超越半鞅的投资组合优化：影子价格和

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英文标题：
《Portfolio optimisation beyond semimartingales: shadow prices and
  fractional Brownian motion》
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作者：
Christoph Czichowsky and Walter Schachermayer
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  While absence of arbitrage in frictionless financial markets requires price processes to be semimartingales, non-semimartingales can be used to model prices in an arbitrage-free way, if proportional transaction costs are taken into account. In this paper, we show, for a class of price processes which are not necessarily semimartingales, the existence of an optimal trading strategy for utility maximisation under transaction costs by establishing the existence of a so-called shadow price. This is a semimartingale price process, taking values in the bid ask spread, such that frictionless trading for that price process leads to the same optimal strategy and utility as the original problem under transaction costs. Our results combine arguments from convex duality with the stickiness condition introduced by P. Guasoni. They apply in particular to exponential utility and geometric fractional Brownian motion. In this case, the shadow price is an Ito process. As a consequence we obtain a rather surprising result on the pathwise behaviour of fractional Brownian motion: the trajectories may touch an Ito process in a one-sided manner without reflection.
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中文摘要：
虽然在无摩擦金融市场中没有套利要求价格过程是半鞅，但如果考虑到比例交易成本，非半鞅可以用于以无套利的方式建模价格。本文通过建立影子价格的存在性，证明了一类不一定是半鞅的价格过程在交易成本下效用最大化的最优交易策略的存在性。这是一个半鞅价格过程，考虑买卖价差中的价值，这样，在交易成本下，该价格过程的无摩擦交易会产生与原始问题相同的最优策略和效用。我们的结果结合了凸对偶的论点和P.Guasoni引入的粘性条件。它们特别适用于指数效用和几何分数布朗运动。在这种情况下，影子价格是一个Ito过程。因此，对于分数布朗运动的路径行为，我们得到了一个相当令人惊讶的结果：轨迹可能会以单边方式接触Ito过程，而没有反射。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Portfolio_optimisation_beyond_semimartingales:_shadow_prices_and_fractional_Brow.pdf (413.1 KB)

2022-5-8 05:01:01 上传

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关键词：投资组合优化 影子价格 投资组合 Quantitative Mathematical

超越半鞅的投资组合优化：影子价格和分数布朗运动*Christ oph Czichowsky+Walter Schachermayer本版本：2018年6月20日。摘要无摩擦金融市场中没有套利时，价格过程需要贝斯鞅，但如果考虑到比例交易成本，非半鞅可以用于建立arb-itrage高速公路的价格模型。本文通过建立影子价格的存在性，证明了一类不一定是半鞅的价格过程，效用最大化和交易成本最大化的最优交易策略的存在性。这是一个半鞅定价过程，考虑买卖价差中的价值，因此无摩擦的价格交易过程会产生与交易成本下原始问题相同的最优策略和效用。我们的结果结合了凸对偶的论点和P.Guasoni引入的粘性条件。它们特别适用于指数性和几何分数布朗运动。在这种情况下，影子p rice是一个It^o过程。

因此，对于分数布朗运动的路径行为，我们得到了一个相当令人惊讶的结果：轨迹可能会以单边方式接触It^o过程，而不会发生反射。MSC 2010主题分类：91G10、60G2 2、93E20、60G48JEL分类代码：G11、C61关键词：投资组合选择、非半鞅价格过程、函数布朗运动、比例交易成本、整实线效用、指数效用、影子价格、凸对偶性、粘性、最优交易策略*我们要感谢杨俊建仔细阅读手稿，并指出早期版本中的错误。+伦敦经济与政治学院数学系，哥伦比亚大厦，霍顿街，伦敦WC2A 2AE，英国，c。czichowsky@lse.ac.uk.感谢瑞士国家科学基金会（SNF）在PBEZP2137313拨款项下以及欧洲研究理事会（ERC）在FA5060 41拨款项下提供的财政支持。schachermayer@univie.ac.at.部分由奥地利科学基金（FWF）根据25815号拨款、欧洲研究理事会（ERC）根据FA506041号拨款以及维也纳科学技术基金（WWTF）根据MA09-003号拨款提供支持。1引言大部分数学金融文献假设贴现价格S=（St）0≤T≤Tof风险资产由semimartinga l es建模。在无摩擦的金融市场中，当大量存货可以以相同的价格买卖时，半鞅假设是必要的。否则，就会存在“套利机会”（见[26]，第。

