用高维拟蒙特卡罗方法进行定价和风险管理

具有同等重要变量的函数具有dT 它们可以进一步分为两类：B型和C型功能。在叠加意义下，B型函数具有占主导地位的低阶相互作用和较小的有效维数，因此<< dT D.对于此类函数，Sobol’指数满足以下关系： 斯托蒂， i=1，D、 DXi=1Si 1.（3.13）C型函数具有主导的高阶相互作用<< 斯托蒂，DXi=1Si<< 1（3.14）和有效尺寸dS dT D.表1总结了这种分类。Owen在[Owe03]中引入了平均维数dA的概念，它可以假设分数，定义为dA:=X0<| y |<D | y | Sy，（3.15）类型描述关系。D维度几个重要变量Stoty/|y |>> 斯托茨| z | dS≤ dT<< 低阶相互作用 Sj，Si 斯托蒂， i、 j dS<< dT 直流高阶相互作用 Sj，Si<< 斯托蒂， i、 j dS dT 表1：基于GSA的函数w.r.t.对变量的依赖性分类。并表明它可以相当直接地计算为da=DXi=1Stoti。（3.16）在[SS14]中，有人建议，当发生dA时，QMC的表现应优于MC。3.我们的发现证实了这一点，见第4.2节。许多著作[KFSM11、CMO97、Owe03]已经证明，无论名义尺寸如何，只要有效尺寸在一个或多个意义上较低，QMC都优于MCC。因此，在A型和B型f函数的情况下（我们假设函数非常平滑），QMC总是优于MC，而对于C型函数，这两种方法的效率是相似的。实际上，A型和B型函数在金融问题中非常常见。

我们还注意到，通过使用有效的降维技术，例如布朗桥，可以大大提高QMC方法对A型函数的性能，这将在下一节中演示。4.测试案例和数值结果在本节中，我们将MC和QMC技术应用于高维定价问题。我们的目标是测试QMC相对于标准MC在计算价格和希腊语（delta、gamma、vega）方面的效率，以及在复杂度和路径依赖性不断增加的情况下，所选支付的P。4.1选择的支付和测试设置我们选择以下仪器作为测试用例。1.欧洲电话：P=max（SD）- K、 0）。(4.1)2. 亚洲电话：P=max（`S- K、 0）、S=DYj=1Sj1/D.（4.2）3。双重淘汰：P=最大值（SD）- K、 0）1{Bl<Sj<Bu}，j=1，D.（4.3）4。Cliquet:P=maxDXj=1max0分钟C、 Sj- Sj-1Sj-1., F. （4.4）在上述定义中，K表示执行价格，B表示下限和上限，C表示本地上限，F表示全球下限。在所有测试案例中，我们使用以下支付参数：o成熟度：T=1，o罢工：K=100，o下巴里耶：Bl=0.5秒，o上屏障：Bu=1.5秒，o全球流动：F=0.16，o局部上限：C=0.08。这种选择保证了复杂性和路径依赖性的提高。Europeancall只是一个简单的参考案例，Price和Greens都提供了分析公式，参见[Wil06]。算术平均的亚洲电话是最简单、最常用的非欧洲电话支付方式；我们选择几何平均支付，以便提供分析公式。双重屏障是另一种非常不同的支付方式，具有更强的路径依赖性。最后，Cliquet期权是一种典型的基于非减持股票表现的强路径依赖性支付。

显然，许多其他可能的回报可以添加到测试中（例如自动调用），但我们认为，这样的选择应该足够完整，以覆盖蒙特卡罗模拟中相关的大部分路径依赖特征。我们假设基本过程遵循第2.1节所述的几何布朗运动，模型参数如下：o现货：S=100，o波动率：σ=0.3，o时间步数：D=32。该过程在D个时间步{t<···<tj<···<tD}之间离散，因此SDI是其在到期时的价值。回想一下，在单一资产的情况下，时间模拟步骤的数量与路径相关模拟的尺寸相等。正如第2节末尾所讨论的，我们选择了一个简单的STC动力学，因为我们的主要目标是比较MC和QMC模拟。r、 t.尺寸D和离散化方案的影响。数值计算是在Matlab中使用三种不同的采样技术进行的：oMC+SD+对偶变量+梅森捻线器生成器，oQMC+SD+SobolSeq8192生成器，oQMC+BBD+SobolSeq8192生成器。模拟参数的符号为：oN：底层模拟路径的数量，oD：用于离散每个底层路径的时间步数，oL：独立运行的数量。参见例如[Wil06]和其中的参考文献。请注意，使用Black-Scholes模型，时间步数D也是MC模拟的名义维度。

