超越半鞅的投资组合优化：影子价格和

（2.2）对于x∈ R、 我们用Aλadm（x）表示交易成本λ下的所有自我融资和可接受交易策略的集合，从初始捐赠（ν，~n）=（x，0）和cλb（x）开始：={VliqT（|）||||=（|，|）∈ Aλadm（x）}。如[12]中的备注4.2所述，我们可以在不缺乏一般性的情况下假设φT=0，因此有cλb（x）={φT |φ=（φ，φ）∈ Aλadm（x）}。λ-相容价格系统是一对随机过程Z=（Zt，Zt）0≤T≤t考虑密度过程Z=（Zt）0≤T≤Tof一个等价的局部鞅测度Q~ P对于冰过程=（eSt）0≤T≤投标中涉及的sk价差[（1）- λ） S，S]和productZ=ZeS。要求S在Q下是局部鞅相当于乘积Z=ZeS在P下是局部鞅。同样，一个绝对连续的λ-相容价格系统是一对随机过程Z=（Zt，Zt）0≤T≤t密度过程Z=（Zt）0的考虑≤T≤一个绝对连续的局部鞅测度Q<< P对于冰过程=（eSt）0≤T≤投标中涉及的sk价差[（1）- λ） S，S]和乘积z=ZeS，这是一个局部鞅。在交易成本下，这些概念与无摩擦情形下等价且绝对连续的局部鞅测度具有相似的作用。我们用Zλ表示所有λ-一致价格系统的集合，用Zλ表示所有绝对连续λ-一致价格系统的集合。而在无摩擦情况下，无套利的存在形式是价格过程S=（St）0的非等价局部鞅测度的存在≤T≤假设它是一个半鞅（这个性质在等价的测度变化下是不变的），只要考虑到比例交易成本，就可以用非半鞅以无套利的方式对资产价格进行建模。

实际上，对于anon-seminarmartingale的主要例子，几何自由布朗运动St:=exp（BHt）和Hurstparameter H∈ （0,1）\\{}，Guasoni[30]证明了这个价格过程对于任何比例λ都是无套利的∈ （0，1）o的交易成本，因此允许任何λ的λ-一致价格体系∈ （0，1）由[33]中的连续过程的资产定价基本定理得出。正如Guasoni所观察到的，分数布朗运动的关键性质是粘性，它可以推断出无套利性。定义2.1。一个随机过程X=（Xt）0≤T≤太粘了，伊夫苏普特∈[τ，T]|Xt- Xτ|<δ，τ<T！>0，对于任何[0，T]值的停止时间eτw i th P（τ<T）>0和任何δ>0。根据[3]中的命题2，粘性条件在过程X=（Xt）0的变换下保持不变≤T≤t通过连续函数。因此，如果我们要求R+值的过程S=（St）0，则没有区别≤T≤Tor Xt:=log（St）是粘性的。在本文中，我们希望研究基于fr作用布朗运动（BHt）的模型中最优交易策略的存在性，例如分数Black-S choles模型，其中st=exp（ut+σBHt），0≤ T≤ T、 在哪里∈ R和σ>0。为此，我们考虑一个效用函数U:R→ R是在整条实线上定义和确定的、递增的、严格凸的、连续可微的且满足其纳达条件U′(-∞) = 利克斯→-∞U′（x）=∞ 还有你(∞) = 利克斯→∞U′（x）=0。这种效用的主要例子是指数效用U（x）=- 经验(-x） 。虽然对于正半线上的效用函数，非负财富的可容许性条件禁止负财富，但在目前的情况下，这并没有被排除，只是通过赋予其低效用来惩罚。

因此，在一组可接受的交易策略（从下面看是一致有界的）中，通常无法实现最佳交易策略，“允许”交易策略的“良好定义”变得至关重要；有关无摩擦设置的结果，请参见[51]。在无摩擦的情况下，有两种方法来解决这个问题。第一种是使用双重定义，并考虑所有交易策略，其富裕过程是所有等价局部鞅测度（ELMM）下的辅助鞅，具有有限的V-期望，即e[V（ydQdP）]<∞ 对于某些y>0，其中V（y）：=supx∈R{U（x）-xy}for y>0表示-U(-x） )；例如参见[25,36,7]。我们遵循[50]的第二种方法来考虑关于预期效用的可容许阅读策略的最终财富集的“闭包”。为此，我们定义λU（x）=G∈ L（P；R）∪ {∞}) | gn∈ Cλb（x）s.t.U（gn）∈ L（P）和U（gn）L（P）-→ U（g）考虑最大化问题[U（g）]→ 最大值！，G∈ CλU（x）。（2.3）很明显，u（x）：=supg∈CλU（x）E[U（g）]=supg∈Cλb（x）E[U（g）]。（2.4）注意U（gn）L（P）-→ U（g）意味着gn→ g英寸L(Ohm, F、 P；R∪ { ∞}), 关于概率的收敛性，因为U:R→ R在严格地增加。虽然GNA是实值随机变量，但在先验条件下，解决方案bg（x）到（2.3）可能确实会取这个值∞ 具有严格正概率，即P（bg（x）=∞) >正如[1]中所解释的，在无摩擦的情况下，只有当(∞) < ∞, 这与无套利假设并不矛盾。在交易成本下的设置中，我们将在下面的示例4.3中展示这种现象是如何产生的。

