青木-吉川部门生产率模型的推广

（29）如果（θA）是关于随机变量A的N=1维样本中定义的未知参数θA的信息。关于参数θA的（预期）Fisher信息的分析形式等于[14]：如果（θA）=ZYada p（A |θA）iFa（θA）=ZYada p（A |θA）-lnp（a |θa）θA=扎达-p（a |θa）θA+p（A |θA）p（a |θa）θA!=扎达-p（a |θa）θA+答=扎达-qaq′a+p（a |θa）θA, （30）式（28）和表示式q′a≡dqa（θA）dθA和q′A≡使用了dqa（θA）dθA，iFa（θA）中的指数表示观察到的渔民信息对A的依赖性。在最后一个等式中，关系为：p（a |θa）θA=（q′A）+qaq′A（31）也适用。由于归一化，（23）：ZYada p（a |θa）=1，（32）和正则条件[13,14]：ZYadap（a |θa）θA=θAZYada p（a |θa）=θA1=0，（33）费舍尔信息的分析形式（30）转换为以下度量形式[14]：如果（θA）=ZYada p（A |θA）fiFa（θA）=ZYadap（A |θA）p（a |θa）θA=扎达答. （34）根据式（33）和式（29），AYM的（预期）费希尔信息[14]的EPI方法形式及其测量信道的信息信道容量（θA）均等于：I（θA）=如果（θA）=-ZYada qa（θA）q′A（θA）。（35）信息信道容量I是进入EPI方法的估计过程的信道容量。作为信息原理的自洽解，下面给出的振幅Qa形式的推导始终使用结构信息原理的解析形式[6,14]，在这方面，它不同于[4]中给出的玻尔兹曼分布的推导。[7]中的信息原理和生成方程（总）物理信息kk=I+Q的存在性≥ 假设为0（36）。

直觉条件K的选择≥ 0与EPI方法的预期结构信息原理有关：I+κQ=0（37），根据[6]中的κ=1推导，其中κ是[4]中引入的所谓效率系数。[4,6]给出了I和结构信息Q的一般形式。信息原理的形式比（37）更为基本，是观察结构信息原理，其形式为qF+iF=0[6]。AY模型观测到的结构信息原理的特殊形式的推导类似于EPR Bohm问题[14]的推导，因此只给出必要的步骤。EPI方法的另一个信息原理是变分信息原理[4]：δ（I+Q）=0。（38）必须强调的是（修改后的）观察到的结构信息原理[3,4]，[14,15]，而不是预期的结构信息原理，它与变分信息原理一起自洽求解。下面，在AYM的情况下，将构建和解决这两个信息原则。笔记为了获得效率系数κ的值，必须同时解决信息原理，即（修改后的）观测结构信息原理[14,15]和变分信息原理，以及特定于模型的物理前提，例如一些对称条件[4]。结果得到了Q的具体形式和κ的值[4]。在[4]中，有人建议，对于具有量子对应物的EPI模型，κ=1[14]，而对于经典模型，κ=0≤ κ ≤ 1[4].

从下面的分析可以看出，在青木-吉川模型κ=1中，由于对K有这样的一般理解，EPI方法方程的多样性是由所研究的现象[3,4,17,6]决定的一系列不同的先决条件。另见[6,12,14]，其中讨论了弗里登-索弗原始形式的物理信息和本文中使用的信息原理之间的差异。类似于玻尔兹曼能量分布的EPI模型[4]。从[14]中的分析还可以看出，弗里登的“量子力学覆盖”EPI方法可以通过对统计概率振幅给出量子力学解释来构建。然而，在Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm问题中，EPI统计信息理论建模本身提供的振幅的量子特性[14]。因此，青木-吉川模型的EPI方法的振幅qa（θA）可以获得量子力学解释，前提是生产率水平的量子化（如ai=iain等式（10））存在一个原因，如特定热量的爱因斯坦模型[18]。[1]中对AYM使用了假设（10），引用该假设只是为了将该模型与第6.4.2.1节中通过EPI方法获得的模型进行比较。青木-吉川模型的信息原理AYM中振幅集qa[14]描述的系统的结构信息Q[6]如下：≡ZYada qa（θA）qFa（qa），（39），其中为了简单起见，表示qa≡ qa（θA）≡ 使用q（a |θa）。现在，AYM中的物理信息K（36）如下[4,6]：K=I+Q=ZYada ka（θA），（40），其中I由等式（30）给出。在等式（40）中，ka（θA）是物理信息的密度，根据等式。

