具有反复和短暂过程的罗斯恢复

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Ross Recovery with Recurrent and Transient Processes》
---
作者：
Hyungbin Park
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  Recently, Ross showed that it is possible to recover an objective measure from a risk-neutral measure. His model assumes that there is a finite-state Markov process X that drives the economy in discrete time. Many authors extended his model to a continuous-time setting with a Markov diffusion process X with state space R. Unfortunately, the continuous-time model fails to recover an objective measure from a risk-neutral measure. We determine under which information recovery is possible in the continuous-time model. It was proven that if X is recurrent under the objective measure, then recovery is possible. In this article, when X is transient under the objective measure, we investigate what information is sufficient to recover.
---
中文摘要：
最近，罗斯证明了从风险中性度量中恢复客观度量是可能的。他的模型假设存在一个有限状态马尔可夫过程X，它在离散时间内驱动经济。许多作者将其模型推广到具有状态空间R的马尔可夫扩散过程X的连续时间环境。不幸的是，连续时间模型无法从风险中性度量中恢复客观度量。我们确定在连续时间模型中，在何种情况下信息恢复是可能的。事实证明，如果X在客观指标下反复出现，那么恢复是可能的。在本文中，当X在客观度量下是瞬态的，我们将研究哪些信息足以恢复。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Ross_Recovery_with_Recurrent_and_Transient_Processes.pdf (495.58 KB)

2022-5-7 00:35:28 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Mathematical Quantitative mathematica information State Space

具有反复和短暂过程的罗斯恢复*+Hyungbin Park——美国纽约州纽约市纽约大学库兰特数学科学研究所2015年9月23日摘要最近，罗斯[20]认为，从风险中性度量中恢复客观度量是可能的。他的模型假设存在一个有限状态马尔可夫过程，在离散时间t内驱动经济∈ N.许多作者将其模型扩展到具有状态空间R的马尔可夫扩散过程的连续时间集。不幸的是，连续时间模型通常无法从风险中性度量中恢复客观度量。我们确定在连续时间模型中信息恢复的可能性。事实证明，如果XT在客观指标下反复出现，那么恢复是可能的。在本文中，当XT在客观测量下是瞬时的时，我们将研究哪些信息有助于恢复。关键词：罗斯恢复、马尔可夫定价算子、复发、过渡1简介定量金融理论涉及两个相关的概率测度：风险中性测度和客观测度。风险中性指标决定金融市场中资产和期权的价格。风险中性度量不同于客观度量，客观度量描述了市场的实际随机动态。传统观点认为，不能通过观察风险中性指标来确定客观指标。证明这一观点的最著名的例子是布莱克-斯科尔斯模型，该模型表示，在风险中性度量下，股票的漂移与在客观度量下的股票漂移无关。最近，Ross[20]质疑了这一观点，并认为在某些情况下，从风险中性度量中恢复客观度量是可能的。

他的模型假设有一个潜在的过程，通过离散时间的有限个州来驱动整个经济∈ N.这一结果可能会引起金融研究人员和投资者的极大兴趣，因此*作者感谢乔纳森·古德曼和斯里尼瓦萨·瓦拉丹的技术见解。作者还感谢两位不知名的裁判的建设性反馈。+第一版：2014年9月19日hyungbin@cims.nyu.edu, hyungbin2015@gmail.comis将罗斯模型扩展到连续时间环境非常有价值，这在金融领域非常实用。在本文中，我们研究了在连续时间内恢复的可能性∈ R具有时间齐次马尔可夫扩散过程和状态空间R。在此设置中，风险中性度量包含有关客观度量的一些信息。然而，总的来说，不幸的是，该模型未能从风险中性度量中恢复客观度量。恢复理论的一个关键思想是，对于某些常数β和正函数φ（·），定价核的倒数以βtφ（Xt）的形式表示。例如，在[4]和[13]中基于消费的资本资产模型中，定价核心用上述形式表示。回收理论的基础是找到β和φ（·）。由此，我们得到了定价核以及客观测度和风险中性测度之间的关系。我们将看到β和φ（·）满足二阶微分方程σ（x）φ（x）+k（x）φ（x）-r（x）φ（x）=-βφ（x）。（1.1）因此，恢复理论被转化为一个问题，即找到φ（·）>0的特定微分方程的特定解对（β，φ）。如果这样的解决方案对是唯一的，那么我们可以成功地恢复客观度量。

