用高维拟蒙特卡罗方法进行定价和风险管理

也就是说，分布良好的坐标用于重要变量，而其他分布不太均匀的坐标用于极不重要的变量。这大大提高了QMC集成的准确性。然而，这种技术并不总能提高QMC方法的效率，例如forCliquet选项：在这种情况下，GSA表明，对于SD，所有输入都同等重要，而且它们之间没有相互作用，这是应用Sobol’低差异序列的理想情况；另一方面，BBD倾向于使用更高的指数变量，这会破坏引入相互作用的输入的依赖性，从而导致更高的DSD和dA值。因此，我们观察到QMC方法的性能下降。4.3性能分析在本节中，我们比较了MC和QMC技术的相对性能。这一分析对于确定QMC是否优于MC以及在何种意义上优于MC至关重要。首先，根据[Jac01]第14.4节的建议，我们分析了prices和Greens的收敛图，显示了MC模拟误差对MC路径数的依赖性。这四种支付方式的结果如图9-12所示。0 2 4 6 8 10 x 1041313.0513.113.1513.213.2513.313.3513.413.4513.5（a）价格0 2 4 6 8 10 x 1040.5920.5940.5960.5980.6020.6040.6060.6080.61（b）德尔塔2 4 8 10 x 1040.0120.01250.0135（c）Gamma0 2 6 8 10 x 10437.838.838.438.938（b）欧洲看涨期权（b）和欧洲看涨期权（IGURE）239 AFC（b），（d）带有对偶变量s（蓝色实线）、QMC+SD（绿色实线）和QMC+BBD（红色实线）的MC+SD的收敛图和模拟路径数。阴影a代表相应运行（实线）周围的3西格玛误差。1%和0.1%的精度区域分别用水平黑色实线和虚线标记。尺寸的数量为D=32。

移位参数为=10-3.0 0.5 1 1.5 2x 1056.946.966.9877.027.047.067.087.17.127.14（a）价格0.5 1 1 1.5 2x 1050.5280.530.5320.5340.5360.5380.540.5420.5440.546（b）Delta0 0 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1.5 2x 1050.0200.0200.0250.0250.0220.02250.0230.02350.0240.0245（c）Gamma0.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.219.519亚洲VEGUR.419亚洲期权（b）买入期权。 = 5 × 10-3.图9.0 0.5 1 1.5 2x 1055.55.555.65.655.75.755.85.855.95.956（a）价格0.5 1 1.5 2x 1050.380.3850.390.3950.40.405（b）德尔塔0.5 1 1 1.5 2x 1050.01150.0120.0130.01350.014（c）伽马0.5 1 1 1 1 1.5 2x 105-26-25-24-23-22-21-20-19-18-17-16（d）VegaFigure 11：双重淘汰看涨期权。详情如图1 0.0 0.5 1 1.5 2x 1050.61150.6120.61250.6130.61350.6140.61450.6150.6155（a）价格0.5 1 1.5 2x 1051.371.3711.3721.3731.3741.3751.3761.3771.3781.3791.38（b）VegaFigure 12：Cliquet选项。细节如图10所示。我们观察接下来的情况。1.Eu ropean选项（图9）：QMC+BBD在所有情况下都优于QMC+SD和MC+SD（QMC+BBD的3西格玛区域系统性地更小）。我们还注意到，对于price、delta和vega，QMC+BBD收敛实际上是单调的，这使得在线误差近似成为可能。对于gamma，QMC+BBD收敛比MC+SD收敛的振荡小得多。2.亚洲期权（图10）：在Price和vega方面，QMC+BBD优于QMC+SD和MC+SD。对于delta，同时使用SD和BBD的QMC略优于MC+SD。对于gamma，同时使用SD和BBD的QMC与MC+SD的效率几乎相同。对于price、delta和vega，QMC+BBD收敛也更平滑。3.双KO选项（图11）：QMC+BBD在所有情况下都优于QMC+SD和MC+SD。4.

