超越半鞅的投资组合优化：影子价格和

因此，我们可以估计{inf0≤U≤∧TbZu>“c}那| b|1，n|∧T=KnXk=1unk~n1，mnk∧T=KnXk=1unk~n1，mnk，↑- ~n1，mnk，↓∧T=KnXk=1unkBc1，jo1，mnk，↑-Bc2，jo1，mnk，↓+B1，jo~n1，mnk，↑-B2，jo~n1，mnk，↓∧T≥KnXk=1unkBc1，jo1，mnk，↑∧T+Bc2，jo1，mnk，↓∧T-KnXk=1unkB1，jo~n1，mnk，↑∧T+B2，jo1，mnk，↓∧T=KnXk=1unk |~n1，mnk|∧T- 2KnXk=1unkB1，jo~n1，mnk，↑∧T+B2，jo1，mnk，↓∧T.同样，我们也得到了{inf0≤U≤∧TbZu>‘c}那| b|0，n|∧T≥KnXk=1unk |~n0，mnk|∧T- 2KnXk=1unkB1，jo0，mnk，↓∧T+B2，jo0，mnk，↑∧T.结合{inf0上的两个估计≤U≤∧TbZu>“c}那| b|n|∧T≥ ψn∧T- 2KnXk=1unkB1，jo~n1，mnk，↑∧T+B2，jo1，mnk，↓∧T+B1，jo0，mnk，↓∧T+B2，jo0，mnk，↑∧T.因为我们有b1，jo1，n，↑T+B2，jo1，n，↓总磷-→ 0，B1，jo0，n，↓T+B2，jo0，n，↑总磷-→ 通过引理4.5，这意味着| b|n|∧总磷-→ ∞ 关于{inf0≤U≤∧TbZu>c}，因此tτ| d b|nu | P-→ ∞ 关于{inf0≤U≤∧TbZu>\'c}∩ A、 as | b|n |τ∧T≤ c代表全体n≥ 1关于A.经过上述准备之后，我们现在可以证明bσ=∞ 这证明了定理4.1的第1）部分和第2）部分。断言3）和4）则遵循命题3.3。引理4.7。在定理4.1的假设下，我们得到bσ=∞ P-a.s.也就是说，对于任何最大错误序列，Βn=（Β0，nt，Β1，nt）0≤T≤T∈ Aλadm（x）的交易策略满足（4.3），我们有C:=conv{|~nn|T；n≥ 1} i在L（P）中有界。证据我们用矛盾的方式论证并假设P（bσ<∞) > 然后引理4.6的2）存在一个停止时间τ，一个集合a {τ<T}，其中P（A）>0，常数c>0，序列（b~nn）∞n=1凸组合sb~nn∈ conv（°n，°n+1。

)这样我们就有了A）Rτ| d b|nu |≤ c对于所有n，b）RTτ| d b|nu |→ ∞, 作为n→ ∞,c） |St- Sτ|≤λstt∈ [τ，T]。由于我们可以在不丧失普遍性的情况下假设bа1，nT=0，我们通过将a）–c）与交易成本下的自融资条件（2.1）相结合，得出类似的a s in（4.2）t ha tVliqT（bаn）=bа0，nT≤ 十、-TZSud bа1，努尔- λTZSud b~n1，n，↓u=bа0，nτ+bа1，nτSτ-TZτ（Su）- Sτ）db1，nu- λTZτSud bа1，n，↓U≤ bа0，nτ+bа1，nτSτ-λTZτSud bа1，n，↓U→ -∞, 作为n→ ∞, 在A.（4.11）中，注意bа1，nT=0意味着rtτd bа1，n，↓U→ ∞, 作为n→ ∞ , A由b）构成。自从b k n∈ conv（φn，φn+1，…），序列（b~nn）∞n=1也必须让你满意VliqT（b~nn）L（P）-→ Ubg（x）.然而，这与（4.11）相矛盾，因此我们有P（bσ<∞) = 定理4.1的证明。我们只需要证明2）。这直接意味着命题3.3中的1）和3）以及4）。如第13页定理4.1陈述后所述，对偶定理3.1的假设在定理4.1和引理4.2的假设下得到满足。这使得我们可以应用对偶定理3.1来获得最大化序列νn=（ν0，nt，ν1，nt）0≤T≤T∈ Aλadm（x）的自我融资和可接受的交易策略，以及随机变量bg=bg（x）∈ L（P；R）∪ {∞}) 以至于Ubg（x）= u（x）和vliqt（~nn）P-→ bg（x），UVliqT（νn）L（P）-→ Ubg（x）. （4.12）通过引理4.7，我们得到C:=conv{|~nn|T；n≥ 1} 在L（P）中有界。因此，存在一个序列（b~nn）∞n=1凸组合∈ conv（~nn，~nn+1，…）以及一种自我融资的交易策略bа=（bаt，bаt）0≤T≤Tunder交易成本，例如pH（bа0，nt，bа1，nt）n→∞---→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]i=1（4.13），通过[12]中的命题3.4（及其在定理3.5证明中的应用）。

