社会科学动力学模型中的经济不平等和流动性

，X0n）满足X0i≥ 0表示所有i=1，。。。，N∑ni=1X0i=1，且∑ni=1riX0i=u趋于渐近性t→ +∞. 换句话说，存在一个单参数的渐近平稳分布族，参数是总收入值。其他属性可以通过对所考虑的家庭的不同模型进行比较来确定。在之前的工作中（[14,15]）我们研究了采用不同税率的比例体系对渐近收入分配曲线形状和经济不平等性的影响，以及引入不同权重的福利措施对经济不平等性的影响。简而言之，模拟结果表明了以下特性。渐近平稳分布对税率差τmax的依赖性- τmin.共态平稳分布的特性取决于最大和最小税率之间的差异：如果τmax-τminis增大，而所有其他数据保持不变，则在渐近平衡时，可以检测到属于中产阶级的个人比例增加（对最贫穷和最富有阶层的人不利）。渐近平稳分布对不同加权福利测度的依赖性。渐近平稳分布的性质取决于表征福利测度的参数γ。当γ减小且所有其他数据保持不变时，在渐近平衡时，可以检测到属于中产阶级的个人比例增加（相应地，最贫穷和最富有阶级的个人比例减少）。在这方面，我们评估了正在考虑的模型的基尼指数G和税收TR，下一步将回顾其定义。

让洛伦兹曲线代表（在y轴上）个人最低百分比（在x轴上）在总收入中的累积百分比。基尼指数G对应于完全相等线y=x和洛伦兹曲线之间的面积A/A比值，以及完全相等线下的总面积A/A比值。它取[0,1]中的值，0表示完全相等，1表示最大相等。税收收入是单位时间内征收并作为福利准备金重新分配的税收总额：TR=n∑h=1n∑k=1n-1.∑j=1phkSτkwjXj(∑ni=1wiXi）XhXk，（16），其中Xidenoting是第i类个体在平衡状态下的分数。4社会流动性及其与经济不平等的关系本文关注一个重要的社会经济问题：社会流动性。社会流动和经济流动在这里被用来表示同一个概念。4.1引言社会流动性是衡量个人通过教育和工作提高经济地位的一种机会。众所周知，一个社会中的高度不平等如果辅之以社会流动性的减少，尤其有害，见[1,2]。社会流动性在历史上一直是“美国梦”（及其模仿）的一个重要组成部分，从而使美国目前的高度不平等水平变得更容易忍受。如今，一些观察家指出，社会流动性正在减弱，例如，穷人和中产阶级的子女必须进入最好的大学和最好的结对学校，这一点越来越困难。如引言所述，定量实证调查表明，流动性与不平等性呈负相关，即。

不平等程度越高的社会流动性也越低。研究经济不平等与流动性之间的相关性尤其令人感兴趣，因为对一个社会的经济流动性进行统计评估比衡量收入分配更加困难。这是因为他们需要至少一到两代人跟踪个人收入的变化。相应地，在基于动力学方程的微观到宏观经济交换理论模型中，收入分布仅取决于方程的渐近平衡解，而流动性估计也涉及模型转移概率的详细结构。在我们的模型中，没有世代，不可能将一个人的收入与其父母的收入进行比较。个人应该独立生活和工作，或者至少在系统达到动态平衡所需的时间内。在这段时间里，收入分配从一些初始条件演变为一个平稳状态，与此相对应，属于某一阶级的个人数量在时间上保持不变：在平衡状态下，离开该阶级的个人的总比率在绝对值上等于来自其他阶级的个人的总比率。这意味着在等式（7）中，其右手侧现在可以根据（15）以简化形式书写，其中一个等式为˙Xi=0。

等价地，平衡种群是非线性方程n的解∑h=1n∑k=1Cihk+Ti[hk]（X）XhXk- Xi=0表示i∈ {1，…，n}，与（8）和（10）中的cihk和Ti[hk]（X）相同。平衡种群可以作为完全发展方程的渐近解在数值上得到。我们从几个数值解中得到的证据表明，达到平衡的方法在时间上是指数的，在这个意义上，“柯西收敛范数”以指数形式收敛到零，正如t→ ∞ （见[14]）。下面，我们将介绍适用于定义我们模型中流动性的量化指标。然后，我们检验了流动性与不平等性的相关性。为此，我们分析了流动性对税率差距和福利手段测试等参数的依赖性；我们发现流动性和不平等指标之间存在有趣的关系。4.2我们模型中的流动性：详细计算和对模型参数的依赖本文中评估的流动性总是指在均衡状态下，当个人进入和离开收入阶层的比率相同时（当然，不同阶级的流动性不同）。我们不考虑以社会总收入的增加或减少为特征的长期趋势。在我们的模型中，社会流动本质上是一种短期流动，每个人都有可能在收入阶梯上上升或下降。流动性的巨大价值应该被视为对经济的积极作用，因为它对更有能力、更勤奋的个人起到了刺激和回报作用。虽然平均而言，向上流动和向下流动在均衡状态下是相同的，但我们可以想象，上升的人比下降的人在经济上更强大。