Cliquet选项（图12）：QMC+SD在所有情况下都优于QMC+BBD和MC+SD。QMC+BBD仅在价格上优于MC+SD。接下来，我们分析了QMC和MC在收敛速度方面的相对性能。我们在图13-16中绘制了均方根误差，等式（2.24），与对数刻度中MCN的数量。在所有OUR测试中，我们为N选择了一个合适的范围，因此，在计算希腊语时，偏差项相对于方差项可以忽略不计（详见附录A）。因此，观测到的关系是线性的，精度很高，因此证实了幂律（2.23），并且可以将收敛速率α提取为回归线的斜率。此外，回归线的截距也提供了有关QMC和MC方法效率的有用信息：事实上，截距越低意味着模拟值越接近准确值。线性回归得到的斜率和截距在表格中显示。4和d 5适用于所有测试用例。价格价格（0.3±0.0±0.1±0.0 0.1±0.1 0.0 0.1±0.4±0.4±0.1±0.1±0.1）0.1±0.1）0.0±0.1）0.0±0.1）0.1±0.1±0.1±0.1±0.0.1±0.0 0 0.1±0.4±0.4±0 0 0.4±0.4±0.4±0.4±0.4±0.4±0±0.4±0.4±0.4±0.1±0.1±0±0.1±0 0.1±0.1±0.1±0 0.1±0.1±0 0.1±0.1±0.1±0 0 0.1±0.1.1±0 0 0 0.1.1）0.1-0 0 0.1.1-0 0 0 0 0 0.0±0.1织女星0.1±0.1-0.1±0.1-0.4±0.1双倍价格-0.4±0.1-0.3±0.1-0.7±0.1德尔塔-1.8±0.1-1.6±0.1-2.1±0.1伽马-2.4±0.12.1±0.1-2.9±0.1维加1.1±0.1 1 1.3±0.1.3±0.2液体价格-2.4±0.1-3.2.2±0.1-2.5±0.3维加-2.0.0.1±0.7±0.1-1.7：可截取的回归，其变量为SD+QMC+BB=30和QMC+BB=30的线性回归。

显示了N=102.5路径的结果。价格，价格，价格，价格，价格（0.46±0.3）0.3-0.3-0.0±0.3-0.45±0.45±0.45±0.0±0.3-0.3-0.3-0.3-0.3）0.3-0.3-0.3-0.3-0.3-0 0.3-0.3-0.3-0.3-0.0.3-0.3-0.3-0.3-0.0.3-0.0.0 0.0.0.0.0 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0.3-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3-0.3-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.03-0.50±0.03织女星-0.49±0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.51±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0他们的错误，如表4所示。在少数情况下，由于MC误差较低，我们显示了三位小数。2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.5（a）价格2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5-2.-1.5（b）三角洲2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5（c）Gamma2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-2.5-2.-1.5-1.-0.50（d）VegaFigure 13：欧洲看涨期权价格（a）和希腊（b）、（c）、（d），模拟路径N=2p，p=9，18，D=32，=10-3，L=30次运行：带对偶变量的MC+SD（蓝色）、QMC+SD（绿色）、QMC+BBD（品红）。线性回归线也是如此。2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.5（a）价格2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-3.8-3.6-3.4-3.2-3.-2.8-2.6-2.4-2.2-2.-1.8（b）三角洲2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-3.6-3.4-3.2-3.-2.8-2.6-2.4-2.2（c）Gamma2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.500.5（d）VegaFigure 14：亚洲看涨期权。 = 5 × 10-3.

其他细节如图13.2.5 3.5 4.5.5所示-2.5-2.-1.5-1.-0.50（a）价格2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-3.6-3.4-3.2-3.-2.8-2.6-2.4-2.2-2.-1.8-1.6（b）三角洲2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-4.5-4.-3.5-3.-2.5（c）Gamma2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-0.4-0.200.20.40.60.811.2（d）素食图15：双重淘汰看涨期权。详情如图14.2.5 3.5 4.5.5所示-6.-5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5（a）价格2。5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5-2.-1.5（b）VegaFigure 16：Cliquet选项。细节如图14所示。我们观察接下来的情况。1.Eu-ropean期权（图13）：QMC+BBD优于其他方法，具有较高的收敛速度α和最小的截距。price和vega h的QMC+SD是收敛α的高误差率，但也比MC+SD的截距略高。就α值而言，delta和gamma的性能相当于MC+SD。2.亚洲期权（图14）：对于price和vega，QMC+BBD和QMC+SD的α值高于MC+SD，其中QMC+BBD的效率最高。对于delta，它们的α也略高，但两者的截距都比MC低。对于gamma，所有方法都显示出类似的收敛性。3.双KO期权（图15）：QMC+BBD具有最高的α，尽管其最高值α=0.61（对于gamma），低于欧洲和亚洲期权的α（除了亚洲期权的gamma）。在所有方法中，其价格截距、增量和伽马截距的值也是最低的。QMC+SD与MC一样有效。Cliquet选项（图16）：QMC+SD的α值最高，接近1.0。在所有方法中，它的截获率也是最低的。