不幸的是，这种方法显然无法实现恢复，因为这样的解决方案对从来都不是唯一的。许多作者将Ross模型推广到了连续时间环境，也遇到了非唯一性问题。为了克服非唯一性问题，所有作者在他们的模型上假设了更多的条件，以便微分方程（1.1）有一个满足条件的唯一解对。Carr和Yu[5]引入了Long发现计价组合的概念，将Ross模型扩展到了连续时间环境。他们假设Long的投资组合取决于时间和基本过程Xt，然后推导出上述微分方程（1.1）。Carrand Yu还假设该过程是一个时间齐次的马尔可夫扩散，在两端都有规则边界的有界区间上。他们还隐式地假设φ（·）对于某些测度w是inL（w），以应用正则Sturm-Liouville理论，从而获得满足这些条件的唯一解对。Dubynskiy和Goldstein[7]研究了带有反射边界条件的马尔可夫微分模型。Walden[21]将Carr和Yu的结果推广到XT是无界过程的情况。沃尔登证明，如果这个过程在客观条件下是反复的，那么恢复是可能的。此外，他还表明，当在无界情况下恢复是可能的，通过观察有界子区间上的期权价格，近似恢复是可能的。Qin和Linetsky[17]证明，如果XT是循环的，且定价核采用Hansen-Scheinkman分解，则恢复是可能的。他们还表明，罗斯的复苏与罗杰潜在的定价方法密切相关。Borovicka、Hansen和Scheinkman[2]表明，如果过程在客观测度下是随机稳定的，则恢复是可能的。

他们还讨论了恢复理论在金融和经济学中的应用。Borovicka、Hansen和Scheinkman[2]、Qin和Linetsky[17]以及Walden[21]的论文在Xt上假设了一个共同的条件。具体而言，XT在客观指标下是经常性的。该条件的数学原理是克服微分方程（1.1）的非唯一性问题。事实上，如果存在，方程（1.1）有一个唯一的解对（β，φ）满足这个条件，我们将在第5.1节中回顾这个条件。在这篇文章中，我们调查的可能性恢复时，过程是短暂的，在客观的措施。在本例中，我们将探讨哪些信息有助于恢复。其中一个主要贡献是，如果β已知，并且在客观测量下，XT不被吸引到左（或右）边界，那么恢复是可能的。为了实现这一点，我们建立了对恢复理论的图形理解。本主题将在第4节和第5节中讨论。第6节探讨了两个复苏理论的例子：Cox-Ingersoll-Ross（CIR）利率模型和Black-Scholes股票模型。第7节总结了本文。2马尔可夫定价运营商金融市场被定义为概率空间(Ohm, F、 P）具有过滤F=（Ft）的一维布朗运动∞t=0由英国电信生成。本文中的所有流程都被认为适合过滤F。P是该市场的客观衡量标准。我们假设市场中存在状态变量XT和正数值GT。设Q为市场上的等价度量(Ohm, F、 P）这样，以计价单位GT贴现的每个风险资产都是测度Q下的鞅。通常，当GT是货币市场账户时，该测度Q被称为风险中性测度。