因此，问题是：是否存在自筹资金交易策略，例如bа=（bаt，bаt）0≤T≤在bg（x）=VliqT（b~n）的意义下，交易成本λ达到解决方案bg（x）至（2.3）？为此，我们考虑所有可预测的有限变化过程的集合AλU（x）=（t，t）0≤T≤T、 从（ν，ν）=（x，0）开始，满足自融资条件（2.1），并且存在魟n=（魟0，n，魟1，n）∈Aλadm（x）验证UVliqT（νn）∈ L（P）和UVliqT（νn）L（P）-→ UVliqT（ψ）.注意，后一种收敛再次意味着VliqT（~nn）L（P）-→ VliqT（~n）由U的严格单调性决定。只要求终端清算值VliqT（~n）可以近似为允许的交易策略的终端清算值VliqT（~nn）=（ν0，n，~n1，n）∈λadm（x）似乎是一个相当弱的可达到性。然而，正如我们将在下面的位置3.2和定理4.1中看到的，我们的结果得出了P（新界，新界，新界）→ （ηt，ηt），T∈ [0，T]= 1，这意味着phvliqt（~nn）→ Vliqt（ψ），T∈ [0，T]i=1根据（2.2）中清算价值的定义。我们利用影子价格的概念来研究可得性问题。定义2.2。半鞅价格过程B=（bSt）0≤T≤这被称为影子价格过程，如果在买卖价差中使用bS的话- λ） 2）解决方案bθ=（bθt）0≤T≤t无摩擦效用最大化问题[U（x+bST）]→ 最大值！，θ ∈ AU（x；bS），（2.5）在[50]的意义上存在。

这里，AU（x；bS）表示可积的所有bS的集合（在它的意义上是^o），可预测过程θ=（θt）0≤T≤Tsch认为存在一个序列（θn）∞n=1自我融资和可接受的交易策略θn=（θnt）0≤T≤TwithoutTransaction costssuch U（x+nobST）∈ L（P）和U（x+nobST）L（P）-→ 3）最优交易策略bθ=（bθt）0≤T≤t无摩擦问题（2.5）与stoc k bа=（bаt）0中的holdings一致≤T≤t交易成本下的效用最大化问题（2.3），即x+bθobST=VliqT（bθ）=bg（x）。其基本思想是，如果一个影子的价格为（bSt）0≤T≤t如果（2.3）存在，这允许我们通过解决无摩擦效用最大化问题（2.5），在交易成本下获得效用最大化问题（2.3）的最优交易策略。对于无摩擦问题（2.5），我们不能再应用无摩擦理论的所有已知结果来解决它。因为影子价格B=（bSt）0≤T≤由于它是一个半鞅，这特别允许我们将一些技巧从半鞅演算转移到可能的非半鞅价格过程S=（St）0的效用最大化问题（2.3）≤T≤注意影子价格的存在意味着最优策略bθ=（bθT）0≤T≤t无故障问题（2.5）是一个有限变量，最优策略bθ=（bθt）0≤T≤Tand bа=（bаt）0≤T≤t如果bθ=bθ仅交易，则bθ为出价或要价，即{dbθ=d bθ>0} {bS=S}和{dbθ=dbθ<0} {bS=（1）- λ） 在{dbθc=dbθ1，c>0} {bS=S}，{dbθc=db1，c<0} {bS=（1）- λ） S}{bθ=b~n>0} {bS-= s-}, {bθ= b~n<0} {bS-= (1 - λ） S-},{+bθ=+b~n>0} {bS=S}{+bθ=+b~n<0} {bS=（1）- λ） S}。

