用高维拟蒙特卡罗方法进行定价和风险管理

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英文标题：
《Pricing and Risk Management with High-Dimensional Quasi Monte Carlo and
  Global Sensitivity Analysis》
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作者：
Marco Bianchetti, Sergei Kucherenko, Stefano Scoleri
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We review and apply Quasi Monte Carlo (QMC) and Global Sensitivity Analysis (GSA) techniques to pricing and risk management (greeks) of representative financial instruments of increasing complexity. We compare QMC vs standard Monte Carlo (MC) results in great detail, using high-dimensional Sobol\' low discrepancy sequences, different discretization methods, and specific analyses of convergence, performance, speed up, stability, and error optimization for finite differences greeks. We find that our QMC outperforms MC in most cases, including the highest-dimensional simulations and greeks calculations, showing faster and more stable convergence to exact or almost exact results. Using GSA, we are able to fully explain our findings in terms of reduced effective dimension of our QMC simulation, allowed in most cases, but not always, by Brownian bridge discretization. We conclude that, beyond pricing, QMC is a very promising technique also for computing risk figures, greeks in particular, as it allows to reduce the computational effort of high-dimensional Monte Carlo simulations typical of modern risk management.
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中文摘要：
我们回顾并应用准蒙特卡罗（QMC）和全球敏感性分析（GSA）技术，对日益复杂的代表性金融工具进行定价和风险管理。我们使用高维Sobol低差异序列、不同的离散化方法，以及对有限差分的收敛性、性能、速度、稳定性和误差优化的具体分析，详细比较了QMC和标准蒙特卡罗（MC）结果。我们发现，我们的QMC在大多数情况下都优于MC，包括最高维的模拟和计算，显示出更快、更稳定地收敛到精确或几乎精确的结果。使用GSA，我们能够从QMC模拟的有效维数降低的角度充分解释我们的发现，这在大多数情况下是允许的，但并不总是通过布朗桥离散化。我们的结论是，除了定价，QMC是一种非常有前途的技术，也适用于计算风险数据，尤其是希腊人，因为它可以减少现代风险管理中典型的高维蒙特卡罗模拟的计算工作量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_and_Risk_Management_with_High-Dimensional_Quasi_Monte_Carlo_and_Global_S.pdf (685.76 KB)

2022-5-8 02:05:33 上传

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关键词：蒙特卡罗方法 风险管理 蒙特卡罗 蒙特卡 Quantitative

高维准蒙特卡洛和全球敏感性分析的定价和风险管理Marco Bianchetti*, Sergei Kucherenko+和Stefano Scoleri2015年4月14日摘要我们回顾并应用准蒙特卡罗（QMC）和全球敏感性分析（GSA）技术对日益复杂的代表性金融工具进行定价和风险管理（希腊人）。我们使用高维Sobol低差异序列、不同的离散化方法，以及针对有限差异的收敛性、性能、速度、稳定性和误差优化的具体分析，对QMC和标准蒙特卡罗（MC）结果进行了详细比较。我们发现，我们的QMC在MOST情况下优于MC，包括最高维度的模拟和计算，显示出更快、更稳定地收敛到精确或几乎精确的结果。使用GSA，我们能够从QMC模拟的有效维度的减少方面充分解释我们的发现，这在大多数情况下是允许的，但并不总是通过布朗桥离散化。我们得出的结论是，除了定价之外，QMC也是一种非常有前途的计算风险数据的技术，尤其是希腊，sit可以减少现代风险管理中典型的高维蒙特卡罗模拟的计算效果。*市场风险管理，圣保罗联合银行，法拉利广场10号，20121，意大利米兰，马可。bianchetti@intesasanpaolo.com，通讯作者丁+帝国理工学院，伦敦，英国，s。kucherenko@imperial.ac.uk意大利埃森有限公司，斯特凡诺。scoleri@gmail.comContents1导言32金融学中的蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法52.1一般动机。52.2伪随机数和低差异序列。

73全局敏感性分析和有效维度104个测试用例和数值结果134.1选定的支付和测试设置。134.2价格和增长的全球敏感性分析。154.3性能分析。244.4加速分析。324.5稳定性分析。335结论38附录A有限差近似中的误差优化39附录B加速计算40JEL分类：C63、G12、G13。关键词：衍生工具，期权，欧洲，亚洲，障碍，淘汰，克里特，希腊人，布朗桥，全球敏感性分析，蒙特卡罗，拟蒙特卡罗，随机，伪随机，拟随机，低差异，Sobol\'，收敛，加速确认：M.B.承认在国际会议上与许多同事进行了卓有成效的讨论，涉及联合圣保罗集团的风险管理，以及Banca IMI的金融工程和交易部门。免责声明：此处表达的观点是作者的观点，不代表其雇主的观点。他们不对这些内容的任何使用负责。1简介如今，基于多维、多步骤蒙特卡罗模拟的市场和交易对手风险度量是管理风险的非常重要的工具，无论是在前端，还是在敏感度（希腊）和信贷、融资、资本估值调整（CVA、FVA、KVA，一般称为XVAs）方面，还是在风险管理方面，都是风险度量和资本分配的重要工具。此外，它们通常需要用于监管风险内部模型，并由监管机构验证。