然而，在本文中，对于任何给定的正数值Gt，我们说Q是相对于Gt的风险中性度量。将RadonNikodym导数设为∑t=dQdPFt，这是一个已知的鞅过程(Ohm, F、 P）对于0<t<t。利用鞅表示定理，我们可以用随机微分方程形式d∑t=-ρt∑tdbt对于某些ρt。众所周知，由dwt定义的wtt:=ρtdt+dBt（2.1）是Q下的布朗运动。我们通过Lt=Gt/σt假设1定义定价核的倒数。状态变量Xt是一个时间齐次马尔可夫扩散过程，满足dxt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=ξ。Xt的范围是一个开放区间I=（c，d），带-∞ ≤ c<d≤ ∞. b（·）和σ（·）在I上是连续可微的，σ（x）在x上大于0∈ （c，d）。隐式地假设两个端点都是不可到达的，因为进程的范围是开放区间。假设2。数值GT的动态由Xt决定。更准确地说，GtfollowsdGtGt=（r（Xt）+v（Xt））dt+v（Xt）dWt，G=1。假设r和v在I和xp上是连续可微的-Ztv（Xs）ds-Ztv（Xs）数据仓库这是一个鞅。我们假设我们可以从市场价格数据中提取这四个函数b（·）、σ（·）、r（·）和v（·），因此假设它们是事先已知的。上述鞅假设是通过使用Girsanov定理来定义新的度量，例如，在定理E.1的证明中。值得注意的是，如果市场上有一个利率为rt的货币市场账户，那么RTI等于r（Xt），因为eRtrsds·G-这是Q假设下的鞅。假设定价核的倒数与转移无关，即存在正函数φ∈ C（I）和一个实数β，使得lt=eβtφ（Xt）φ-1(ξ) .

（2.2）在这种情况下，我们说（β，φ）是市场的主要对。恢复理论的基础是找到主对（β，φ），然后通过设置Radon-Nikodym导数Pdq获得客观测度PFt=∑-1t=eβtφ（Xt）φ-1（ξ）G-1t。实现恢复方法的一个重要方面是决定如何选择状态变量。许多进程可以用作状态变量，状态变量的选择取决于使用目的。其中一种方法是短期利率rt。对债券价格感兴趣的投资者希望通过一个客观的衡量来发现RTU的动态。[18]中有大量关于利率状态变量的例子。另一种方法是股市指数，比如道琼斯工业平均指数和标准普尔500指数。参考[1]以获取关于恢复理论与状态变量S&P 500的实证分析。3转换度量我们研究恢复理论如何转换为微分方程问题。将伊藤公式应用于Lt的定义，我们知道DLT=（r（Xt）+v（Xt）+v（Xt）ρt）Ltdt+（v（Xt）+ρt）LtdWt。从（2.2）中，我们也有DLT=β +(σφφ-1） （Xt）+（bφφ-1） （Xt）Ltdt+（σφ）-1） （Xt）LtdWt。通过比较这两个方程，我们得到σφ+（b）- vσ）φ- rφ=-βφ，ρt=（σφφ）-1.- v） （Xt）。（3.1）为方便起见，设置k（x）：=（b）- vσ）（x）。使用Lφ（x）=σ（x）φ（x）+k（x）φ（x）定义的符号L- r（x）φ（x），我们有以下定理。定理3.1。设（β，φ）为市场的主对。然后（β，φ）满足Lφ=-βφ.换句话说，如果（λ，h）是Lh=-h>0的λh，则（λ，h）是Xt的主对的候选对。我们感兴趣的是Lh=-λh与正函数h。

有两种可能性。（i） 任何λ都不存在正解h∈ R、 或者（ii）存在一个数β，使得它对于λ<β有两个线性独立的正解，对于λ>β没有正解，对于λ=β有一个或两个线性独立的解。参见[16]中的第146页和第149页。在本文中，我们通过假设3隐式假设了第二种情况。很容易检查eλth（Xt）h-1（ξ）G-1是Q下的局部鞅。当这是鞅时，可以尝试通过将其设置为Radon-Nikodym导数来恢复objectivemeasure P。定义1。设（λ，h）为Lh=-λh具有正函数h。假设eλth（Xt）h-1（ξ）G-这是一个鞅。由theRadon Nikodym Derivative·dQ从风险中性测度Q获得的测度Ft=eλth（Xt）h-1（ξ）G-1这称为关于对（λ，h）的变换度量。显然，关于主对的变换测度是客观测度P。我们有（2.1）和（3.1）的以下命题。提议3.2。dBht确定的工艺Bhtde=-（σhh）-1.- v） （Xt）dt+dwt是关于（λ，h）的变换测度下的布朗运动。此外，XtfollowsdXt=（b- vσ+σhh-1） （Xt）dt+σ（Xt）dBht=（k+σhh）-1） （Xt）dt+σ（Xt）dBht。（3.2）偶尔，我们使用符号BTT代替BHT，但没有歧义。即使当eλth（Xt）h-1（ξ）G-1这不是鞅，我们可以考虑对应于（3.2）的扩散过程。定义2。由dxt=（k+σhh）定义的扩散过程-1） （Xt）dt+σ（Xt）dBtis称为（λ，h）诱导的扩散过程。4复发和瞬变4。1数学预备课程我们为循环和瞬态过程建立数学预备课程。本节内容应归功于[8]、[12]和[14]。