（30）、（39）和（31）等于toka（θA）=-qaq′a+p（a |θa）θA+qaqFa（qa）=-qaq′a+（q′a）+qaqFa（qa）=-qaq′a+qafqFa（qa），（41），其中引入了EPI方法中修正的观测结构信息[14]：fqFa（qa）：=qa（θa）（q′a）+qFa（qa）。（42）在对数似然函数lnp（a |θa）解析性的假设下，泰勒展开式lnpA.θA在θA的真值附近使用微分lnp（θA）θA≡ln p（∧θA）|θA | |θA=θA和q′A（θA）≡qa（θA）|θA | |θA=θA，导致观察到的结构信息的以下形式[14]：qFa（qa）=qa（θA）qa（θA）q′A（θA）- （q′a（θa））. （43）在这里，qFameans的论点中出现了qa，即qFain（43）的导数[14]中出现的概率（a |θa）（及其导数）已被振幅qa（及其导数）取代。在下面的内容中，将在指数函数的组合中搜索振幅Qa的形式，即Aym的解。另外一个假设是，上述方程RHS上的一阶导数q′a（θa）与qFa（qa）中的一个项相消。现在，将等式（43）中的术语（q′a）从RHS上的Fisher信息部分移动到LHS上的结构部分后，得到了修改后的观测结构信息原理[14]。（qFa（qa）和fqfa（qa）之间的这种转换随后在等式（41）中使用。）因此，修正后的AYM观测结构信息原理具有以下形式[14]：- 2 qa（θA）q′A（θA）+qa（θA）fqFa（qa）=0，（44）其中fqFa（qa）≡qFa（qa）+qa（θA）2（q′A（θA））=qa（θA）2qa（θA）q′A（θA）。（45）等式（44）纯粹是由于对数似然函数的分析性而产生的。式（44）的LHS是（直到因子）式（41）给出的物理信息密度ka（θA）。

这是观测到的结构信息qFa（qa）（最多可以是振幅qa（θA）的函数），振幅本身qa（θA）及其二阶导数的函数。评论：在AYM中，效率因子κ等于κ=1[4]。这是因为除了信息原理外，振幅qa没有附加微分约束。因此，提出的EPI模型是纯分析模型[6]，在这方面与EPR Bohm问题[14]类似。使用等式（41），物理信息K（40）采用以下形式：K=I+Q（46）=ZYada-qaq′a+qa（θa）fqFa（qa）.根据式（44），对于κ=1，预期结构信息原理（见式（37））如下：I+Q=0，（47），其中I+Q由式（46）的RHS给出。微分方程（44）是EPI方法中使用的信息原理的第一个。下面介绍的第二个是变分信息原理[4,7,6,14]。为了获得变分信息原理，我们必须将物理信息K（46）转换为度量形式，即一次平方的inq′a。因此，经过部分积分后，K可以重写如下[14]：K=i+Q=ZYadakmeta（θA）-Ca, （48）其中常数Cai等于：=质量保证(∞) 答(∞) - 质量保证（a）质量保证（a）, （49）式中，Ai是生产力的最小（绝对）水平，kmeta（θA）是物理信息密度的度量形式：kmeta（θA）=q′A+qa（θA）fqFa（qa）。（50）变分信息原理的形式为[4,14]：δ（qa）K≡ δ（qa）（I+Q）=（51）=δ（qa）ZYada（kmeta（θA）-（加州）= 0 .关于qa的变分问题（51）的解是欧拉-拉格朗日方程：ddθAkmeta（θA）q′a（θa）=kmeta（θA）质量保证。

