分析建模的操作风险II：风险的后果

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英文标题：
《Operational risk modeled analytically II: the consequences of
  classification invariance》
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作者：
Vivien Brunel
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Most of the banks\' operational risk internal models are based on loss pooling in risk and business line categories. The parameters and outputs of operational risk models are sensitive to the pooling of the data and the choice of the risk classification. In a simple model, we establish the link between the number of risk cells and the model parameters by requiring invariance of the bank\'s loss distribution upon a change in classification. We provide details on the impact of this requirement on the domain of attraction of the loss distribution, on diversification effects and on cell risk correlations.
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中文摘要：
大多数银行的操作风险内部模型都基于风险和业务线类别的损失池。操作风险模型的参数和输出对数据汇集和风险分类的选择非常敏感。在一个简单的模型中，我们通过要求银行损失分布在分类发生变化时保持不变，建立了风险单元数量与模型参数之间的联系。我们详细介绍了这一要求对损失分布的吸引范围、多元化效应和单元风险相关性的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Operational_risk_modeled_analytically_II:_the_consequences_of_classification_inv.pdf (131.46 KB)

2022-5-8 04:19:06 上传

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关键词：操作风险 distribution correlations Consequences Quantitative

法国兴业银行风险和资本建模负责人法国巴黎戴芬斯莱昂纳德·芬奇大学金融学教授。brunel@socgen.com（此版本：2015年5月11日）大多数银行的操作风险内部模型基于风险和业务线类别的损失池。操作风险模型的参数和输出对数据汇集和风险分类的选择非常敏感。在一个简单的模型中，我们通过要求银行损失分布在分类发生变化时保持不变，建立了风险单元数量与模型参数之间的联系。我们详细介绍了这一要求对损失分布的吸引范围、多样化效应和细胞风险相关性的影响。引言拥有稳健的操作风险评估和资本计量方法至关重要。衡量abank内部操作风险最常用的方法（即损失分布法）是基于观察到的事件的频率和严重性估计。然而，正如Cope等人（2009）所示，在这个框架下建立准确而稳健的估计是一个挑战。LDA方法的一个主要问题是根据风险和业务线分类汇总观察到的事件。众所周知，风险状况相似的银行会选择不同的分类。分类的选择对于模型的参数和输出至关重要：分类的变化可能会导致模型输出的重大变化，尽管银行的总风险不应取决于分类的细节，而应取决于其全球风险状况。

例如，当一家银行对其分析结构进行内部重组，而不改变其全球风险状况时，模型中单元定义的变化可能会导致无法解释的影响。这一缺点被广泛接受，因为没有更好的办法，但从监管机构或银行管理层的角度来看，当我们改变分类时，该模型在输出方面提供了显著差异，这并不合理。据我们所知，文献中从未对恢复这种连贯性进行过研究，这是一个复杂的问题。首先，银行的损失分布不可能要求严格的分类不变性，因为没有人知道真实银行的损失分布。其次，银行损失的一些统计指标，如预期损失或损失的方差，具有方便的可靠性；仅要求这些指标的分类不变性，将对单元参数产生额外的约束，这将需要在单元级别进行联合估计，而不再单独估计。在设计操作风险模型时，本行根据专家和统计证据证明选择分类是合理的。风险类别的选择取决于银行内部监控或管理运营风险的流程。风险类别的定义或范围可能会随着时间的推移而改变，尤其是当出现新的风险时，或者当暴露于某些类型的风险时会发生显著变化。一旦银行进行内部重组、启动、购买或出售业务线，业务线的定义也会发生一些变化。银行的另一个关键选择是确定要包含在模型中的单元数。

只有当单元代表某种程度上的“同质风险”时，建模才可能，但建模的粒度受每个单元可用于校准的数据量的限制。据我们所知，单元数量对银行损失分配、多元化收益或单元之间相关性的影响仍然是一个悬而未决的问题，迄今为止从未进行过研究。在本文中，我们研究了分类不变性要求对一类操作风险模型的影响，这些模型直接由单元级的总损失分布来描述，而不是像LDA框架中通常的情况那样，由频率和单个损失来描述。分析结果出现在无限多个细胞的范围内。我们证明，在同质单元风险的情况下，单元损失分布的参数随着单元数量的增加而增加，这是首次在模型结构和参数之间建立联系。为了得到这种联系，我们将数学理论的一些最新结果（BenArous等人，2005年；Bovier等人，2002年）应用于操作风险模型的渐近机制。我们的主要结果是：o在所有现实情况下，银行的损失分布都属于完全不对称的莱维分布的吸引域（银行总损失的方差等于零是不现实的）增加电池数量并不一定会产生更低的资本费用或更高的多元化效益增加细胞数量会产生负的多样化，同时也会降低细胞风险之间的相关性。本文的结构如下。在第1节中，我们研究了对数正态细胞丢失的具体情况。