考虑由（λ，h）引起的扩散过程：dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=ξ，其中u（·）=（k+σhh）-1)(·). 比亚迪定义的衡量标准（x）：=e-Rxξ2u（y）σ（y）dydx=h（ξ）h（x）e-Rxξ2k（y）σ（y）dydx被称为过程相对于对（λ，h）的尺度度量。定义3。如果S（（c，ξ））小于，则左边界c是吸引的∞ 否则就没有吸引力了。同样地，如果S（[ξ，d））<∞ 否则就没有吸引力了。通过以下方式确定停止时间τ。Let（中国）∞n=1（dn）∞n=1b分别是极限为c和d的严格单调序列。集τn:=inf{t>0|Xt/∈ （cn，dn）}和τ：=limn→∞τn.命题4.1。左边界c是非吸引的当且仅当ifProb极限→τXt=c= 0 .它类似于右边界d命题4.2。当且仅当边界点c和d都不吸引时，Xt是循环的。4.2图形理解我们建立了对恢复理论的图形理解。回想一下假设1中的X=ξ。本节的目的是理解图1和图2所示的图表。二阶微分方程的解由初值和初速唯一确定。通过归一化，我们可以假设h（ξ）=1，这样解由h（ξ）确定。关于λ，我们用λ和λ之间的关系来描述。这两个术语tupleand pair将用于区分这些含义。定义4。我们说（λ，h（ξ））∈ 如果（λ，h）是Lh=-λh，h（·）>0，h（ξ）=1。

用C.C表示候选四元组的集合：=（λ，h（ξ））∈ RLh=-λh，h>0，h（ξ）=1.我们研究了C的图形性质。设β为C元素第一坐标的最大值，即β：=max{λ|（λ，z）∈ C}。正如我们在第3节中讨论的那样，β达到了最大值。对于带λ的任意λ≤ β、 we setMλ：=sup（λ，z）∈Cz，mλ：=inf（λ，z）∈Cz。提案4.3。让λ≤ β. 对于mλ的任意z≤ Z≤ Mλ，元组（λ，z）在C中。因此，上确界和内确界实际上分别是最大值和最小值。此外，C的λ滑动集是一个连通紧集。有关证据，请参见附录A。定理4.4。元组（λ，Mλ）诱导的扩散过程不吸引到左边界。对于带mλ的z≤ z<Mλ，由元组（λ，z）诱导的扩散过程被吸引到左边界。类似地，元组（λ，mλ）诱导的扩散过程不会吸引到右边界。对于mλ<z的z≤ Mλ，由元组（λ，z）诱导的扩散过程被吸引到右边界。因此，对于mλ<z<mλ的z，由元组（λ，z）引起的扩散过程被吸引到两个边界。有关证据，请参见附录B提案4.5。Mλ是λ的严格减函数，Mλ是λ的严格增函数≤ β.参见附录C以获取证据。推论4.6。对于β，有两种可能性：（i）有一个唯一的数字z，使得（β，z）在C中。在这种情况下，元组（β，z）是C中的唯一元组，因此诱导分化过程是重复的。（ii）存在数量有限的z，因此（β，z）在C中。在这种情况下，对于C中的任何此类元组（β，z），诱导的扩散过程是短暂的。关于（i）的示例，请参见第6节；关于（ii）的示例，请参见附录F。在图1中，左图是（i）的情况，右图是（ii）的情况。图1：我们现在探索C的一个特定子集。