（52）根据该方程和等式（50）中的kmeta（θA），对于每个振幅qa，得到以下微分方程：q′\'A=d（qafqFa（qa））dqa。（53）由于qa（θA）fqFa（qa）明确地是qaonly的函数，总导数取代了等式（52）中qa的偏导数。得到的方程式（53）与弗里登方程式[4]略有不同，与[14]中的方程式相同。这种差异的根源是物理信息密度的完全分析形式（41）。修正后的观测结构信息原理（44）和变分信息原理（51）（欧拉-拉格朗日方程（53）从中得出）用于推导生成分布的方程。4.2.2. 生成方程的推导使用等式（44）中的关系式（53），可以得到：qad（qafqFa（qa））dqa=qafqFa（qa）。（54）上述等式可以用更简单的形式重写：2dqaqa=dqafqFa（质量保证）qafqFa（qa），（55），通过对两边积分，可以得到以下结果：qa（θA）fqFa（qa）=αqa（θA）hencefqFa（qa）=2α，（56），其中积分常数α通常是复数。通过将式（56）代入式（53），我们得到了振幅qa[4]：q′\'a（θa）=αqa（θa）的搜索微分生成方程∈ VθA，（57），这是结构原理和变分原理这两种信息原理的结果。这一结果是在[4]中针对玻尔兹曼概率分布得出的，但结构信息原理的到达在这里是不同的[14]，两种信息原理的形式也略有不同。笔记如果假设QFA（qa）对生产率a有明确的依赖性，即fqFa（qa，a），则问题（54）的解决方案范围可能更广，其中也包括非平衡解决方案[4]。

这些解决方案对应的是，对于这些职业的所有特定配置，工人占据特定第四部门的概率不相等（与（2）中使用的假设相反）。青木-吉川模型的概率分布5。1.附加函数变量的定义生产率水平分布的EPI方法分析符合Frieden的一般方法。位移Xa，定义为Xa=A- 使用hAi，而不是生产力水平A的值。因此，执行加法分区：Ya≡ A=hAi+Xa（与[4]中的玻尔兹曼分布类似）。它可以在信息通道容量的水平上进行，正如[4]中最初提出的，并在[12]中为无需设置移位不变性要求的一般分布而开发的，也可以在生成方程的水平上进行。选择了后一种可能性，因为在考虑的情况下，这是一种简单的可能性，即：是≡ a=θa+xa，a≤ 对≤ ∞ , xmina=a- θA≤ xa<∞ , （58）其中Xa=Xa是特定位移。使用了简化假设，即生产率的波动从上面看是无界的（比较[4]讨论能量波动的分布）。

然后，在位移xa的空间xa上建立EPI模型，在我们的例子中是R [12].现在将引入一个简化符号：qθA（xa）≡ q（xa+θA |θA）=q（A |θA），（59），它留下了关于θA的全部信息，在振幅qθA（xa）的指数中表征了q（xa+θA |θA）（对于原始分布pθA（xa）也是如此）≡ p（xa+θA |θA）=p（A |θA））。现在，引用导数的“链式法则”：ddθA=d（A- θA）dθ加（A）- θA）=-dd（a）- θA）=-dd xa（60）从生成方程的统计形式（57）到其运动形式的转换：dqθa（xa）d xa=αqθa（xa），（63），其中qθa（xa）是生产力水平波动分布的振幅，它被选为α为实常数（见脚注8）。作为振幅qθAis的生成方程的解是实的，因此等式（63）中的α也必须是实的。当生产率Xa的函数值不受上面的限制，且该条件通过Xmaxa逼近实现时，则α必须为实。在这种情况下，通过振幅平方的归一化，我们得到z∞xminadxaqθA（xa）=Z∞xminadxapθA（xa）=1，（64）因此，等式（63）的解纯粹是指数性质的[4]：qθA（xa）=B exp(-αxa）+C exp（αxa），α∈ R+，（65）注：考虑到dxa=dya，这与参数θAis是常数这一事实有关，我们可以从物理信息的统计形式K=I+Q（40）-（41）转换为其运动形式，信息通道容量如下[4,6,14]：I=ZXadxadqθA（xa）dxa（61）以及以下形式的结构信息：Q=ZXadxaqθA（xa）qFa（qθA（xa））. （62）α的另一种可能性是它是一个纯虚数。然后，该解具有严格的几何特征[4]。然而，当xmaxa→ ∞ 然后，由于归一化条件（64），三角解是不允许的。

