概念进一步依赖于统计学的哲学观点的情况下，估计值几乎没有不确定性，那么估计值是精确的。在贝叶斯统计中，参数是随机的，数据是固定的。po sterior捕捉固定数据的参数不确定性条件，后验可信集和/或后验标准偏差作为不确定性的测量值。相反，在频率分析中，参数是固定的，但由于数据是随机的，因此估计值存在不确定性。这种不确定性是通过估计器的抽样分布来量化的，它是通过无符号标准误差或置信集来测量的。因此，当后验（抽样）分布从贝叶斯（频率论）的角度浓缩时，估计是精确的。在本节中，我们使用了贝叶斯精度，但在第4节中，我们通过重复采样，{zm}Mm=1检查了频率不确定性。后验预测估值密度由最广泛使用的贝叶斯密度估值bf（v | Y）：=SSXs=1f（v |θ（s））a.s给出-→ E[f（v |θ）|Y]（16）as S→ ∞ 为了v∈ [0, 1]. 图11（a）显示了估算的BF（v | Y），虚线显示了其逐点2.5%和97.5%的可信区间，实线显示了真实密度f（·）。更具体地说，回想一下，我们使用了1500个从po sterior中提取的参数，这意味着我们有1500个估值密度。每一点v∈ [0,1]，中间虚线表示这1500个密度的平均值，即（16），95%的密度通过上虚线和下虚线。95%可信区间较窄，这意味着对估值密度的后验推断是精确的。