用高维拟蒙特卡罗方法进行定价和风险管理

我们应用GSA，对不同MC和Q MC模拟的收敛图、误差估计、性能、加速和稳定性进行了详细和系统的分析。第4.2节中的GSA结果显示，与Q MC+BBD模拟相关的有效维度通常低于与MC+SD模拟相关的有效维度，以及这种维度缩减在不同的支付和支付中的作用（图1-8和表2-3）。与方差分析分解结构（重要输入的数量、高阶相互作用的重要性）相关的有效维度充分解释了由于Sobol’序列和BBD的特殊性，QMC+BBD的优越性。BBD通常比SD更有效，但有一些例外，尤其是Cliquet选项。第4.3节中的性能分析结果表明，QMC+BBD在大多数情况下都优于MC+SDD，表现出更快、更稳定的收敛速度，达到精确或几乎精确的结果（图9-12、13-16和表4-5），但也有一些例外，如亚式期权gamma，其中所有方法都表现出相似的收敛特性。第4.4节中的加速分析结果证实，QMC+BBD的优越性能可以显著减少场景数量，以达到给定的精度，从而显著降低计算效率（表6）。

除少数例外（亚洲德尔塔和伽马，克里奎特），还原的规模可达10（欧洲和双KO伽马）。最后，4.5中的稳定性分析结果证实，QMC+BBD模拟通常比MC+SD更稳定、更单调，亚洲德尔塔和伽马除外（图17-21）。我们得出结论，本文提出的方法基于Qu asi Monte Carlo、高密度的obol低差异生成器、有效的离散化方案、全局敏感性分析、详细的收敛图、误差估计、性能、加速和稳定性分析，对于更复杂的金融问题是一种非常有前途的技术，尤其是，信用/债务/融资/资本估值调整（CVA/DVA/FVA/KVA）以及市场和交易对手风险度量，基于大型交易组合的多维、多步骤蒙特卡罗模拟。这种模拟可以在典型的真实情况下运行，~ 10次模拟步骤，~ 10个（可能相关的）风险因素，~ 10-10MC场景，~ 10-10次交易，60年到期，导致订单D的名义维度~ 10个，总共10个-10.评估。不幸的是，一小部分~ 1%的异国情调交易可能需要不同的MC模拟进行评估，并嵌套另一组~ 10-10MC场景，最多可阅读10次评估。最后，对冲CVA/DVA/FVA/KVA估值调整SW。r、 t.对于其潜在风险因素（通常为信贷/融资曲线），还需要计算每个期限结构节点对应的w.r.t.，再加上另一个~ 10个模拟。这就是为什么业界一直在寻找减少计算时间的先进技术的原因：网格计算、GPU计算、ad联合算法差异（AAD）等。

[She15]）。我们认为，如实际投资组合的初步结果所示，使用QMC抽样（而非MC）生成潜在风险因素的情景，并为异国交易定价，可能会显著提高此类怪物模拟的准确性、性能和稳定性[BKS4]。此外，GSA应建议如何根据风险因素的相对重要性排序，从而降低有效维度。这种应用还需要进一步研究。附录A有限差近似中的误差优化当MC/QMC模拟通过有限差计算时，均方根误差有两个贡献：方差和偏差[Gla03]。不确定性的第一个来源是，我们通过模拟一系列情景来计算价格，而后者是由于衍生工具的近似值与具体差异。为了最小化方差，我们使用同一组（准）随机数来计算V（θ）、V（θ+h）和V（θ）- h） ，其中V是期权价格，参数θ是delta和gamma的现货，或vega的波动率，h是θ上的增量。为了最大限度地减少有限差的偏差，我们使用中心差，因此它是有序的。例如，增量h被选为h=S 对于V，对于给定的“移位参数”。选择合适的遵循以下考虑。有限差的MC/QMC均方根误差估计由[Gla03]：ε=rcN2αhβ+bh给出。（A.1）平方根中的第一项是与方差c相关的“统计”误差。它取决于n和。α=0.5表示MC，通常，0.5<α<1表示QMC，而β=1表示First导数，β=3表示二阶导数。

