社会科学动力学模型中的经济不平等和流动性

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英文标题：
《Economic inequality and mobility in kinetic models for social sciences》
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作者：
Maria Letizia Bertotti and Giovanni Modanese
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Statistical evaluations of the economic mobility of a society are more difficult than measurements of the income distribution, because they require to follow the evolution of the individuals\' income for at least one or two generations. In micro-to-macro theoretical models of economic exchanges based on kinetic equations, the income distribution depends only on the asymptotic equilibrium solutions, while mobility estimates also involve the detailed structure of the transition probabilities of the model, and are thus an important tool for assessing its validity. Empirical data show a remarkably general negative correlation between economic inequality and mobility, whose explanation is still unclear. It is therefore particularly interesting to study this correlation in analytical models. In previous work we investigated the behavior of the Gini inequality index in kinetic models in dependence on several parameters which define the binary interactions and the taxation and redistribution processes: saving propensity, taxation rates gap, tax evasion rate, welfare means-testing etc. Here, we check the correlation of mobility with inequality by analyzing the mobility dependence from the same parameters. According to several numerical solutions, the correlation is confirmed to be negative.
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中文摘要：
对一个社会的经济流动性进行统计评估比对收入分配的测量更困难，因为它们需要至少在一两代人的时间内跟踪个人收入的变化。在基于动力学方程的微观到宏观经济交换理论模型中，收入分配仅取决于渐近平衡解，而流动性估计还涉及模型转移概率的详细结构，因此是评估其有效性的重要工具。实证数据显示，经济不平等与流动性之间存在显著的普遍负相关，其解释尚不清楚。因此，在分析模型中研究这种相关性特别有趣。在之前的工作中，我们研究了基尼不平等指数在动力学模型中的行为，这些行为依赖于定义二元相互作用以及税收和再分配过程的几个参数：储蓄倾向、税率差距、逃税率、福利手段测试等，通过分析相同参数下的迁移率相关性，我们检验了迁移率与不平等性的相关性。根据几个数值解，证实了相关性为负。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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关键词：社会科学 流动性 动力学 不平等 distribution

社会科学动力学模型中的经济不平等和流动性marialetizia Letizia Bertotti，Giovanni ModaneseFaculty of Science and Technology，意大利博赞博尔扎诺自由大学。bertotti@unibz.itFaculty意大利博赞·博尔扎诺自由大学科学与技术学院，乔瓦尼。modanese@unibz.itAbstractStatistical对一个社会的经济流动性的评估比对收入分配的测量更为困难，因为它们需要跟踪个人收入的演变至少一到两代人。在基于动力学方程的微观到宏观经济交换理论模型中，收入分配只依赖于渐近平衡解，而流动性估计也涉及模型转移概率的详细结构，因此是评估其有效性的重要工具。实证数据表明，经济不平等与流动性之间存在着显著的普遍负相关，其解释尚不清楚。因此，在分析模型中研究这种相关性特别有趣。在之前的工作中，我们研究了基尼不平等指数在动力学模型中的行为，这些行为依赖于几个参数，这些参数定义了二元相互作用以及税收和再分配过程：储蓄倾向、税率差距、逃税率、福利手段测试等，通过分析相同参数下的迁移率相关性，我们检验了迁移率与不等式的相关性。根据几个数值解，相关性被证实为负。关键词：动力学模型、税收和再分配、经济不平等、社会流动性1导言近年来，经济不平等的加剧引起了人们的严重关注，也成为了经常辩论的对象。