我们特别指出，银行的损失分布不在正态分布的吸引范围内。在第二节中，我们研究了在一般情况下，分类不变性对渐近极限的影响。WEF在第3节关注多元化效应，在第4.1节关注单元风险之间的相关性。对数正态情况我们将银行的整体运营风险视为 单元级别的操作风险。在本文中，我们假设这些风险都是独立的，并且彼此相同（即具有相同的重新划分功能）。在本节中，我们假设电池损耗是独立且同分布（i.i.d.）对数正态随机变量。银行的损失是单个单元格损失的总和：（1） 风险参数在哪里和取决于细胞的数量，以及是i.i.d.正态随机变量。分类不变性意味着当单元数增加时，总损失的期望值和方差收敛到一个恒定值 走向无限。这导致：!\"#$#%\"&\'()*（2） 极限+, 公式（2）得出了风险参数与细胞数量的以下比例关系：,\'\"./.0,.                                                                      （3） 林德伯格条件定义了正态分布的吸引域（见Feller，1957）：\'\":;<=2.4.>?@A./Bovier等人（2002）从公式（4）中证明，正态分布的吸引域由以下公式定义：判定元件\".. 我们的结论是- 由eq定义。（1） （3）不是高斯分布缩放速度比E快\"., 尽管第一和第二时刻有限。2.一般情况2。1.

随机指数和的极限定理第1节说明，在对数正态情况下，要求分类不变性会导致意外的结论。Ben Arous等人（2005年）提出的一个一般定理（下文称为BBM定理）描述了一般情况下随机指数和的吸引域。在这一小节中，我们研究和F的极限分布GH哪里是一个i.i.d随机变量序列，其分配函数在无穷远处有规律地变化，指数为IC（在无穷远处表现为威布尔分布，即JKL,（\'MNO\'PLK为了我+. 当然，威布尔分布属于这类分布，也属于正态分布，其指数等于Iqr当参数G是常数时，通常的中心极限定理适用于所有IC（H是有限的，和FG属于正态分布的吸引域。另一方面，当参数G变为无穷大时，中心极限定理不再适用，和FG可能属于第1节所述的其他吸引领域。Ben Arous等人展示了总和F的限制行为G当两者都 G到无穷大。让我们介绍以下符号：o修改后的索引值为我我很高兴(o  参数T测量G以最大速度无穷大的速度 这样G和KUV.)!KUoW信息技术是!通过应用BBM定理（参见。

在Ben Arous等人2005年的定理2.1-2.3中，我们得到：H:YHZH[\\]]]]]]^_`A.?WDQ>b( ?WcQd（5），其中“ais”是完全不对称的（e>) 莱维分布，>b( 是均值为0，方差为1的正态分布，且：fGGFG\"FG>D?厕所(?W(?WD（和B）Gg$#%FG?WCQ\"$#%FG?WQKA.?WDQd（6）如果我们叫JG.H, Ben Arous等人（2005年）表明G,GKU！IS（在威布尔分布的情况下，我们有严格的等式）。然后我们得到：FGHH,ijki（7）在对数正态情况下（即是正态随机变量），我们有是Q.式（3）的分类不变性条件导致TQ和WQ、 然后我们得到FG,-!“.2.2.操作风险模型中的渐近分类不变性如果我们假设银行的操作损失是随机指数之和，我们可以将其写入，如第1节所述：GFG                                                                             （8） 在哪里是一个仅取决于单元格数量和G的参数. BBM定理仍然适用于银行的损失G只需替换FG, FG我呢G通过GBFG和LG分别在式（5）中。根据W的值，BBM定理表明，在参数空间中有三个不同的区域，它们由图1中绘制的两条曲线相互分隔，并对应于W（andW）分别是Q。当用标度参数T和单元损失尾部参数I表示时，这些曲线由以下等式定义：W（m T）K:（曲线A）WQ m T“努克：（曲线B）（9） 当WCQ（曲线B上方）时，中心极限定理（CLT）仍然适用。

