用高维拟蒙特卡罗方法进行定价和风险管理

它们是非常重要的数量，需要为边缘和风险管理目的进行计算。在目前的工作中，我们将特别考虑以下几点： =五、S、 （2.7）Γ=五、S、 （2.8）V=五、σ、 （2.9）分别称为delta、gamma和vega。请注意，在Black-Scholes模型中，Deltai正是金融工具w.r.t.的对冲。风险基础S，vega是一个非激励的w.r.t.模型参数（Black-Scholes SDE中的常数波动率σ（2.5））。定价方程（2.1）的解需要了解相关合同日期{T，…，Tn}的标的资产S的价值。可通过求解SDE（2.4）获得此类值。如果SDE不能明确求解，我们必须求助于一种离散化方案，计算时间网格{t，…，tD}上的S值，其中t<t<···<tD，D是时间步数。请注意，合同日期必须包含在时间网格中，{T，…，Tn} {t，…，tD}。例如，Euler离散化方案由近似积分方程（2.4）bySj=Sj组成-1+u（tj-1，Sj-1) tj+σ（tj-1，Sj-1) Wj，j=1，D、 （2.10）在哪里tj=tj- tj-1.Wj=Wj- Wj-1，t=0。特别是，Black-Scholes解（2.6）的离散化导致j=Sj-1expR-σtj+σWj, j=1，D.（2.11）显然，等式（2.1）中的价格将取决于所采用的离散化方案。有关Euler和其他离散格式的收敛阶，请参见[KP95]。我们考虑公式（2.11）中的两种离散化：标准离散化（SD）和布朗-伊恩桥离散化（BBD）。在SD s模式中，Br ownian运动离散化如下：Wj=ptjZj，j=1，D

（2.12）在BBD方案中，第一个变量用于生成布朗运动的终值，而随后的变量用于生成中间点，以点为条件。为了简单起见，我们假设一个恒定的利率r。参见附录B中的[BM06]等，了解对短期利率的概括。根据以下公式，W=0，WD=p，已在早期和后期时间步模拟tD0Z，Wj=tkj猕猴桃+tjitkiWk+stkjtjitkiZl，ti<tj<tk，l=2，D、 （2.13）在哪里tab=ta-肺结核。与SD方案不同，BBD方案使用不同的顺序生成布朗运动，因此，对于相同的时间步长，（2.13）的随机部分的方差小于（2.12），因此前几个点包含了大部分方差。这两种方案具有相同的方差，因此它们的MCconvergence率是相同的，但QMC采样显示SD和BBD的效率不同，这将在以下章节中讨论。SDE（2.10）离散化所需的时间步数D是计算问题的名义维度：事实上，（2.1）中的期望值形式上是支付的积分，被视为Z的函数，ZD。一般而言，金融工具可能依赖于多个基础资产，SM：在这种情况下，问题的维数由D×M给出。总之，定价问题（2.1）简化为高维积分的计算。这激发了蒙特卡罗技术的使用。在这项工作中，我们将重点关注维度D和离散方案对MC和QMC模拟的相对影响。因此，为了简单起见，我们将假设一个简单的BlackScholes基本动力学。这一选择也将被用作参考案例，以解释基于更复杂动力学的进一步结果。

我们强调，由于计算瓶颈，在风险管理实践中，对于具有多个潜在风险因素的大型投资组合的风险度量计算，使用简单且可解的动力学是一种常用的近似方法。2.2伪随机数和低差异序列标准高斯数Zjare使用均匀变量xj变换计算~i、 i.d.U（0,1），Zj=Φ-1（xj），j=1，D、 （2.14）其中：-1是标准正态分布的逆累积分布函数。因此，定价问题（2.1）可以简化为以下通用公式v=ZHDf（x）dDx（2.15）的积分计算，其中HD=[0，1]表示D-维单位超立方体。（2.15）h的标准蒙特卡罗估计NNXk=1f（xk），（2.16），其中{xk}Nk=1是HD中N个随机点的序列。序列{xk}Nk=1由适当的随机数生成器（RNG）生成。特别是，伪随机数发生器（PRNG）是一种计算机算法，可以产生伪随机数的确定性序列（PRN），模拟真实随机序列的特性。这种序列完全由一组初始值决定，称为PRNG状态。因此，伪随机序列是可重复的，使用相同的状态变量集。例如，我们可以引入跳跃或Heston动力学，参见[Wil06]。通过seed，即一个用于初始化PRNG的dom数，不重复序列在所有可能状态变量上的周期，即最大长度，以及生成的随机数的分布，通常是均匀的[0,1]。最著名的PRNG是Mersenne Twister[MN98]，最长的周期为2- 1和良好的均分性能，保证至少达到623个尺寸。

