超越半鞅的投资组合优化：影子价格和

自bZτeа0，nτ+bZτeа1，nτP-a.s。---→bZτbаτ+bZτbаτ，作为n→ ∞,对于每[0，T]值的停止时间τ乘以（3.7），我们得到（bZtbаT+bZtbаT）0≤T≤这是由法图引理计算出来的，它是由定理3.1常数期望的第4部分计算出来的，因此它是一个鞅。通过按部分积分，我们得到bZb~n+bZb~n=bZ（b k+b k bS）=bZ（x+b kobS- A） ，其中t=ZtbSu- (1 - λ） 苏d b k 1，↓u+Zt苏-bSud b k 1，↑u、 0≤ T≤ T、 是一个非递减的、可预测的过程。由于bZb~n+bZb~n是一个鞅，而bz（x+b~nobS）根据贝叶斯规则是一个局部鞅，而且b~n是有限变化的，因此是局部有界的，这意味着≡ 因此，bZ（b k+b k bS）=bZ（x+b kobS）是一个鞅且{d b k>0} {bS=S}和{d b~n<0} {bS=（1）- λ） S}在（2.6）的意义上。AsbZ=（bZ，bZ）∈ Zλe，我们得到bz=（bZt）0≤T≤这是无摩擦价格过程B=（bSt）0的ELMM的密度过程≤T≤T.因此bz=（bZt）0≤T≤候补（x）也必须是无摩擦对偶问题[V（yZT）]+xy的解→ 敏！，y>0，Z∈ Za（bS），其中Za（bS）表示所有密度过程的集合Z=（Zt）0≤T≤Tof绝对连续鞅测度Q<< P对于局部有界价格过程b=（bSt）0≤T≤T.根据无摩擦对偶性（见[50]中的定理2.2]），x+b k bST=b k T+b k TbST=VliqT（b k）=U′by（x）bZT是f r ictio nless效用最大化问题（2.5）的最优终端财富（bSt）0≤T≤T.因为x+b~nobS是在被测项bq下的abQ鞅~ 根据bydbQdP=bZTby Bayes的规则，我们得到bа=（bаT）0≤T≤THA是无摩擦效用最大化问题（2.5）的最优策略，因此在[50]中定理2.2第（iv）部分的AU（x；bS）中，因为最优策略在L（bS）中是唯一的。

这意味着BS=（bSt）0≤T≤这是交易成本下效用最大化问题（2.3）定义2.2意义上的影子价格过程。4主要结果见表4.1。假设S是连续的、粘性的，U:R→ R严格是凹的、递增的、连续可微的、从上到下有界的，满足不满足条件U′(-∞) = 利克斯→-∞U′（x）=-∞ 具有合理的渐近弹性，即limx→-∞xU′（x）U（x）>1。那么我们就有了任何x∈ R和交易成本的任何比例λ∈ （0,1）这是：1）最优交易策略bа（x）=（bаt（x），bаt（x））0≤T≤T∈ AλU（x）表示（2.3）存在。2）存在可容许的交易策略s e~nn=（e~n0，n，e~n1，n）∈ Aλadm（x）是（2.3）的最大值（新界东，东1，新界东）→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]= 1.事实上，对于每一个最大错误序列（~nn）∞n=1∈ Aλadm（x）w e可以找到一个序列（e~nn）∞n=1个具有上述性质的凸组合。3） 对偶优化函数bZ=（bZ，bZ）到（3.2）在Zλe中，即λ-一致价格系统。4） Bzbzi是一个影子p rice（定义2.2）。这尤其意味着{d b~n1，c>0} {bS=S}，{db1，c<0} {bS=（1）- λ） S}{b~n>0} {bS-= S} ,{b~n<0} {bS-= (1 - λ） S}{+b~n>0} {bS=S}{+b~n<0} {bS=（1）- λ） S}。定理4.1的证明将被分成几个引理。我们首先验证对偶定理（定理3.1）的条件。由于S是连续且粘性的，结合文献[30]中的推论2.1和文献[33]中的定理2，对于所有规模的交易成本λ′，都存在严格一致的价格体系∈ (0, 1). 此外，效用函数的条件满足我们的假设。因此，我们只需要检查条件（3.1）。引理4.2。让你：R→ R是一个效用函数，从上到下是有界的，S=（St）0≤T≤太粘了。