相反，当（DWDQ（底曲线B）时，中心极限定理不再成立，但大数定律（LLN）仍然成立H;oHP\\]]^（如Ben Arous等人（2005）的定理2.1所示，当细胞数达到无穷大时。Wenotice来自等式（6），对于任何值WDQ，不寻常的缩放行为lGK与之相比!A中心极限定理适用于i.i.d.厚尾随机变量的和。最后，当WD（（底曲线A）时，中心极限定理和大数定律都崩溃了。图1：操作风险模型的极限行为作为缩放参数T和单元损失尾部参数I.0 1 2 3 4缩放参数λλλ单元损失尾部参数ρρρ曲线a:LLN前沿曲线B:CLT前沿曲线C:有限方差曲线D:负变异性前沿对数正态模型渐近分类不变性导致要求预期损失是有限的，与电池数量无关：FGQ(根据等式（7），该条件导致分类不变性条件：,\'五、五、.                                                                               （11） 此外，由于我们有#%H,“H,H“H, 银行损失的方差为：$#%rGs\"$#%H,:“伊基nUi（12）只有当指数等于0时，才能获得银行损失的有限方差，即：TQKU\'Q（曲线C）（13）在所有其他情况下，方差要么无限大，要么等于0，这取决于等式（12）中指数的符号。在图1中，曲线C对应于等式（12）中所述的有限方差模型。与无限方差（分别方差等于0）对应的区域位于曲线C下方（分别上方）。

我们观察到，对于参数I的任何值，有限方差模型对应于介于1和2之间的W值：令人惊讶的是，在分类不变性要求下（具有有限或无限方差）的所有现实模型都属于完全不对称Lévy分布的吸引域，而不是正态分布的吸引域。此外，我们注意到，有限方差模型对应于参数空间中的一条曲线，在所有可能的模型中所占的比例非常小。回到对数正态情形，在有限方差的分类不变性下，等式（6）和（11）导致LG,\":-!\". 如果我们设-!\":\"G\'G, BBM定理表明[`“.作为银行的损失G有一个有限的方差，我们得到t的方差分歧为-:“什么时候+. 对于参数IC的任意值，公式（6）和（11）表明t的方差分歧为“&ijki:nu）。3.多元化影响分类不变性的要求对多元化效益产生了不可忽视的影响。我们用多元化比率来衡量这些影响，该比率等于银行损失分位数与单元格级别损失分位数之和的比率：vwxyz{roHsxyz{|k（14）Neslehova等人（2006年）表明，肥尾（尾指数参数低于1）个体细胞丢失将导致负多元化（vwC(. Brunel（2014）表明，当非厚尾随机变量之和为相关对数正态变量时，VaR的次可加性可能消失。从公式（8）中，我们得到了独立风险值之和：}~#woHhn欧元o从eq。

（5） ，我们得到银行的资本费用：~#woGGoLG`a:‘功能在哪里`A.f 是完全不对称Lévy分布的再分配函数`A带尾指数W。多元化比率等于：vw，`a:‘RMNO“和Ka”（）.oJK:‘&库夫.)!KU…（15）作为（！ISD），指数中的主导项总是第一个 足够大。多元化收益的表现取决于银行总损失的尾部指数W与单个损失的尾部指数I。当WCI时，多元化比率随着时间的推移而降低, 我们有一个积极的风险多样化。相反，当W+I时，多元化指数随着 我们有消极的多样化。我们在图1（曲线D）中绘制了这两种制度之间的边界，其方程式为：W我MT努克：（曲线D）（16）在对数正态模型中Q和WQ、 我们看到，在渐近极限内，细胞之间存在负的多样性 足够大了。增加模型中的单元数量并不一定会降低资本费用或带来更高的多元化收益。与Neslehovaet al.（2006）或Brunel（2014）的结果相比，这个结果是新的。我们在这里表明，当单元级和银行级损失分布的一阶矩和二阶矩都有限时，操作风险模型中可能会出现超加性。此外，令人惊讶的是，在图1中观察到，在属于正态分布吸引域（WCQ）的参数空间的某些区域甚至可能出现负多样化。4。cellsLet之间的相关性回到对数正态情形，银行损失具有有限方差，并考虑具有一致相关性的单因素模型。