第二项是由于有限差的偏差而产生的系统误差：它与N无关，但取决于。常数b由b给出=五、θ（θ）表示一阶（三角洲和织女星）和b的中心差异=五、θ（θ）二阶力心差（γ）。我们可以看到，当h减少时，偏差项也会减少，而方差项则会增加，因此我们在其中定义了h，其中一些指标，如EPE/ENE或预期短缺，被定义为均值或条件均值，而一些其他指标，如VaR或PFE，则被定义为适当分布的分位数。在N的相关范围内，方差项不会太高，而偏差项可以忽略不计，因此（a.1）近似遵循幂律。我们注意到，在我们测试所用的范围内，没有观察到h的最佳值随N的变化太大。事实上，它可以从（A.1）解析计算为ε：hN的最小值=βc4bN2αβ+4. （A.2）我们发现，幂和（分别对应于β=1和β=3）在很大程度上是N的函数。B加速计算我们确定了场景N（i）的数量*（a） 在式（4.6）中，使用第i种计算方法，以达到并保持给定的精度a，作为任何N>N的模拟路径的第一个数量*五、- A.≤ VN±3ε≤ V+a，（B.1），其中V和vn分别是价格或价格的精确和模拟值，ε是标准误差。阈值N*可以通过直接模拟进行评估，但这在计算上非常昂贵。提取N*无法直接应用（2.23）中定义的p地块，因为在希腊人的情况下，此类地块仅适用于有限的N值范围，即只要（a.1）中的偏差项不占主导地位。

外推N*从绘图到N的高值是计算速度的必要条件，但RMSEA和N之间的关系将不再是线性的。因此，我们采用不同的程序来确定N*.方程（A.1）可以改写为logε=k- αlogn，（B.2），其中k=logchβ和α分别是通过（2.24）对εNgiven的线性回归计算的截距和斜率。因此，N*通过施加a=3se2kN2α*+ bh，（B.3）并给出了byN*（h，a）=9 e2kha- 9bh2αh.（B.4）我们写khandαhin是为了强调，在进行第4节中的测试时，它们也取决于h Madee的选择：这种对h的依赖性可能比（B.4）中的显式依赖性更强。常数b由V的导数计算得出（见方程式（A.1）后的讨论）；k和α是从图（图13-16）中获得的相应截距和斜率：这是可能的，因为这些图是在N的范围内获得的，因此（a.1）中的第二项可以忽略不计。显然，N的域*仅限于>3bh。就价格而言，方程式（B.4）简化了*（a）=3ekhaαh.（B.5）参考文献[BBG97]Phelim P.Boyle、Mark Broadie和Paul Glasserman。安全性定价的模拟方法。《经济动力与控制杂志》，21:1267-13211997。[BKS4]马可·比安切蒂、谢尔盖·库切伦科和斯特凡诺·斯科莱里。使用高维准蒙特卡罗方法进行更好的定价和风险管理。WBS第10次固定收入会议，2014年9月。[BM06]达米亚诺·布里戈和法比奥·马库里奥。利率模型——理论与实践。斯普林格，第二版，2006年。[Boyle 77]Phelim P.Boyle。选项：蒙特卡罗方法。《金融经济学杂志》，4:323-3381977。[BRO]BRODA Ltd.，高维Sobol\'序列发生器。[CMO97]R.E.Ca flish、W.Moroko ff和A.Owen。

使用布朗桥对抵押贷款支持证券进行估值，以降低有效维度。《计算金融杂志》，1（1）：27-461997。[Duf01]Darrel Duffee.动态资产定价理论。普林斯顿大学出版社，第三版，2001年。保罗·格拉斯曼。金融工程中的蒙特卡罗方法。斯普林格，2003年。[Jac01]彼得·杰克尔。金融学中的蒙特卡罗方法。威利，2001年。[KFSM11]谢尔盖·库彻·恩科、巴拉兹·费勒、尼莱·沙阿和沃尔夫冈·蒙茨。使用全局敏感性分析识别模型有效维度。可靠性工程和系统安全，96:440–4492011。[KMRZ98a]亚历山大·克里宁、列奥尼德·梅科洛维奇、丹·罗森和迈克尔·泽布斯。使用准蒙特卡罗方法测量投资组合风险。《Algo研究季刊》，1（1），1998年9月。[KMRZ98b]亚历山大·克里宁、列奥尼德·梅库洛维奇、丹·罗森和迈克尔·泽布斯。准蒙特卡罗模拟中的主成分分析。Algo Research Q uartly，1（2），1998年12月。[KP95]P.E.克洛登和E.普莱坦。随机微分方程的数值解。斯普林格，柏林，海德堡，纽约，1995年。[KS07]谢尔盖·库切伦科和尼莱·沙阿。全球化的重要性。全局敏感性分析在蒙特卡罗期权定价中的应用。威尔莫特杂志，2007年4月。[KTA12]S.库切伦科、S.塔兰托拉和P.安诺尼。因变量模型的整体敏感性指标估计。《计算机物理通讯》，183:937–9462012。[Lab66]洛斯阿拉莫斯科学实验室。费米发明在拉塞尔重新被发现。TheAtom，第7-11页，1966年10月。[LO00]C.Lemieux and d.A.Owen。Qu asi回归和函数中新成分的相对重要性。作者：方K-T，希克内尔FJ，尼德雷特H，编辑。Monte Carlo和qu asi Monte Carlo。，2000年。[LO06]R.刘和A.B.欧文。