QMC+BBD具有较高的α，但与MC+SD相比，截获率相似。我们强调，前面的图13-16中显示的斜率和截距不取决于模拟的细节，尤其是MC种子或LDS起点，因为我们的平均值为L=30次。总之，QMC+BBD通常优于其他方法，除了asian Gamma，所有方法都具有相似的收敛性和Cliquet选项，其中Q MC+SDD是最有效的方法。4.4加速分析蒙特卡罗模拟的一个典型问题是“需要多少场景才能达到给定的精度？”。当比较两种数值模拟方法时，典型的问题是“在保持相同精度的情况下，使用方法B而不是方法A可以节省多少场景？”。衡量两种数值方法相对计算性能的一个有用方法是eso，称为加速S*（a） [KMRZ98a，PT96]。它被定义为驴（i，j）*（a） =N（j）*（a） N（i）*（a） ，（4.6）其中，在我们的上下文中，N（i）*（a） 使用第i种计算方法（MC+SD、QMC+SD或QMC+BBD）达到并保持给定精度所需的场景数是w.r.t.精确或几乎精确的结果。因此，加速速度是*（a） 量化方法i w.r.t.方法j的计算增益。加速N*可以通过直接模拟进行评估，但这在计算上非常昂贵。因此，我们采用附录B中描述的更简单的算法。我们在表6中显示了所有方法和前面章节中描述的分配类型的加速分析结果。加速测量清楚地显示了每种情况下所考虑方法的相对效率。总体而言，QMC+BBD在很大程度上优于其他方法，其加速系数高达10（欧洲和屏障伽马）和少数例外（亚洲德尔塔和伽马，Cliquet）。

QMC+SD是Cliquet的最佳方法。Wepayoff功能QMC+SD QMC+BBD QMC+BBDvs MC+SD vs MC+SD vs QMC+SDa=1%a=0.1%a=1%a=0.1%a=1%a=0.1%欧洲价格36301401020 0德尔塔0.30.5202002000伽马0.50.52000000VEGA 5010200亚洲价格51000德尔塔0.2 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 2 5Gamma 0.5-0.5-0.5-0.5-1织女星6 10100双倍KO价格0.5伽马2050.5德尔塔0.5150 500维加0.50.5 1.5 1.5 3 3液体价格10 100 1 10 0.1 0.1维加20 100 0.5 1 0.02 0.01表6：增加*（a） 在不同的数值方法中，不同类型的数值方法相互交叉。有限差异的移位与前面章节中使用的相同。缺失的价值*意味着无法达到要求的精度，因为它小于bia s。特别注意，在大多数情况下，精度a增加十倍会导致s速度增加两倍*（a） 。然而，在少数情况下（gamma适用于欧式和Cliquet选项），这样的增加可能会导致S增加10倍*（a） 。速度加快的困难在于agiven数值方法的收敛图可能是非单调的。不幸的是，我们在附录B中估算速度的算法无法捕捉到收敛图的意外变化，这可能导致低估N*（a） 。然而，我们认为，在等式（B.1）中选择3西格玛置信区间，使我们的加速分析可靠，至少当与下一节4.5.4.5稳定性分析中描述的稳定性分析结合时，我们已经观察到QMC收敛通常比MC更平滑（见图9-12）：这种单调性和稳定性保证了给定路径数N的更好收敛性。