（当参数空间是有限的时，可以得到三角解，就像EPR Bohm问题[4,14]的情况一样）。其中B和C是实常数。因为标准化条件（64）是在区间xmina中定义的≤ xa<∞ 因此，解决方案中具有正指数的部分必须被拒绝，因为它与完整性存在差异。因此，α>0的要求导致C=0。总之，振幅的搜索形式如下：qθA（xa）=B exp(-αxa），α∈ R+，xmina≤ xa<∞ . （66）由此和归一化条件（64）得出常数B：B=±2√2αexpαxmina. （67）因此，α振幅的最终形式∈ R+的形式为qθA（xa）=±2√2αexpα克斯米纳- xa, α ∈ R+（68）和α以单位[1/生产率]表示。从振幅（68）可以得到生产力水平X波动的以下概率分布：p（xa）=q（xa）=2αexp2α克斯米纳- xa, α ∈ R+。（69）根据式（58），下列关系式保持a=θa+xathus，da/dxa=1。因此，随机变量A的分布形式为：p（A）=p（xa）|da/dxa |=2αexp[-2α（a）-a） 】，a≤ a<∞ . （70）现在，A的期望值等于：hAi≡ θA=+∞因此，将等式（70）插入（71）中，我们得到：2α=（hAi）- （a）-1.（72）让我们注意到，从等式（71）可以看出，A是生产力水平的期望值hAi的无偏估计量，即dhAi=A。图1：该图描述了累积概率分布P（W）>（A）=R的比较∞ap（a）da[19]根据等式给出的生产率水平概率分布进行计算。（74）在工人中观察到的数据（W）[来源[19]为2005年的数据]（粗虚线）。生产率削减“a”以10日元/人[19]为单位给出，并在两个轴上使用通用对数标度。

工人生产率的最小绝对水平被认为等于零。比值D/n（该值等于玻尔兹曼温度[19]）的中心值等于135（长虚线）。为了进行比较，还绘制了另外两条曲线，左曲线的D/n=100（实线），右曲线的D/n=170（短虚线）[19]。考虑到约束hAi=D/n，（25），使用等式（68）最终可以获得振幅：qθA（xa）=±2pD/n- aexp-xa+（数字/数字）- a） 2（D/n）- （a）, （73）凡- 承兑交单≤ xa<∞寻找生产率水平的概率分布：p（a）=（D/n）-aexp-A.-a（D/n）-A.暂时≥ a0对于a<a.（74）分布（74）是AY生产率模型的EPI方法的最终结果。最后，图1显示了累积概率分布P（W）>（a）=R的比较∞[19]中考虑了等式（74）给出的生产率水平概率分布，以及观察到的工人（W）的生产率分布（来源[19]）。如果将整个生产率削减范围考虑为“a”，那么指数定律（74）（工人的最小绝对生产率Ao等于零）很好地验证了数据。6.两种方法的比较为了比较两种方法，必须产生离散变量和假设。在AYM中做出的假设如下（10）：ai=i A其中i=1，2。。。，g，（75）生产部门的数量很大，g>>1，安德烈≡不适用。（76）这导致：P（i | n*) =N*在里面≈R- 1.R- 1r我≈ （r+r）e-ir，i=1，2；r>>1，（77）其中n*i、 i=1，2。。。，g、 是最可能占据向量n（1）的坐标。