（2.6）在这里，上述包裹体（2.6）的精确数学意义由zt{bS6=S}（u）b~n1给出，↑u=ZT{bS6=S}（u）d b~n1，↑,cu+X0<u≤T{bS-6=S-}（u） b~n1，↑u+X0≤u<T{bS6=S}（u）+b~n1，↑u=0，ZT{bS6=（1）-λ） S}（u）bа1，↓u=ZT{bS6=（1）-λ） S}（u）d bа1，↓,cu+X0<u≤T{bS-6=(1-λ） S-}（u） b~n1，↓u+X0≤u<T{bS6=（1）-λ） S}（u）+b~n1，↓u=0。这是一个可预测的过程≤T≤Tsch表示Xt=x+nobSt≥ -M（n）代表所有0≤ T≤ 对于某些常数M（n）>0，它可能在n上终止；例如参见[50]。“民间传说”认为影子价格与双重公共关系问题的解决有关；例如，参见[20]中的第3.9节。在当前的效用函数设置中，我们将在下一节中解释这一关系，该函数是在整条曲线上定义的。3对偶理论我们讨论了影子价格与效用函数在整条实线上的对偶问题的解之间的联系。下面的对偶关系可以得到类似于[50]中的无摩擦对应关系。这已经在[8]的静态设置中被隐式利用。我们将在附录中通过将其简化为“抽象版本”来证明这一结果。定理3.1（整条实线上的效用函数）。假设S是局部有界的，并且所有λ′的价格系统都是λ′-一致的∈ （0,1），U:R→ R满足不符合条件U\'(-∞) = 利克斯→-∞U′（x）=∞ 还有你(∞) = 利克斯→∞U′（x）=0，具有合理的渐近性，即AE∞（U） ：=limx→∞xU′（x）U（x）<1和AE-∞（U） ：=limx→-∞xU′（x）U（x）>1，且thatu（x）：=supg∈CλU（x）E[U（g）]<U(∞) （3.1）对于某些x∈ R.然后：1）在（2.4）中定义的初值函数u，以及unc tionv（y）的双值：=inf（Z，Z）∈ZλaE[V（yZT）]，其中V（y）：=supx∈R{U（x）- y>0的xy}表示U的勒让德变换，即U（x）=infy>0{v（y）+xy}，v（y）=supx∈R{u（x）- xy}，并且持续可区分。

函数u和-v是严格凹的，满足Inada条件slimx→-∞u′（x）=∞, 酸橙→∞v′（y）=∞, 利克斯→∞u′（x）=0，石灰→0v′（y）=-∞.原始值函数u具有合理的符号弹性。2） 当y>0时，解bz（y）=bZ（y），bZ（y）∈ Zλato对偶问题五、yZT→ 敏！，Z=（Z，Z）∈ Zλa（3.2）存在，第一个分量bzt（y）是唯一的，地图y 7→bZT（y）是连续不变范数。3） 为了x∈ R、 解决方案bg（x）∈ 原问题（2.3）的CλU（x）是唯一的，由bg（x）=（U′）给出-1.by（x）bZT作者（x）, （3.3）式中由（x）=u′（x）。4）我们有公式ev′（y）=EhbZT（y）V′ybZT（y）田许′（x）=Ebg（x）U′bg（x）,我们使用0·∞ = 0，如果随机变量是这种形式。为什么我们关注效用函数，在整条实线上取有限值？原因是，对于效用函数U:（0，∞) → 正半线影子价格上的R可能不存在，因为对偶问题的解不一定是一个局部鞅，而一般只作为一个超鞅；例如参见[6,18,20,22]。在这种情况下，我们不知道如何成功克服分数布莱克-斯科尔斯模型等模型的困难。这种“超级马丁格尔现象”并不适用于公用事业U:R→ R在整条实线上，对偶优化子保证是局部鞅。另一方面，双重问题（3.2）的解bZ=（bZ，bZ）通常可能无法诱导影子价格，因为它可能只是一个绝对连续的λ-一致价格系统，即P（bZT=0）>0。通过对偶关系（3.3），集合{bZT=0}等于集合{bg（x）=∞}.

As V（0）=U(∞),这种行为只有在你(∞) < ∞ 不存在λ′-一致价格系统`Z=（`Zt，`Zt）0≤T≤Tsuch认为E[V（y\'ZT）]<∞ 对于一些y>0；比较[15,50,1]的无摩擦情况。对于效用函数，例如(∞) = ∞, 如果存在双优化因子bZ=（bZ，bZ），则几乎可以肯定它总是满足bzt>0。然而，对于这些效用函数，对于分数Black-Scholes模型等非半鞅价格过程，条件（3.1）似乎很难验证。下面的命题表明，存在一个严格一致的价格系统和有限的V-期望，确保了原始优化者bg（x）的可实现性。它将[8]中的引理25推广到我们的环境中，其证明随后是类似的论证。提议3.2。在定理3.1的假设下，对某些λ′的∈ （0，λ），存在一个λ′-一致的价格系统Z=（\'Z，\'Z）∈ Zλ′esuch thatE[V（\'y\'ZT）]<∞对于一些y>0的人。那么原始问题（2.3）的解是可以得到的。e、 存在sbа=（bа，bа）∈ AλU（x）使得VliqT（b k）=bg（x），并且存在e k n=（eа0，n，eа1，n）∈ Aλadm（x）这样的（新界东，东1，新界东）→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]= 1.（3.4）在证明中添加的注释：我们在[19]中以一种非常令人满意的方式回答了这个问题：对于分数Black-Scholes模型，所有效用函数U都存在影子价格：（0，∞) → R满足合理渐近弹性条件。更多细节见第4页的脚注。证据根据定理3.1，存在一个序列φn=（φ0，n，φ1，n）∈ Aλadm（x）使得VliqT（νn）L（P）---→ Ubg（x）.然后“Zt~n0，nt+1，nt\'St+Ant0≤T≤这是所有n的一个超级鞅，其中\'S:=\'Z\'赞丹：=（λ）- λ′）RtSudа1，n，↓U