根据Sobol’序列的具体情况，我们取N=2p，其中p是一个整数，因为这保证了最小的离散性。模拟误差εN通过计算（2.24）定义的均方根误差（RMSE）进行分析，其中V是分析公式（适用于欧洲和几何亚洲期权）给出的价格或希腊人的参考值，或通过大量场景（N=2）（适用于双重淘汰和Cliquet期权）进行模拟。为了评估和比较MC和QMC方法与不同离散化方案的性能，我们通过用幂律c N拟合函数εN来计算作为N函数的theRMSE标度-α(2.23). 在MCcase中，所有情况下α的值预计为0.5，而在QMC情况下，对于Ty-pe A和B函数，α的值预计高于0.5。最后，使用delta、gamma和vega的中心差分公式，结合移位参数，通过有限差分计算上述支付，P=副总裁s副总裁（S+h）- 副总裁（S）- h） 2h，ΓP=副总裁s副总裁（S+h）- 2VP+VP- h） h，副总裁=副总裁σVP（σ+h）- VP（σ）- h） 2h，（4.5），其中增量h选择为h=S，对于δ和γ，对于织女星，对于给定的“移位参数”。请注意，普赖斯和三个希腊人的计算使用了等式。（4.5）和支付（4.1-4.4）高于r equires Np=5+5+5+3=18个函数评估（液体具有零增量和伽马）。在针对希腊人的MC模拟中，我们使用伪随机序列和LDS序列的路径循环来最小化希腊人的方差，如[Jac01]和[Gla03]中所建议的。请注意，一般而言，希腊人的RMSE分析比价格分析更复杂，因为MC模拟的方差与偏差混合在一起，这是由于衍生工具的近似值与shift的有限差异造成的。

我们在附录A.4.2中讨论了如何处理这一问题，即使用等式计算标准和布朗桥离散化的价格和格里克索波尔指数Siand Stotiare的全球敏感性分析。（3.8），其中f是相关的模型函数（工具payoff或希腊语，具有有限的差异），y={xi}，y′={x′i}，z={x，…，xi-1，xi+1，xD}，z′=x′，x′i-1，x′i+1，x\'D. 这里是统一变量xi~ i、 i.d.U[0,1]使用ineq。(2.14). 等式中的积分。（3.8）使用QMC模拟和以下参数计算：o模拟次数：N=2，o有限差异的移位参数：=10-4, 10-3, 10-2.有效维度按以下方式估算：o使用不等式（3.12）计算转换意义下的有效维度，寻找f或一组最小变量y={x，…，xdT}，从而使相对Stotz | y |/Stoty | z |小于1%。由于DTS的计算取决于采样变量的顺序，因此结果取决于使用的离散化方案，即SD或BBD。参见附录A。支付函数Si/Stotipisiddsda对欧洲价格的影响0.49 0.68 32<32 1.40 Delta 0.26→0.23 0.7 32<32 3.2 10-4.→ 10-2.-4.→ 10-232 32 32高织女星0.33 0.543 32<32 1.64诺亚价格0.54→0.43 0.714<32<32 1.38δ0.32→ 10-20.71→0.74 3 2<32 3.5 10-4.→ 10-2.-4.→ 10-232 32 31 → 25高织女星0.42→0.01 0.61 1<32<32 1.57 noDouble KO价格0.01→0.15 0.22 32<32 8.5δ0.01→ 0.12 0.22 32<32 7.6 noGamma 10-5.→ 10-7.-4.→ 10-232 32 31.2 → 29.8高织女星10-5.→ 10-8.-4.→ 10-232 32 28 highCliquet Price 1 1 32 1 1 Vega 1 1 32 1 1值得注意的2：GSA指标总结以及SD方案的价格和有效维度。

“箭”→” 在Si/Stotidenotes列中，值随指数i的增加和/或移位参数的增加而变化；在forPiSiit列中，它表示值随移位参数的增加而变化。本表中图形的数值计算需要NP×（D+2）×N×N=18×34×3×2=240,64,8,192次功能评估。我们只显示重要数字，由于空间有限，我们不显示MC错误叠加传感器中的有效维数是根据不等式（3.11）使用张力作为上界估计的。为了区分典型的e带典型的C函数，我们根据等式观察Si/StotiandPisi的比率。(3.13), (3.14).o 根据公式（3.16）计算有效平均尺寸dAis。SD的GSA结果如图1-4所示。表2给出了基于Sobol指数的衡量标准。根据表1.0 5 10 25 350.020.0250.030.0350.040.045 SiSitot（a）Price0 5 15 20 25 350.020.060.070.080.090.10.11 Si，根据ε=10，使用这些度量来计算有效维数，并将被积函数分类到（2.15）中，对应于价格和希腊语-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）ε=10的Gamma0 5 10 15 20 25 30 350.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050.055硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 1：欧洲看涨期权价格（a）和希腊（b）、（c）、（d），SD，d=32。

一阶Sobol指数和总灵敏度指数Stotiversus时间步长i.0 5 10 15 20 25 30 3500.020.040.060.080.10.120.14 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.0500.050.10.150.20.250.3硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）ε=10的Gamma0 5 10 15 20 25 30 3500.020.040.060.080.10.120.14硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 2：亚洲所有选项。参数如图1.0 5 10 15 20 25 30 3500.050.10.150.20.250.30.35 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 25 3500.050.10.150.20.250.30.35 Si，ε=10-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）Gamma0 5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 3：双重淘汰看涨期权。参数如图1.0 5 10 15 20 25 30 350.0260.0270.0280.0290.030.0310.0320.0330.0340.035 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 25 30 350.0260.0270.0280.0290.030.0310.0320.0330.0340.035 Si，ε=10-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）VegaFigure 4：Cliquet选项。参数如图1所示。对于Cliquet选项，Delta和gamma为空。从这些结果中，我们得出以下结论。1.欧盟罗珀期权（图1）：price、delta和vega为B型函数，而gamma为C型函数。2.