在模型的改进版本中，可以通过引入一些异质性因素来证明这一点，从而不仅用个人的收入类别i来标记个人，还可能用一些与教育、经济联系数量等相关的“能力”指数来标记个人。首先，我们定义了个人属于收入类别i的概率，对于i=2，。。。，N- 1、通过直接互动或间接互动（即通过福利规定）分别晋升为上层阶级asPi、交换（个人）=Sri+1- 林∑k=1pk，i（1- τi）~Xk（17）和pi，wel f是（个人）=Sri+1- 里维∑nj=1wjXjn∑h=1n∑k=1ph，kτkXhXk。（18） 为了避免可能的边界效应，我们将注意力限制在除第一个和最后一个课程之外的所有课程上。通过对概率（17）和（18）求和，我们得到了单个个体的总概率Pi（个体），即Pi（个体）=Pi，exchanges（个体）+Pi，wel f are（个体），这是后续计算的基础。然后，我们分别定义了由于直接或间接交互作用asPi、交换（类）=（1）而被提升为上层阶级的“平均”阶级概率（第一阶级的一步转移概率）-~X-~Xn）斯里兰卡+1- 林∑k=1pk，i（1- τi）~Xk ~Xi（19）和π，wel f是（类）=（1）-~X-~Xn）斯里兰卡+1- 里维Xi∑nj=1wjXjn∑h=1n∑k=1ph，kτkXhXk（20），对于i=2。。。，N- 1.我们在论文[14]中首次引入了类似的数量，计算了因二次交换（演化方程的二次部分）产生的术语与因税收再分配产生的术语（三次部分）之间的比率。这个比率可以衡量社会的“自由主义”。

我们发现，在福利平均分配的情况下，当我们从中产阶级转移到富裕阶层时，这一比例几乎是不变的，尽管人们可能认为福利条款与超级富豪的阶级进步无关。现在让我们调用Pi（class）=Pi，exchanges（class）+Pi，wel f are（class）。概率（19）和（20）之和。如果我们在基尼指数G=0.368的典型情况下绘制Pi（个人）的柱状图，我们可以看到它随着收入的增加而增加，并在对应最富有阶层时达到最大值（见图1）。然而，我们知道，在现实世界的收入分配中，第五个五分位数通常包括阶级的一致份额，因为阶级人口很少，大部分人口集中在中低收入阶层。在我们的模型中，如果初始条件是大部分财富最初属于下层和中产阶级，这种情况也会发生。例如，在具有图1的参数的示例中，移动性直方图如图2所示。因此，虽然富人流动性的某些方面在原则上是有趣的，因为它们与分布中帕累托厚尾的形成有关，但富人阶层流动性的价值并不会对所有阶层的平均流动性产生强烈影响。我们对流动性的主要衡量标准表示了从第二个到第（n）个阶段所有阶级的集体进步概率- 1） -第1个。

实际上，我们认为交换（集体）=（1-~X-~Xn）斯里兰卡+1- 林-1.∑i=2n∑k=1pk，i（1- τi）~Xk ~Xi（21）和pwel f（集体）=（1）-~X-~Xn）斯里兰卡+1- 林-1.∑i=2wiXi∑nj=1wjXjn∑h=1n∑k=1ph，kτkXhXk（22），并将sum=Pexchanges（collective）+Pwel f are（collective）（23）作为代表迁移率的参数。现在，我们稍微改变模型的一个参数，以增加等式并降低基尼指数。例如，我们从税率中扣除30%-45%到30%-60%，保持直接交换和福利再分配参数不变（这里我们有γ=0.5，这意味着统一的福利分配）。这导致了基尼系数G=0.338，从而产生了一种变异Pi（类）如图3所示，平均变量为0。00000.00050.00100.00150.00200.00250.00300.0035Pi，个体图1：从15个IncomeClass的数值模拟中获得的单级进步Pi（个体）的个体概率。在τmin=30%、τmax=45%且所得基尼指数为G=0.368的情况下，根据等式（7）从平衡总体和系数pi、k、τi计算概率。请注意，富裕阶层的个人流动性最大。数值模拟的初始条件是，大部分财富最初属于中低阶层。i0。000000.000050.000100.000150.000200.000250.00030Pi，类别图2：具有与图1中相同参数的类别流动性Pi（类别）的直方图。这是从个体流动性的直方图中获得的，用相应类别的标准化总体对每一列进行加权。由于低收入和中等收入阶层的人口比富裕阶层多得多（前7或8个阶层通常占总人口的4/5），权重对图1中个人流动性的相对贡献有很大影响。