序列（b~nn）∞n=1然后还满足（4.12），这就完成了证明。5一个案例研究：分数布朗运动和指数效用我们在这里继续（指数）分数布朗运动的主题，这在导言中得到了简要的讨论。事实上，这个例子带来的挑战是本研究的一个重要主题。50多年前，B.Mandelbrot[43]提出分数布朗运动作为股票价格过程的模型。直到今天，这个想法还带来了一些公开的问题。从数学的角度来看，一个主要的困难是分数布朗运动不是半鞅（除了布朗caseH=）。因此，随机演算的工具很难应用，而且很难将该模型与通常的数学金融无套利理论相协调。事实上，（[26]定理7.2）表明，如果一个随机过程不能成为半鞅，它会自动允许套利（从某种意义上说，这在定理7.2中是精确的）。在分数布朗运动的特殊情况下，C.罗杰斯[48]也直接证明了这一点。避免这种僵局的一种方法是考虑比例交易成本，因为它违反了无套利范式。对于任意小的λ>0，引入比例交易成本λ，使套利机会消失。定理4.1完全适用于分数布朗运动的情况，适用于任何赫斯特指数∈ (0, 1). 作为效用函数U，我们可以，例如，选择指数效用U（x）=-E-x、 因此，我们在交易成本下处理分数布朗运动的对偶理论，特别是，我们可以找到一个影子价格过程，它是一个半鞅。让我们更正式地定义环境。

作为模型S的驱动程序，我们定义了标准布朗运动（Wt）-∞<t<∞, 按整条实线的自然（右连续、饱和）过滤（Ft）进行索引-∞<t<∞. 我们让布朗运动从-∞ 基于Mandelbrot和vanNess，为了应用下面（5.1）的优雅积分表示法；见[44]。我们注意到布朗运动（Wt）为0≤T≤T、 现在由[0，T]索引，具有过滤（Ft）0的积分表示属性≤T≤T.唯一不同于更经典的设置，我们认为过滤（Gt）为0≤T≤t由（Wt）0生成≤T≤这已经不再是微不足道的了。但这不会带来什么麻烦。我们只需要有条件地对F进行所有的论证。修正一个赫斯特参数H∈ (0, 1) \\ {}. 我们可以定义分数布朗运动（Bt）0≤T≤T=（BHt）0≤T≤TasBt=C（H）Zt-∞（t）- s） H--|s|H-(-∞,0)dWs，0≤ T≤ T、 （5.1）式中，C（H）是续集中不相关的常数（见[44]第1.1节或[48]公式（1.1））。我们可以进一步定义非负库存价格过程S=（St）0≤T≤Tby lettingSt=exp（Bt），0≤ T≤ T、 （5.2）或者，更一般地说，St=exp（σBt+uT），0≤ T≤ T、 （5.3）对于某些σ>0和u∈ 为了具体，我们坚持（5.2）。我们现在处于定理4.1所涵盖的状态。关于S的粘性，P.Guasoni[30]已经证明了（指数）分数布朗运动离子的这种性质（定义2.1）。我们还确定了交易成本λ>0和u（x）=-E-x、 以及首字母x∈ R、 例如，x=0。根据定理4.1，我们可以找到一个原始优化器bа=（bаt，bаt）0≤T≤T、 一个双优化器bz=（bZt，bZt）0≤T≤t这是一个λ-一致的价格体系，也是一个影子价格过程b=bZbZ。