7.2对于精确的陈述）和效用最大化问题的最佳策略可能不存在或产生有限的预期效用（见[2,42,40]）。基于分数布朗运动的非半鞅模型≥0例如分数Black-Scholes模型St=exp（ut+σBHt），其中u∈ R、 σ>0和赫斯特参数H∈ （0,1）\\{}，罗杰斯[48]和切里迪托[13]明确地展示了如何构造这些套利机会。Mandelbrot[43]f提出了这种模型，以研究它们的自然分形标度行为和相关的统计特性。它们是非半鞅模型的主要例子。虽然无摩擦金融市场的经典理论无法涵盖基本模型，但最近的结果[30,32,33]表明，这可以通过计入（任意小规模）比例交易成本，以无套利且具有经济意义的方式实现。正如Guasoni[30]所表明的，在交易成本下不存在轨道的关键性质是分数布朗运动是粘性的。从概念上讲，由于没有套利，可以将投资组合优化视为交易成本下非半鞅价格过程的lso；见[29]。然而，到目前为止，在非半鞅模型中如何获得最优交易策略还没有结果。在本文中，我们将解决这个问题。为此，我们研究了满足粘性条件的非半鞅价格过程在交易费用下的投资组合优化问题，如分数Black-Scho-les模型和效用函数U:R→ R在整个实线中定义。这种效用的主要例子是指数效用U（x）=- 经验(-x） 。

除了交易成本下财富动态的非线性外，主要困难在于分数布朗运动既不是半鞅过程，也不是马尔可夫过程，因此随机演算的标准工具非常有限。克服这些问题的基本思路是使用影子价格的概念。这是一个半鞅价格过程B=（bSt）0≤T≤Tsuch认为，在交易成本下，该过程的无摩擦ut-ILI最大化问题的解给出了与原问题相同的最优策略和效用。我们的主要结果建立在下面的定理4.1中。它证明了在价格过程S=（St）0的假设下，效用函数从上方有界的影子价格的存在性≤T≤它是连续的和粘性的。定理4.1也确保了非最优交易策略的存在。在无摩擦的情况下，人们通常假设价格过程存在一个等价的局部鞅测度，该测度具有实现这一点的适当内积能力性质。相比之下，我们在交易成本下的有效条件更稳健，适用于多种模型；参见[3,14,28,32,31,35,46,45]。它们特别适用于分数Black-Scholes模型和指数效用。此外，我们给出了一个例子，说明了价格过程S=（St）0的条件≤T≤粘性不能用假设它满足注意的条件（NF LV R）来代替。注意，如果一个过程有条件完全支持，它也是粘性的。“没有风险消失的免费午餐”（无交易费用）。因此，与无摩擦金融市场的联系是将半鞅演算工具用于潜在非半鞅价格过程S=（St）0的关键≤T≤t只需将它们应用于影子价格过程B=（bSt）0≤T≤T

这也允许我们利用已知的结果，在交易成本较低的无摩擦金融市场中优化投资组合。对于分数Black-Scholes模型，我们通过这种方式得出，阴影价格过程是一个It^o过程，由dbst=bSt（butdt+bσtdWt），0给出≤ T≤ T、 （1.1）式中u=（buT）0≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤皮重是可预测的过程，因此（1.1）的解决方案在It^o集成的意义上是明确的。我们预计分析系数bu=（but）0≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤在分数Black-Scholes模型中，It^oprocess（1.1）还应允许在交易成本下获得最优策略的定量结果。对这些高效过程的彻底分析留给未来的研究。根据影子价格的定义，交易成本下的最优策略和相应的无摩擦问题只有在影子价格等于买入价或卖出价的情况下才能交易，即bS=（1）- λ） S orbS=S。对于非常小的交易成本，我们直观地展示了一个显而易见的事实，即——概率很高——最优策略实际上会进行交易，而不仅仅是保持初始位置。因此，我们在分数布朗运动的路径行为上得到了一个相当令人惊讶的结果：轨迹可能会以单侧方式接触It^o过程，而不会发生反射。路径接触的集合包含最优策略交易的集合。这是一个诱人的猜想，上面描述的分数布朗运动和It^o过程的轨迹的接触发生在[0，t]的一个类似康托的紧致子集上，没有孤立点，并且最优交易策略在（0，t）上是连续的且是局部时间型的。当S是通常的Black-Scholes模型时，众所周知这些性质成立；见[55,23,53]。

然而，在目前的情况下，这个问题似乎是完全开放的。价格过程S=（St）0的条件≤T≤它的连续性和粘性在度量的等价变化下是不变的。因此，我们的主要结果还通过DPCDP=exp（C）E[exp（C）]给出的通常度量变化，确保了所有有界欧式未定权益C的指数效用差异价格的存在；比较[49,25]中无摩擦的情况。问题是，这是否允许在fr actionalBlack-Scholes模型中获得更合理的价格。回想一下，在这些模型中，超级复制的概念由面部提升定理[32]导致的只是经济上微不足道的价格；再比较一下[54]。“民间传说”认为，影子价格的存在通常与双重问题的解决有关；参见[37,18,20,22]。我们建立了效用函数在整个实线和c`adl`ag价格过程中取有限值的关系，并在此设置中提供了必要的对偶结果。与无摩擦情况[50]类似，这是效用函数U（0，∞) → [20]中最近在交易成本项下确定的R。此外，我们在整条实线上使用了效用函数的“抽象版本”，这与[41]中关于正半线上效用函数的精神是一致的。在投资组合优化的上下文中，对二元性的理解，有时被称为“马丁-阿尔法”，可以追溯到无摩擦情况下的[38,34,39]。

