青木-吉川部门生产率模型的推广

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英文标题：
《Generalization of the Aoki-Yoshikawa sectoral productivity model based
  on extreme physical information principle》
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作者：
Ilona Bednarek, Marcin Makowski, Edward W. Piotrowski, Jan
  S{\\l}adkowski, Jacek Syska
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper presents a continuous variable generalization of the Aoki-Yoshikawa sectoral productivity model. Information theoretical methods from the Frieden-Soffer extreme physical information statistical estimation methodology were used to construct exact solutions. Both approaches coincide in first order approximation. The approach proposed here can be successfully applied in other fields of research.
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中文摘要：
本文提出青木-吉川部门生产率模型的连续变量推广。采用Frieden-Soffer极端物理信息统计估计方法中的信息理论方法构造精确解。这两种方法在一阶近似下是一致的。本文提出的方法可以成功地应用于其他研究领域。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Generalization_of_the_Aoki-Yoshikawa_sectoral_productivity_model_based_on_extrem.pdf (284.31 KB)

2022-5-8 04:17:19 上传

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关键词：生产率 Productivity Quantitative Successfully Applications

基于极端物理信息原理的青木-吉川部门生产率模型的推广Ilona Bednareka，Marcin Makowskib，Edward W.Piotrowskib，JanSladkowskia 1，Jacek Syskaa 2，西里西亚大学物理研究所，Uniwersytecka 4，Pl 40-007卡托维兹，波兰比亚莱斯托克比亚莱斯托克大学波兰德宾斯坦数学研究所本文给出了青木-吉川崎部门生产率模型的连续变量推广。使用Friedensorfer极端物理信息统计估计方法中的信息理论方法来构造精确解。两种方法在一阶近似下一致。本文提出的方法可以成功地应用于其他研究领域。关键词：部门生产率、青木-吉川模型、经济物理学亮点：给出了青木-吉川部门生产率模型（AYM）的假设。构造了极值物理信息（EPI）方法中的AYM信息信道容量。找到了解析观测结构原理和变分原理。建立了AYM的生成方程和概率分布。比较了原始AYM和EPI方法的AYM结果。电子邮件地址：ilona。bednarek@us.edu.pl（伊洛娜·贝德纳雷卡），马科夫斯基。m@gmail.com（马辛·马科夫斯基），qmgames@gmail.com（爱德华·W·皮奥特洛夫斯基），1月。sladkowski@us.edu.pl（Jan Sladkowskia），jacek。syska@us.edu.pl（Jacek Syskaa）对应作者对应作者发表于：Physica A 428（2015）161-172。http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2015.02.033Preprint20211年7月3日提交给Physica A。引言目前，许多经济理论都是通过数学经济模型来讨论的。

数学经济学旨在对经济学中的问题进行表征和分析，以便就日常生活中经常以不太正式的方式描述的复杂问题形成有意义且可检验的命题。另一方面，经济物理学起源于利用物理学家开发的工具解决非经济问题的尝试，并正在演变为一个跨学科研究领域。最近，人们提出了将该方法应用于经济的程式化模型[1,2]。本文的目的是展示如何使用Frieden和Soffer[3,4]的极值物理信息（EPI）方法来推广青木-吉川部门生产率模型（AYM）[5,1]。下面给出了它的修改版[6,7]，该版本放弃了以前的任意度量形式，并给出了信息原理问题[6]的完全解析式所包含方程的解。该方法基于最大似然估计（MLE）和费舍尔信息，包括观测信息和预期信息，定义为信息几何[8]和统计学[4,7,9,6]中广泛使用的观测信息的预期值。以前曾用类似的方法分析供需相关问题中的主观性问题[10,9]。本文组织如下。第2节介绍了AYM部门生产率模型的原始公式。第4节介绍了基于EPI方法的方法的推广。第6节对两种方法进行了比较，最后在第7节中得出了结论。2.青木-吉川部门生产率模型部门生产率模型构成了在中等聚合水平上分析生产率增长的关键问题[5]。此类分析旨在描述部门间和部门内的生产率增长模式（例如：。

农业、制造业和服务业），并确定推动这些模式的主要政策因素。呈现这些模型的自然方式是根据占领状态的转移概率。在这种方法中，职业向量和划分向量可以用经济变量来解释。在数学方法中，使用了具有唯一不变分布的不可约非周期马尔可夫链[1,11]。这种方法可以处理大量相互作用的异构代理，并且在一定程度上忽略了代理行为的合理性问题，因为在一个由大约100个个体组成的系统中，不可能跟踪单个代理的“运动”。因此，假设每个代理的精确行为是不相关的，这一点至关重要。这使我们能够采用非稳态物理学中使用的一些技术，从而可以在类似的前提下建立一些宏观经济学模型。在他们的书[5]中，青木正男（Masanao Aoki）和吉川博史（Hiroshi Yoshikawap）等提出了一个有趣的模型，描述了一个拥有多个经济部门的国家的经济。第i个部门的特征是生产要素ni的数量，即第i个部门的工人数量，以及其生产率（效率）ai水平。青木和吉川对发现部门间生产率的概率分布感兴趣。在统计物理语言中，这意味着搜索系统的占位向量~n=（n，n，…，ng）（1）的概率分布。这与标准的统计物理问题相吻合，即n粒子到g能级的分配。