一些国家的不平等现象正在加剧，而且似乎伴随着社会流动性的降低。这种结合尤其有害，因为它挫败了许多人向上提升收入和改善处境的尝试。实证调查证实了流动性和不平等性之间存在负相关[1,2]。因此，强调这种相关性的根本原因似乎非常重要。本文的目的是通过数学方法探索这些主题，提供适当的流动性定义，并比较与不同政策和条件兼容的可能情景。在这方面，我们引入了一些指标，这些指标适用于衡量一系列动力学类型模型中流动性的各个方面，用于描述封闭社会中的经济交流。我们通过分析来自不同规模和福利制度的收入分配来研究经济素质和流动性之间的关系。大量模拟的结果表明，流动性和平等之间存在明显的负相关关系，这与现实世界情况的定性特征一致。这些模型还可以同时研究基尼指数和流动性参数对税率和福利手段测试的依赖性，并跟踪不同收入阶层流动性的变化。特别是，事实证明（模拟表明），关于衡量福利和税收的变量，基尼指数和流动性参数都是常数。我们的方法符合复杂系统的观点，即我们发现在微观层面发生的整个互动中出现了集体宏观层面的模式。

在研究社会经济问题时，需要考虑到个体互动的多样性，而不是代表性因素，这一点在[3,4,5]中得到了强调和提倡。为此，基于代理的计算模型在经济学界得到了典型的开发和应用[6]。另一方面，在过去二十年中，许多物理学家已经开始使用统计物理工具来解决经济和金融问题，参见[7,8,9]和最近的综述[10]。这种现象的原因很自然地源于市场或交换货币的个人群体与分子碰撞交换能量的粒子系统或气体之间存在的某些相似性。特别是，如下图所示，由于其特点，我们的方法和模型允许定义和调查流动性概念。论文的其余部分组织如下。第2节为描述封闭社会中的货币交换建立了一个框架。在第3节中，在该框架内构建了一系列模型。第四部分简要讨论了社会流动性的概念，并介绍了衡量社会流动性的量化指标。因此，本文探讨了经济不平等与流动性之间的关系。最后，总结在最后一节中。2描述封闭社会中货币交易的离散型框架从封闭市场社会中发生的货币交易综合体的程式化描述，我们在本节概述了适合其建模的离散型框架。这个框架是在我们之前的工作[11,12,13]中提出并讨论的，但我们在这里给出了一个稍微不同的介绍。

问题涉及收入分配曲线的形成和人口规模不变的经济不平等。如果变量r∈ [0,+∞) 表示个人收入，x（r）表示有收入的人口密度，可以说总人口和总收入是由+∞x（r）安德烈博士+∞分别为rx（r）dr。然而，考虑到问题的数值处理，将人口划分为若干类是很自然的，也是很方便的。为了实现这一目标，我们考虑n+1数字0=r<r<r<rnsolarge代表给定社会中任何个人可能收入的最高值。为了简单起见，我们假设收入属于区间[ri]的人口密度-1，ri）为常数，并用xi表示i=1。。。，n、 在[ri]中有收入的个人比例-1，ri）是thenXi=Zriri吗-1xidr=xi（ri- 里-1） （1）其收入isRi=Zriri-1rxidr=xi（ri- 里-1). （2） 我们指的是收入为[ri]的个人类别-1，ri）关于第i类及其个人关于i个人。（1）和（2）的直接结果是Ri=XiRi，其中Ri=（Ri-1+ri）/2表示第i类个人的平均收入。我们假设成对的货币交换发生在单个个体之间。对此的“微观”描述可以如下所示：当一个h个人向一个k个人支付一笔钱S（S<（~ri+1）- ~ri）对于所有i=1。。。，n） ，h-th阶级稍微贫穷一些，而k-th阶级稍微富裕一些。这会导致第h-th人群的一部分转为第（h）人群- 1） 第四类和第k类人口的一部分提前到（k+1）类。