从这个一般定理，我们知道Tbzi是一个唯一确定的鞅，Bzi是一个局部鞅。很明显，在本例（5.2）或（5.3）中，过程bzis实际上是alsoa鞅，但我们不需要这个结果，因此不试图证明它。这些普遍的、看起来相当天真的结果有一些惊人的后果，也超出了数学金融领域。它们意味着分数布朗路径可能以单边的方式接触It^o过程的路径（下面的定理5.3）。让我们从定理4.1中得出一些结论。引理5.1。在上述指数分形布朗运动的背景下，鞅（bZt）为0≤T≤表示为BZT=bZexp-ZtbαudWu-Ztbαudu, 0≤ T≤ T、 （5.4）对于一些R值可预测（关于过滤（Ft）0≤T≤T） 过程bα=（bαT）0≤T≤Tsuch thatRTbαtdt<∞ 阿尔莫斯：当然不是。过程ssbX=log（bS）是一个It^o过程，可以表示为bxt=bX+ZtbσudWu+buu-bσu杜, 0≤ T≤ T、 （5.5）其中bσ和bua是R值可预测的过程，例如RTBσtdt和RT | buT | DTA是有限的。实际上，bS=exp（bX）是由dbqdp=bZT定义的测度下的局部鞅。因此我们有关系式bαu=buubσu，u∈ [0，T]。（5.6）这一平等原则适用于P几乎可以肯定，其中m是[0，T]上的勒贝格测度。当右边的si de为以下形式时，等式被定义为成立。证据从定理4.1我们知道bzandbzare是局部鞅，所以我们可以应用鞅表示定理，这意味着（5.4）。我们推断出bS=bZbZaswell asbX=log（bS）是产生形式为（5.5）的r代表离子的过程。

通过gain tobS=exp（bX），我们得到了dbstbst=bσtdWt+butdt，这意味着Girsanov的等式（5.6），以及bs是q下的局部鞅这一事实。在制定本节的主要结果之前，我们还需要一些准备工作，这也是一些独立的兴趣所在。引理5.2。对于0<λ<1，用u（λ）（x）表示相应的间接效用函数（2.4）。Thenu（λ）（x）=-f（λ）e-x、 0<λ<1，（5.7），其中f（λ）i是一个不递减的g函数，取值于（0，1）一个dlimλ0f（λ）=0。（5.8）证据。u（λ）的形式为（5.7）这一事实是众所周知的指数性标度特性。让我们分析函数f（λ）。很明显，f（λ）是非递减的，并在（0，1）中取其值。关于（5.8），根据[48]（或[26]中定理7.2的证明），我们可以发现，对于ε>0和M>0，一个简单的可预测过程θ的形式为θt=N-1Xi=0giKτi，τi+1K（t），其中gi∈ L∞(Ohm, Fτi，P）和0=τ≤ τ≤ · · · ≤ τN=T是停止时间，因此，forS=exp（B），（θoS）T=NXi=0gi（Sτi+1- Sτi）（5.9）满意度（θS）T≥ -1几乎肯定和P[（θS）T≥ M] >1个- ε.对于0<λ<1，我们也可以在交易成本的设置中进行解释。更正式地说：与上述θaλ-自融资过程θ=（θ，θ）相关联，从（θ，θ）=（0，0）开始，使得θ=θ（0，T）和θ由（2.1）中的等式定义。选择λ>0足够小的值，我们可以得到φT≥ -2几乎可以肯定的是，P[~nT≥ M- 1] > 1 - ε. 这很容易说明（5.8）。现在，我们可以将上述关于投资组合优化的结果表述为一个显著的结果，独立于上述金融应用，作为分数布朗运动路径行为的一般结果：它们可能以一种非平凡的方式触及It^o过程，而不涉及局部时间或与布朗运动反射相关的概念。定理5.3。