根据toBoltzmann，占据向量的概率分布等于[5]π（~n）=n！Qgi=1ni！gYi=1pni=n！Qgi=1ni！pn，（2）式中，p是第i个工人对特定行业（s=1，2，…，g）的职业的概率，对于这些职业的所有特定配置，被认为是相同的。总生产系数由外部给定并固定，因此gxi=1ni=n（n固定）。（3） 第i个扇区的输出为byzi=aini。（4） 国内生产总值（GPD），即该国的总产出等于。（5） 在该模型中，它等于外生总需求D，即：Z=D（D固定）。（6） 注意。可以考虑放宽系统中的需求限制（6）或工人数量恒定条件（3）的AYM版本[11]。标准拉格朗日乘数法可用于确定占位向量~n，该占位向量使概率π（~n）最大，且总生产因子n和总GPD均守恒为D。借助斯特林公式ln（Qgi=1ni！）=Pgi=1ni（ln-ni）- 1） （n>>1和ni>>1）问题归结为找到g方程组的解：ni“lnπ（~n）+νgXi=1ni- N- βgXi=1aini- D！#=0 . （7） 溶液的形式如下：ni=n*i=eνe-βai，i=1，2。。。，G（8） 通过在（3）和（5）-（6）中插入（8）来确定常数ν和β。这是处于统计平衡状态的系统的玻尔兹曼分布。Scalas和Garibaldi[11]表明，formni=n有一个更一般的解**i=e-νeβai- c、 i=1，2。。。，GC∈ R，（9）其中c是一个参数。当考虑到适当的马尔可夫动力学，以及通过参数c的依赖性调整的转移概率，为离开其部门的工人选择一个新的生产力部门[11]时，就会出现等式（9）。

只有在c=0的情况下，青木和吉川溶液（8）才能恢复，并且在[11]中可以找到对c 6=0情况的解释。进一步假设[1]：ai=i ai=1，2。。。，g，（10）当腺体的生产力最低时，一个人得到的可能性最大*i=nr- 1.R- 1ri、 （11）式中，r=D/NAI是每个代理人的总需求D除以最低生产率。在极限r>> 一个一个*i=nr- 1.R- 1r我≈ （r+r）e-ir，i=1，2；R>> 1.（12） 假设ai=i aalso允许通过创建和消除职业向量的组成部分来简化工人动态，但必须注意确保n是守恒的[11]。或者，在AYM模型的EPI方法中，将找到生产力水平a的概率分布p（a）（见等式（74））。如果概率分布p（t，a）在空间和时间上被归一化，则p（t）=RYada p（t，a）表示在测量生产率空间Ya内某个时间（t，t+dt）发现工人的概率，这是生产率的一组可能值。例如，高p（t）dt意味着此时在生产力空间的任何地方都很有可能找到工人。在粒子物理学中，这种性质可以称为概率创造[4]。信息通道容量的基本信息提供原始随机变量Y取向量值Y∈ 让分布p（Y）的k维向量参数θ为期望参数，即Y的期望值：θ≡ E（Y）=ZYdy p（Y）Y。（13） 现在让我们考虑N维样本=（Y，Y，…，YN）≡ （Yn）Nn=1，其中每个Yn是第n个总体中的变量Y，n=1，2。。。，N、 其特征是向量参数θN的值。

EY的具体实现形式为y=（y，y，…，yN）≡ （yn）Nn=1，其中每个数据yn都是由随机变量yn的分布pn（yn |Θ）生成的，其中d=k×N维向量参数Θ[12]由以下公式给出：Θ=（θ，θ，…，θN）T≡ （θn）Nn=1。（14） 样本的所有可能实现y的集合构成了系统的样本空间BO。当样本的变量yn是独立的时，则预期参数θn′=RBdy P（y|Θ）yn′不影响样本指数n′6=n的点概率分布pn（yn|θn）。生成的数据与点概率分布一致，满足以下条件：pn（yn|Θ）=pn pn（ynθn），其中n=1。。。，N，（15）和样本y=（yn）Nn=1的似然函数P（y |Θ）是乘积：P（Θ）≡ P（y |Θ）=NYn=1pn（yn |θn）。（16） Fisher信息矩阵：假设B上的d维统计模型为S={PΘ≡ P（y |Θ），Θ≡ （θi）di=1∈ VΘ Rd} ，即d个实值非随机变量（θi）di=1参数化的概率分布族，属于参数Θ的参数空间vΘ，即Θ∈ VΘ Rd、 因此，概率函数lnp:VΘ的对数→ R 定义在空间VΘ上。让Θ≡ （θi）di=1∈ VΘ是参数的另一个值或参数Θ=（θi）di=1的估计值。在每一点，PΘ，可以定义d×d维观测Fisher信息（FI）矩阵[13,6]：iF（Θ）≡ -我iln P（Θ）=-~我iln P（ΘΘ）|eΘ=Θ（18）和我≡ /θi，~我≡ /θi，i，i′=1，2。。，d、 它刻画了P（y |Θ）的局部性质。它是具有连续、规则和规范化分布的对称、场内理论和统计物理模型，是正定义的[13]。我们仅限于考虑本案。