估计方差分解分析的平均维数。《美国统计协会杂志》，101（474）：712-7212006。[Met87]尼古拉斯大都会。蒙特卡罗方法的开始。洛斯阿拉莫斯科学，第125-130页，1987年。特刊献给斯坦尼斯拉夫·乌拉姆。[MF99]毛里齐奥·蒙代洛和毛里齐奥·费科尼。金融风险管理中的准蒙特卡罗方法。科技黑客公司，1999年。[MN98]M.Matsumoto和T.Nishimura。梅森捻线机：623维等分布均匀伪随机数发生器。ACM建模与计算机模拟交易，8（1）：3–30，1998年。[Nie88]H.尼德雷特。低差异和低分散序列。《数字理论杂志》，30:51？70, 1988.[Oks92]B.好的，森达尔。随机微分方程：应用简介。柏林斯普林格，1992年。A.B.欧文。差异和差异与替代性混乱。ACM建模与计算机模拟学报，13:363–3781993。A.欧文。维数分布和正交测试函数。《中国统计报》，2003年13:1-17。[Pap01]A.帕帕乔治。布朗-布里奇在准蒙特卡罗积分中不具有一致的优势。《复杂性杂志》，2001年。[PP99]A.帕帕乔乔和S.帕斯科夫。风险管理的确定性模拟。《投资组合管理杂志》，第122-127页，1999年5月。[PT95]S.H.帕斯科夫和J.F.特拉布。加快金融衍生品的估值。《投资组合管理杂志》，第113-120页，1995年秋季。[PT96]A.帕帕乔乔和J.F.特拉布。金融衍生品确定性定价的新结果。1996年4月在新泽西州普林斯顿高级研究所“金融数学问题”上发表。[SAA+10]A.Saltelli、P.Annoni、I.Azzini、F.Campolongo、M.Ratto和S.Tarantola。基于方差的模型输出灵敏度分析。

总灵敏度指数的设计和估计器。《计算机物理通讯》，181:259–270，2010年。[SAKK12]伊利亚·M·S·奥波尔、丹尼尔·阿索茨基、亚历山大·克里宁和谢尔盖·库切连科。高维Sobol发电机的构造和比较。威尔莫特杂志，2012年11月64-79日。[Sal02]A.Saltelli。充分利用模型评估来计算敏感性指数。计算机。菲斯。公社。，145:280–297, 2002.[She15]纳兹尼恩·谢里夫。AAD vs GPU：随着芯片失去吸引力，银行转向数学把戏。风险，2015年1月。[SK05a]伊利亚·M·索波尔和谢尔盖·库切伦科。非线性数学模型的全局敏感性指数。回顾威尔莫特杂志，1:56-612005。[SK05b]伊利亚·M·索波尔和谢尔盖·库切伦科。关于拟蒙特卡罗算法的全局灵敏度分析。蒙特卡罗方法与应用，11（1）：1-92005。[Sobol]伊利亚·M·索波尔。关于立方体中点的分布和积分的近似计算。康普数学物理，1967年7:86-112。[Sob01]伊利亚·M·索波尔\'。非线性数学模型的全局灵敏度指数及其蒙特卡罗估计。《模拟中的数学与计算机》，55:271–280，2001年。[SS14]伊利亚·M·索波尔和鲍里斯·V·舒克曼。Qu asi Monte Carlo：高维实验。蒙特卡罗方法与应用，2014年5月167-171日。[VN51]约翰·冯·诺伊曼。蒙特卡罗方法，应用数学系列第12卷，第13章：与R和dom数字相关的各种技术，第36-38页。美国商务部，国家标准局，1951年。[Wan09]王晓群。期权定价的Qu asi蒙特卡罗方法中的降维技术。《计算机学报》，21（3）：488–504，2009年夏季。[Wil06]保罗·威尔莫特。保罗·威尔莫特谈定量金融。约翰·威利父子有限公司，第2版，2006年。