让（Bt）0≤T≤Hurst指数为H的分数布朗运动∈ （0，1）\\{}和α>0（对应于α=- 日志（1）- λ） 在上述交易成本设置中）。有一个It^o过程（Xt）0≤T≤Tsuch thatBt- α ≤ Xt≤ 英国电信，0≤ T≤ T、 （5.10）几乎可以肯定是正确的。此外，X可以构造为（eXt）0≤T≤这是一个局部martinga leunder，在某些测度Q相当于P的情况下。对于ε>0，我们可以选择α>0，以便轨迹（Xt）为0≤T≤t接触轨迹（Bt）0≤T≤TA以及轨迹（Bt）- α)0≤T≤概率大于1的两倍- ε.证据这个定理是定理4.1和引理5.1的一个结果，其中我们只取x=bX。我们只需要展示最后一个断言。它转化为定理4.1的设置，即对于ε>0，存在λ>0，对于0<λ<λ，我们的概率大于1- ε，即（b~nt）0≤T≤这不是恒定的。事实上，除了微不足道的情况b k t≡ （x，0）在没有交易的情况下，投资者在开始和结束时都没有持有任何股票，因此必须买入和卖出股票。因为这只能在BST=StorbSt=（1）时发生-λ） 相应地，我们必须在（5.10）中对这两种情况有相等的条件∈ [0，T]。证明这种情况发生的概率大于1- ε、 对于足够多的α>0，假设相反，存在η>0和任意小的α>0，使得最优交易策略b~n保持不变，概率大于η。这与（5.8）a s相矛盾，那么我们有λ（0）≤ -η.让我们来评论一下对上述定理的解释。使用上述结构确定σ和τ为停止时间σ=inf{t∈ [0，T]：Xt=Bt- α} ，τ=inf{t∈ [0，T]：Xt=Bt}，对于足够小的α>0，满足P[σ<∞] = P[τ<∞] > 1.-ε.

这里，等式[σ<∞] = P[τ<∞] 这一点源于这样一个事实：由于我们开始和结束时都是零库存，所以任何买入或卖出的头寸都必须在时间T之前清算。我们可以假设w.l.o.g.τ<σ（σ<τ的情况类似）。考虑差异过程DT=Bt- Xt，0≤ T≤ T、 （5.11）是非负的，在T=τ时消失。我们推测了上述考虑的结果。推论5.4。在集合{τ<σ}上，我们有σ≤ 几乎可以肯定，过程（Dt）τ≤T≤σ从零开始，保持非负，并在Dσ=α时结束。这种说法应该与众所周知的事实相比较，即没有停止时间τ<σ，因此P[τ<T]=P[σ≤ T]>0，这样Bσ- Bτ>α，几乎肯定在{τ<T}上。事实上，这源于P.Guasoni证明的分数布朗运动的粘性（定义2.1）（[30]；比较[33]）。加上It^oprocess X，会奇迹般地改变B的这种行为，正如上面的推论所描述的那样。在交易成本下证明对偶定理3.1的基本思想是，如[20]中所述，将其简化为[50]中无摩擦情况下对偶定理的抽象版本。我们提供了这个抽象版本，这是下面[50]中定理2.2的证明中实际显示的内容。它可能会找到其他应用程序。为此，设C是L+（P）的一个闭的、凸的、实的、有界的子集，包含常数1，对于所有x>0和Cb（x）=∪∞n=1{C（x+n）- n} 为了所有的x∈ R.用D表示C在L+（P）中的极性，由C给出o= {h∈ L+（P）| E[gh]≤ 1.G∈ C} 并为所有y>0的对象设置D（y）=y D。请注意，由于∈ C、 我们有E[h]≤ 1.所有h∈ D.假设D={h∈ D | h>0且E[h]=1}是非空的，因此D是L+（P）中D的闭的、凸的和实的壳。