亚式期权（图2）：价格和织女星是B型函数，而δ和γ是C型函数。3.双KO选项（图3）：price和all Greens都是C型函数。4.Cliquet选项（图4）：price和vega是dS=1的B型函数（Cliquet选项的delta和Gamma为空）。我们记得dS=1意味着变量之间没有相互作用。图5-8和表3显示了GSA对BBD的类似结果。支付函数Si/StotipisiddsdadEuropean Price 1 Delta 1 noGamma 1 noVega 1 noAsian Price 0.853的影响→0.4 0.875 2 ≤2 1.13δ0.733→0.01 0.778 4 ≤4 1.68 → 1.43.10-2.→ 10-40.022→ 10-432 32 31 → 8 highVega 0.802→0.03 0.827 2 ≤2 1.20无二倍KO价格0.70→0.01 0.70  2.≤2 1.63δ0.83→0.01 0.83 2 ≤2.1.37诺加玛1→ 0.95 11.0小织女星10-4.→ 零点二一零-6.→ 10-432 32 4.8 → 3.9高价0.978→0.2 0.892  2.≤ 2 1.19织女星0.595→0.001 0.32  32≤ 32.2.6值得注意的3：GSA指标和BBD计划的价格和gre EK的有效维度摘要。详情见表2.0 5 10 15 20 25 30 35-0.200.20.40.60.811.2西西托（a）价格0.5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）Gamma0 5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 5：欧洲看涨期权价格（a）和希腊看涨期权价格（b），（c），（d），BBD，d=32。

一阶Sobol’s指数和总灵敏度指数Stotiversus time s tep i.0 5 10 15 20 25 30 3500.10.20.30.40.50.60.70.80.9 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 30 35-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9硅，ε=10-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）Gamma0 5 10 15 20 25 30 35-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9硅，ε=10-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 6：亚洲看涨期权。详情如图5.0 5 10 15 20 25 30 35所示-0.200.20.40.60.81西西托（a）价格0.5 10 15 20 25 35-ε=10的0.200.20.40.60.81硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）德尔塔5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（c）Gamma0 5 10 15 20 25 30 35-ε=10的0.200.20.40.60.811.2硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（d）VegaFigure 7：双重淘汰看涨期权。详情如图5.0 5 10 15 20 25 30 3500.10.20.30.40.50.60.70.8 SiSitot（a）价格0 5 10 15 20 30 35-ε=10的0.100.10.20.30.40.50.6硅-4Sitot，ε=10-ε=10的4Si-3ε=10时的试验-ε=10的3Si-2在ε=10的情况下进行试验-2（b）VegaFigure 8：Cliquet选项。细节如图5所示。从这些结果中，我们得出以下结论。1.Eu-ropean选项（图5）：price和all-Green是dS=1的A类函数。

与终端值t=t相对应的第一个输入的灵敏度指数值为 1，而以下变量具有敏感性指数 0.显然，BBD比SD更有效。2.亚洲选项（图6）：price、delta和vega是A类函数。关于上述欧洲选项的评论。Gamma仍然是SD的C型功能。3.双KO选项（图7）：价格、增量和伽马是A类函数。以上亚洲选项的注释。对于SD，Vega仍然是C型功能。4.Cliquet选项（图8）：价格是a型函数。与欧洲选项类似，与终端值T=T相对应的第一个输入的灵敏度ind exes值为 1，而以下Siare值 0.织女星是一种C型函数，因为它的Si/STOTIREACHE值很小，显示了相互作用的变量。因此，在这种情况下，BBDis的效率远低于SD。总之，对于QMC+SD（表2），Price和Greens始终是B型或C型函数，而对于QMC+BBD（表3），Price和Greens主要是A型函数，只有少数例外。在大多数情况下，从SD切换到BBD会降低截断传感器edT的有效维度。QMC+BBD与QMC+SD的不同效率完全可以用Sobol’低差异序列的性质来解释。Sobol’LDS的初始坐标分布比后来的高维坐标[Gla03，CMO97]要好得多。BBD改变了输入（与时间步相连）的采样顺序。如GSA所示，在大多数BBD案例中，低指数变量（时间步长的终值、中值等）比高指数变量重要得多。BBD使用每个D维LDS向量的索引较低、分布良好的坐标来确定路径的大部分结构，并保留其他坐标来填充更详细的信息。