首次价格拍卖模型中模糊性的经验相关性

此外，窄可信带包含f（·）和bf（v | Y）≈ f（v）在整个再补给港[0,1]；这个估计是准确的。此外，因为我们知道f（·），我们可以通过估计值和真实密度之间的L距离来测量精度：d[bf（·| Y），f（·）]=Z[bf（x | Y）- f（x）]dx1/2= 0.069.图11（b）是{θu，（s）}（CRR A系数）的柱状图，该柱状图是根据第一次价格拍卖25中的歧义性得出的。正确估值的后验概率0.5100.511.522.5（a）估值密度的后验概率值密度的后验概率0.050100150200250300（b）CRRA系数的后验概率CRRAHISTOGRAM0.5100.20.40.60.81（c）D函数的后验概率真实概率扭曲概率0.5100.20.40.60.8保留价格收入（D）收入函数，n=20.5100.20.40.60.8保留价格收入（e）收入函数，n=5图12*图（a）显示了估值密度的后验均值和95%可信区间。小组（b）是CRRA系数的后部。面板（c）总结了D功能的后部。图（d）和图（e）显示了n=2和n=5病例的收入函数。在面板（a）、（c）、（d）和（e）上，真实量a是实线。（面板（c）显示身份。）后验分布。确定CRRA系数bθu:=SSXs=1θu，（s）a.s.的贝叶斯估计-→ E[θu | Y]作为S→ ∞,这是θu的后验平均值。我们得到bθu=0.29(≈ θu=0.3），后标准偏差为0.14。预测D（γ）f或γ的概率∈ [0，1]由bd（γ| Y）：=SSXs=1D（γ|θ（s））a.s.给出-→ E[D（γ|θ）| Y]，作为S→ ∞.图11（c）显示了SBD（·| Y）及其逐点2.5和97.5后百分位数（虚线）。可信区间似乎包含D（·）（实线）和D[bD（·| Y），D（·）]=0.018，这表明我们的估计具有很高的准确性。26 G.ARYAL和D。

Kims投标人是模糊中性的后验概率由sxs=1hθD（s）<0ia估计。s-→ EhθD（s）<0易建联→ ∞. （17） 我们发现后验概率仅为2.13%，因此提供了模糊厌恶的有力证据。接下来，我们考虑选择一个保留价格ρ以使卖方的预期收益最大化的决策问题。设∏n（θ，ρ）表示卖方在θ下ρ处的预期均衡∈ Θ在与n名投标人的首价拍卖中。然后，给出了后预测收益的表达式为[n（θ，ρ）|Y]=ZΘ∏n（θ，ρ）p（θ| Y）dθ。（18） 主观预期效用理论（1954）；Anscombe和Aumann（1963）假设最大化是合理的（18）。设ρBn:=arg maxρE[πn（θ，ρ）|Y]，称为贝叶斯作用。为了选择ρBn，我们用b∏n（ρ）：=SSXs=1∏n（θ（s），ρ），（19）估计（18），如图11（d）所示，n=2（和图11（e）所示，n=5），以及95%的后验可信带（虚线）。表1的第1行显示ρBn=2=0.26，在该值下，预测收益b∏n=2（ρBn=2）=0.312。此外，b∏n=2（θ，ρBn=2）的后验百分位数2.5和97.5构成了ρBn=2时收入的95%后验可信区间[0.296,0.329]。该区间包括真实收入∏n=2（ρBn=2）=0.309，这基本等同于∏n=2（ρn=2），其中ρn=arg maxρn（ρ）。因此，与使用ρn=2相比，使用ρBn=2没有收益。表1的第4行总结了n=5.3.4的政策含义。讨论在结束本节之前，我们将讨论为什么我们在贝叶斯框架中采用直接方法，而不是采用自Guerre、Perrigne和Vuong（2000）以来一直使用的间接方法——后者首先估计投标分布函数，并根据一阶条件从估计中恢复原语。