对于具有多个计算方的大型投资组合，每日生成价格和风险度量是一项计算密集型任务，需要复杂的框架和行业方法。这是一个典型的高预算、高效率的银行项目。在过去的几十年里，很多人致力于将蒙特卡洛技术应用于衍生品定价[Boy77、BBG97、Jac01、Gla03]。主要原因是，复杂的金融工具通常无法通过解析公式定价，需要计算高维积分。因此，蒙特卡罗模拟是解决此类问题的常用方法，因为它减少了在许多随机点对函数求值的积分和对这些值的平均。因此，几乎任何产品都可以在任何维度上轻松定价。然而，由于均方根误差随N衰减，该方法耗时长，收敛速度慢-1/2，其中N是采样点的数量。存在各种各样的“方差缩减”技术，可以提高模拟的效率，但它们不会改变收敛速度[Jac01，Gla03]。准蒙特卡罗代表了标准蒙特卡罗的一种非常有效的替代方法，在许多情况下，它能够实现更快的收敛速度，从而获得更高的精度[Jac01、Gla03、MF99、SK05b、SK05a、Wan09、KFSM11、SAKK12]。准蒙特卡罗方法背后的想法是使用低差异序列（LDS，也就是准随机数）代替伪随机数（PRN）作为采样点。这种LDS的设计方式是尽可能均匀地覆盖积分域，而PRN已知会形成点簇，并且总是留下一些空白区域。

事实上，PRNGenerator的随机性意味着，新添加的点有可能最终接近之前的采样点，因此它们被浪费在已经探测到的区域，从而导致相当低的收敛性。相反，LDS“知道”之前采样点的位置，并填补它们之间的空白。在几个已知的LDS中，Sob-ol\'序列显示出比其他序列更好的性能，因此它们在金融中被广泛使用[Jac01，Gla03]。然而，有效的Sobol序列的构造严重依赖于所谓的初始数，因此在实际测试中很少有Sobol序列生成器能够提高效率[Sakkk12]。与蒙特卡罗方法相比，准蒙特卡罗方法也有一些缺点。首先，没有“样本内”误差估计：因为LDS是确定性的，所以没有概率误差的概念。已经开发了一些技术，称为随机准蒙特卡罗，在LDS的构造中引入了适当的随机性，在保持准蒙特卡罗的收敛速度的同时，打开了通过密集区间测量误差的可能性[Gla03]。缺点是计算速度太慢，而且通常会有一些精度。其次，拟蒙特卡罗的有效性取决于被积函数，最重要的是，收敛速度取决于问题的维数。

后者可以被视为一大障碍，因为金融工程（尤其是风险管理）中的许多问题都是由约翰·冯·诺伊曼、斯坦尼斯拉夫·乌拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯在洛斯阿拉莫斯国家实验室（Los Alamos National Laboratory[VN51]）研究nu clear武器（曼哈顿项目）的蒙特卡罗方法在20世纪40年代创造的。Metropolis提出了Monte Carlo这个名字，指的是Monte Carlo赌场，Ulam的叔叔经常在那里把钱藏起来[Met87]。恩里科·费米被认为在20世纪30年代使用了某种“人工模拟”，在没有计算机的情况下计算出由慢中子引起的核反应的数值估计[Lab66，Met87]。保持高维度。然而，据报道，在许多金融应用中，即使存在非常高的维度[PT95、PP99、CMO97、KMRZ98a、KMRZ98b、KS07、SAKK12]，QuasiMonte Carlo仍能达到标准蒙特卡罗的性能。这种f行为通常是通过减少问题的有效维度（相对于其名义维度）来解释的。[CMO 97]中引入了有效维度的概念。有人建议，如果被积函数的有效维数不太大，QMC将被授予MC。该结论基于方差分析（ANOVA）。[LO00]展示了方差分析成分如何与QMC整合方法的有效性相联系。为了提高准蒙特卡罗算法的效率，测量有效维数非常重要。此外，可以使用各种技术来减少有效维度，从而提高效率：这是可能的，因为有效维度可以通过改变变量的采样顺序而变化。实现这一目标的最佳方法可能是一项艰巨的任务，可能取决于具体的模型，目前还不知道通用的解决方案。