那么我们就有了∈ R、 thatu（x）=supа∈Aλadm（x）E[U（VliqT（ν））]<U(∞). （4.1）证据。通过S=（St）0的粘性≤T≤因此，Xt:=log（St）setA:=supt∈[0，T]SSt- 1.<λ)（支持）∈[0，T]| Xt- X |<log1 +λ)具有严格的正度量，即P[A]>0。类似于引理2.5和命题2。8在[30]中，我们得到了VliqT（φ）≤ A上的x表示任意的∈ Aλadm（x）。事实上，根据交易成本下的自我融资条件（2.1），我们可以得出Vliqt（）=t+TST- λST（ηT）+≤ 十、-TZSudаu- λTZSud~n1，↓u+k TST- λST（φT）+=x-TZ（苏- S） d k u- λTZSud~n1，↓u+аT（圣- （S）- λST（ηT）+≤ 十、-λTZSud~n1，↓U-λST（ηT）+≤ A.（4.2）上的x意味着e[U（VliqT（ν））]≤ U(∞)(1 - P[A]）+U（x）P[A]<U(∞)为了所有人∈ Aλadm（x），因此（4.1）取上确界。应用对偶定理（定理3.1）允许我们获得一个最大化序列φn=（φ0，nt，ν1，nt）0≤T≤T∈ Aλadm（x）的自我融资和可接受的交易策略以及arandom变量bg=bg（x）∈ L（P；R）∪ {∞}) 以至于Ubg（x）= u（x）和vliqt（~nn）P-→ bg（x），UVliqT（νn）L（P）-→ Ubg（x）. （4.3）如前所述，随机变量bg（x）可能会取值∞ 以严格的正概率。下面的例子说明了这种现象是如何在交易成本下产生的。它特别表明，条件s=（St）0≤T≤定理4.1中的粘性不能被S=（St）0的假设所取代≤T≤Tsatis定义了“无风险午餐”（不含交易成本）的条件（N F LV R）。例4.3。

我们给出了一个价格过程S=（St）0的例子≤T≤这是连续的。2） S满足无交易成本的条件（NF LV R），因此允许所有λ′的价格体系一致∈ （0，1）。3）对于最大化指数效用U（x）=- 经验(-x） 交易成本下λ∈ （0，），即EUVliq（）= E- 经验- Vliq（）→ 最大值！，φ ∈ AλU（x）.3\'）存在一个序列bаn=（bа0，nt，bа1，nt）0≤T≤1.∈ AλU（x）使得Vliq（b k n）L（P）---→ 0=U(∞)因此bg（x）=∞ P-a.s.特别是，我们有| b|n | TP-→ ∞.为了方便起见，我们给出了有限时间间隔[0+∞]. 对应的有限区间[0，1]示例可通过使用时间间隔[0+∞] → [0,1]由h（t）给出=1.- 经验（-（t）考虑Sh（t）而不是St。我们首先指定要价S=（St）0≤T≤∞在等价局部鞅测度Q下，设W=（Wt）t≥0是[0]上的布朗运动+∞) 在Q和集σ下：=inf{t>0 | E（W）t=exp（Wt-t） 嗯。定义S=（St）0≤T≤∞bySt=2E（W）σt，0≤ T≤ ∞.在散文中，价格过程从2开始。然后，在时间σ处，它会一直膨胀，直到第一次达到1级，然后在战后保持不变。由于停止时间σ几乎肯定是有限的，我们得到价格过程是q下的非负局部鞅，使得∞= 1 Q-a.s.因此，在时间0时卖空一股股票会产生2（1- λ) - 一次1>0∞ 作为清算价值。当然，这一策略的问题在于，它不是一个可以允许的策略。由于股票价格可以以严格正概率达到任意高，因此清算价值Vliq（φ）可以以0到σ之间的严格正概率达到任意小。