伪随机序列已知会受到聚类问题的困扰：由于新点是随机添加的，它们不一定会填补以前采样点之间的差距。这种f行为导致了相当慢的收敛速度。考虑一个积分误差ε=|V- VN |。（2.17）根据中心极限定理，蒙特卡罗方法的均方根误差为εMC=E（ε）1/2=σf√N、 （2.18）式中，σf是f（x）的标准偏差。虽然εMCdoes不依赖于d im，但与规则网格上的晶格积分一样，它随着n的增加缓慢减小。方差缩减技术，如对偶变量[Jac01，Gla03]，仅对（2.18）中的数值产生影响。为了提高收敛速度，即增加（2.18）的分母中N的幂，必须使用低差异序列（LDS），也称为拟随机数（QRN），而不是伪随机数。序列{xk}Nk=1的差异是衡量该序列在单位超立方体HD内均匀分布的一个指标。从ally的形式来看，它由[Jac01]DDN（x，…，xN）=supξ定义∈高清NSD（ξ），x，xNN- m（ξ）,SD（ξ）=[0，ξ）×··×[0，ξD） HD，m（ξ）=DYj=1ξj，（2.19），其中SD（ξ），x，xN=NXk=1{xk∈SD（ξ）}=NXk=1DYj=1{xk，j≤ξj}（2.20）是包含在hyp er矩形SD中的采样点的数量 高清。可以看出，伪随机序列的期望偏差为ln（ln）级/√N.低差异序列是hdn中的序列{xk}Nk=1，对于任何N>1，第一个N点x，xN满足不平等性Ddn（x，…，xN）≤ c（D）lnDNN，（2.21）对于某些常数c（D），仅依赖于D[Nie88]。与PRNG不同，低差异序列是点的确定集合。它们通常使用数论方法构造。它们被设计成尽可能均匀地覆盖单位超立方体。

在顺序采样的情况下，新点会考虑已采样点的位置，并填补它们之间的间隙。请注意，HDM中规则的点栅格不能确保低差异，因为投影相邻标注很容易产生重叠点。积分（2.15）的Qua-asi Monte Carlo（QMC）估计量的形式为（2.16），唯一不同的是，序列ce{xk}Nk=1是使用LDS而不是PRN采样的。Koksma-Hlawka不等式εQMC给出了QMC积分误差的上界≤ V（f）DDN=OlnDNN, （2.22）式中，V（f）是被积函数在Hardy和Krause意义下的变化，这是有界变化函数的定义[KFSM11]。（2.22）的收敛速度渐进地快于（2.18），但对于可行N来说相当慢。此外，它取决于维数D。然而，等式（2.22）只是一个上界：在大多数数值测试[KFSM11，CMO97]中观察到的是幂律εQMC~cNα，（2.23），其中α的值取决于模型函数，因此，不是先验地确定为f或MC。当α>0.5时，QMC方法优于标准MC：这种情况在财务问题中非常常见。我们将测量一些具有代表性的金融工具的α，表明当金融机构的有效维度较低时，其值可能非常接近1，而与名义维度D无关。有效维度的概念和计算方法将在以下章节中介绍。我们强调，单因素是确定性的，不存在与之相关的方差等统计指标。因此，（2.23）中的常数c不是方差，（2.23）没有标准MC的概率解释。