简单的计算表明，如果总人口和总收入必须保持不变，那么在这里讨论的保守情况下，第h类和第k类人口的变化如下所示：Xh=-2Srh- 右-2和Xk=-2Srk+1- rk公司-1.（3）货币兑换的频率可以通过定义合适的术语ph、k或h、k=1、，。。。，n、 对于每个ph值，k考虑第h类和第k类个体的遭遇频率，并表示在一个h类个体和一个k类个体之间的遭遇中，支付者是h类个体的概率。同时，也必须考虑到这两种方法都不起作用的可能性。因此，对于{1，…，n}中的任何h和K，不等式0≤ ph，k≤ 1和ph，k+pk，h≤ 我必须坚持。除此之外，ph，k的值应该根据现象学观察来确定。ph值K的具体选择将在本说明的第三部分中完成。除了直接的货币交换，我们还假设存在税收和再分配的过程。如果weimagine认为从k个人处收到的款项应缴纳税率等于τk的税款∈ [0,1），假设（至少作为第一个案例研究）k个人支付了到期税款，我们观察到整个操作相当于h个人支付数量S，k个人赚取数量S（1）- τk），以及向政府提供的数量。然后，我们设想，在这里再次假设了一种无可非议的情况，即政府通过提供福利服务（教育、卫生援助等）将税收重新分配给全体人口（这只是上述单一互动的Sτk）。

在这一步中，我们观察到，事实上，政府干预可以被忽略，因为机制可以等效地描述如下：与所提到的h-个人和k-个人之间的直接互动相对应，所有类别的个人都会收到与退税部分相对应的金额。换句话说，税收和再分配效应相当于付费h型个人和所有其他人之间的间接互动效应。当然，间接的互动也有助于个人阶级转变的可能性。为了使到目前为止描述的整体机制形式化，我们引入- 直接跃迁概率∈ [0,1]对于i，h，k∈ {1，…，n}，令人满意∑对于任何h，k，i=1Cihk=1∈ {1，…，n}，（4）式中，cihk表示第h类个体与第k类个体直接互动后属于第i类的概率，以及- 间接跃迁变量Ti[hk]：Rn→ R代表i，h，k∈ {1，…，n}，其中每个Ti[hk]（X）与X=（X，…，Xn）∈Rn是一个连续函数，令人满意∑对于任何h，k，i=1Ti[hk]（X）=0∈ {1，…，n}和X∈ Rn，（5）说明了间接交互作用，并表示了由于anh个体和k个体之间的交互作用而导致的第i类变化。如下一节所示，参数cihk和函数Ti[hk]的构造是结合变化项（3）和概率ph，k完成的。属于n个收入类别的个人数量的时间变化由以下平衡微分方程描述：dXidt=n∑h=1n∑k=1CihkXhXk-N∑h=1n∑k=1ChikXiXk+n∑h=1n∑k=1Ti[hk]（X）xHxKfori∈ {1，…，n}，（6）根据（4），可以简化为以下形式：dXidt=n∑h=1n∑k=1Cihk+Ti[hk]（X）XhXk- 欣∑k=1Xkfor i∈ {1，…，n}。

（7） 它们是非线性常微分方程。3模型族的一个例子为了构造一个特定的模型或模型族，我们首先确定ph，k的特定值。我们取它们asph，k=min{rh，~rk}/4~rn，除了pj，j=rj/2~rnj=2，。。。，N- 1，ph，1=r/2，对于h=2，。。。，n、 pn，k=rk/2rnfork=1，。。。，N- 1，p1，k=0表示k=1。。。，n和phn=0表示h=1，。。。，n、 这种选择是基于这样一种考虑：较贫穷的人通常比较富裕的人收入和支付较少，而且这样做的频率也较低。它保证了不同阶层的人之间的异质性，也与他们与他人的互动有关。我们指出，实际上，出于技术原因，在下文中，我们将假设第n类的个体不会再分配。事实上，如果第n类的人能得到一些钱，他就有可能升入更高的阶层，这是不可能的。现在回顾公式（3），我们假设CIHK中唯一可能的非零元素是：Cii+1，k=pi+1，k2S（1- τk）ri+1- 里-1，Cii，k=1- pk，i2S（1- τi）ri+1- 里-1.- pi，k2S（1- τk）ri- 里-2、Cii-1，k=pk，i-12秒（1）- τi-1） 里- 里-2.（8）我们强调Cii+1的表达式，kin（8）适用于i≤ N- 1和k≤ N- 1.Cii、kis表达的第二个附录仅提供了≤ N- 1和k≥ 2，而其第三个附录仅提供i≥ 2和k≤ N-1.Cii的表达式-1.霍尔德对我来说是真的≥ 2和k≥ 2.对于Ti[hk]，我们首先引入了某些系数，即i=1，。。。，n、 它表示不同分配福利的权重。在下文中，我们将取j中的rj（以及因此而产生的rj）线性：对于某些常数，rj=cj>0。