表示byD给定byD={h时D的L（P）-闭包∈ D|E[h]=1}。如[41]的定理3.2所示，集合C（x）和D（y）的性质是建立在正半直线上效用最大化的对偶理论所需要的。下面的定理将这个结果推广到整条实线上的效用函数。定理A.1。在上述假设下，假设U:R→ R满足Inada条件，具有合理的渐近弹性，即AE∞（U） ：=limx→∞xU′（x）U（x）<1安代-∞（U） ：=limx→-∞xU′（x）U（x）>1，而thatu（x）：=supg∈CU（x）E[U（g）]<U(∞) （A.1）对于某些x∈ R、 其中cu（x）=G∈ L（P；R）∪ {∞}) | gn∈ Cb（x）使u（gn）∈ L（P）和U（gn）L（P）-→ U（g）.然后：1）在（A.1）中定义的原始值函数u和对偶值函数v（y）：=infh∈DE[V（yh）]，其中V（y）：=supx∈R{U（x）- y>0的xy}表示U的勒让德变换，即U（x）=infy>0{v（y）+xy}，v（y）=supx∈R{u（x）- xy}，并且持续可区分。函数u和-v是严格凹的，满足Inada条件slimx→-∞u′（x）=∞, 酸橙→∞v′（y）=∞, 利克斯→∞u′（x）=0，石灰→0v′（y）=-∞.原始值函数u具有合理的符号弹性。2） 当y>0时，解bh（y）∈D.双重问题五、嗯→ 敏！，H∈ D、 （A.2）存在、唯一且地图y 7→bh（y）在变异范数上是连续的。3） 为了x∈ R、 解决方案bg（x）∈ CU（x）到原始问题[U（g）]→ 最大值！，G∈ CU（x），（A.3）存在，是唯一的，并且giv en bybg（x）=（U′）-1.by（x）bh作者（x）, 其中由（x）=u′（x）。4）我们有公式ev′（y）=Ehbh（y）V′ybh（y）田许′（x）=Ebg（x）U′bg（x）,我们使用0·∞ = 0，如果随机变量是这种形式。证据在将[50]中的每个近似问题（16）替换为其抽象版本后，证明遵循与[50]中定理2.2相同的论点s，即：。

[41]中的问题（3.4），并使用[41]中的定理3.2代替[41]中的定理2.2。事实上，leteS=（eSt）0≤T≤引入等价局部鞅测度Q的局部有界半鞅价格过程~ 因此所有ElmmFoores的集合Me（eS）都是非空的。用X（X）表示以初始资本X开始的所有非负财富过程的集合，即Xt=X+θeSt≥ 0, 0 ≤ T≤ T、 哪里∈ L（eS）是aneS可积的可预测过程，由Y（Y）表示所有超鞅导数的集合，即非负可选强超鞅Y=（Yt）0≤T≤t从Y=Y开始，使Y X=（YtXt）0≤T≤这是allX的一个非负上乘∈ X（1）。那么上面的抽象集对应于[50]C，{g]中的下列集合∈ L+（P）|十、∈ X（1）使得g≤ XT}，C（x），{g∈ L+（P）|十、∈ X（X）使得g≤ XT}，x>0，Cb（x），∪∞n=1{C（x+n）- n} ，D，{YT|Y∈ Y（1）}，D（Y），{YT|Y∈ Y（Y）}，Y>0，D，ndQdPQ∈ Me（eS）o，D，ndQdPQ∈ 注意Cb（x）对应于所有r和om变量g的集合∈ L（P）是从下面开始的，这样就存在X∈ Xb（x）使得g≤ Xb（x）是所有财富过程的集合，这些财富过程从下面一致有界，也就是说，存在一些M>0，使得Xb=x+eSt≥ -M、 0≤ T≤ T.相反，将[50]中定理2.2的证明中的上述“具体集”替换为[41]中定理3.2上的效用函数的对偶结果的“抽象版本”，而不是[41]中的定理2.2，使用“抽象集”得到定理的抽象版本。这对于证明的所有步骤都是明确的，步骤1、步骤3和步骤10除外。在步骤1中，利用[41]中定理2.2的第（iv）部分，正半直线上效用最大化问题的对偶优化问题可以用ELMMs的R adon–Nikodym导数近似。