为了克服这一局限性，Owen建议在LDS中引入随机化，同时保留其相对于单一属性的优势[Owe93]。这种LDS被称为“扰码”（另见[Gla03]）。在实践中，MC和QMC方法对任意固定N的积分误差都可以通过计算以下误差来估计：εN=VuTllxl=1.五、- 五(l)N, （2.24）式中，V是精确的，或估计为非常大的极值N→ ∞, 积分和V的值(l)Nis的模拟值lth r un，使用N PR Ns、LDS或扰码DLD执行。对于基于加扰LDS的MC和QMC，基于不同种子点的运行在统计上是独立的。在QMC的情况下，使用LDS的非重叠部分获得不同的运行。实际上，加扰LDS削弱了蒙特卡罗收敛的光滑性和稳定性，我们将在第4.5节中看到。因此，在本文中，我们将使用基于非重叠LDS的方法，如[SK05b]所示。最著名的LDS是Halton、Faure、Niederreiter和Sobol’序列。Sobol’序列，也称为LPτ序列或碱基2中的（t，s）序列[Nie88]，由于其高效性，成为金融领域最广为人知和使用最广泛的LDS[Jac01，Gla03]。Sobol’序列是根据以下要求构造的[Sob 67]：。最佳分配均匀度为N→ ∞.2.对于较小的初始集，分布良好。3.一种非常快速的计算算法。Sobol’ld的效率取决于所谓的初始化数。在这项工作中，我们使用了BRODA[BRO]提供的SobolSeq8192发电机。SobolSeq是8192维Sobol\'序列的一种实现，带有修改的初始化编号。

SobolSeq8192生产的Sobol“Sequences”可以达到并包括维度2，并满足额外的一致性属性：所有维度的属性A和相邻维度的属性A（详情请参见[SAKK12]）。在[SAKK12]中发现，SobolSeq发电机在速度和精度上都超过了Orm所有其他已知的LDS发电机。BRODA还发布了SobolSeq32000和SobolSeq640003全球敏感性分析和有效维度。正如我们在导言和第2.2节中提到的，有效维度是解释Q MC w.r.t.MC优越效率的关键。因此，开发技术来估计有效维度并在MC模拟中找到最重要的变量至关重要。Sobol’开发的基于方差的全球敏感性指数方法在从业者中非常流行，因为其效率高且易于解释[SK05a，SAA+10]。Sobol的敏感性指数有两种类型：主要影响指数，用于估计每个输入参数对输出方差的单独贡献；总敏感性指数，用于测量单个输入因子或一组输入的总贡献。Sobol指数可用于按重要性顺序排列变量，识别非重要变量，然后将其固定在标称值，以降低模型复杂性，并分析各种数值模式的效率。考虑一个由可积函数f（x）描述的数学模型，其中inputx=（x，…，xD）取D维域Ohm 输出是一个标量。在不失去普遍性的情况下，我们选择Ohm 成为超立方体HD的单位。输入变量x，因此，xd可以被视为独立的均匀随机变量，每个变量在单位区间[0,1]中定义。

全局敏感性分析（GSA）的起点是模型函数的方差分析（ANOVA）分解，f（x）=f+Xifi（xi）+xi<jfij（xi，xj）+f1 2··D（x，…，xD）。（3.1）扩展（3.1）是唯一的，证明zfi··是（xi，…，xis）dxik=0，k=1，s（3.2）ANOVA分解将函数f扩展为一个项的总和，每个项取决于变量数量的增加：依赖于变量的通用分量fi···is（xi，…，xis）称为s阶项。从（3.2）可以看出，方差分析分解是等正交的，其项可以明确地找到如下，f=ZHDf（x）dDx，fi（xi）=ZHD-1f（x）Yk6=idxk- f、 fij（xi，xj）=ZHD-2f（x）Yk6=i，jdxk- F- fi（xi）- fj（xj），（3.3）等等。如果f是square可积的，则其方差分解为部分方差之和：σ=Xiσi+Xi<jσij+…+σ12··D，（3.4），其中σi··is=Zfi··is（xi，…，xis）dxi··dxis。（3.5）Sobol的敏感性指数是根据··is=σi··isσ（3.6）定义的，并测量方差分析分解的每个fi··isterm所占总方差的分数。从（3.4）可以看出，所有Sobol’指数都是非负的，并且标准化为1。一阶Sobol指数模拟了单变量对输出函数的影响；二阶Sobol指数衡量变量对之间的相互作用，即变量XAND Xj导致的总方差的分形，不能用单个变量的影响之和来解释；高阶Sobol指数Si··················································································································································，这不能用单变量或低阶相互作用的综合效应来解释。公式（3.6）中Sobol敏感性指数的计算原则上要求对公式（3.6）中的多维积分进行2次评估。