然后，权重wi的一个可想象的表达式，根据该表达式，wj作为j的函数线性衰减，由wj=~rn+1给出- j+n- 1γJ-n+1（~rn）- ~r），（9）带γ∈ (0,1/2). 较小的γ∈ （0,1/2），差值w越大- 嗯。的确，w- wn=（~rn）- )r(1)-2γ).值γ=1/2也是允许的，但是如果γ=1/2，那么wj对于每个j=1，。。。，n、 现在我们可以表示Ti[hk]asTi[hk]（X）=Ui[hk]（X）+Vi[hk]（X），（10）其中Ui[hk]（X）=ph，k2Sτk∑nj=1wjXjwi-1Xi-1ri- 里-2.-wiXiri+1- 里-1.（11） 表示由于税收和vi[hk]（X）=ph，k2Sτk的好处，从一个类别到下一个类别的进步所对应的变化∑N-1j=1wjXj∑nj=1wjXjδh，i+1rh- 里-1.-δh，irh- 里-2., （12） 对于δh，kdenoting the Kronecker delta，表示由于缴纳了一些税费，从一个类别向另一个类别的转移所对应的变化。我们注意到，代表税收的有效金额，与S（1）对应支付- τk），然后重新分配为Sτk(∑N-1j=1wjXj）/(∑nj=1wjXj）而不是Sτk。这与事实一致，即由于可容许收入的限制，第n类个人不会从再分配中受益（见注1）。最后，为了验证观点，我们取S=1，rj=25j，（13）和τj=τmin+j- 1n- 1（τmax）- τmin），（14）对于j=1，。。。，n、 其中τmin和τmax分别表示最低和最高税率。然而，γ、τm和τm的值必须固定。因此，方程式（7）描述的是一系列模型，而不是单个模型。为这些方程找到解析解实际上是没有希望的。但是，正如下一节所示，可以通过模拟来理解几个相关事实。

在传递数值结果之前，我们想知道in（11），h>1和涉及指数i的项-1[分别为i+1]仅在i-1.≥ 1[分别为i+1]≤ n] 。换句话说，（11）的r.h.s.括号中的1项表示2≤ 我≤ N（11）的r.h.s.括号中的2项表示1≤ 我≤ N- 1.在（12）中，h>1和涉及指数i的项-1[分别为i+1]仅在i-1.≥ 1[分别为i+1]≤ n] 。换句话说：（12）的r.h.s.括号中的1项表示1≤ 我≤ N- 1.（12）的r.h.s.括号中的2项表示2≤ 我≤ n、 提到（7）的以下两个属性。对于这两种情况，可以很容易地对[11]中建立的相应结果进行证明，并引用一个稍微不同的模型。柯西问题的适定性。对于参数γ、τm和τmax的固定值，对应于任何初始条件X=（X，…，X0n），其中X0i≥ 0表示所有i=1，。。。，n和∑ni=1X0i=1，唯一解X（t）=（X（t）。，存在（7）中的Xn（t），这是为所有t定义的∈ [0,+∞), 满意度X（0）=X和alsoXi（t）≥ 0表示i=1，。。。，n和n∑i=1Xi（t）=1表示所有t≥ 0 . （15） 保护总收入。对于参数γ、τm和τmax的固定值，标量函数u（X）=∑ni=1riXi表示总（和平均）收入，是系统的第一个积分（7）。从现在起，我们将报告大量模拟的结果。为了运行它们，我们确定n=15。人们观察到的第一个事实如下。对于u的任何固定值，渐近平稳分布的唯一性。对于参数γ、τm和τmax的固定值，对于任何固定值u∈ [r，~rn]，存在（7）的平衡点，（7）的所有解，其初始条件X=（X。。