然而，我们可以通过允许的交易策略“~nn=（\'~n0，nt，\'~n1，nt）0来接近这一策略≤T≤∞∈ Aλadm（0）。为此，我们只需设置1，nt=-K0，0的σnK（t）≤ T≤ ∞, 式中，σn:=inf{t>0 | St=n}，并通过等式的自融资条件（2.1）确定φ0，Nt。ThenVliq∞（°~nn）=2(1 - λ) - 1.{σn≥σ}+2(1 - λ) - N{σn<σ}P-a.s。---→ 1 + 2(1 - λ) - 1，作为n→ ∞,自σn∞ Q-a.s.因此，设置bа1，n=nа1，与bа0，n=nа0，会产生一个序列（bаn）∞n=1自我融资和可接受的交易策略bаn=（bа0，nt，bа1，nt）0≤T≤∞∈ λadm（0）使得Vliq∞（b~nn）= - 经验- N2(1 - λ) - 1.{σn≥σ}- 经验- N2(1 - λ) - N{σn<σ}P-a.s。---→ 0，作为n→ ∞.为了保证L（P）中的收敛性，我们需要指定S在P下的分布。从那时起UVliq∞（b~nn）= - 经验- N2(1 - λ) - 1.P（σn）≥ σ)- 经验- N2(1 - λ) - NP（σn<σ）和- 经验-1+n2(1-λ)-N= O经验（n）, 选择P就足够了~ Q这样的P（σn<σ）=o经验(-n）. 这是可能的，因为An:={σn<σ}是集合的递减序列，使得Q（An）>0和Q（An）0。获得u（x）<u(∞), 我们在时间0时掷一枚公平的硬币。如果head出现，我们将使用上述定价过程。如果我们观察尾部，那么价格过程保持在2。上面的例子表明bg（x）只能取这个值∞, 如果总变化（|b|n|T）∞n=1最大化序列的φn=（φ0，nt，ν1，nt）0≤T≤T∈ 可容许交易策略的λadm（x）发散到∞. 然而，这种行为会导致有限的交易量，从而产生交易成本。对于粘性价格过程来说，这并不是最优的，我们现在讨论如何排除它。为此，我们观察到，如果我们有c:=conv{|~nn|T；n≥ 1} （4.4）在L（P）中有界，用于一个序列（νn）∞n=1个策略∈ Aλadm（x）满足（4.3），存在一个序列（b~nn）∞n=1凸组合sb~nn∈ conv（°n，°n+1。

)以及一种自我融资的交易策略bа=（bаt，bаt）0≤T≤Tunder交易成本，例如pH（bа0，nt，bа1，nt）n→∞---→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]i=1（4.5），通过[12]中的命题3.4（及其在定理3.5证明中的应用）。因为我们当时有一个-→ VliqT（b~n）=bg（x）UVliqT（b~nn）L（P）-→ UVliqT（b~n）= Ubg（x）,这意味着bа=（bаt，bаt）0≤T≤T∈ AλU（x）得到bg（x）到（2.3）的解，并且bg（x）是A.s.实值。因此，只需证明（~nn）∞n=1对于任何序列都是正确的统计（4.4）∞n=1个策略∈ Aλadm（x）满足（4.3）。为此，我们对任何序列进行了固定（~nn）∞n=1个策略∈ Aλadm（x）满足（4.3）并用S表示所有[0，T]的集合∪ {∞}-取值的停止时间σ，使得conv{|~nn |σ∧TN≥ 1} 在L（P）中有界。然后（4.4）对应于显示∞ ∈ 请注意 L+（P）是凸且有界的，例如，在[10]的概率测度Q中存在引理2.3~ 使C在L（Q）SO中有界∞n=1，确实满足[12]中命题3.4的总和。引理4.4。在取成对极大值的情况下，集S是稳定的，即σ，σ∈ S意味着σ∨ σ∈ 美国证据。让ψ∈ A:=conv{|~nn | n≥ 1}. 然后ψ（σ）∨σ)∧T=ψσ∧T{σ≥σ}+ ψσ∧T{σ<σ}。这意味着Limn→∞supψ∈美联社ψ(σ∨σ)∧T≥ N≤ 画→∞supψ∈AP（ψσ）∧T≥ N） +limN→∞supψ∈AP（ψσ）∧T≥ N） =0，因此σ∨ σ∈ S在取两两极大值下是稳定的，这一事实使我们能够得到它的本质上的上界σ：=ess supσ∈Sσ（4.6）作为递增序列（bσk）的极限∞k=1停车时间bσk∈ 根据定理A.33。（b） 在[27]中。注意bσ≥ 0，作为0∈ S、 bσaga是一个停止时间。回想一下，影子价格的存在意味着最优交易策略bа=（bаt，bаt）0≤T≤如果影子价格为（2.6）意义上的买入价或卖出价，则Tunder交易成本仅交易。