为了量化各种数值技术的单调性和稳定性，我们使用了以下策略：我们将路径模拟的范围N划分为10个等长的窗口，然后计算每个窗口i的样本平均值m和样本标准偏差（“波动性”）。然后，log返回log（mi/mi）-1） 挥发性si，对于i=2，10分别用于衡量单调性和稳定性：“单调”收敛将显示非振荡对数收益收敛到零，“稳定”收敛将显示低且几乎剧烈的波动性。我们对MC和QMC方法进行了稳定性分析。对于QMC，我们使用了两种不同的生成器：带有Broda生成器的纯QMC和带有Matlab生成器的随机拟蒙特卡罗（rQMC）。结果如图17-20所示。使用MatousekAffineOwen置乱法的Matlab函数sobolset。1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.0100.010.020.031 2 3 4 6 7 8 900.050.10.150.20.25（a）价格1 2 3 4 6 7 8 9-50510x10-312345678901234x10-3（b）三角洲123456789-0.2-0.100.10.212345678902468x10-3（c）Gamma1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.0200.020.041 2 3 4 5 6 7 8 900.511.5（d）VegaFigure 17：欧洲看涨期权价格（a）和希腊（b）、（c）、（d）的对数回报率（上图）和波动率（下图），对于d=32，=1 0-3、MC+SD（蓝色）、r QMC+BBD（绿色）和纯QMC+B BD（红色）。模拟路径的数量从100到10000，分为10个窗口，每个窗口包含10个样本（x轴）。1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.0100.010.020.030.041 2 3 4 5 6 7 8 900.050.10.150.2（a）价格1 2 3 4 6 7 8 9-0.0100.010.021 2 3 4 5 6 7 8 90123x 10-3（b）三角洲123456789-0.4-0.200.20.41 23 4 5 6 7 8 90246x 10-3（c）Gamma1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.0100.010.020.030.041 2 3 4 5 6 7 8 900.20.40.60.8（d）VegaFigure 18：亚洲看涨期权。 = 5 × 10-3.

其他细节如图17.1 2 3 4 5 6 7 8 9所示-0.03-0.02-0.0100.010.021 2 3 4 5 6 7 8 900.050.10.150.2（a）价格1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.0100.010.021 2 3 4 5 6 7 8 90246x 10-3（b）三角洲123456789-0.2-0.100.10.21 2 3 4 5 6 7 8 901234x 10-3（c）Gamma1 2 3 4 5 6 7 8 9-1.-0.500.51 2 3 4 5 6 7 8 90246810（d）VegaFigure 19：双重淘汰看涨期权。详情如图18.1 2 3 4 5 6 7 8 9所示-50510x10-312345678900.511.52x10-3（a）价格1 2 3 4 5 6 7 8 9-10-505x10-31234567890246x10-3（b）VegaFigure 20：Cliquet选项。这里使用的是QMC和rQMC以及SD。其他细节如图18.1 2 3 4 5 6 7 8 9所示-0.0200.020.040.061 2 3 4 6 7 8 900.050.10.150.2（a）价格1 2 3 4 6 7 8 9-0.02-0.0100.010.021 2 3 4 5 6 7 8 902468x 10-3（b）三角洲123456789-0.2-0.100.10.21234567890246x10-3（c）Gamma1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.0200.020.040.060.081 2 3 4 5 6 7 8 900.20.40.60.8（d）VegaFigure 21：d=252，=5×10的亚洲看涨期权-3.显示rQMC+SD+Matlab（绿色）和rQMC+BBD+Matlab（品红）以及QMC+SD+Broda（蓝色）和QMC+BBD+Broda（红色）的结果。我们观察到，总体而言，QMC+Broda和rQMC+Matlab作为数据表比MC+SD更单调。然而，这一事实在亚洲的delta和gamma中不太明显，其中Q MC缺乏单调性和稳定性w.r.t.MC，QMC+BRODA比rqmc+Matlab稍微稳定一些。正如我们从GSA对这种情况的结果中所知，存在高阶相互作用，并且有效维度很大（见表3）。为了理解维度D对单调性和稳定性的影响，我们使用QMC和RQMC以及SD和BBD对D=252的亚洲期权进行了类似的实验。结果如图21所示。

我们观察到，对于包括delta和gamma在内的所有情况，使用Broda生成器的纯QMC比基于Matlab生成器的随机QMC更能保持单调性和稳定性，QMC+BBD+Broda表现出最好的稳定性。值得注意的是，尺寸的增加导致BBD（但不包括SD）的有效尺寸减小。我们的结论是，好的高维LDS生成器对于在高有效维问题中获得Monte Carlo模拟的光滑单调和稳定收敛是至关重要的。5结论在这项工作中，我们介绍了准蒙特卡罗（QMC）和全球敏感性分析（GSA）方法在金融领域应用的最新概况，即w.r.t.标准蒙特卡罗（MC）方法。特别是，我们考虑了复杂度和路径依赖性不断增加的选择性支付（欧洲看涨期权、几何看涨期权、双屏障淘汰期权、Cliquet期权）的价格和希腊（delta、gamma、vega）。我们比较了底层随机微分过程的标准离散化（SD）和布朗桥离散化（BBD）方案，以及使用ps eudo random和高维Sobol低差异序列对底层分布进行的不同采样。