事实上，通过对部分进行积分，我们可以写出“Zt（η0，nt+~n1，nt\'St）=”Ztν0，nt+Ztè1，nu+Ztè1，nudè1.自从∈ [(1 - λ′）S，S]和φ0，nt≤ 十、-ZtSud~n1，n，↑u+Zt（1- λ） 南欧1，n，↓根据自我融资条件（2.1），流程~n0，nt+Rt南1，nu+Ant0≤T≤这是不增加的。此外，根据Bayes规则，“S”是“Q”项下的本地市场~ Pgiven byd’QdP=’zt，由于1是有限变化的，因此是局部不确定的，所以余弦积分1，no’S是‘’Q下的局部鞅。因此‘’Z~n0，n+1，n\'S+An是P下的局部超鞅，同样由Bayes规则确定，从下方以‘ZVliq（φn）为界。因为∈ λadm（x）是可容许的一个ndza鞅，这意味着~n0，n+1，n\'S+An是一个真正的超级艺术家，所以呢VliqT（νn）+AnTi=E“ZTν0，nT+（λ）- λ′）ZTSud~n1，n，↓U≤ x（3.5）对于所有n.结合芬切尔不等式和U的单幂性，我们可以估计ZTVliqT（νn）+AnT≥“y”UVliqT（νn）- 五、“y”ZT.自从UVliqT（νn）- 五、“y”ZTL（P）---→“y”Ubg（x）- 五、“y”ZT, 作为n→ ∞, 我们得到了“ZTVliqT（νn）+AnT-∞n=1是一致可积的，因此“ZTVliqT（νn）+AnT∞n=1在L（P）中以（3.5）为界。因为¨ZT>0和VliqT（~nn）L（P）-→ bg（x），这意味着蚂蚁N≥ 1.在L（P）中有界。因为S是一个非负的局部Q-鞅，也是一个Q-超鞅，所以我们得到了≤U≤TSu≥ inf0≤U≤根据超鞅的最小原理，T洇Su>0。这意味着|ν1，n|T；N≥ 1.因此|ν0，n|T；N≥在L（P）中也是有界的。根据[12]中的命题3.4（及其在定理3.5证明中的应用），存在一个序列（eа0，n，eа1，n）∈ 卷积和多项式相乘（ν0，n，а1，n），（а0，n+1，а1，n+1）。凸组合和一个可预测过程的概率bа=（bаt，bаt）0≤T≤确定变化，如（新界东，东1，新界东）→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]= 1.

（3.6）趋同（3.6）则意味着bа=（bа，bа）是一种交易成本λ下的自我融资交易策略，因此VliqT（bа）=bg（x），因此bа∈ AλU（x）。下一个结果表明（3.4）足以保证影子价格的存在。提议3.3。在定理3.1的假设下，假设原始问题（2.3）的解bg（x）是可实现的，即存在bа=（bа，bа）∈ AλU（x）使得vliqt（b~n）=bg（x），并且存在e k n=（eа0，n，eа1，n）∈ Aλadm（x）这样的（新界东，东1，新界东）→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]= 1（3.7）那么对偶优化函数bZ=（bZ，bZ）到（3.2）在Zλe中，即λ-一致价格系统，而bs:=bzbzi是问题（2.3）的影子价格（在定义2.2的意义上）。证据因为bg（x）=VliqT（b~n）<∞, 我们通过（x）bZT=U′得到它bg（x）> 通过二元关系（3.3）得到0，因此二元优化函数bZ=（bZ，bZ）在Zλe中。然后，它遵循与证明命题3.2中相同的参数，用eаn=（eа0，n，eа1，n）替换аn=（eа0，n，eа1，n）并将λ′=λZ=（bZ，bZ=（bZ，bZ）替换为（bZ，bZ）并设置为（bZeа0，n+bZeа1，n）∞n=1是一系列的超级艺术作品，n+bZe~n1，n=（bZteа0，nt+bZteа1，nt）0≤T≤查克bZTeа0，nT+bZTeа1，nT-∞n=1是一致可积的。这意味着bZteа0，nt+bZteа1，nt-0≤T≤这是一个非负的子鞅，因此是（D）类的子鞅bZτeа0，nτ+bZτeа1，nτ-∞对于每[0，T]值的停止时间τ，n=1是一致积分的。