在交易成本下，我们的工作补充了正半线上效用函数的动态对偶结果[16,17,20,22]，以及（可能）多变量效用函数的静态对偶结果[24,8,9,11,4]。对于非半鞅价格过程，效用最大化可以在比例交易成本下研究，这一观点可以追溯到Guasoni[29]。在本文中，效用函数U：（0，∞) → R是在假设问题是适定的情况下考虑的。然而，在这种情况下，对于分数Black-Scholes模型等非半鞅过程和对数效用U（x）=log（x）等普遍性，这种假设是否满足尚不清楚。特别是[22]中的反例表明，假设价格过程是连续的和粘性的，以保证影子价格的存在是不充分的。对于效用函数U：（0，∞) → R从上方限定，如电力设施U（x）=pxp和p∈ (-∞, 0），Guasoni的结果[29]适用，并建立了交易成本下n最优交易策略的存在性。这仍然是一个悬而未决的问题，在这种情况下是否存在影子价格。本文的组织结构如下。我们在第2节中阐述了这个问题。第三节包含对偶结果，以及对偶问题的解与效用函数在整条实线上的影子价格之间的关系。我们的主要结果，即影子价格的存在，在第4节中得到了证明。我们在第5节中解释了分形Black-Scholes模型和经验效用的结果。

在Orem 5.3中，我们给出了分数布朗运动的路径行为的结果。最后，附录包含了第3节建立的对偶结果的“抽象版本”，用于证明。2问题的表述我们考虑由一个无风险资产和一个风险资产组成的金融市场。假设无风险资产为一个常数。交易风险资产会产生一定比例的交易成本λ∈ (0, 1). 这意味着在购买风险股时，必须支付（更高的）要价，但只能收到更低的出价（1）- λ） 卖的时候。这里是S=（St）0≤T≤t定义在某个潜在的融合概率空间上的严格正、随机、c`adl`ag（带左极限的右连续过程）过程Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P固定时间地平线T∈ (0, ∞) 满足权利连续性和完整性的通常假设。通常，随机变量之间的等式和不等式支持P-零集，随机过程之间的等式和不等式支持P-消失集。交易策略由R值、可预测的过程=（t，t）0建模≤T≤为了确定变化，其中和t描述了无风险资产和风险资产的持有情况，请注意一个证据：这个问题已经在[19]中得到了回答。如果间接效用是有限的，则价格过程是连续的且满足“双向交叉”条件（TWC）就足以存在影子价格；见[5,47]。

结合分数布朗运动不仅满足确定时间的重对数定律，而且满足停止时间的重对数定律（s e eTheorem[47]中的1.1），它可以推断分数Black-Scholes模型和所有效用函数U：（0，∞) → R满足合理渐近弹性条件。分别在时间t重新平衡端口后。对于任何过程ψ=（ψt）0≤T≤定义变量，我们用ψ=ψ+ψ表示↑- ψ↓其Jordan-Hahn分解为两个非递减过程ψ↑和ψ↓两者都为零。总变差|ψ| tofψo n（0，t）由|ψ| t=ψ给出↑t+ψ↓t、 为了0≤ s<t≤ T，表示为y的（s，T）上的ψ的总变化量为T，当单复数为| dψu |=|ψ| T时- |ψ| s。请注意，任何有限变量的过程ψ都是特殊的l\'adl\'ag（具有右极限和左极限）。对于任何l`adl`ag进程X=（Xt）0≤T≤T、 wedenote由xCt给出其连续部分：=Xt-Xs<t+Xs-Xs≤TXs，在哪里+Xt:=Xt+- 它的权利和义务是什么Xt:=Xt- Xt-它的左跳。A策略=（t，t）0≤T≤这被称为自封，ifZtsdаu≤ -ZtsSudа1，↑u+Zts（1- λ） 南欧1号，↓u、 0≤ s≤ T≤ T、 （2.1）如果，↑u:=ZtsSudа1，↑,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↑u+X≤u<tSu+φ1,↑u、 Zts（1）- λ） 南欧1号，↓u： =Zts（1- λ） 南欧1号，↓,cu+Xs<u≤t（1）- λ） 苏-φ1,↓u+X≤u<t（1）- λ） 苏+φ1,↓UCA可以通过使用Riemann-Stieltjes积分来定义路径，例如[21,20,52]中解释的积分。byRts | d|u |=Rts | d|u |+Rts | d|u |。如果存在一些常数大于0，使得其结算值满足| t++（1），则称为可接受的自我融资策略=（，）- λ） 圣- （ηt）-圣≥ -M、 0≤ T≤ T