关于路径相关期权定价的金融文献[CMO97，KS07]中一个流行的选择是将布朗桥离散化应用于基于条件分布的更深层随机过程的模拟。与标准离散化不同，标准离散化沿时间范围连续生成布朗运动值，布朗桥离散化在终点生成布朗运动值，然后使用在终点处已经找到的值填充一个中点，然后使用之前步骤中已经模拟的点填充连续中点处的后续值。就QMC采样而言，该模拟方案表示，使用Q MC向量的第一个坐标来模拟布朗运动的终值，而后续坐标用于生成中间点。许多研究表明，与使用MC或QMC抽样的标准离散化方法相比，使用布朗桥离散化的QMC方法在亚洲期权等方面具有更高的性能[CMO97，KS07]。然而，在[Pap01]中指出，在某些情况下，布朗桥的性能可能比QMCsimulation中的标准离散化差。最大的问题是如何确定哪种数值格式将在QMC模拟中提供更高的效率。全球敏感性分析（GSA）就是答案。GSA是分析复杂模型的一个非常强大的工具，因为它提供了一种全面的模型分析方法。传统的灵敏度分析，在当前上下文中称为局部灵敏度分析，应用于函数f（x）是基于在函数域中指定一个点，然后计算一个导数Fxat x=x。

相反，GS A不需要在域中指定特定的点，因为它探索整个域（因此称为global）。它还量化了改变给定输入（或一组输入）的影响，同时所有其他输入也发生了变化，提供了变量之间相互作用的度量。GSA用于识别不确定性对输出影响最大的关键参数。这些信息可以用来储存变量，过滤非本质变量，降低问题维度。对GSAcan的审查可在[SK05a]和[SAA+10]中找到。Sobol[Sob01]开发的基于方差的全局敏感性指标方法因其高效且易于解释而在从业者中非常流行。Sobol的敏感性指数有两种类型：以骰子表示的主要影响，用于估计每个输入参数对ou tputvariance的单独贡献；以及总敏感性指数，用于测量单个输入因子或一组输入的总贡献。为了建模和降低复杂性，区分模型标称尺寸和有效尺寸很重要。[CMO97]中引入了截断和叠加意义下的有效维数概念。此外，O wen补充了“平均维数”的概念，这从计算角度来看更实用[LO06]。有效维度的定义和评估基于以下知识：实际上，可以通过这种方式降低运行意义上的有效维度。有效尺寸的形式定义见第3节。索波尔敏感指数。通常，复杂的数学模型的有效尺寸比其标称尺寸低。模型有效维度的知识非常重要，因为它允许应用各种复杂度降低技术。

在定量金融的背景下，GSA可用于估计给定问题的有效维度。特别是，它可以评估特定数值格式（例如Brow-Bridge或标准离散）的效率。论文组织如下：第2节简要回顾了准蒙特卡罗方法和低差异序列，特别强调了金融应用。第3节介绍了GSA和有效维度的概念，建立了与QMC效率的联系。在第4节中，我们展示了选定支付的价格和敏感性（希腊语）计算结果：进行了GSA和收敛性分析，目的是通过彻底的误差分析来比较MC和QMC的效率。最后，第5节给出了结论和未来工作的方向。特别是，我们建议将您的方法应用到风险管理问题上，在计算效率和预算方面，更快、更平滑的收敛将代表巨大的优势。附录中讨论了一些技术细节。2财务中的蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法2。1一般动机在金融学中，许多利息量（如价格和希腊货币）被定义为给定概率测度下的期望值，因此其评估需要计算（通常比较复杂）函数的多维积分。让我们来考虑一个通用金融工具，它写在一个资产s上，有一个付款日期T。

我们将工具在时间T的收益表示为P（St，θ），其中Sti是时间T的基础资产价值∈ [0，T]和θ是一组相关参数，包括合同中描述的工具参数，如罢工、障碍、标的资产的融资日期、可赎回日期、付款日期等，以及与定价模型相关的定价参数，如利率、波动率、相关性等。使用标准无套利定价理论，参见[Duf01]，工具在t=0时的价格由v（θ）=EQ[D（0，t）P（St，θ）|F]，（2.1）D（0，t）=exp-ZTr（t）dt, （2.2）在哪里(Ohm, F、 Q）是一个概率空间，具有风险中性概率测度Q和过滤Ftat时间t，EQ[·]是关于Q的期望，D（0，t）是随机贴现因子，r（t）是风险中性短期现货利率。请注意，在最终支付日期t之前的中间时间t，S的值可能会进入支付P的定义。为了对金融工具进行定价，我们假设基础资产S的动态的通用维纳扩散模型，dSt=u（t，St）dt+σ（t，St）dWPt，（2.3），初始条件为S，其中P是真实世界的概率度量，μ是真实世界的漂移，σ是波动率，WPtis是P下的布朗运动，比如dWt~ Z√dt，在哪里~ N（0，1）是标准正态随机变量。式（2.3）的解由t=S+Ztu（u，Su）du+Ztσ（u，Su）dWPu给出，（2.4）参见例[Oks92]。特别是，在Black-Scholes模型中，标的资产St遵循简单的对数正态s-ToCastic过程Dst=uStdt+σStdWPt，（2.5），常数为u和σ。在风险中性世界中（在风险中性概率测度Q下），方程（2.5）的解由t=Sexp给出R-σt+σWQt. （2.6）“希腊人”是价格V（θ）w.r.t.特定参数θ的衍生物。