下一个引理表明，如果我们还不知道是否存在影子价格，从近似意义上讲，情况已经如此。引理4.5。在定理4.1的假设s下，设（ηn）∞n=1b是可接受交易策略的最大化顺序φn=（φ0，nt，ν1，nt）0≤T≤T∈ 问题（2.3）满足（4.3）且集B1，j={bZS的λadm（x）-bZ>j}和B2，j={bZ-bZ（1）- λ） S>j}代表j∈ N.然后我们就有了∈ N、 thatB1，jo1，N，↑T+B2，jo1，n，↓总磷-→ 0，B1，jo0，n，↓T+B2，jo0，n，↑总磷-→ 0.证明。在这里，我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设我们在最大化策略（νn）的自我融资条件（2.1）中是平等的∞n=1。自0<sup0≤T≤TSt<∞P-a.s.假设s是严格正且连续的，则有足够的证据证明φ1，n=（φ1，nt）0≤T≤T.这也意味着对а0，n=（а0，nt）0的断言≤T≤t根据自我融资条件（2.1）。通过引理A.2，我们得到了bzt~n0，nTL（P）-→bZTbg（x）对于任何最大化序列φn=（φ0，nt，φ1，nt）0≤T≤Tof自我融资和可接受的交易策略（4.3）。正如我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设：1，nT=0，定义bxnt=0，ntbZt+1，ntbZt，0≤ T≤ T、 给出一个序列（bXn）∞n=1of supermantingalesbxn=（bXnt）0≤T≤t从x开始，使得bxnt在L（P）中收敛到终端值bx∞T=bZTbg（x）的鞅bx∞= （bX）∞t） 0≤T≤Tgiven bybX∞t=E[bZTbg（x）| Ft]，0≤ T≤ T、 这也是从定理3.1的第4部分开始的。通过分部积分，我们得到了bxnt=x+0,nobZt+1,nobZt- 蚂蚁，0≤ T≤ T、 地点：=ZtbZuSu-bZud~n1，n，↑u+ZtbZu-bZu（1）- λ） 苏d~n1，n，↓u、 0≤ T≤ T、 是一个从0开始的非递减过程。因为bxnt=bZtν0，新界北+ν1，新界北≥bZtVliqt（νn）≥bZt(-m） ，0≤ T≤ T、 对于某些m>0的可采性，当地的martinga le（x+0，nobZt+1，nobZt）为0≤T≤这是由一致可积矩阵所限定的bZt(-m）0≤T≤和亨恰超级啤酒。

作为超级艺术家的bxn=（bXnt）0≤T≤坦德玛特英格尔贝克酒店∞=（bX）∞t） 0≤T≤皮重均从x开始，收敛点BxNTL（P）---→bX∞因此，这意味着ANTL（P）---→ 0.罪恶的≥JB1，jo1，n，↑T+B2，jo1，n，↓T≥ 0，后一个L-收敛产生b1，jo~n1，n，↑T+B2，jo1，n，↓TL（P）---→ 0，因此也不可能。我们建立以下引理来证明（4.6）中定义的bσ等于bσ=∞ 自相矛盾。引理4.6。在定理4.1的假设下，假设P（bσ<∞) > 然后存在一个停止时间τ，P（τ<T）>0，这样我们就有了1）conv{|n |τ∧TN≥ 1} 在L（P）中有界，2）存在一个集合a∈ F与A {τ<T}和P（A）>0，常数c>0和序列（b~nn）∞n=1凸组合sb~nn∈ conv（~nn，~nn+1，…）这样我们就有了A）Rτ| d b|nu |≤ c对于所有n，b）RTτ| d b|nu | P-→ ∞, a s n→ ∞,c） |St- Sτ|≤λstt∈ [τ，T]。证据设Xt=记录（St）并确定停止时间 := infnt>bσ|Xt- Xbσ|>对数1 +λo、 显然， > bσ在{bσ<T}上，所以P( > bσ=P（bσ<T）>0。亨塞德：=conv{| |n|∧TN≥ 1} （4.7）在L（P）中不受bσ定义的限制。莫尔·伊奥弗，自从D L+（P）是凸的，在[10]的一个划分中存在引理2.3Ohm 分成不相交的集合OhmUOhmB∈ F和P(Ohmu） >0，以便（i）限制|Ohmb={gOhmb | g∈ D} 从D到Ohmbis在L（P）中有界。（ii）D在L（P）上是遗传无界的Ohmu、 也就是说，对于每个子集B∈ F、 B Ohmu、 P（B）>0，我们有D | B={gB | g∈ D} fa-ils以L（P）为界；参见[10]中的定义2.2。现在，我们可以有两个案例。或者P(OhmU∩ { ≥ T}）>0或P(OhmU∩ { < T}=P(Ohmu） 。在第一种情况下，我们设置F:=OhmU∩ { ≥ T}。