首先，由于在直接方法下施加形状限制是相对直接的，我们可以很容易地得出，在平均风险原则下，s解ρbn也是最优的，这是一种广泛使用的频繁决策准则；希伯格（1985）；金（2013、2014）。此外，我们还注意到，估计问题是决策问题的一个特例，其中参数的后验平均值是与平方误差损失有关的Bayes作用。因此，贝叶斯估计在理论上是最优的。首次价格拍卖中的模糊性：建立一个实证框架，其中计量经济学方法与基础经济模型内在一致。例如，在直接方法下，投标函数的单调性会自动满足，但与估计的投标分配函数（间接方法）相关的反向投标函数可能不是单调的，除非明确施加。这种违反形状条件的行为可能会降低效率，因为可用信息没有得到充分利用，而且还会使政策建议无效，因为替代政策下的反事实分析只有在满足模型假设（如投标单调性）时才有效，见Kim（2014）。第二，如今，计算功能远比几十年前强大，而且更便宜。Guerre、Perrigne和Vuong（2000）通过提供一个计算上可行的非参数框架，广泛拓宽了经验拍卖文献的范围，在90年代或之前，这些文献在几个非常简单的理论框架内放弃了严格规定的统计模型，这主要是因为评估可能性的计算困难。我们不再有这样的计算限制。

在接下来的部分中，我们将使用作者的台式/笔记本电脑在许多蒙特卡罗实验中运行我们的经验方法。一旦选择了直接方法，贝叶斯方法比频繁方法有几个优点。来自首次价格拍卖的投标数据的统计模型是不规则的，因为投标的支持取决于兴趣参数。Hirano和Porter（2003）表明，在这种情况下，贝叶斯估计是有效的，但最大似然估计（MLE）是无效的。此外，贝叶斯方法提供了一个自然环境的决策理论框架，这对希望选择一个备用价格以实现预期收益最大化的卖方是有用的；seeAryal和Kim（2013）；金（2013、2014）。最后，在参数空间边界上的参数情况下，贝叶斯方法更有用，在这种情况下，贝叶斯估计量和最大似然估计通常都有偏差。正如前面提到的，通过在参数空间的子空间上设置一个正的先验，我们可以减少贝叶斯分析的偏差。例如，即使真正的D-函数是恒等式（无歧义），限制D-函数被恒等式函数约束的经验方法也会产生向下偏差的估计。Rano和Porter（2003）的结果是否在相当弱的损失函数和收益假设下得到，包括我们在本文中使用的误差平方损失和预期收益。（收入的负值是我们分析的不足之处。）28 G.ARYAL和D.Kimal表1。卖方收入的后验分析是预测95%可信的真实收入。在Rev。B.行动的损失（%）行动收入间隔，ρBnwrt最大值。

牧师。ρBnb∏n（ρBn）收入∏n（ρBn）[（D）-（B）]/（B）（A）（B）（C）（D）×100%=（E）n=2修正0.260.312[0.296,0.329]0.309 0.000冗余0。28 0.297[0.283,0.310]0.2920.083被指定为0.12 0.316[0.308,0.324]0.301 2.651n=5正确的0.11 0.538[0.513,0.563]0.524 0.000冗余0。12 0.496[0.480,0.512]0.485 0.000误判0.10 0.537[0.513,0.557]0.524 0.000表2*第（A）列显示了Bayes行动，第（B）列和第（C）列总结了Bayes行动下收入的平均分布和95%可信区间。第（D）列显示了贝叶斯行动的真实收入，第（E）列显示了使用贝叶斯行动相对于真实最大收入的收入损失。通过在θD<0的事件上施加一个正的先验质量来处理这个问题。在下一节中，我们将证实，在没有歧义的情况下，这样一个先验质量可以使后验概率预测D-函数成为身份映射。这样做的代价是，当存在歧义时，后验概率会给身份带来一个正的、不可忽略的概率。4.在本节的Carlo研究中，我们考察了我们的贝叶斯方法在三种不同情况下重复抽样的性能：（i）正确的模型——投标人反对模糊，计量经济学家允许模糊；（ii）冗余模型——投标人是模糊中立的，但计量经济学家允许模糊厌恶；以及（iii）不明确的模型——投标人不喜欢含糊不清，但计量经济学家忽略了这一点。对于每种情况，我们都研究了贝叶斯预测估计的抽样分布，并量化了模型选择对卖方预期收入的影响。总结一下我们的结果：我们证明了我们的方法在不存在歧义（正确）的情况下表现良好，即使没有歧义（冗余），它仍然表现良好。