（3.5），这是一项非常繁琐甚至不可能的计算任务。此外，出于实际目的，尤其是当函数F具有低阶相互作用时，实际上不需要知道所有可能的Sobol’指数，只需要适当地选择它们。因此，为变量集和总Sobol指数引入Sobol指数非常有用。设y={xi，…，xim} x、 一,≤ 我≤ . . . , ≤ 感应电动机≤ D、 是x的子集，z=y x其互补子集，定义=DXs=1X（i<··<is）∈KSi··is，Stoty=1- Sz，（3.7），其中K={i，…，im}。注意，0≤ Sy≤ 斯多蒂≤ 1.数量不稳定-Sy解释了子集y和z中变量之间的所有相互作用。事实证明，存在有效的公式，可以避免方差分析成分的知识，并直接从函数f的值计算Sob ol’指数[Sob01]。这些公式基于以下积分Sy=σZ[f（y′，Z′）- f] [f（y′，z）- f（y，z）]dy-dz-dy′dz′，Stoty=2σz[f（y，z）- f（y′，z）]dy-dz-dy′，σ=Zf（y，z）dy-dz- f、 f=Zf（y，z）dy dz，（3.8），其中积分变量是向量y，z，y′，z′的分量，因此x=y∪z、 前两个积分取决于y的选择。通常，此类积分可以通过MC/QMC技术进行评估[KFSM11，Sal02]。此外，通常一阶指数Sian和相应的总效应指数Stoti已经给出了足够的信息，与单个变量y={xi}相关。对于这些Sobol\'index，很容易看出oStoti=0：输出函数不依赖于xi，oSi=1：输出函数只依赖于xi，oSi=Stoti：Xian和其他变量之间没有交互作用。请注意，每个MC试验只需进行D+2功能评估，即可计算公式中的所有SiandStotiindex。

（3.8）：在点x={y，z}处进行一次函数求值，在点x′={y′，z′}处进行一次函数求值，在点x′处进行D次函数求值，{y′，z}， y′={xi}，i=1，D.我们强调，上述方法仅适用于独立输入变量的情况，这允许进行唯一的方差分析分解。在依赖（相关）输入变量的情况下，更需要计算基于方差的全局敏感性指数。GSA对因变量的推广可在[K TA12]中找到。我们最终得出了有效维度的概念，该概念首次在[CMO97]中介绍。设| y |为变量y子集的基数。对于D个变量的函数f，叠加意义下的有效维数是s最小的整数dSsuch thatX0<| y |<dSSy≥ 1.- ε（3.9）对于某些阈值ε（任意，通常选择小于5%）。如果一个函数在叠加意义上有一个有效维数Ds，它可以用一个Ds维数项的和来近似，近似误差小于ε。截断意义下的有效维数是最小的整数dtxy{1,2，…，dT}Sy≥ 1.- ε. （3.10）有效维度Ds不取决于变量的采样顺序，而Dt则取决于采样顺序。一般来说，以下不等式成立，dS≤ dT≤ D.（3.11）有效维度可仅通过指数Si和Stotie使用等式进行估算。（3.8）Y=i，如[KFSM11]所述，其中此类指数之间的关系用于根据其对变量的依赖性将函数分为三类。对于所谓的A型函数，变量并非都同等重要，截断感知DTD中的有效维度很小，因此dS≤ dT<< D.它们的特点是以下关系：|>>斯托茨| z |，（3.12）其中y x是变量的前导子集，z=y x它的互补子集。