在第二种情况下，存在粘性S，因此存在X a集合F的粘性∈ P（F）>0，使得 OhmU∩ { < T}和supt∈[,T]| Xt- 十、| <把（1+λ）记录在F上。根据S的连续性，我们可以选择k∈ 足够大，足够大∈[bσk，bσ]|Xt- Xbσk |<log1 +λ在拍摄现场∈ F和A F和P（A）>0。设置τ=bσk，我们得到1）乘（4.6）的结果∈[τ，T]|Xt- Xτ|<log1 +λ在A上，这意味着| St- Sτ|≤λstt∈ [10]中引理2.3的第4部分[τ，T]给出了序列（ψn）的存在性∞n=1个凸组合ψn∈ conv{124;~nm|m≥ n} （4.8）这样OhmU∩ψn∧T<n<n、 （4.9）自∧TN≥ 1} 在L（P）中有界，我们可以通过应用Koml’os’引理（例如，参见[26]中的引理A.1]）假设ψnτ∧TP-a.s。---→ f、 作为n→ ∞, （4.10）对于某些f∈ L+（P）。Let（b~nn）∞n=1b是一个凸组合序列sb~nn=KnXk=1unk~nmnk∈ conv（~nn，~nn+1，…）从序列中获得的值（单位：n）∞n=1，取与序列（ψn）相同的凸权∞n=1in（4.8）来自序列（||n |）∞n=1。通过（4.10）和总变分的凸性，我们可以通过可能传递到一个较小的集合a来假设存在一个常数c>0，使得|b|n |τ∧T≤ c代表全体n∈ 这证明了第2部分的性质A）和c）。为了建立概率b），我们需要考虑以下两种情况：（i’）P（bZ）∧T=0，A）>0，（ii\'）P（bZ∧T> 0，A）>0。在（i\'）的情况下，它来自于bz=（bZt）0这一事实≤T≤这是一个非负鞅G:={bZ∧T=0} {bZT=0}。通过对偶关系bg（x）=（U′）-1.by（x）bZT, 这意味着bg（x）=limn→∞VliqT（b~nn）=∞ 关于G.因为S=（St）0≤T≤这是严格的正的和连续的，我们有0<sup0≤T≤TSt<∞ P-a.s。

只有这样我们才能得到bg（x）=limn→∞VliqT（b~nn）=∞ 因此，在G上是limn→∞|b|n|T=∞ 关于G byVliqT（b k n）≤ 十、-TZSud bа1，n，↑u+TZ（1）- λ） 南部b~n1，n，↓新界北科技大学u+bа1- λST（b~n1，nT）+≤ x+sup0≤T≤TSt|b|1，n|T→ ∞ o n G.As | b|n |τ∧T≤ c代表全体n≥ 1月1日 G、 我们有rtτ| d b|nu |→ ∞ 关于{bZ∧T=0}∩ A.在（ii\'）的情况下，我们需要证明序列（ψn）∞在（4.10）的意义上，全变分过程的凸组合的n=1在L（P）中是无界的，这意味着序列（|b|n |）∞在相同意义下，凸组合的总变化的n=1在L（P）中是无界的。虽然这在一般情况下并不正确，但从目前的情况来看，所有交易策略bДn=（bД0，nt，bД1，nt）0≤T≤对于任何满足（4.3）的最大化序列，必须在相同的条件下进行买卖，直到误差被引理4.5消除。因此，凸组合的总变量和总变量的凸组合之间的差异也通过引理4.5消失。为了了解这一点，我们观察到，在可能的情况下，经过一个较小的集合a，我们可以在不丧失普遍性的情况下得出一个假设≤U≤∧TbZu>\'c对于某些\'c>0。这遵循了超人的最小原则。然后，我们可以选择j∈ N足够大，设置Bc1，j={bZS-bZ≤j} 和Bc2，j={bZ-bZ（1）- λ） S≤j} ，式中b1，j={bZS-bZ>j}和B2，j={bZ-bZ（1）- λ） S>j}如引理4.5所定义，在{inf0上是不相交的≤U≤∧TbZu>\'c}。