特别是，不存在过度规范的不可忽视的影响——在首次价格拍卖中重复建模模糊性29图13。正确模型价值0.5 10.51.5（a）密度估计CRRA 0.2 0.4 0.6（b）CRRA系数真实概率0.5 10.20.40.60.8（c）D函数保留价格0.5 10.10.20.30.40.50.50.60.8（D）收益函数，n=2保留价格0.5 10.10.20.30.50.70.8（e）收益函数，n=5图14*面板（a）显示了估计估值密度的点平均抽样分布和95%的频带。面板（c）是CRRAestimates的柱状图。面板（c）展示了估计的D函数的抽样分布。面板（d）和（e）用于估算收入函数，以及备选投标人数量。实线代表真实的数量。没有——卖方的收入。然而，如果我们使用了一个错误的模型，忽略了模糊性，那么它可能会造成巨大的收入损失。我们通过研究N.4.1的较大集合的情况来结束本节。正确的型号。我们从图3所示的数据集中独立地绘制了M个数据集{zm}Mm=1。然后，对于每个数据实现，我们将在第3节中应用我们的方法。3.这项蒙特卡罗研究产生了估计值{bfm，bDm，bθum}Mm=1和贝叶斯行动，以及相关的真实收入{ρBn，m，n（ρBn，m）}Mm=1∈ {2, 5}. 我们使用M=300并分析zin子段3。3.图13（a）总结了{bfm}Mm=1的抽样分布，通过它们的整体平均值，以及2.5%和97.5%的分位数（虚线）。逐点均值近似于f（实线），9.5%的频带较窄。As30 G.ARYAL和D。

Kim在第3小节中进行了讨论。3.4，此处估计值的抽样分布不同于第3小节中的后验分布。3：后一个数量表示给定数据的θ的不确定性，而for mer表示与z的随机性相关的贝叶斯估计（后验平均值）的变化。{bDm}Mm=1的抽样分布类似地显示在面板（c）中。面板中的其他曲线具有与之前相同的解释。表3显示，平均积分平方误差（MISE）ofbf为0.0083，MISE ofbD为0.0009，这表明了我们方法的高精度。面板（b）显示了{bθum}Mm=1的直方图——样本平均值为0.293，标准偏差为0.017。均方误差（MSE）由asE[（bθu）给出- θu）]=0.007，其中期望值取样本z。图13中的面板（d）和（e）分别显示了{b∏n=2，m}Mm=1和{b∏n=5，m}Mm=1的抽样分布。回想一下，b∏n（ρ）表示（19）中的后验预测收益，贝叶斯作用是ρBn:=ar g maxρb∏n（ρ）。此外，∏n（ρ）是卖方不知道的真实收入；参见图3（d），ρn:=a r g maxρ∏n（ρ），这是不可行的。因此，卖方可以选择ρBn，并获得∏n（ρBn）的真实收入——我们关注{ρBn，m，∏n（ρBn，m）}Mm=1的抽样分布。{ρBn=2，m}Mm=1的平均值为0.248，标准偏差为0.037，{∏n=2（ρBn=2，m）}Mm=1的平均值为0.308，标准偏差为0.001。