总迁移率M由加权平均值确定。M=5.7·10-5.从柱状图可以清楚地看出，中产阶级的流动性变化是正的，并且在平均水平上占主导地位。个人流动性变化的柱状图显示，富裕阶层的流动性下降得更厉害，见图4。事实上，我们可以证实，无论是P（个人）还是P（阶级），富裕阶层的流动性变化百分比都更大。当基尼指数的负变量随福利再分配参数的变化而变化时，也发现了类似的行为，从而使其更有利于中低阶层。几项此类试验证实了平等与流动性之间的正相关关系。在下一节中，我们将考虑基尼指数和流动性的变化与税率和福利分配参数的同期变化，这再次证实了这种正相关关系。4.3基尼指数G和流动性M依赖于两个变量：水平线和相关性如果我们计算G的值依赖于这两个变量τ=τmax- τm和γ，我们可以在阿卡特平面上识别τ - γ是一组“G的水平线”，对应于G的常量值。同样，我们可以在同一平面上找到M的水平线。原则上，人们认为这两组水平线是不同的。事实上，不可能写出G和M的显式函数依赖关系τ和γ，这两个量的定义完全不同。特别是，G仅取决于Xi，而M还取决于遭遇频率phk，这在很大程度上是任意的。然而，值得注意的是，G和M的水平线重合约为1/10，至少在平面区域τ - 我们已经通过模拟探索了γ。

G和M的增量总是相反的，因此它们之间的负相关性也强烈地证实了同时依赖于这两个变量。例如，图5表示从这些点开始的G和M的三条重合水平线(τ、 γ）等于（0.15,0.20），（0.15,0.15）和（0.20,0.15）。相应的τ、 γ、G和M在表中报告。1.- 3.i-0.000020.000020.00004D Pi，类别图3：变化税率从30%变化时，阶级流动的Pi（阶级）- 45%到30%- 60%，基尼指数相应地从G=0.368降至G=0.338。i-0.00003-0.00002-0.000010.00001D Pi，个体图4：变化税率从30%变化时个人流动性的Pi（个人）- 45%到30%- 60%，基尼指数相应地从G=0.368降至G=0.338。τmin- τmaxτγG M30-45 0.15 0.20 0.341 0.00270025-50 0.25 0.28 0.341 0.00270420-55 0.35 0.36 0.341 0.002707表1：水平线A的数据τmin- τmaxτγG M30-45 0.15 0.15 0.338 0.00271225-50 0.25 0.24 0.338 0.00271420-55 0.35 0.32 0.338 0.002717表2：水平线B的数据τmin- τmaxτγgm27。5-47.5 0.20 0.15 0.335 0.002325-50 0.25 0.20 0.335 0.002320-55 0.35 0.28 0.335 0.002727表3：物理气体动力学模型中的水平线C.4.4迁移率数据最后，将前面章节中定义和计算的经济迁移率与应用于气体的相应直观概念进行比较是有趣的。我们可以根据温度的概念进行比较。与确切定义无关，迁移率应与分子与其他分子相互作用后进入高能状态的概率有关。因此，假设迁移率随绝对温度的升高而增加似乎是合理的。

为了建立与不平等性的相关性，我们应该确定“气体的基尼指数”如何随温度变化。对于玻尔兹曼-吉布斯指数分布，基尼指数与温度无关，等于0.5。Kaniadakis[18]提出的κ广义分布值得特别关注。它考虑了相对论运动学，因此适合描述热气体和等离子体，同时它为现实世界[16]和运动学模型[13]的收入分布提供了极好的拟合。卡尼达基斯分布的基尼指数G随温度升高而升高。给出G作为分布参数α和κ的函数的分析公式包含四个伽马函数，见[17]。当α=1和κ=0时，分布降低为指数函数，G=0.5。对于α的任何其他值，G是κ的递增函数（比较图6的示例）。当Kanidakis分布应用于相对论性气体时，κ与气体参数的关系为κ=1+mckBT，（24），其中m是原子或分子质量，c是光速，kb是玻尔兹曼常数，T是绝对温度[18]。等式（24）表明，κ随着T的增加而增加。因此，温度越高，气体的G值越高。对于气体而言，G值与迁移率呈负相关，这与经验经济研究和我们的动力学模型的结果不一致。这种比较指出了物理和经济互动之间的许多质量差异之一。在物理系统中，密度、压力等的梯度越大，导致动态演化越快，因此，从某种意义上说，“不平等越大，流动性越大”。