点PΘ处S上的预期d×d维FIM矩阵定义如下[8]：IF（Θ）≡ EΘ（iF（Θ））=ZBdyP（y|Θ）iF（Θ），（19）其中微分元素dy≡ dNy=dydy。。。戴恩。预期值中的下标Θ表示生成数据y的参数的真实值。FI矩阵定义了Riemannian-Rao-Fisher度量[8,12]。有时，由于概率分布归一化和正则条件，d×d维观测Fisher信息（FI）矩阵可以记录为“二次”形式[8]：如果=i\'lnp（Θ）iln P（Θ）. （20） EPI分析的中心量是信息通道容量，它是（预期）Fisher信息矩阵的轨迹。由于在上述条件下，观测到的Fisher信息矩阵是对角的，如果（Θ）=diag（iFnn（Θ）），则信息信道容量I（Θ）等于：I（Θ）=NXn=1ZBdy P（y |Θ）iFnn（Θ）=ZBdy I，（21），其中I:=P（ΘPNn=1iFnn（Θ）是信息信道密度[12,14]。青木-吉川模型的推广本文提出的AYM的推广包括将生产率视为一个连续的随机变量a。从离散变量到连续变量的转换通过a=ai进行→ a和pi=nin→ p（a）。（22）因此，概率分布函数p必须标准化：gXi=1pi=1→ZYada p（a）=1，（23），其中Ya表示生产率的一组可能值。类似地，生产率的预期值用以下方式替换θA≡ hAi=gXi=1piai→ZYada p（a）a，（24）带D/n。（25）为了确定生产率水平的概率分布，使用了theEPI方法。

下面，将采用Fisher信息的形式来估计标量参数θA，（24），[14]：θA≡ hAi=ZYada p（a）a，（26），这在本文中是生产率水平a的随机变量的期望值。Fisher信息的基本信息在第3节中给出，信息通道容量的构造可以在[4，12]中找到。之前用theEPI方法解决青木-吉川生产率问题的尝试是基于Frieden-Soffer方法[4]。然而，本文仅执行（修改后的）观察到的结构信息原理的分析形式[14]。4.1。预期的Fisher信息和通道的信息容量（θA）根据Friedenand Soffer提出的EPI方法的主要假设，系统本身对位置空间（即生产力A水平的值空间）进行采样。这个空间可以通过它的渔民自由度[4,12]进入。AY模型的EPI方法样本（所谓的内部样本[12,14]）为N=1维。因此，在AY情况下，事件的样本空间B和基本空间都相当于Ya[14]。在[3,4]中，信息（运动）通道电容最小值的条件→ min被假定为以一种独特的方式确定N值的值。然而，有时也会讨论I的非最小值，因为它们会导致EPI方法的模型，这具有物理意义[3,4]。关于这个话题的一些讨论也可以在[14]中找到。例如，通过与[4]中提出的动量分布的EPI模型的类比，例如n>1，可以得到平方流的非平衡定常解（其中，平方流与根生产率成比例）。关键是，当选择样本的大小时，会得到不同类别的EPI模型。

然而，由于N固定的价值，特定的EPI模型由一个或两个信息原则的解决方案提供。在所讨论的AY模型中，使用了观测到的结构原理（微分原理）和变分原理。变分信息原理与物理信息的极值化有关（见第4.2节）。因此，条件I→ Mini只选择模型的类型[4,7,15]，而根据信息原理，可以找到这种模型内部的特殊解决方案。因为N=1所以p（a |θa）≡ p（a）是AY模型的似然函数，AY模型的d=1维统计空间如下：S={pθa≡ p（a |θa），θa∈ VθA R} , （27）其中VθAis是θA的参数空间。对于N=1，信息信道容量I减小为Fisher信息IF（θ）=IF（θA）≡ θA，唯一的参数。从渔民信息的一般形式到本文中所用的必要步骤类似于[14]。概率振幅≡ q（a |θa）的定义如下[16,8,14]：p（a |θa）=q（a |θa）。（28）样本的N=1维意味着（生产率）场的振幅Q（a |θa）的秩也等于1[4]。当θAis是标量参数且样本的尺寸等于toN=1时，测量通道（θA）[12]的信息通道容量I（θA）等于参数θA[14]：I（θA）=IF（θA）的Fisher信息。