此外，就t∏n=2（ρn=2）而言，采用ρBn=2的平均收入损失仅为0.398%。最后，我们考虑更大的样本：（i）（Tn=2，Tn=5）=（300120），即2Tn=2+5Tn=5=1200；和（ii）（Tn=2，Tn=5）=（600240），即2Tn=2+5Tn=5=2400。如上所述，对于每种情况，我们用M=300次重复重复进行蒙特卡罗实验，结果发现，随着样本量的增加，估计值变得更准确，收入损失减少，见表3。4.2. 冗余模型。我们独立于图3所示的DGP生成数据集{zm}Mm=1，但我们使用D（γ）=γ，即无歧义厌恶模型。换言之，投标人之间没有歧义。然后，对于每个zm，我们像以前一样应用我们的方法，允许歧义厌恶。我们首先讨论第一个数据的后验分析，然后使用许多数据集{zm}Mm=1研究抽样分布。priorLet^fy是由数据y为真函数f构造的估计。然后，M ISE（^f）=REyh（^f（x）- f（x））idx=RVy[^f（x）]dx+R{Ey[^f（x）]- f（x）}dx=偏差+偏差。只有当方差和偏差都很小时，TheMISE才很小。第一次价格拍卖的模糊性见表3。蒙特卡罗研究，N={2,5}总N.M ISE（bf）M ISE（bD）MSE（bθu）Rev。损失（%）标书规格（A）（B）（c）n=2（D）正确600 0.0083 0.0009 0.007 0.3981200 0.0054 0.0006 0.006 0.30724000 0.0040 0.0004 0.005 0.165冗余600 0.0049 0.0004 0.007 0.1891200 0.0025 0.0004 0.005 0.09424000.0015 0.0003 0.004 0.0100.0128 0.078 2.890.0230 0.087 0.098表0*（A）列和（B）列分别记录了估值密度估计和数据函数估计的MISE。C列（C）显示了CRRAC效率估算的MSE。

（D）列提供了Bayes拍卖相对于真实最大收入的收入损失。对Z的汇总统计数据进行后验预测分析，得出与图5和图9几乎相同的结果。图15显示了图11所示的感兴趣数量的后验分布。值得注意的是bd（γ）≈ D（γ）=γ，其95%可信区间很窄，正确地预测了投标人不会反对模糊性。此外，我们发现无歧义厌恶的后验概率（17）为55%，而先验概率为26%。如果我们在歧义规避模型和歧义中性模型之间选择一个模型，根据贝叶斯模型选择，我们将选择后验概率最大的模型。因此，由于po-steriorad比率为前Pr（无歧义厌恶）后Pr（歧义厌恶）=0.550.45>1，我们将选择无歧义厌恶模型。因为D（·|θ）被限制在恒等式之下；见（10），逐点上界不能大于D。贝叶斯模型比较通常由B-ayesian信息标准或Akaike信息标准近似，每个标准假设不同的先验值。32 G.ARYAL和D.Kim图15还显示，BF和B∏近似于fand∏N，具有nar row可信带，即使歧义规避的冗余建模会产生额外的参数不确定性。此外，冗余建模不会使我们方法的政策建议无效。表1的第2行显示，ρBn=2=0.28，在该值下，后验预测收益b∏n=2（ρBn=2）=0.297。此外，b∏n=2（θ，ρBn=2）的2.5和97.5后百分位构成了ρBn=2时收入的95%后验可信区间[0.283,0.310]。

该区间包括实际收入∏n=2（ρBn=2）=0.290，这非常接近∏n=2（ρn=2）——使用ρBn=2的相关收入损失仅为0.083%。表1第5行还总结了n=5对卖方收入的政策影响。请注意，真正的收入函数不同于上一小节中的函数，因为D是它们的同一性。现在，我们考虑重复抽样，它生成估计值{bfm，bDm，bθum}Mm=1和贝叶斯行动，并关联真实收入{ρBn，m，n（ρBn，m）}Mm=1∈ {2, 5}. 图17总结了感兴趣估计的抽样分布。{bfm}Mm=1，{bDm}Mm=1，{b∏n，m}Mm=1的分布几乎接近真量（精确），它们95%的频带都很窄（精确）。表3显示，平均积分平方误差（MISE）ofbf为0.0049，MISE ofbD为0.0004，这也表明了我们方法的高精度。面板（b）显示了{bθum}Mm=1的直方图——估计值被略微低估，但表3记录了MSE测量的精度为0.0 07，这与正确的模型相同。此外，贝叶斯行动ρbn产生了本质上最优的收入。最后，我们发现，随着样本规模的增加，估计值变得更加准确，收入损失减少；见表3。总之：即使投标人不反对模糊性，D函数的冗余建模既不会降低估计的准确性/精度，也不会使政策建议无效。4.3. 错误的模型。我们独立于图ur e3所示的DGP生成数据集{zm}Mm=1，其中D（γ）位于面板（b）上，即投标人反对歧义。因此，DG P与第4小节中的相同。1，但我们认为计量经济学家忽视了模糊性的存在。